幂函数导学案
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
《幂函数》导学案
y x-3-2-1-3-2-143432121《幂函数》导学案【学习目标】1.了解幂函数的形式，会判断是否是幂函数；2、了解幂函数的图象与性质；3、体会幂函数的变化规律并能进行简单的应用；【课前导学】阅读课本P77～78的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.以上5个函数解析式的共同特征是____________________________________________。
定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.【预习自测】1、判断下列函数哪些是幂函数，其中是幂函数的序号是 ；①1y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。
2、已知幂函数()y f x =的图象过点2)，试求出这个函数的解析式；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究任务：幂函数的图象与性质探究一：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）2y x =；（3）3y x =；（4）12y x =；（5）1y x -=． 从图象分析出幂函数所具有的性质.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性定点探究二：证明幂函数()f x x =∞[0，+）上是增函数。
【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、下列所给的函数中，是幂函数的是（ ） A 、3y x =- B 、3y x -= C 、32y x = D 、31y x =-2、下列命题中正确的是（ ）A 、当0α=时，函数y x α=是一条直线；B 、幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C 、若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D 、幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定4、 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a5、已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，试求出这个函数的解析式；并作出图象，判断奇偶性、单调性。
广东深圳中学高中数学必修一导学案14幂函数
14．幂函数学习目标1．通过实例了解幂函数的概念．能区别幂函数与指数函数．2．通过几个常风幂函数111232a y x α⎧⎫=∈-⎨⎬⎭⎩，，，，，的图象，观察、总结出幂函数的变化情况和性质．3．会求幂函数的定义域，会判断奇偶性、单调性，能利用幂函数的性质比较数的大小． 4．了解幂函数模型的实际应用． 一、夯实基础 基础梳理1．幂函数的概念一般地，函数a y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质(0+∞，}R 0y ≠且3．题型分析（1）幂函数的概念；（2）幂函数的图象；（3）幂函数的性质． 基础达标1．下列函数中是幂函数的是（ ） A ．()21y x =+B．y = C．y D ．2x y =2．下列四个结论中，正确的是（ ）A ．幂函数的图象都通过点()()0011，，，B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数1α=-时，幂函数a y x =是减函数D ．当幂指数α取1、3、12时，幂函数y x α=在相应定义域上都是增函数 3．下列命题不正确的是（ ） A ．幂函数1y x -=是奇函数 B ．幂函数12y x =既不是奇函数也不是偶函数 C ．幂函数2y x =是偶函数D ．幂函数0y x =既是奇函数又是偶函数4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象，已知n 分别取112±，，2四个值，相应与曲线1c 、2c 、3c 、4c 的n 依次为（ ）A ．11122-，，，B ．12112-，，，C ．111222-，，，D ．112122-，，，5．函数()()22231m m f x m m x --=--是幂函数，且在()0x ∈+∞，上是减函数，则实数m =__________．二、学习指引自主探究1．讨论函数25y x =的定义域、值域、奇偶数、单调性，并画出图象的示意图．2．我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各幂函数解析式先化成根式形式．再指出它的定义域和奇偶性，利用描点法（或图形计算器）画出它们的图象．以上函数在在()x∈+∞，上有什么共同特点？(0+∞，以上函数在在()x∈+∞，上有什么共同物点？4．拓展思维函数()()3f x x a b=-+的图象是否是中心对称图形？如果不是，请说明理由，如果是，请从理论上证明，并说明()f x与3y x=的关系．案例分析1．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（1）32y x=；（2）13y x=；（3）23y x=；（4）2y x-=；（5）3y x-=；（6）12y x=．FEDCBA【解析】研究幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质与图象的关系．六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）32y x==[)0+∞，，既不是奇函数也不是偶函数，在[)0+∞，是增函数；（2）13y x ==R ，是奇函数，在[)0+∞，是增函数； （3）23y x ==R ，是偶函数，在[)0+∞，是增函数； （4）221y x x -==，定义域()()00-∞⋃+∞，，，是偶函数，在()0+∞，是减函数； （5）331y x x -==，定义域()()00-∞⋃+∞，，，是奇函数，在()0+∞，是减函数； （6）12y x ==，定义域()0+∞，，是非奇非偶函数，在()0+∞，是减函数． 2．比较下列各组中三个值的大小，并说明理由： （1）1113221.1 1.4 1.1，，；（2）1112440.160.25 6.25--，，． 【解析】利用指数函数或幂函数的单调性比较．（1）考察函数 1.1x y =，因为1.11>，所以它在()0+∞，上是增函数，又113211 1.1 1.123>∴>，； 再考察函数12y x =，因为102>，所以它在()0+∞，上是增函数， 又11111322221.4 1.1 1.4 1.1 1.4 1.1 1.1>∴>∴>>，．（2）1111112224421000.16 6.250.254216⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，11426.25 2.5=， 考察函数12y x =，因为102>，所以它在()0+∞，上是境函数， 1112420.16 6.250.25∴>>．3．已知()()1133312a a ->+，则实数a 的取值范围是__________．【解析】分三种情况讨论：①30120312a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩；②30120312a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩；③30120a a ->⎧⎨+<⎩．解得实数a 的取值范围是()1432⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 三、能力提升 能力闯关1．已知幂函数()223m m y x m --=∈Z 的图象与x y ，轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m =__________．2．249aa y x --=是偶函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是___________ 3．某公司经过市场调查发现，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生的产品全部销售出去．为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产最翻两番，求平均每月生产量的增长率． 拓展迁移1．