第二章控制系统的数学模型青岛科技大学自动化与电子工
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《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件
FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微 分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章 控制系统的数学模型
• 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示 和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述
状态空间描述 方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在 复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与 输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量 为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
第二章控制系统的数学模型自动控制演示文稿复习可编辑全文
其分子等于对应所求的闭环传递函数
的输入信号到输出信号所经过的传递 函数的乘积，并赋以符号，其分母等
若H(s)=1, (s) 1(s)
于1加上开环传函。
退出
2 结构图及其等效变换
控制系统都是由一些元部件组成的，根据不同的功能，可将系 统划分为若干环节（也叫做子系统），每个环节的性能可以用 一个单向相的函数方框来表示，方框中的内容为这个环节的传 递函数。根据系统中信息的传递方向，将各个环节的函数方框 图用信号线依次连接起来，就构成了系统的结构。系统的结构 图实际上是每个元件的功能和信号流向的图解表示。系统的结 构图又称之系统的方框图。
退出
几个基本公式：
c(t) 对控制信号r(t) 的闭环传函记
为 (s) ,即
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H (s)
R(s) (s)
-
G1 ( s)
F (s)
G2 (s)
C(s)
若H(s)=1, (s) G(s)
H (s)
1G(s)
c(t) 对扰动信号 f (t) 的闭环传函记为
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
(n m)
说明： 1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面 的信息。 2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。 3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入 量的大小和性质无关。 4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息 （许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。 5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握 系统的性质。 自动控制系统是由若干个典型环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微 分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环节，延迟环节等。
自动控制原理(第二版)第2章控制系统的数学模型
传递函数
描述线性时不变系统的频率响应特性，是系统分析的重要工 具。
03
CATALOGUE
控制系统的数学模型
传递函数
定义
稳定性
传递函数是描述线性定常系统动态特 性的数学模型，它反映了系统输出与 输入之间的关系。
通过分析传递函数的极点和零点，可 以判断系统的稳定性和动态性能。
形式
传递函数通常表示为有理分式的形式 ，即 G(s) = b0 + b1s + b2s2 + ... + bnsn，其中 s 是复变量，b0, b1, ..., bn 是系统的参数。
闭环控制系统
控制器与被控对象之间既 有正向作用，又有反向联 系。
复合控制系统
同时存在开环和闭环控制 作用。
02
CATALOGUE
线性时不变系统
线性时不变系统的定义
线性
如果系统的输出与输入成 正比，则系统是线性的。
时不变
如果系统的特性不随时间 变化，则系统是时不变的 。
系统
由若干元件按一定方式组 合起来，为实现特定目标 而工作的整体。
状态空间模型
定义
状态空间模型是一种描述系统动态行 为的方法，它包含了系统的状态变量 、输入和输出之间的关系。
线性时不变系统
对于线性时不变系统，状态空间模型 是一个线性方程组，可以通过矩阵运 算进行求解。
离散时间系统模型
定义
离散时间系统模型是描述离散时 间系统的数学模型，它反映了系 统在离散时间点上的状态变化。
频域分析法
将系统的频率特性转化为数学表达式，通过 分析频率响应来评估系统性能。
根轨迹法
通过绘制系统极点的轨迹图，分析系统的稳 定性、快速性和准确性。
描述线性时不变系统的频率响应特性，是系统分析的重要工 具。
03
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控制系统的数学模型
