19版高考数学一轮复习高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向量的应用练习

高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向量的应用

[解密考纲]立体几何问题是高考的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题和空间夹角的计算等，难度中等．

1．(2018·广东五校诊断)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.

(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；

(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．

解析 (1)∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ． ∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AE . ∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面ACFE .

(2)以O 为原点，OA →，OB →

的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)，F (－1,0，

a )(a >0)，OF →

＝(－1,0，a )．

设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·OB →＝0，

n ·OE →＝0，

即⎩⎨

⎧

3y ＝0，

x ＋2z ＝0，

令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，

由题意得sin 45°＝|cos 〈OF →

，n 〉|＝|OF →

·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22.

∵a >0，∴解得a ＝3.

∴OF →＝(－1,0,3)，BE →

＝(1，－3，2)， ∴cos 〈OF →·BE →

〉＝OF →·BE →|OF →|·|BE →|

＝－1＋610·8＝54.

4

2．(2018·河南郑州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝

π

4

，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平面ABC,2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO .

(1)求证：平面PBAD ⊥平面COD ；

(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值． 解析 (1)证明：∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π

4，

∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π

2，即CO ⊥AB ．

又PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ． 又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PBAD ． 又CO ⊂平面COD ，∴平面PBAD ⊥平面COD ．

(2)以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

设|OA |＝1，则|PO |＝|OB |＝|OC |＝2，|DA |＝1. 则C (2,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,2)，D (0，－1,1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2,0)，BD →

＝(0，－3,1)． 设平面BDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·BC →＝0，

n ·BD →＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2x －2y ＝0，

－3y ＋z ＝0，

令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1,1,3)． 设PD 与平面BDC 所成的角为θ，

则sin θ＝

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n |＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1×0＋－

＋

－

02

＋－2

＋－

2×12＋12＋32＝222

11.

11

3．(2018·湖北武汉调考)如图， 四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.

(1)证明：SD ⊥平面SAB ；

(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．

解析 方法一 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，

则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)， 设S (x ，y ，z )，则x >0，y >0，z >0，

且AS →＝(x －2，y －2，z ，)，BS →＝(x ，y －2，z )．DS →

＝(x －1，y ，z )． 由|AS →|＝|BS →

|，得

x －

2

＋y －

2

＋z 2＝x 2＋y －

2

＋z 2

，得x ＝1，

由|DS →|＝1得y 2＋z 2

＝1，① 由|BS →|＝2得y 2＋z 2

－4y ＋1＝0，②

由①②解得y ＝12，z ＝32，∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1

2，32，

AS →

＝⎝

⎛

⎭⎪⎫－1，－32

，

32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12，32，∴DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，

又AS ∩DS ＝S ，∴SD ⊥平面SAB ．

(2)设平面SBC 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， BS →

＝⎝

⎛⎭

⎪⎫1，－32

，

32，CB →＝(0,2,0)，AB →

＝(－2,0,0)， 由⎩⎪⎨

⎪⎧

m ·BS →＝0，

m ·CB →＝0，

得⎩⎪⎨⎪⎧

a －32

b ＋32

c ＝0，

2b ＝0，

∴可取m ＝(－3，0,2)，

故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为