数值分析龙格现象matlab代码分享

数值分析matlab作业龙格库塔欧拉方法解二阶微分方程

Matlab 应用使用Euler 和Rungkutta 方法解臂状摆的能量方程背景单摆是常见的物理模型，为了得到摆角θ的关于时间的函数，来描述单摆运动。

由角动量定理我们知道εJ M =化简得到0sin 22=+θθlgdt d在一般的应用和计算中，只考虑摆角在5度以内的小摆动，因为可以吧简化为θ，这样比较容易解。

实际上这是一个解二阶常微分方程的问题。

在这里的单摆是一种特别的单摆，具有均匀的质量M 分布在长为2的臂状摆上，使用能量法建立方程WT =hmg ∆=2J 21ω 化简得到θθcos 35499.722=dtd重力加速度取9.806651使用欧拉法令dxdy z =，这样降阶就把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用向前Euler 方法数值求解。

y(i+1)=y(i)+h*z(i);z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i)); y(0)=0 z(0)=0精度随着h 的减小而更高，因为向前欧拉方法的整体截断误差与h 同阶，（因为是用了泰勒公式）所以欧拉方法的稳定区域并不大。

2.RK4-四阶龙格库塔方法使用四级四阶经典显式Rungkutta 公式稳定性很好，RK4法是四阶方法，每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。

所以比欧拉稳定。

运行第三个程序：在一幅图中显示欧拉法和RK4法，随着截断误差的积累，欧拉法产生了较大的误差h=0.01h=0.0001，仍然是开始较为稳定，逐渐误差变大总结：RK4是很好的方法，很稳定，而且四阶是很常用的方法，因为到五阶的时候精度并没有相应提升。

通过这两种方法计算出角度峰值y=3.141593，周期是1.777510。

三个程序欧拉法clear;clch=0.00001;a=0;b=25;x=a:h:b;y(1)=0;z(1)=0;for i=1:length(x)-1 % 欧拉y(i+1)=y(i)+h*z(i);z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i));endplot(x,y,'r*');xlabel('时间');ylabel('角度');A=[x,y];%y(find(y==max(y)))%Num=(find(y==max(y)))[y,T]=max(y);fprintf('角度峰值等于%d',y) %角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h) %周期legend('欧拉');龙格库塔方法先定义函数rightf_sys1.mfunction w=rightf_sys1(x,y,z)w=7.35499*cos(y);clear;clc;%set(0,'RecursionLimit',500)h=0.01;a=0;b=25;x=a:h:b;RK_y(1)=0; %初值RK_z(1)=0; %初值for i=1:length(x)-1K1=RK_z(i);L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i)); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,RK_y,'b+');xlabel('Variable x');ylabel('Variable y');A=[x,RK_y];[y,T]=max(RK_y);legend('RK4方法');fprintf('角度峰值等于%d',y) %角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h) %周期两个方法在一起对比使用跟上一个相同的函数rightf_sys1.mclear;clc; %清屏h=0.0001;a=0;b=25;x=a:h:b;Euler_y(1)=0;Euler_z(1)=0; %欧拉的初值RK_y(1)=0;RK_z(1)=0; %龙格库塔初值for i=1:length(x)-1%先是欧拉法Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*7.35499*cos(Euler_y(i));%龙格库塔K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i)); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);% K2 and L2K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);% K3 and L3K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,Euler_y,'r-',x,RK_y,'b-');[y,T]=max(RK_y);fprintf('角度峰值等于%d',y) %角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h) %周期xlabel('时间');ylabel('角度');legend('欧拉','RK4');文- 汉语汉字编辑词条文，wen，从玄从爻。

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题目三：设��(��) = ��，在[-1,1]上用 Legendre 多项式作��(��)的 3 次最佳平方逼近多项式。 >> a=-1;b=1; >> n=3; >> syms x; >> fx=exp(x); >> exp(x); >> for k=3 F=x^k*fx; d(k+1)=int(F,a,b); end >> d=reshape(d,n+1,1); >> H=hilb(n+1); >Fra bibliotek a=H\d a=
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