传递函数
定义
稳定性
传递函数是描述线性定常系统动态特 性的数学模型，它反映了系统输出与 输入之间的关系。
通过分析传递函数的极点和零点，可 以判断系统的稳定性和动态性能。
形式
传递函数通常表示为有理分式的形式 ，即 G(s) = b0 + b1s + b2s2 + ... + bnsn，其中 s 是复变量，b0, b1, ..., bn 是系统的参数。
闭环控制系统
控制器与被控对象之间既 有正向作用，又有反向联 系。
复合控制系统
同时存在开环和闭环控制 作用。
02
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线性时不变系统
线性时不变系统的定义
线性
如果系统的输出与输入成 正比，则系统是线性的。
时不变
如果系统的特性不随时间 变化，则系统是时不变的 。
系统
由若干元件按一定方式组 合起来，为实现特定目标 而工作的整体。
状态空间模型
定义
状态空间模型是一种描述系统动态行 为的方法，它包含了系统的状态变量 、输入和输出之间的关系。
线性时不变系统
对于线性时不变系统，状态空间模型 是一个线性方程组，可以通过矩阵运 算进行求解。
离散时间系统模型
定义
离散时间系统模型是描述离散时 间系统的数学模型，它反映了系 统在离散时间点上的状态变化。
频域分析法
将系统的频率特性转化为数学表达式，通过 分析频率响应来评估系统性能。
根轨迹法
通过绘制系统极点的轨迹图，分析系统的稳 定性、快速性和准确性。
第二章自动控制原理控制系统的数学模型【可编辑全文】
此即为RC四端网络的传递函数。
2024年10月28日星期一
第2章第21页共119页
如何不通过微分方程直接求传递函数：
先求复阻抗Ｚ２
Z2
R2
1 C2S
1 R2C2 C2S
R1 Ｕ３ R2
U1
C1
Z２
Z1C2
U2
1 * 1 R2C2
图2-3 RC组成的四端网络
Z1
1
C1S
|| Z2
C1S C2S 1 1 R2C2
一次项，求出它的系数值。
④ 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用
偏差量来表示。
2024年10月28日星期一
第2章第25页共119页
注意： （1）线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位
置有关,工作点不同时,相应的常数也不相同。
（2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的 变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误 差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。
dt 2
dt
整理得表示输入输出关系的微分方程为：
d 2 y dy
m f ky F
dt 2
dt
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第2章第6页共119页
例2-1-3 图2-1-3所示为电阻、电 感、电容串联网络，其中U为输 入电压，求以电容两端电压uc为 输出的微分方程
解：由电压定律得：
u
L
di dt
2024年10月28日星期一
第2章第15页共119页
传递函数的几点性质:
• 传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所有系数均为实数。
• 传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和 参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
第2章自动控制系统的数学模型
整理且标准化
m d 2 y(t) f dy(t) y(t) 1 F (t)
k dt 2 k dt
k
令 T m / k 称为时间常数；
f /(2 mk ) 称为阻尼比；
K 1/ k
称为放大系数。
得
T2
d 2 y(t) dt 2
2T
dy(t) dt
y(t)
KF (t)
例2-4考虑图2-4所示液位控制系统，其中水箱水 位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化 的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确 定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量 的关系方程。
2.1数学模型的建立与定义方法
一、定义 系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内 部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。
二、数学模型的建立 1、方法 (1)解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化
学定律，列出变量间的数学表达式。 (2)实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关
类为连续系统和离散〔时间〕系统、线性 系统和非线性系统、定常系统和时变系统 等。控制系统的数学模型不是惟一的，根 据不同的建模目的可以建立不同的数学模 型，即使对于一样的建模目的也可以建立 不同形式的数学模型，对于工程上常见的 线性定常连续系统，常用的数学模型有微 分方程和传递函数等 .
