matlab实现Lagrange多项式插值观察龙格现象

Matlab进行Lagrange多项式插值

拉格朗日插值法对函数y=1./(1+25*x.^2)在区间[-1,1]进行5次、10次、15次插值观察龙格现象

主程序

1．拉格朗日

function [c,l]=lagran(x,y)

%c为多项式函数输出的系数

%l为矩阵的系数多项式

%x为横坐标上的坐标向量

%y为纵坐标上的坐标向量

w=length(x);

n=w-1;

l=zeros(w,w);

for k=1:n+1

v=1;

for j=1:n+1

if k~=j

v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)) %对多项式做卷积运算

end

end

l(k,:)=v;

end

c=y*l;

2．在matlab窗口中输入：

x=linspace(-1,1,6);y=1./(1+25*x.^2);

lagran(x,y)

回车可得结果：

ans =

-0.0000 1.2019 -0.0000 -1.7308 -0.0000 0.5673

在matlab窗口中输入：

x=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);

lagran(x,y)

回车可得结果：

ans =

-220.9417 0.0000 494.9095 -0.0000 -381.4338 -0.0000 123.3597 0.0000 -16.8552 0.0000 1.0000

在matlab窗口中输入：

x=linspace(-1,1,16);y=1./(1+25*x.^2);

lagran(x,y)

回车可得结果：

ans =

1.0e+003 *

Columns 1 through 14

0.0000 -1.5189 -0.0000 4.6511 -0.0000 -5.5700 0.0000 3.3477 0.0000 -1.0830 -0.0000 0.1901 -0.0000 -0.0180

Columns 15 through 16

0.0000 0.0010

3.由以上结果可定义一下函数：

function y=f1(x)

y=1./(1+25*x.^2);

function y=f2(x)

y=1.2019*x.^4 -1.7308*x.^2+0.5673;

function y=f3(x)

y=-220.9417*x.^10+494.9095*x.^8-381.4338*x.^6+123.3597*x.^4-16.8552*x.^2+1;

function y=f4(x)

y=1*10^3*(-1.5189*x.^14+4.6511*x.^12-5.5700*x.^10+3.3477*x.^8-1.0830*x.^6+0.1901*x.^4-0.0180*x.^2+0.0010)

4. 在matlab窗口中输入：

s1=@f1;s2=@f2;s3=@f3;s4=@f4;fplot(s1,[-1 1],'r');hold on;fplot(s2,[-1 1],'k');hold on;fplot(s3,[-1 1],'g');hold on;fplot(s4,[-1 1],'b');xlabel('input');ylabel('output');title('龙格现象');legend('s1=f(x)','s2=L5(x)','s3=L10(x)','s4=L15(X)');grid on

可以得到下图：