解决下列问题上：（1）如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．()()113211a a ->- B ．()1log 10a a -+> C ．()()3211a a ->+D ．()111aa +->（2）已知01a b <<<，设a b a b a a b b ，，，中的最大者是M ，最小者是m ，则（ ） A ．a b M a m b ==， B ．b a M b m a ==， C ．b a M a m b ==，D ．a b M b m a ==，2．已知在直角坐标平面上，若()()1122A x y B x y ，，，，则线段AB 的中点M 的坐标为121222x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．那么对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()122f x f x +大小关系是（ ）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．无示确定挑战极限1．（1）已知幂函数()()223mm f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间()0+∞，上是单调减函数．①求函数()f x ：②讨论()()b F x xf x =的奇偶性．（2）已知幂函数()()223*kk f x x k N --=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0+∞，上是减函数，①求函数()f x 的解析式；②若a k >，比较()0.7ln a 与()0.6ln a 的大小．课程小结1．幂函数的图象变化规律是本节课学习的重点．2．当0α>时，y x α=在第一象限内为增函数，具体地说： （1）当01α<<时，图象向下弯曲； （2）当1α>时，图像向上弯曲； （3）当1α>时，图象为直线．3．当0α>时，y x α=在第一象限内为减函数． 4．关于幂指数为有理数幂函数奇偶性，有下列结论： （1）当n 为奇数，m 为奇数是，n my x =为奇函数； （2）当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为偶函数； （3）当n 为偶数，m 为奇数时，n m y x =为非奇非偶函数．5．比较幂指数形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间量来间接比较大小． 想一想试指出幂函数与指数函数的区别？14．幂函数基础达标1．C ．【解析】113244y xx +==，符合幂函数定义要求，其它三个都不符合定义要求．2．D ．3．D ．4．B ．【解析】根据图象的单调性及图象的弯曲特征来判断．5．【解析】2211230m m m m ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，，解得2m =．自主探究1．【解析】函数25y x =是幂函数．（1）要使25y x ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．（2）∵x R ∈，∴20x ≥．∴0y ≥，值域为[0)+∞，（3）∵()()f x f x -=，∴函数25y x =是偶函数；（4）∵205n =>，∴幂函数25y x =在[0)+∞，上单调递增．由于幂函数25y x =是偶函数，所以幂函数25y x =在(0)-∞，上单调递减．（5）其图象如右图所示．2．【解析】先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性可直接利用定义进行判断．在x ∈ 3．【解析】先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合．(0+∞，(0+∞，(0+∞，这些函数图象的共同特点是：都经过点(11)，，且在两坐标轴为渐近线．4．拓展思维【解析】()f x 的图象关于点()a b ，中心对称，下面证明． 在()f x 上任取一点00(())x f x ，，则300()()f x x a b =-+．① 则点00(())x f x ，关于()a b ，的对称点为00(22())a x b f x --，． 又33000(2)[(2)]()f a x a x a b a x b -=--+=-+，由①知300()2()a x b b f x -+=-，代入上式得00(2)2()f a x b f x -=-，这表明点00(22())a x b f x --，在()f x 的图象上，所以()f x 的图象关于点()a b ，中心对称． 3()()f x x a b =-+是由3y x =平称得到，理论证明略．想一想 指数函数中指数是自变量，底数是常数；幂函数中底数是自变量，指数是常数． 拓展迁移1．（1）A ；（2）D ．【解析】（1）考虑指数函数(1)x y a =-，由01a <<，知道函数(1)x y a =-在R 上单调递减，所以1132(1)(1)a a ->-正确，10(1)1(1)a a a +->=-错误．∵11011a a +><-<，，∴1log (1)0a a -+>错误．∵幂函数3y x =及2y x =在(0)+∞，上均单调递增，∴3322(1)111(1)a a -<==<+，故32(1)(1)a a ->+错误． （2）a a b b a a >>；a b b b >；b b b a >．2．A ．【解析】在函数()f x 图象上任取两点1122()()A x y B x y ，，，两点，则线段AB 的中点M 的坐标为1212()()22x xf x f x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过M 点作x 轴垂线，交函数()f x 图象于N 点，则点N 的坐标为121222x x x x f⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．图象的弯曲有三种类型：①直线型，例如一次函数的图象，恒有M N y y =， 即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②向上弯曲型（图象始终在每一点切线上方），例如指数函数()2x f x =的图象，恒有M N y y >，即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； ③向下弯曲型（图象始终在每一点切线下方），例如对数函数2log y x =的图象及本题幂函数45()f x x =在第一象限图象，恒有M N y y >，即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 挑战极限 1．【解析】（1）∵()f x 在(0)+∞，单调递减， ∴2230(3)(1)013m m m m m --<⇒-+<⇒-<< 当02m =，时31()f x x =（不合题意） ②当1m =时41()f x x=（合乎题意） ∴41()f x x =32()a F x bx x =- ①0a ≠且0b ≠F(x)非奇非偶 ②0a ≠且0b =F(x)为偶函数③0a =且0b ≠F(x)为奇函数 ④当0a =且0b =F(x)既是奇函数又是偶函数 （2）①∵幂函数223()()kk f x x k Z --=∈在区间(0)+∞，上是减函数，∴223013k k k --<-<<，，而k Z ∈，∴k 只能取0，1或2， 又幂函数223()()kk f x x k Z --=∈的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，∴1k =，故4()f x x -=；②由①知，1a >当1a e <<时，0ln 1a <<，0.70.6(ln )(ln )a a <；当a e =时，ln 1a =， 0.70.6(ln )(ln )a a =；当a e >时，ln 1a >，0.70.6(ln )(ln )a a >；。
数学知识点人教A版数学必修一2.3《幂函数》导学案-总结
四川省古蔺县中学高中数学必修一 2.3幂函数导学案导学案一、教学目标（本课时应达到的教学要求与应完成的任务）1.理解幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象的变化情况，了解幂函数的性质，培养学生的抽象概括能力和识图能力；2.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察、分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用。
二、教学重难点（明确告知学生重点知识、难点内容等）1.由五个具体的幂函数归纳幂函数的概念；2.画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