数值分析matlab程序

数值分析（matlab程序）曹德欣曹璎珞第一章绪论数值稳定性程序，计算P11 试验题一积分function try_stableglobal nglobal aa=input('a=');N = 20;I0 = log(1+a)-log(a);I = zeros(N,1);I(1) = -a*I0+1;for k = 2:NI(k) = - a*I(k-1)+1/k;endII = zeros(N,1);if a>=N/(N+1)II(N) = (1+2*a)/(2*a*(a+1)*(N+1));elseII(N) =(1/((a+1)*(N+1))+1/N)/2;endfor k = N:-1:2II(k-1) = ( - II(k) +1/k) / a;endIII = zeros(N,1);for k = 1:Nn = k;III(k) = quadl(@f,0,1);endclcfprintf('\n 算法1结果算法2结果精确值') for k = 1:N,fprintf('\nI(%2.0f) %17.7f %17.7f %17.7f',k,I(k),II(k),III(k)) endfunction y = f(x)global nglobal ay = x.^n./(a+x);return第二章非线性方程求解下面均以方程y=x^4+2*x^2-x-3为例：1、二分法function y=erfen(a,b,esp)format longif nargin<3 esp=1.0e-4;endif fun(a)*fun(b)<0n=1;c=(a+b)/2;while c>espif fun(a)*fun(c)<0b=c;c=(a+b)/2;elseif fun(c)*fun(b)<0a=c;c=(a+b)/2;else y=c; esp=10000;endn=n+1;endy=c;elseif fun(a)==0y=a;elseif fun(b)==0y=b;else disp('these,nay not be a root in the intercal')endnfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3;2、牛顿法function y=newton(x0)x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);n=1;while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000)x0=x1;x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);n=n+1;endy=x1nfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3; 3、割线法function y=gexian(x0,x1)x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %根据初始XO 和X1求X2 n=1;while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000) %判断两个条件截止 x0=x1; %将x1赋给x0 x1=x2; %将x2赋给x1 x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %迭代运算 n=n+1; end y=x2 nfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3;第四章题目：推导外推样条公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1232123211223322~~~~~22~n n n n n n n n d d d d M M M Mδμλμλμλδ，并编写程序与Matlab 的Spline 函数结果进行对比，最后调用追赶法解方程组。

数值分析matlab程序

数值分析（matlab程序）曹德欣曹璎珞第一章绪论数值稳定性程序，计算P11 试验题一积分 function try_stable global n global a a=input('a='); N = 20; I0 = log(1+a)-log(a); I = zeros(N,1); I(1) = -a*I0+1; for k = 2:N I(k) = - a*I(k-1)+1/k; end II = zeros(N,1); if a>=N/(N+1) II(N) = (1+2*a)/(2*a*(a+1)*(N+1)); else II(N) =(1/((a+1)*(N+1))+1/N)/2; end for k = N:-1:2 II(k-1) = ( - II(k) +1/k) / a; end III = zeros(N,1); for k = 1:N n = k; III(k) = quadl(@f,0,1); end clc fprintf('\n 算法1结果算法2结果精确值') for k = 1:N, fprintf('\nI(%2.0f) %17.7f %17.7f %17.7f',k,I(k),II(k),III(k)) end function y = f(x) global n global a y = x.^n./(a+x); return 第二章非线性方程求解下面均以方程y=x^4+2*x^2-x-3为例： 1、二分法 function y=erfen(a,b,esp) format long if nargin<3 esp=1.0e-4; end if fun(a)*fun(b)<0 n=1; c=(a+b)/2; while c>esp if fun(a)*fun(c)<0 b=c; c=(a+b)/2; elseif fun(c)*fun(b)<0 a=c; c=(a+b)/2; else y=c; esp=10000; end n=n+1; end y=c; elseif fun(a)==0 y=a; elseif fun(b)==0 y=b; else disp('these,nay not be a root in the intercal') end n function y=fun(x) y=x^4+2*x^2-x-3; 2、牛顿法 function y=newton(x0) x1=x0-fun(x0)/dfun(x0); n=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000) x0=x1; x1=x0-fun(x0)/dfun(x0); n=n+1; end y=x1 n function y=fun(x) y=x^4+2*x^2-x-3; 3、割线法 function y=gexian(x0,x1) x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %根据初始XO和X1求X2 n=1; while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000) %判断两个条件截止 x0=x1; %将x1赋给x0 x1=x2; %将x2赋给x1 x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %迭代运算 n=n+1; end y=x2 n function y=fun(x) y=x^4+2*x^2-x-3;

MATLAB常微分方程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔方法

MATLAB常微分⽅程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔⽅法MATLAB常微分⽅程数值解作者：凯鲁嘎吉 - 博客园1.⼀阶常微分⽅程初值问题2.欧拉法3.改进的欧拉法4.四阶龙格库塔⽅法5.例题⽤欧拉法，改进的欧拉法及4阶经典Runge-Kutta⽅法在不同步长下计算初值问题。

步长分别为0.2,0.4,1.0.matlab程序：function z=f(x,y)z=-y*(1+x*y);function R_K(h)%欧拉法y=1;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K=f(x,y);y=y+h*K;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%改进的欧拉法y=1;fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h,y+h*K1);y=y+(h/2)*(K1+K2);fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%龙格库塔⽅法y=1;fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h/2,y+(h/2)*K1);K3=f(x+h/2,y+(h/2)*K2);K4=f(x+h,y+h*K3);y=y+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);end结果：>> R_K(0.2)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.200000, y=0.800000欧拉法：x=0.400000, y=0.614400欧拉法：x=0.600000, y=0.461321欧拉法：x=0.800000, y=0.343519欧拉法：x=1.000000, y=0.255934改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.200000, y=0.807200改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.636118改进的欧拉法：x=0.600000, y=0.495044改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.383419改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.296974龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.200000, y=0.804636龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631465龙格库塔法：x=0.600000, y=0.489198龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377225龙格库塔法：x=1.000000, y=0.291009>> R_K(0.4)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.400000, y=0.600000欧拉法：x=0.800000, y=0.302400改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.651200改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.405782龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631625龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377556>> R_K(1)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=1.000000, y=0.000000改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.500000龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=1.000000, y=0.303395注意：在步长h为0.4时，要将for i=1:1/h改为for i=1:0.8/h。

