高中物理竞赛-刚体

速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：不妨设静摩擦力f的方向向左， 则由质心运动定理：
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
27
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
8
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
d
dt
方向:与转向成右手螺旋关系。
v v r
r
at r
an r 2
3
4、刚体的平面（平行）运动 定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些
平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面
（平行）运动。
车轮滚动
木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1B A
2 A 刚体由1→2可分为
1、刚体平面运动的基本动力学方程
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基
点轴的转动。通常选质心为基点。 惯性系
y y
F外
maC（o系，质心运动定理）
C
x M外 J（C系，转动定律）
刚体∥固定平面的截面
质心系，可以 是非惯性系
o
x
若刚体受力均在oxy面内，则有
Fix ma C x
Fiy ma C y 22
矩为0，故角动量守恒：
O
m v l [m( l )2 1 m l2 ]
m v
2
3v
2
12
2l
碰后系统将以
3v
转动。
2l
y
ml
（2）碰后，系统质心位置为
l
yC
m
m0 2
2m
l 4
系统的运动可看作随质心的平动和
绕质心轴的转动。
C vC
m O31
对（杆+小球）系统，合外力为0，故动量守恒：
mv
2mv C
mi ziC m
2、刚体的动量和质心运动定理
质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：
p mvC
F外
maC
——质心运动定理（适用于惯性系）
若F外 0 刚体的动量守恒
12
例3、如图所示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。
均质圆盘 y
令 为质量的面密度，则
R
质心坐标为：
y y
m C vC
x质心系(可以是非惯性系)
rC
刚体
o 惯性系
x
Lo
rC
mvC
LC
刚体对惯性系中某定点的角动量等于质心对该定 点的角动量加上刚体对质心的角动量（证明略）。
26
例、 一均质圆柱，质量m、半径R ，在水平外力
F作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用
线与中心轴线的垂直距离为l，如图。求质心的加
aC F
28
例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触， 求转动状态稳定后两轮的角速度。
10
m1 R1
f
20
m2
设两轮间摩擦力大小为f， 稳定后两轮角速度分别为
R2 1和2 . 由角动量定理，有
f
(1990第7届非物理类
t 0
fR1dt
1 2
m1
R12
(1
10 ) — —（1）
专业大学生物理竞赛)
为质量线密度。 yC
技巧：统一积分变量
ydl
m
Rsin Rd
yC 0
m
2R
14
三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量
1、刚体定轴L转动J的角动或量（动L量矩J）
2、刚体对定轴的转动惯量
若质量分立分布： J miri2
i
若质量连续分布： J r 2dm
m
J取决于刚体的质量及其分布以及转轴的位置。
x
vA vC2 (r)2 2vC
G
7
例2、半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0时刻
开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t>0
时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最
高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。(2001第18届非
物理类专业大学生物理竞赛试题)
质心参考系：圆环上任一点 at R an R 2 R(t )2 R 2t 2
（2）刚体定轴转动的动能定理
Ek
1 J 2
2
A外
1 2
J22
1 2
J12
对非刚体：
A外
A内
1 2
J
2
2 2
1 2
J112
3、刚体的重力势能
一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集 中在质心时所具有的势能一样。 E p mgzC
A外 A非保内 0 机械能守恒
（适用于惯性系）
21
五、刚体平面运动的动力学
2、作用于刚体上的力 （1）作用于刚体上的力
F
C
对刚体，力的三要素： 大小、方向、作用线。
F
F作用，一般
使质心有加速度 使刚体有角加速度（若力过质
心，则无此项）
（2）力偶和力偶矩
力偶——大小相等方向相反的一对力。
力偶矩——力偶对某轴的力矩之和。
23
▲力偶对质心运动无影响。
F
d1 C
d2
F
动惯量为： J JC md 2
m——刚体质量；d——两轴距离。
（2）垂直轴定理：厚度不计的刚体（连续分布、 分立分布均可）对一与它⊥的坐标轴（z轴）的转 动惯量，等于对它平面内另二直角坐标轴的转动 惯量之和：
Jz Jx Jy
17
z
证明：Jz miri2 mi (xi2 yi2)
x
y
y
非均匀圆锥体，
匀质半圆 x 盘：质心
密度=Ay：
o
在x轴上
o 质心在y轴上
（2）若刚体有多条这样的对称轴，质心必位于对
称轴的交点。
y
x、y为其对称轴
如匀质圆柱体:
x o
质心在o点 11
（3）若刚体由若干部分组成，刚体质心与各部 分质心的关系为：
xC
mi xiC m
yC
mi yiC m
zC
（1）刚体定轴转动对轴的角动量定理
dL M外 dt
——微分形式
对z轴的力矩M z
（为r逆时针转
rF sin
至F的夹角
）
z
r
F
M
r
F
t2
L2
M外dt dL L2 L1
角冲量（冲量矩）
t1
L1
对定轴刚体，
t2
M外dt J2 J1 ——积分形式
t1
19
t2
对非刚体， M外dt J22 J11
ri
····C·×r·c ·rmi ·i
o
y
x
（ m mi ）
分量形式：
xC
mi xi
m
yC
mi
m
yi
zC
mi zi
m
9
质量连续分布：
rC
rd m
m
（m dm）
z r
o x
dm ×C rc m
y
分量形式：
xC
xd m
m
yC
ydm m
dm dl,或dS,或dV
zC
zdm m
10
（1）只要质量分布和几何形状有相同的对称轴， 质心必在此对称轴上。
B A
1 1（ 平动） 1 2（转动）
1
4
y
y A
rrB
r
B
刚体∥固定平面的截面
x B——基点（任取）
对刚体上A点：r rB r
o
x r — — A点相对基点B的位矢
dr dt
drB dt
dr dt
v vB
v
v r
— —刚体绕过基点轴的角速度矢量
ห้องสมุดไป่ตู้
v vB r ——平面运动刚体上任一点的速度
· O″ C O′
r xCO r
x
xC
0 （ d r 2） R2 r 2
挖空
d
dd
R / r 2 1
系统可看作虚线圆盘＋剩下部分
13
例4、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆，求其质心。
解：由对称性，xC 0
y
yC
yd m m
思路：先取微元，再积分
C dl
R d y
x
o
任取线段元dl,其质量dm=dl,
初垂始 直时 的杆 速静度止v飞，来有，一与质杆量端与点杆碰相撞同的，小并球粘沿附与于杆杆
端点上，如图所示。
（1）定量分析系统碰撞后的运动状态； ml
（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，
再求碰后系统的运动状态。
(1999第16届非物理类专业大 学生物理竞赛)
O m v 30
ml 解：（1）
对（杆+小球）系统，对O轴合外力
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。