三、课时学法指导（学习方法）：在学习过程中注意从特殊到一般地进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。
四、预习案（任务布置+自评、互评+反馈与评价）完成任务情况自评： 学科组长评价： .1.任务布置：（1）小组长组织本小组自习阅读书上77—78页；（2）个人独立完成例题，并总结规律、方法.2.存在问题:五、探究案(教学流程与探究问题)探究一：幂函数的概念问题1：观察下列函数：x y =，21x y =，2x y =，1-=x y ，3x y =，解析式的特点，思考：它们是否为指数函数？问题2：怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数？探究二：幂函数的图象和性质问题1：请在同一直角坐标系内作出函数：x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象，并总结出这五个具体函数的共同性质。
问题2：通过对以上五个函数图象的观察，你能类比得出一般的幂函数αx y =的图象和性质的变化规律吗（定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象分布）？问题3：幂函数αx y =，当),0(+∞∈x 时，1>α与10<<α的图象和性质有何不同？探究三 典例分析例1．已知点)93,33(在幂函数)(x f y =的图象上，求)(x f 的表达式.例2．函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当),0(+∞∈x 时，)(x f 是增函数，求)(x f 的解析式.例3．课本P78.例1六、训练案 课本79页习题2.3第1、2，大聚焦35—36页，小聚焦20页.七、反思与小结1.2.。
幂函数导学案
课题：幂函数【教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．【教学难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．【学习目标】1、理解幂函数的概念，会画函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象.2、了解幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用．【自主学习】1.一般地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.2.幂函数y x α=图象过定点3.幂函数y x α=,当0α>时,图象在第一象限单调递 ;当0α<时,图象在第一象限单调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近. 【自主探究】1. 请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象.2.函数x y =； 23211-【合作探究】1、 根据上表的内容并结合图象，试总结函数x y =； 2x y =； 3x y =；1-=x y ； 21x y =的共同性质.2、例题讲解：例1：已知1222)()(--+=m mx m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数 （2）)(x f 是反比例函数（3）)(x f 是幂函数，且在第一象限内它的图像是上升曲线？变式练习：已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=--为偶函数，且当),0(+∞∈x 时为减函数，求函数)(x f 的解析式例2：讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的增减性。
例3：比较大小： (1) 5.15.1与5.17.1 (2) 211.1-与219.0-(3) 878--与87)91(- (4) 3243)43()32(与【自主评价】1.在下列给出的函数42321(1)(2)2(3)(4)(5) 2.3x y x y x y x y y x===-== 中，幂函数的个数为 A ．1 B 2 C 3 D 4 2．在下列函数中,定义域为R 的是()312. . . 2 . x A y x B y C y D y x -==== 3.幂函数αx y =的图像一定不经过A 第四象限B 第三象限C 第二象限D 第一象限4．221333123111(),(),()252T T T ===若,则（ ）123312231213....A T T T B T T T C T T T D T T T <<<<<<<< 5. 幂函数35[1,1]y x =-在上是（ ）A.增函数且是奇函数B. 增函数且是偶函数C. 减函数且是奇函数D. 减函数且是偶函数 6．如图所示，曲线C 1、C 2、C 3、C 4为幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α 取431234-，，，四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的 解析式中的指数α依次可取（ ）4343.12.2134343443.21.124334A B C D ----，，， ，，， ，，， ，，，7.若幂函数)(x f y =的图像经过点)31,9(，则)25(f 的值为 。
探究式导学案2：2.3幂函数
2.3 幂函数一、三维目标： 知识与技能：(1)理解幂函数概念，会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y = 的图象； (2)结合常见的幂函数图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法：(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力； (2)使学生进一步体会数形结合的思想方法。
情感态度与价值观：(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；(2)了解幂函数图象的变化规律使学生认识到数学美，从而激发学生的学习欲望。
二、学习重、难点：重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
三、学法指导：认真阅读教材，体会幂函数与指数函数的不同，在比较过程中进一步掌握指数函数，学习幂函数，认识和掌握五个具体幂函数的图像和性质。
四、知识链接：1.指数函数定义：2.对数函数定义： 五、学习过程： （一）、问题：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，则她需要付款p (元)与w (千克)的函数关 系式为 ；(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积s 与a 的函数关系式为 ； (3)如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积v 与a 的函数关系式为 ； (4)如果正方形场地的面积为s ，那么这个正方形的边长a 与s 的函数关系式 为 ；(5)如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度v (km/s)与t(s)的函数关系式为 。
思考：若这些函数的自变量用x 来表示,函数值用y 来表示,则函数关系式是怎样的？它们有怎样的特点？（二）、幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。
例1：判断下列函数是否为幂函数？42321(1)(2)2(3)(4)(5) 2.3x y x y x y x y y x===-==探究1：怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数？（三）、请在同一坐标系内作出幂函数x y =，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象。
《幂函数》导学案
2.3《幂函数》导学案（第一课时）【问题1】（1）校学生会干部自主设计印制了一批精美的校园纪念卡，每张一元，高飞同学购买x 张所需费用为y 元，则y 与x 的关系式为：。
(2)正方形边长为x ，面积为y ，则y 与x 的关系式为：---------------------------------------。
(3)正方体棱长为x ，体积为y ，则y 与x 的关系式为：---------------------------------------。
(4)正方形面积为x ，边长为y ，则y 与x 的关系式为：---------------------------------------。