拉格朗日插值、牛顿插值的matlab代码

实验五多项式插值逼近信息与计算科学金融崔振威201002034031一、实验目的：拉格朗日插值和牛顿插值的数值实现二、实验内容：p171.1、p178.1、龙格现象数值实现三、实验要求：1、根据所给题目构造相应的插值多项式，2、编程实现两类插值多项式的计算3、试分析多项式插值造成龙格现象的原因主程序1、拉格朗日function [c,l]=lagran(x,y)%c为多项式函数输出的系数%l为矩阵的系数多项式%x为横坐标上的坐标向量%y为纵坐标上的坐标向量w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);for k=1:n+1v=1;for j=1:n+1if k~=jv=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)) %对多项式做卷积运算endendl(k,:)=v;endc=y*l;牛顿插值多项式主程序function [p2,z]=newTon(x,y,t)%输入参数中x,y为元素个数相等的向量%t为插入的定点%p2为所求得的牛顿插值多项式%z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);chaS(1)=y(1);for i=2:nx1=x;y1=y;x1(i+1:n)=[];y1(i+1:n)=[];n1=length(x1);s1=0;for j=1:n1t1=1;for k=1:n1if k==j %如果相等则跳出循环continue;elset1=t1*(x1(j)-x1(k));endends1=s1+y1(j)/t1;endchaS(i)=s1;endb(1,:)=[zeros(1,n-1) chaS(1)];cl=cell(1,n-1); %cell定义了一个矩阵for i=2:nu1=1;for j=1:i-1u1=conv(u1,[1 -x(j)]); %conv()用于多项式乘法、矩阵乘法cl{i-1}=u1;endcl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];endp2=b(1,:);for j=2:np2=p2+b(j,:);endif length(t)==1rm=0;for i=1:nrm=rm+p2(i)*t^(n-i);endz=rm;elsek1=length(t);rm=zeros(1,k1);for j=1:k1for i=1:nrm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);endz=rm;endendplot(t,z,'y',x,y,'*r') %输出牛顿插值多项式的函数图p171.1(a)、f(x)=e x解：在matlab窗口中输入：>> x=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];>> y=[exp(0) exp(0.2) exp(0.4) exp(0.6) exp(0.8) exp(1)]y =1.0000 1.2214 1.4918 1.82212.2255 2.7183>> [c,l]=lagran(x,y)可以得出输出结果为：c =0.0139 0.0349 0.1704 0.4991 1.0001 1.0000l =-26.0417 78.1250 -88.5417 46.8750 -11.4167 1.0000130.2083 -364.5833 369.7917 -160.4167 25.0000 0-260.4167 677.0833 -614.5833 222.9167 -25.0000 0260.4167 -625.0000 510.4167 -162.5000 16.6667 0-130.2083 286.4583 -213.5417 63.5417 -6.2500 026.0417 -52.0833 36.4583 -10.4167 1.0000 0由输出结果可以的出：P(x)的系数分别为：a0=0.0139 a1=0.0349 a2=0.1704 a3=0.4991 a4=1.0001 a5=1.0000(b)、f(x)=sin(x)解：在matlab窗口中输入：>> x=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];>> y=[sin(0) sin(0.2) sin(0.4) sin(0.6) sin(0.8) sin(1)];>> [c,l]=lagran(x,y)可以得出输出结果为：c =0.0073 0.0016 -0.1676 0.0002 1.0000 0l =-26.0417 78.1250 -88.5417 46.8750 -11.4167 1.0000130.2083 -364.5833 369.7917 -160.4167 25.0000 0-260.4167 677.0833 -614.5833 222.9167 -25.0000 0260.4167 -625.0000 510.4167 -162.5000 16.6667 0-130.2083 286.4583 -213.5417 63.5417 -6.2500 026.0417 -52.0833 36.4583 -10.4167 1.0000 0由输出结果可以的出：P(x)的系数分别为：a0=0.0073 a1=0.0016 a2=-0.1676 a3=0.0002 a4=1.0000 a5=0(c)、f(x)=(x+1)x+1解：在matlab窗口中输入：>> x=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];>> y=[1 1.2^1.2 1.4^1.4 1.6^1.6 1.8^1.8 2^2];>> [c,l]=lagran(x,y)可以得出输出结果为：c =0.3945 -0.0717 0.7304 0.9415 1.0052 1.0000l =-26.0417 78.1250 -88.5417 46.8750 -11.4167 1.0000130.2083 -364.5833 369.7917 -160.4167 25.0000 0-260.4167 677.0833 -614.5833 222.9167 -25.0000 0260.4167 -625.0000 510.4167 -162.5000 16.6667 0-130.2083 286.4583 -213.5417 63.5417 -6.2500 026.0417 -52.0833 36.4583 -10.4167 1.0000 0由输出结果可以的出：P(x)的系数分别为：a0=0.3945 a1=-0.0717 a2=0.7304 a3=0.9415 a4=1.0052 a5=1.0000P178.12、a0=5 a1=-2 a2=0.5 a3=-0.1 a4=0.003x0=0 x1=1 x2=2 x3=3 c=2.5解：在matlab窗口中输入：>> x=[5 -2 0.5 -0.1];>> y=[0 1 2 3];>> t=0:0.1:2.5;>> [u,v]=newTon(x,y,t)可得出输出结果：u =0.1896 -0.7843 -1.3928 2.8688v =2.8688 2.7218 2.5603 2.3855 2.1983 2.0000 1.7917 1.5745 1.3497 1.1182 0.8813 0.6401 0.3957 0.1493 -0.0980 -0.3451 -0.5908 -0.8340 -1.0735 -1.3082 -1.5370 -1.7588 -1.9723 -2.1765 -2.3702 -2.5523由此可以求出牛顿多项式为：f(x)=0.1896x^3--0.7843^x2--1.3928x+2.8688输出的图为：结果分析:利用牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与给定的点的值，并通过matlab做出函数图像。

数值积分龙贝格matlab

《数值分析》课程实验报告一、实验目的1、进一步熟悉向量矩阵的运算；2、掌握龙贝格（Romberg ）算法，并能用高级程序语言MATLAB 编写实现此算法的程序；3、进而加深对龙贝格（Romberg ）算法的理解。

二、实验内容1. 使用Romberg 积分，对于计算下列⎰+4802)cos (1dx x 各近似值a.确定1,51,41,31,21,1,,,,R R R R Rb.确定5,54,43,32,2,,,R R R Rc.6,65,64,63,62,61,6,,,,,R R R R R Rd.确定10,109,98,87,7,,,R R R R三、实验步骤1. 编写程序龙贝格积分方法如下：n=5;a=0;b=48;h(1,1)=b-a;fa=sqrt(1+(cos(a))^2);fb=sqrt(1+(cos(b))^2);r(1,1)=h(1,1)/2*(fa+fb);disp('R11，R21，R31，R41，R51分别为');disp(r(1,1));for i=2:nh(i,1)=(b-a)/(2^(i-1));sum=0;for k=1:2^(i-2)x=a+(2*k-1)*h(i,1);sum=sum+sqrt(1+(cos(x)).^2);endr(i,1)=0.5*(r(i-1,1)+h(i-1,1)*sum);disp(r(i,1));enddisp('R22，R33，R44，R55分别为');for k=2:nfor j=2:kr(k,j)=r(k,j-1)+(r(k,j-1)-r(k-1,j-1))/(4^(j-1)-1);enddisp(r(k,k));enddisp('R61，R62，R63，R64，R65，R66分别为');n=6;for i=2:nh(i,1)=(b-a)/(2^(i-1));sum=0;for k=1:2^(i-2)x=a+(2*k-1)*h(i,1);sum=sum+sqrt(1+(cos(x)).^2);endr(i,1)=0.5*(r(i-1,1)+h(i-1,1)*sum);endfor k=2:nfor j=2:kr(k,j)=r(k,j-1)+(r(k,j-1)-r(k-1,j-1))/(4^(j-1)-1);endendfor i=1:ndisp(r(6,i));enddisp('R77，R88，R99，R10,10分别为');n=10;for i=2:nh(i,1)=(b-a)/(2^(i-1));sum=0;for k=1:2^(i-2)x=a+(2*k-1)*h(i,1);sum=sum+sqrt(1+(cos(x)).^2);endr(i,1)=0.5*(r(i-1,1)+h(i-1,1)*sum);endfor k=2:nfor j=2:kr(k,j)=r(k,j-1)+(r(k,j-1)-r(k-1,j-1))/(4^(j-1)-1);endendfor i=7:10disp(r(i,i));end运行结果如下：R11，R21，R31，R41，R51分别为62.437457.288656.443856.263156.2188R22，R33，R44，R55分别为55.572356.201556.205656.2041R61，R62，R63，R64，R65，R66分别为58.362759.077359.268959.317559.329759.3328R77，R88，R99，R10,10分别为58.422158.470758.470558.4705四、实验小结在这次编程中我学到了很多东西，把程序写进软件中也出现了很多错误，细节问题使我们必须注意的，自己有了很多的收获，自己进一步理解和学习了Matlab软件。

matlab迭龙格库塔法解常微分方程

一、介绍迭龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值求解常微分方程（ODE）的常用方法。

它是由卡尔·迭龙格（Carl Runge）和马丁·威尔黑尔姆·库塔（Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的，该方法以两位数值分析家的名字来命名。