(5)某人x 秒内匀速行驶了1米，其速度y 与x 的关系式为：---------------------------------。
【问题2】以上问题中y 是x 的函数吗？它们与指数函数、对数函数有何异同？它们有何共同特征？【问题3】（1）以下函数是幂函数吗？为什么？① y x =②12y x -=③y xπ-=④43y x = ⑤1y x=⑥1y =⑦2y x =（2）若函数223(33)y m m x =--为幂函数，则m =---------------------。
【问题4】幂函数有何性质？应怎样研究？(1) 同一坐标系下画出121221,,,,y x y x y x y x y x -=====的大致图像。
(2) 小组交流，观察上述函数图像在第一象限有哪些特征？【问题5】（1）能否画出y x α=(α为常数)在第一象限内大致图像？【问题6】幂函数图像只在第一象限吗？其定义域，值域，奇偶性如何分析？(1) 画出4132324,,,y x y x y x y x --====的图像。
(2) 一般的，如何分析n my x =(,m n 为不可约整数)的性质？【问题7】（1）已知幂函数()y f x =图像过点(9,3)，则(25)f =---------------。
高中数学《幂函数》导学案
第9课时幂函数1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积S关于边长a的函数是S=a2,正方形的边长a关于面积S 的函数是a=,圆的面积S关于半径R的函数是S=πR2,正方体的体积V关于棱长a的函数是V=a3.问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x和y表示后分别是y=x2,y=,y=πx2,y=x3 ,其中符合y=xα形式的函数有个,分别是,,.(2)一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(3)幂函数的特点是底数是,指数是,系数是.问题2:观察幂函数y=x2,y=x3,y=x-1,y=x-2的图象,归纳幂函数y=xα(α∈Z)的图象与性质.(1)定义域:当α为正整数时,定义域为R,当α为负整数时,定义域为;(2)奇偶性:当α是奇数时,幂函数为,图象恒过点,;当α是偶数时,幂函数为,图象恒过点、.(3)单调性:当α>0时, 幂函数在(0,+∞)上是,当α<0时, 幂函数在(0,+∞)上是,幂函数在(-∞,0)上的单调性可以根据函数奇偶性判断,奇函数时与(0,+∞)上的单调性,偶函数时与(0,+∞)上的单调性.问题3:观察幂函数y=,y=,y=的图象,归纳幂函数y=xα(α是正分数)的图象与性质.设正分数α=(p,q是互质的正整数,q>1).(1)当p奇q偶时,幂函数定义域为,单调增区间是,单调减区间,图象恒过的点有、.(2)当p偶q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为R,单调增区间是,单调减区间是,图象恒过的点有、、.(3)当p奇q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为R,单调增区间是,单调减区间,图象恒过的点有、、.问题4:观察幂函数y=,y=,y=的图象,归纳幂函数y=x-α(α是正分数)的图象与性质.设正分数α=(p,q是互质的正整数,q>1).(1)当p奇q偶时,幂函数定义域为,单调增区间,单调减区间是,图象恒过的点.(2)当p偶q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为,单调增区间是,单调减区间是,图象恒过的点有、.(3)当p奇q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为,单调增区间不存在,单调减区间是,图象恒过的点有、.1.下列函数中为幂函数的是().A.y=2x2B.y=x2+1C.y=D.y=2x2.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为().A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,33.幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(9)= .4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.(1)y=x-2;(2)y=.幂函数的概念已知y=(m2+2m-2)·+2n-3是幂函数,求m,n的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小:(1)()0.5与()0.5;(2)(-)-1与(-)-1;(3)(与(.幂函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域.(1)y=;(2)y=.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.1.比较(-,(-,(-的大小为().A.(->(->(-B.(->(->(-C.(->(->(-D.(->(->(-2.已知幂函数y=x p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.求下列函数的定义域、值域.①y=x6;②y=;③y=;④y=x-5.1.下列幂函数中①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为().A.2B.3C.4D.52.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是().A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=3.若幂函数y=(m2+3m-17)·的图象不过原点,则m的值为.4.比较下列各组数的大小:(1)1.,1.,1;(2)3.,3.,(-1.8;(3)31.4,51.5.设a=0.40.5,b=0.60.5,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系是().A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b答案第9课时幂函数知识体系梳理问题1:(1)3y=x2y=y=x3(2)y=xα(3)x常数 1问题2:(1)(-∞,0)∪(0,+∞)(2)奇函数(1,1)(-1,-1)偶函数(-1,1)(1,1)(3)增函数减函数相同相反问题3:(1)[0,+∞)[0,+∞)不存在(0,0)(1,1)(2)偶函数[0,+∞)(-∞,0)(-1,1)(0,0)(1,1)(3)奇函数R不存在(-1,-1) (0,0)(1,1)问题4:(1)(0,+∞)不存在(0,+∞)(1,1)(2)偶函数(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)(0,+∞)(-1,1)(1,1)(3)奇函数(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)(-1,-1)(1,1)基础学习交流1.C根据幂函数的定义知,A、B、D均不是幂函数,C中函数化为y=x-2,符合幂函数的定义,故选C.2.A当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数.当α=-1时,y=的定义域是{x|x∈R且x≠0}.当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.3.3设f(x)=xα,由图象过点(4,2),∴有4α=2,∴α=,∴f(x)=,则f(9)==3.4.解:(1)y=x-2=,定义域是{x|x≠0},是偶函数.(2)y==,定义域是R,是偶函数.重点难点探究探究一:【解析】由题意得解得∴m=-3,n=即为所求.【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数α,且α为任意实常数;②底数为自变量;③系数为1.探究二:【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又>,∴()0.5>()0.5.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-<-,∴(-)-1>(-)-1.(3)∵函数y1=()x为减函数,又>,∴(>(,又∵函数y2=在(0,+∞)上是增函数,且>,∴(>(,∴(>(.【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】(1)y==.定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为(0,+∞).