二、简单描述迭龙格-库塔法是通过数值逼近的方式，来计算常微分方程的近似解。

它是一种显式求解方法，适用于解非线性常微分方程和具有较大阶数的常微分方程。

三、数学原理迭龙格-库塔法主要是通过将微分方程转化为差分方程，利用数值解的方式来逼近微分方程的解。

它是一种显式方法，通过不断迭代得到下一个时间步的近似解。

四、matlab中的应用在matlab中，可以使用ode45函数来调用迭龙格-库塔法求解常微分方程。

ode45函数是matlab中集成的一个函数，通过调用ode45函数，可以直接求解常微分方程的数值解。

五、实例演示下面通过一个简单的例子来演示如何使用matlab中的ode45函数来求解常微分方程。

我们考虑一个简单的一阶常微分方程：dy/dt = -y初始条件为y(0) = 1。

在matlab中，可以通过以下代码来求解该微分方程：```定义微分方程的函数function dydt = myode(t, y)dydt = -y;调用ode45函数求解[t, y] = ode45(myode, [0, 5], 1);plot(t, y);```运行以上代码，即可得到微分方程的数值解，并通过绘图来展示解的变化。

六、总结迭龙格-库塔法是一种常用的数值解常微分方程的方法，它在matlab中有较为方便的调用方式。

通过ode45函数，可以快速求解常微分方程的数值解，并通过绘图来展示结果。

希望本篇文章对读者有所帮助，谢谢阅读。

七、应用场景和优势在实际应用中，迭龙格-库塔法广泛应用于各种科学和工程领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。

实验二_拉格朗日插值龙格现象

汕头大学实验报告学院: 工学院系: 计算机系专业: 计算机科学与技术年级: 2010 姓名: 林金正学号: 2010101032 完成实验时间: 5月24日一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象二．实验目的：通过matlab 处理,观察拉格朗日插值的龙格现象.三．实验内容：（1）学习matlab 的使用（2）以实验的方式，理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。

四．实验时间、地点，设备：实验时间：5月24日实验地点：宿舍实验设备：笔记本电脑五,实验任务在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数25()1f x x =+进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。

六.实验过程拉格朗日插值函数定义:对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xj 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3] 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

1.使用matlab,新建function.m 文件,使用老师所给代码,构建拉格朗日函数.%lagrange.mfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0;for k=1:nL=1;for j=1:nif j~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;endy;程序解释:(x0,y0):已知点坐标x:所求点的横坐标,y:由(x0,y0)所产生的插值函数,以x 为参数,所的到的值2.再一次新建function.m 文件.构建自定义函数: 25()1f x x=+ %f.mfunction y = f(x)y = 5/(1+x*x);end3.在脚本窗口中输入:>>a = [-10:0.2:10]>>for I = 1:length(a)b(i) = f(a(i))end ;%画出原函数(a,b)>>>>for i = 1:length( c)d(i) = f(c(i))end ;%获取插值坐标(c,d)>>e = [-5:0.2:5]>>z = largange(c,d,e);%获取插值坐标函数(e,z) >>plot(a,b,’r-‘,e,z);%画图过程及插图七:实验所得:这次实验是我初步学会Matlab的使用，学会新建function函数，在matlab命令窗口敲入一些基础的命令，同时更深刻地了解了拉格朗日插值的龙格现象。

MATLAB龙格-库塔法微分方程求解

龙格-库塔方法是一种经典方法，具有很高的精度，它间接的利用了泰勒级数展开，避免了高阶偏导数的计算。

此处以最为经典的四级四阶龙格-库塔方法为例，计算格式如下()()()112341213243226,,22,+22,n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪⎪=⎪⎪⎛⎫=++⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=++⎩1龙格-库塔法解一阶ODE 对于形如()()0, dy f x y a x b dx y a y ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的一阶ODE 初值问题，可以直接套用公式，如今可以借助计算机方便的进行计算，下面给出一个实例()2 0101dy x y x dx y y ⎧=-<≤⎪⎨⎪=⎩取步长h=0.1，此处由数学知识可得该方程的精确解为y =。

在这里利用MATLAB 编程，计算数值解并与精确解相比，代码如下：(1)写出微分方程，便于调用和修改function val = odefun( x,y )val = y-2*x/y;end(2)编写runge-kutta方法的函数代码function y = runge_kutta( h,x0,y0 )k1 = odefun(x0,y0);k2 = odefun(x0+h/2,y0+h/2*k1);k3 = odefun(x0+h/2,y0+h/2*k2);k4 = odefun(x0+h,y0+h*k3);y = y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end(3)编写主函数解微分方程,并观察数值解与精确解的差异clear allh = 0.1;x0 = 0;y0 = 1;x = 0.1:h:1;y(1) = runge_kutta(h,x0,y0);for k=1:length(x)x(k) = x0+k*h;y(k+1) = runge_kutta(h,x(k),y(k));endz = sqrt(1+2*x);plot(x,y,’*’);hold onplot(x,z,'r');结果如下图，数值解与解析解高度一致2龙格-库塔法解高阶ODE对于高阶ODE来说，通用的方法是将高阶方程通过引入新的变量降阶为一阶方程组，此处仍以一个实例进行说明。