(2)y==定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.思维拓展应用应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则⇒m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则⇒m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则⇒m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.应用二:1.A∵y=,>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.∵<<,∴(<(<(.又∵(-=-(,(-=-(,(-=-(, ∴(->(->(-.2.∵幂函数y=x p-3在(0,+∞)上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N*,∴p=1或2.∵幂函数y=x p-3图象关于y轴对称,∴函数y=x p-3为偶函数,∴p=1.∴(a+1<(3-2a.∵y=在R上是增函数,∴a+1<3-2a,∴a<.即a的取值范围为(-∞,).应用三:①y=x6的定义域为R,值域为[0,+∞).②y==的定义域为R,值域为R.③y==的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).④y=x-5=的定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为{y|y∈R且y≠0}.基础智能检测1.B由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.2.B函数y=,y=不是偶函数,故排除A、D;函数y=x-2是偶函数,但其图象不过点(0,0),故排除C;函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选B.3.-6由⇒m=-6.4.解:(1)比较幂1.、1.、1的大小就是比较1.、1.、的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8<<3..(3)它们的底数和指数都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,故31.4<51.5.全新视角拓展C因为y=x0.5在[0, +∞)上为增函数, 且0.4<0.6,所以0.40.5<0.60.5,又y=0.6x在R上为减函数,且0.5>0.3,所以0.60.5<0.60.3,所以a<b<c.。
高中数学 2.3 幂函数导学案 新人教A版必修1
2.3 幂函数班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】你是花季的蓓蕾，你是展翅的雄鹰，明天是你们的世界，一切因你们而光辉【学习目标】1．能熟练利用幂函数的图象和性质解决相关的综合问题.2．结合函数，，，，的图象，了解它们的变化情况.3．通过实例了解幂函数的概念.【学习重点】幂函数的图像和性质【学习难点】幂函数的图像和性质【自主学习】1．幂函数的概念(1)解析式为： (其中为常数).(2)自变量是： .2．常见的五种幂函数的图象与性质__________ __________ __________ __________ __________【预习评价】1．下列函数中不是幂函数的是A. B. C.D.2．幂函数是二次函数，则A.1B.4C.2D.33．已知，，则 .4．幂函数的定义域为，其奇偶性是 .5．幂函数在(0，+∞)上是减函数，则的取值范围是 .知识拓展· 探究案【合作探究】1．幂函数的解析式根据幂函数的解析式，完成下列填空，并明确其具有的三个结构特征：(1)特征1：自变量在位置，且只能是而不能为关于的代数式.(2)特征2：指数位置为，不含变量.(3)特征3：的系数是 .2．幂函数的图象和性质根据幂函数为常数)的解析式及当到不同范围内值时在第一象限的图象的特征，思考下列问题：(1)观察上面的图象，①当时图象都经过定点， .②当时，图象经过定点 .(2)观察上面的幂函数图象，分析幂函数在区间(0，+∞)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，+∞)上为减函数时，满足的条件是什么？3．幂函数的图象和性质幂函数中，令(其中，).讨论，的取值是如何影响函数的奇偶性的？【教师点拨】1．对幂函数解析式的说明(1)定义中所说的形如为常数)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是幂函数.(2)解析式中的指数是常数.2．对幂函数图象与性质的三点说明(1)定点：所有幂函数的图象均过定点(1，1).(2)单调性：当时，在区间(0，+∞)上是增函数；当时，在区间(0，+∞)上是减函数.(3)图象特征：当时在区间(0，+∞)上增加得越来越快；当时在区间(0，+∞)上增加得比较缓慢.【交流展示】1．在 y=1x，y=2x ，y=x2+x ，y=√x53四个函数中，幂函数有A.1个B.2个C.3个D.4个2．已知 y=(m2+2m−2)∙1x m2−1+2n−3 是幂函数，求 m ，n 的值. 3．如图所示的曲线是幂函数 y=xα的第一象限的图象，已知α∈{−4，−14，14，4} ，相应于曲线C1，C2，C3，C4的 α 值依次为A.−4，−14，14，4 B.4，14，−14，−4C.−14，−4，4，14D.4，14，−4，−144．已知幂函数 f(x)=xα的图象过点 P(8，14) ，试求出该函数的定义域、单调区间、奇偶性.5．若 a 12<a−12，则 a 的取值范围是A.a≥1B.a>0C.0<a<1D.0≤a≤16．把(23)−13，(35)12，(25)12，(76)，按从小到大的顺序排列 .【学习小结】1．幂函数的判断方法(1)看形式：判断一个函数是否是幂函数，关键看解析式是否符合为常数)这一结构形式.(2)明特征：幂函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是幂函数. 2．求幂函数解析式的依据及常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法：设幂函数解析式为，根据条件求出.3．幂函数图象的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据的取值，确定幂函数在第一象限内的图象.(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数在其他象限内的图象.4．求幂函数中含参数问题的三个步骤【当堂检测】1．已知函数 y=(m2−3m+3)x m−33为幂函数，求其解析式.2．比较下列各组数中两个数的大小：(1) (25)0.5与 (13)0.5.(2) (−23)−1与 (−35)−1.(3) (23)34与 (34)23.2.3 幂函数详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．(1)y＝x a(2)x2．R R R [0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R [0，＋∞)R [0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增x∈[0，＋∞)增，x∈(－∞，0)减增增x∈(0，＋∞)减，x∈R(－∞，0)减(1，1)【预习评价】1．D2．B3．-14．(0，＋∞)非奇非偶函数5．a＞2知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)底数(2)常数α(3)12．(1)①(0，0) (1，1) ②(1，1)(2)当α＞0时，y＝x a在(0，＋∞)上为增函数.当α＜0时，y ＝x a 在(0，＋∞)上为减函数.3．当p ，q 都为奇数时，幂函数y ＝x a (α为常数)为奇函数；当p 为奇数，q 为偶数时，幂函数y ＝x a (α为常数)为偶函数. 【交流展示】 1．B 2．由题意得{m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n −3=0，解得{m =−3，n =32.所以m ＝－3，n =32.3．B4．因为f(8)＝14，所以8α＝14，即α=−23，所以f (x )＝x−23=√x 23.由√x 23≠0，得x ≠0，所以f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 又因为f (−x )=23=23=f(x)，所以f (x )是偶函数.因为α=−23<0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上是增函数. 故f (x )的单调减区间为(0，＋∞)，增区间务(－∞，0). 5．C6．(25)12<(35)12<(76)0<(23)−13【当堂检测】1．因为y ＝(m 2－3m ＋3)x m−33为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数解析式为y ＝x−23；当m ＝2时，幂函数解析式为y ＝x−13.2．(1)因为幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，所以(25)0.5>(13)0.5. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又−23<−35，所以(−23)−1>(−35)−1.(3)因为函数y 1＝(23)x 力为减函数，又34>23，所以(23)23>(23)34，又因为函数y 2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，所以(34)23>(23)23，所以(34)23>(23)34.。