数值计算实例MATLAB实现(附带详细源码)

数值计算实例MATLAB实现附带详细源码1.在化学反应中，A 的一个分子和 B 的一个分子结合形成物质 C 的分子。

若在时刻t 时，物质 C 的浓度为() y t ，则其是下述初值问题的解()()() ,00y k a y b y y '=--=其中k 为正常数，a 和 b 分别表示 A 和 B 的初始浓度。

假设k = 0.01, a =70毫摩/升， b = 50 毫摩/升. 该方程的真解为0.20.2350(1)()75t te y t e---=- （1）自己编写程序，使用四阶经典Runge-Kutta （龙格-库塔法），以步长为0.5h =，在区间[0, 20]上给出() y t 的近似解；（2）列表给出真解和近似解的比较；（3）讨论当t →∞时，近似解的变化趋势，并分析该数值结果。

解：数学原理：四阶经典Runge-Kutta （龙格-库塔法）112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)m m m m m m m m m m hu u k k k k k f t u h hk f t u k h hk f t u k k f t h u hk +=++++==++=++=++程序设计见附录结果如下表：（3）近似解变化趋势当t→∞时，由以下极限方程可知：0.20.2350(1)()75lim()tttey tey t--→∞⎧-=-⎪⎨⎪⎩随着t→∞，近似值越来越接近真实值，极限的真实值为50，lim()50ty t→∞=，变化趋势也可由一下曲线图表示：感想：四阶Runge-Kutta法计算的结果精度非常好，其结果与真实解误差不大。

2.考虑定义在闭区间[−5, 5]上的函数()2112()5f x x -=+ ；（1）利用等距节点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式()n p x ，并分别画()()()()481632,,,p x p x p x p x ；（2）利用chebyshev 零点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式()n pp x()()()()481632,,,pp x pp x pp x pp x ；（3）画出当 n = 32 时，两种插值多项式的比较图，误差图，并给出相应的误差估计;（4）在这个问题中能观察到龙格现象吗？解：数学原理：拉格朗日插值多项式：001122()()()()()n n n L x l x y l x y l x y l x y =+++011011()()()()(),0,1,2,()()()()k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x -+-+----==----0()()()nn n in k k k k k j k jj kx x L x l x y y x x ===≠-==-∑∑∏程序设计见附录(1) 利用等距节点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式如下： ()43240.00160.00.0640.60061400p x x x x x ++=++()876542830.00280.00640.02500.02500.00640.00260.000168.001p x x x x x x x x x ++++++=++()1615141312161110987654320.00210.00280.00410.0064 60.01120.02500.09290.09290.02050 0.01120.00640.00410.002.00160180.021.000p x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++=++()3231302928272632252423222120191817160001600018000210002400028000340004100050006400083001120016100250004350092902906029p x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x x .=+++++++++++++++++151413121110987654320600929004350025000161001120008300064000500041000340002800024000210001800016x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .+++++++++++++++（2）利用chebyshev 零点构造次数分别为 n = 4,8,16, 32 的插值多项式如下：()43240.00160.00320.00320.0016x x p x x p x =++++()87654328+0.00190.00320.01080.01080.00320.00196=0.0.0106001pp x x x x x x x x x +++++++()161514131211109168765432=0.0016 0.0017 0.0019 0.00230.00320.00520.01080.0403 1.00000.04030.01080.00520.00320.00230.0019 0.0017 0.0016 pp x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++++()323130292827263225242322212019181700016000160001700017000190002100023000270003200040000520007100108001860040301428pp x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x x =+++++++++++++++++16151413121110987654320142800403001860010800071000520004000320002700023000210001900017000170001600016.x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .x .+++++++++++++++++(3)两种插值多项式的比较误差图如下(a)等距插值误差 (b) chebyshev零点插值误差(4) 等距插值在高次插值中能观察到龙格现象，而chebyshev零点插值观察不到龙格现象。

龙格现象

第1页共2页 -5-4-3-2-1012345-20246810程序（拉格朗日多项式） function[C,L]=lagran(X,Y) w=length(X); n=w-1;L=zeros(w,w); %FormtheLagrangecoe¡Àcientpolynomials for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end end L(k,:)=V; end %determinethecoe¡ÀcientsoftheLagrangeinterpolatingpolynomial C=Y*L;

取a=1进行拉格朗日插值（1）首先在函数取值区间内每隔1位取一个点（程序如下），得到下图 clear clc x0=-5:1:5; y0=5./(1+x0.^2); [C L]=lagran(x0,y0); x=[-5:0.01:5]; y=polyval(C,x); y1=5./(1+x.^2); plot(x,y1,'-r',x,y,'-b') 第2页共2页 -5-4-3-2-1012345-1

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12345（2）其后在函数取值区间内每隔2位取一个点（程序如下），得到下图 clear clc x0=-5:2:5; y0=5./(1+x0.^2); [C L]=lagran(x0,y0); x=[-5:0.01:5]; y=polyval(C,x); y1=5./(1+x.^2); plot(x,y1,'-r',x,y,'-b')