幂函数导学案
§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x pq是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq的奇偶性与p 的值相对应．解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数；当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．题型三 幂函数的图象如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布． 正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点．主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．(山东高考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 根据幂函数的定义和性质易得x ＝1,3时，定义域为R 且为奇函数． 答案 A1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.2．幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为( ) A ．2 6 B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24. 3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象，不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 答案 B解析 据幂函数的定义，知m 2－3m ＋3＝1， 所以m ＝1，m ＝2.又图象不过原点，所以m 2－m －2≤0，经验证，m ＝1，m ＝2均适合． 4．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B.5．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.6．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四7．把下列各数223，⎝⎛⎭⎫53－13，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫150，⎝⎛⎭⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝⎛⎫－233<⎝⎛⎫53－13<⎝⎛⎫150<⎝⎛⎫3223<223. 8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3. ∴3<a <5.9．在图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．解 对于①y=x-1为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(1)；对于②y=-x3为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(2)；对于③④y=x2+1和y=-x 4都为偶函数，其图象都关于y 轴对称，可画出另一半，如图(3)(4)．10．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是 (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
高中数学《幂函数》导学案
1.幂函数的定义□1一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的区别幂函数□2y＝xα的底数为自变量，指数是常数；指数函数正好相反，指数函数□3y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)．它们的性质如下表．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若y＝mxα是幂函数，则m＝________.(2)(教材改编P79T1)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝ax a是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)1(2)－8(3)(－∞，＋∞)『释疑解难』(1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：(2)幂函数与指数函数的区别探究1 幂函数的定义例1 (1)在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是()A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．解析 (1)幂函数是形如y ＝x α(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．(2)∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．答案 (1)C (2)见解析 拓展提升判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.【跟踪训练1】 (1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；从y ＝1＝x 0(x ≠0)可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究2 幂函数的图象及应用例2 幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x13 ，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 1，C 3，C 2，C 4 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x－12在第一象限内的图象为C 3.答案 D 拓展提升幂函数图象的特征(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大．(2)幂函数y＝xα，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减．(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求其定义域；②判断其奇偶性；③已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图所示，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23＝3x 2，定义域为实数集R . ②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x23的图象，如图所示．根据图象易知，函数y ＝x23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．探究3 幂函数的性质及应用 例3 比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3 34 ，2.4 34；(2)(2) －32，(3)－32；(3)(－0.31) 65，0.3565.