通过实验图像可以得知，函数插值并非次数项越高则拟合程度越高的事实，并且证明了龙格现象。

数值分析龙格现象

1 高次插值 Runge现象
F（x）=1/(1+x^2) -5<=x<=5
syms f x;
f=1/(1+x^2);
N=input('请输入插值节点数N=');
xx=-5:10/N:5;

ff=zeros(1,length(xx));
for i=1:(N+1)
x=xx(i);
ff(i)=eval(f);
end

M = -5:0.01:5;
output = zeros(1,length(M));
n = 1;
for i=2:N+1
for x=-5:0.01:5
if x=xx(i-1)
lx(1)=ff(i-1)*(x-xx(i))/(xx(i-1)-xx(i));
lx(2)=ff(i)*(x-xx(i-1))/(xx(i)-xx(i-1));
output(n) = lx(1)+lx(2);
n = n+1;
end
end
end

ezplot(f,[-5,5])
hold on

A =-5:0.01:5;
plot(A,output,'r');
请输入插值节点数N=16
请输入插值节点数N=8
请输入插值节点数N=2
请输入插值节点数N=1
请输入插值节点数N=4
请输入插值节点数N=32

数值分析matlab程序

数值分析（matlab程序）曹德欣曹璎珞第一章绪论数值稳定性程序，计算P11 试验题一积分function try_stableglobal nglobal aa=input('a=');N = 20;I0 = log(1+a)-log(a);I = zeros(N,1);I(1) = -a*I0+1;for k = 2:NI(k) = - a*I(k-1)+1/k;endII = zeros(N,1);if a>=N/(N+1)II(N) = (1+2*a)/(2*a*(a+1)*(N+1));elseII(N) =(1/((a+1)*(N+1))+1/N)/2;endfor k = N:-1:2II(k-1) = ( - II(k) +1/k) / a;endIII = zeros(N,1);for k = 1:Nn = k;III(k) = quadl(@f,0,1);endclcfprintf('\n 算法1结果算法2结果精确值') for k = 1:N,fprintf('\nI(%2.0f) %17.7f %17.7f %17.7f',k,I(k),II(k),III(k)) endfunction y = f(x)global nglobal ay = x.^n./(a+x);return第二章非线性方程求解下面均以方程y=x^4+2*x^2-x-3为例：1、二分法function y=erfen(a,b,esp)format longif nargin<3 esp=1.0e-4;endif fun(a)*fun(b)<0n=1;c=(a+b)/2;while c>espif fun(a)*fun(c)<0b=c;c=(a+b)/2;elseif fun(c)*fun(b)<0a=c;c=(a+b)/2;else y=c; esp=10000;endn=n+1;endy=c;elseif fun(a)==0y=a;elseif fun(b)==0y=b;else disp('these,nay not be a root in the intercal')endnfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3;2、牛顿法function y=newton(x0)x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);n=1;while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000)x0=x1;x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);n=n+1;endy=x1nfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3; 3、割线法function y=gexian(x0,x1)x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %根据初始XO 和X1求X2 n=1;while (abs(x1-x0)>=1.0e-4) & (n<=100000000) %判断两个条件截止 x0=x1; %将x1赋给x0 x1=x2; %将x2赋给x1 x2=x1-fun(x1)*(x1-x0)/(fun(x1)-fun(x0)); %迭代运算 n=n+1; end y=x2 nfunction y=fun(x)y=x^4+2*x^2-x-3;第四章题目：推导外推样条公式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1232123211223322~~~~~22~n n n n n n n n d d d d M M M Mδμλμλμλδ，并编写程序与Matlab 的Spline 函数结果进行对比，最后调用追赶法解方程组。

一些经典的数值分析(matlab程序)

1、牛顿迭代法此方法一般用来求函数的根，速度比较快，程序比较简单。

文件newton.m 内容如下%n表示迭代次数，ret为返回值function ret=newton(n)format longy=inline('x^3+10*x-20');z=inline('3*x^2+10');x0=1.5;for i=1:na=y(x0);b=z(x0);x1=x0-a/b;x0=x1;endret=x12、复合Simpson求积分很简单的一种求定积分的方法，将求积区间分成很多小的曲边梯形，再累加。