解(1)∵y ＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334 <2.434 .(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)－32 >(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31) 65 ＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165 <0.3565 ，即(－0.31) 65 <0.3565.拓展提升比较大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数： (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【跟踪训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎪⎫230.5与⎝⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3.解(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23>35，∴⎝⎛⎭⎪⎫230.5>⎝⎛⎭⎪⎫350.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.例4若(3－2m)12>(m＋1)12，求实数m的取值范围．解因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m≥0，m＋1≥0，3－2m>m＋1，解得－1≤m<23.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.拓展提升利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知幂函数y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．解∵y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x ∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1,1).(2)如果α>0，幂函数图象过原点，在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的增大，图象逐渐靠上.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，故不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a答案A解析a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c<a<b.3．函数y＝x 53的图象大致是图中的()答案 B 解析 ∵函数y ＝x53是奇函数，且α＝53>1，∴函数图象为B.4．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝______.答案 24解析 设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵函数f (x )的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 12 ＝24.5．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．解 ∵幂函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又y ＝x 3m －9的图象关于y 轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m －9是偶数．∴m ＝1. ∴f (x )＝x －6(x ≠0)．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确．2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝x13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2答案 B解析 ∵A ，C 项在(－∞，0)上为增函数；D 项中y ＝x －2＝1x 2在(－∞，0)上也是增函数，故选B.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a <b .又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 >⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c .4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1答案 A解析 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1 或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．5．在同一坐标系内，函数y ＝x α(α≠0)和y ＝αx －1α的图象可能是( )答案 C解析 当α<0时，函数y ＝αx －1α是减函数，且在y 轴上的截距－1α>0，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数，∴A ，D 两项均不正确．对于B ，C 两项，若α>0则y ＝αx －1α是增函数，B 项错误，C 项正确，故选C.二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案 －1解析 由幂函数的定义可知，m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，y ＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝2时，y ＝x －1，在(0，＋∞)上是减函数，不符合题意，所以m ＝－1.7．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________． 答案 －12解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 (3,5) 解析∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 ；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 和⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以3－52 >3.1－52 .(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 ，函数y ＝x78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 .(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ，⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.B 级：能力提升练10．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．解因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。
幂函数导学案
高考要求：了解幂函数的概念、图象及其性质。
【预习目标】对幂函数的定义、图象、性质有初步的了解【预习内容】阅读教材108-109页，思考预习准备中的问题1.幂函数的定义2.试从我们学过的函数中，找出几个幂函数，并画出它们的图象。