文件mulsimpson.m内容如下%复化simpson求积分%a,b表示区间，n表示区间数function ret=mulsimpson(a,b,n)h=(b-a)/n;detsum=0;for i=1:n-1xk=a+i*h;detsum=detsum+fun(xk);endret=h*(fun(a)+fun(b)+2*detsum)/2;%内建函数function z=fun(x)z=exp(-x*x);3、4阶龙格-库塔法求积分此方法速度较快，编程较方便文件step4Runge.m内容如下%4阶Runge-Kutta 法%a,b为积分区间，N为划分数目，y0为初值，函数由fun定义function ret=step4Runge(a,b,N,y0)format longh=(b-a)/N;n=1;x0=a;for n=1:Nx=x0+h;k1=fun(x0,y0);k2=fun(x0+h/2,y0+h*k1/2);k3=fun(x0+h/2,y0+h*k2/2);k4=fun(x0+h,y0+h*k3);y=y0+h*(k1+2*(k2+k3)+k4)/6;x0=xy0=yend%积分函数定义function z=fun(x,y)z=1+y*y;4、Gauss_Seidel迭代解线性方程相比消元法，编程较为容易文件Gauss_Seidel.m内容如下%此函数演示高斯-赛德尔迭代%a表示系数矩阵，b表示值矩阵，n表示系数矩阵阶数，M表示迭代次数%注意b为列向量function y=Gauss_Seidel(a,b,n,M)format longx0=[0;0;0];for k=1:Mfor i=1:ns=0;t=x0(i);for j=1:nif j~=is=s+a(i,j)*x0(j);endendx0(i)=(b(i)-s)/a(i,i);endendy=x0;5、高斯列主消元法此方法为解线性方程组常用方法，先化简增广矩阵，然后回代求解。

matlab龙格库塔法解微分方程组

matlab龙格库塔法解微分方程组
一、引言
龙格库塔法是数值计算中常用的一种求解微分方程的方法，其具有较高的精度和稳定性。

在MATLAB中，可以使用ode45函数来实现龙格库塔法求解微分方程组。

二、龙格库塔法简介
龙格库塔法是一种常用的数值积分方法，也可用于求解微分方程。

该方法将微分方程转化为一个初值问题，并采用逐步逼近的方式计算出数值解。

三、使用ode45函数求解微分方程组
在MATLAB中，可以使用ode45函数来求解微分方程组。

该函数使用了龙格库塔法进行数值计算，并提供了较高的精度和稳定性。

四、MATLAB代码实现
以下是一个使用ode45函数求解微分方程组的示例代码：
function dydt = myfun(t,y)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = -sin(y(1));
end
[t,y] = ode45(@myfun,[0 10],[0;1]);
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
xlabel('Time')
ylabel('Solution')
legend('y_1','y_2')
五、总结
龙格库塔法是一种常用的数值计算方法，可以用于求解微分方程。

在MATLAB中，可以使用ode45函数来实现龙格库塔法求解微分方程组。

通过以上示例代码，我们可以看到MATLAB提供了较为简单的方式来实现龙格库塔法求解微分方程组，并且具有较高的精度和稳定性。

龙贝格算法matlab程序

龙贝格算法matlab程序一、龙贝格算法简介龙贝格算法是一种数值积分的方法，它可以用来计算函数在给定区间上的定积分。

该算法基于复合梯形公式和复合辛普森公式，通过逐步逼近真实值来得到数值解。

它是一种自适应方法，即在每个子区间上都采用不同的步长以获得更高的精度。

二、龙贝格算法的原理1. 复合梯形公式复合梯形公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用梯形公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。

具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{2}(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。

2. 复合辛普森公式复合辛普森公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用辛普森公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。

具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{6}(f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+(2i)h)+2\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。

3. 龙贝格算法龙贝格算法是通过不断加密网格来逼近真实值的方法。

首先，将整个区间分成若干个小区间，并在每个小区间上应用复合梯形公式求出初始积分值T(0,0)，然后将这些积分值相加得到整个区间上的积分值T(0,1)。

接着，在每个小区间上应用复合辛普森公式求出更精确的积分值T(1,0)，并将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值T(1,1)。

然后，计算两次结果之差E(1,0)=T(1,1)-T(0,1)，如果E(1,0)小于给定误差限，则直接输出T(1,1)作为积分结果；否则，在每个子区间中再次应用复合辛普森公式求出更精确的积分值，并计算两次结果之差，直到满足误差限为止。

数值分析课程设计_多项式插值的振荡现象matlab

数值分析课程设计多项式插值的振荡现象（姓名）（学号）指导教师学院名称专业名称提交日期2012年6月一、问题的提出考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。

显然，Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式增加时，L n (x)是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上的函数21()125f x x =+ 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为21,0,1,2,,i ix i n n=-+=则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x a x x ==+∑其中的a i (x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。

二、实验内容研究以下三个函数在各自区间上运用不同的划分1、21(),[1,1]125f x x x =∈-+2、4(),[5,5]1xh x x x=∈-+ 3、()arctan ,[5,5]g x x x =∈-运用在区间[-p,p]上等距划分（p>0）,节点为2,0,1,2,,i ix p i n n=-+=以x 0,x 1,…,x n 为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式。

运用区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭以x 1,x 2,…,x n+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式，比较其结果。

并分别比较两种划分方法，增加节点数，最大误差的变化。

三、实验结果及分析（一）等距划分对于函数21(),[1,1]125f x x x =∈-+来说，使用等距划分其中绿色点线代表误差，红色划线代表Lagrange插值多项式，蓝色实线代表原函数。

可见对于等距划分来说节点数越多，最大误差越大，可是越靠近中间的误差越少。