3.幂函数的图象（重点把握第一象限的图象）4.幂函数的性质（重点把握第一象限图象的性质）【新课引入】回想我们之前学习过的函数，哪些函数的底数是自变量，指数是常数？这些函数的表达式有什么共同的特征？这类函数表达式的一般形式应如何表示？【新课探究】1、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数思考：①在概念中为什么没有直接写明函数的定义域？②幂函数与指数函数有什么区别？2、图象：（重点考察幂函数在第一象限的图象）在同一个平面直角坐标系中小组合作完成下面几个函数的图象()1y x=()212=()32y x=()53y x-=()41y x=y xy0 x观察图象，你能发现这些图象有什么相同点和不同点？思考产生不同点的原因？总结作幂函数图象的步骤：①② ③ ④3、性质：（重点考察幂函数在第一象限图象的性质） ① ② ③【课堂检测】 1.比较大小33442.3 2.4与 ()1.51.51a a +与 ()()22--2332+2a与 32552255⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与2、求函数32x y =的定义域，判断其奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性及值域。
课后学案1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A 、2y x =B 、32y x =C 、1y x= D 、2x y = 2、下列结论正确的是（ ） A 、幂函数的图象一定过原点B 、当0<α时，幂函数y x α=是减函数C 、当0>α时，幂函数y x α=是增函数D 、函数2y x =既是二次函数，也是幂函数 3、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（ ）A 、3y x =B 、2y x = C 、1y x= D 、32y x =4、已知幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________5、若1133-3(12)x x <+——（），求实数x 的取值范围.。
幂函数导学案
3.3幂函数【探究新知】阅读教材P 89的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）列出5个实例的函数解析式？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？ 答：上述的问题涉及到的函数，都是形如：其中x 是自变量，α是常数. 一．幂函数的定义一般地，函数_________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 【小试牛刀】判断下列函数是否为幂函数.2)6(3)5()4()3(1)2()1(32224-===-===x y x y xy x y x y x y二、幂函数的图象（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =思考1：画出函数的图象的基本步骤？列表y x α=三、幂函数的性质通过观察图象，填P 90探究中的表格.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=图象定义域值域 奇偶性 单调性 公共点oooooyx(1)函数y x =,2y x =,3y x =,12y x =,1y x -=的图象都通过点_____________.(2)函数y x =,3y x =,1y x -=是____(奇或偶)函数，函数2y x =是____(奇或偶)函数。
(3)在区间()0+∞，上, 函数y x =,2y x =,3y x =,12y x =单调递__(增或减),函数1y x -=单调递__(增或减).(4)在第一象限内，函数1y x -=的图象向上与___(x 或y)轴无限接近，向右与___(x 或y) 轴无限接近【巩固提高】例1. 比较下列数的大小:变式：注意：利用幂函数的单调性比较两个数的大小. 练习：比较下列各题中两个值的大小。
33(1) (-1.5) (-1.4)11(2)1.5 1.4--和和例 2.证明幂函数是增函数。
思考2：如何明函数的单调性？【课堂小结】（1）今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？()f x =()()33-3-π与333π与【课堂达标】1.下列命题正确的是（ ）A.当=0α时，函数y x α=的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C.幂函数的图象都过（1，1）D.若幂函数y x α=为奇函数，则它是定义域内的增函数 2.若幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)16，则 (4)f 的值为（ ） A.41 B. 161 C. 321 D. 25613．已知幂函数y kx α=的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则 k α+＝________．4．若()()33132a a +<-，则实数a 的取值范围是________．【作业】课本P 91 练习1、2、3题 (必做) 习题3.3 1 ,3(选做) 课本P 92 探究发现。
幂函数(导学案)
《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
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《幂函数》导学案
[目标展示] （1）掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
[重点难点] 重点：从五个具体幂函数图像中认识幂函数的一些性质
难点：画五个具体幂函数图像并由图像概况其性质，体会图像的
变化和规律。
[课前预习]
1、完成下列问题：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y=_______元。
（2）如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y=______。
（3）如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y=______。
（4）如果正方形的场地面积为x ，那么正方形的边长y=______。
（5）如果某人x 秒骑车行进了1千米，那么他的速度y=______千米/秒。
讨论：根据函数的定义，以上五个式子都是函数表达式，这五个函数表达式有什么共同特征？如果让你给他们起个名字，你将会给他们起个什么名字呢？ 2、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数， 其中 是自变量, 是常数。
3、幂函数的图象:在同一平面直角坐标系中作出幂函数
x y =,2x y =,3x y =,2
1x y =,1-=x y 的图象。
[基础达标]
1. 下列函数中不是幂函数的是( )
A .y ＝ x 2；
B .y ＝x ；
C .y ＝2x ；
D .y ＝x －1．
2. 下列幂函数中（1）1
-=x y （2）2
1x y =（3）x y =（4）2x y =（5）3x y =，其中在定义域内为增函数的有（ ）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. 已知函数f (x )＝x (a －1)
当a ＝ 时，f (x )为正比例函数； 当a ＝ 时，f (x )为反比例函数； 当a ＝ 时，f (x )为二次函数；
[我的疑问]
请将预习过程中未能解决的问题写在下面，准备课堂上与老师和同学们进行讨论交流解决。
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[合作探究]
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？
【探究二】观察函数y=x,y=x 2
,y=x 3
, 2
1x y =, y=x -1的图象，将你发现的结论
写在下表内。
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：y=x,y=x 2
,y=x 3
,
2
1x y =,y=x -1的共同性质。
归纳：幂函数y=x α的性质:
[巩固训练]
1、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1）y=x 4/5 （2）y=x -5/3 （3）y=x -4 2、比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”） (1) 0.33________0.43 (2) 0.5-2________(-0.6)-2
(3) 213__________ 2
14 (4) 0.50.2____________0.20.5
3、下列命题中正确的是( )
A.当n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；
C.若幂函数y ＝x a 的图象关于原点对称，则y ＝x a 在定义域内y 随x 的增大而增大；
D.幂函数的图象不可能在第四象限．
4、已知幂函数y=f(x)的图像过点（2,8），求这个函数的解析式。