建立控制系统数学模型的方法有解析法和 实验法两种。解析法也称机理分析法，属于理 论建模的范畴，是通过分析控制系统的工作原 理，利用系统各组成局部所遵循的物理学根本 定律来建立变量之间的关系式。实验法也称实 验辨识法，是通过实验对系统在输入信号作用 下的输出响应数据进展测量，利用模型辨识方 法，来建立反映输入量和输出量之间关系 的数学方程。
第2讲自动控制系统的数学模型-PPT文档资料
a a
，
T
m
J Ra CeCm
，K
u
1
C
e
，
m mJ
二. 微分方程的增量和表示
三. 非线性微分方程的线性化
y
y y
0
y
B
0
A
x0
x0 x
y f dy 0 dt
xx0 (x
)
0
y x dy
y
0 dt
xx0 (x
（2）反电势
ea
负载
ea Ce
-
Ra
（3）电磁力矩
+
Ci M c i M ma
dc m a
（4）轴上动力学方程
-
J ddt MMc
T c T m d d 2 t 2 T m d d t K u U K a m (T ad M dct M c )
L T T R K a
)
0
非线性方程线性化
非线性系统，必须连续可导
小范围内变化，即某个领域
工作点不同，线性比例K值不同
不适用与严重非线性场合，如继电特性
四. 线性系统微分方程的编写
+ ur
运放I
运放II
+ -
u1
反馈联接
+ -
uf
功率
Mc
u2
放大
ua
减速器 负载
+
-
测速发电机
转速自动控制系统原理图
转速控制系统方块图
其中 K1K2K3KuK ； K 1K 2K 3K 4K 5K 0
第二节 传递函数
一. 传递函数的概念
第二章控制系统的数学模型之二 153页PPT文档
动态结构图的组成:
① 信号线：
表示信号输入、输出G 的(s 通)道。箭头代表信号
传递的方向。线上标注信号所对应的变量，信号 传递具有单向性。
② 方 框： 表示对信号进行的数学变换。方框的两侧为
输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、
! 注意量纲
③ 比较点： 比较点亦称综合点/加减点，表示几个信号
+ R1 Cs I2(s)
Uc(s)
可见：一个系统或元件的结构图不是唯一的 。
例4-2 绘出图示双RC网络的结构图。R1 R2
解：绘出网络对应的复频域图，可得：
i1
ic i2
1
ui
C1 u C2
uo
方程1 方程2
I1(s)R1 [Ui(s)U(s)]
Ic(s)I1(s)I2(s)
方程3
U (s) Ic (s) C1s
c
(
s)
1
i
m
(
s)
r (s)
e (s) Ks Us(s)
K Ua(s) a
1 Las Ra
Ia(s)
Cm Mm(s)
c (s)
Eb(s)
系统各元部件的动态结构图(6)
e(s)r(s)c(s)
Us(s)Kse(s)
Ua(sM) (s)KaUs(s11)
m
(
s
Ui(s)
Uo(s)
(2)
方程2 (3)
方程4
(4)
方程1
1 I1(s) (-) 1 U(s)
1
1
Uo(s)
(-) R 1
IC(s) C 1 s
(-) R 2 I2(s) C 2 s
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•一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s), •偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：
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3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/12/10
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•图2.1 RLC无源网络
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
解： 消去中间变量 得到微分方程：
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•例 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入 量为外力F，输出量为位移x。
•4、闭环系统的传递函数： • 闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所 示：
•+ •-
• 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•（一）给定输入作用下的闭环系统：
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
• 1、串联运算法则
•因为
•
•结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环
•节传递函数的乘积。
•
G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s)
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
第二章控制系统的数学 模型青岛科技大学自动
化与电子工
2020/12/10
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•1 线性元件的微分方程
• 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模 型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。 •例:图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。
（a）信号线；
（b）分支点(又叫测量点)；
（c）比较点(又叫求和点)；（d）方块（又叫环节）；
系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来， 它一种对系统的全面描写。
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流
图•[例]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。 •[解]：不能把左图简单地看成两 个RC电路的串联,有负载效应。根 据电路定理，有以下式子：
•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•2 控制系统微分方程的建立 • 例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
•-
•+
•-
•+
• 功率 • 放大器
•负载
•测速发电机
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•[解]：⑴该系统的组成和原理；
•
⑵该系统的输出量是 ，输入量是 ，扰动量是
•令
，则有：
•-
•输出量为：
•上式中，
称为前向通道传递函数，前向通道指从输入
端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘
积称为开环传递函数
。含义是主反馈通道断开时
从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
图•3、反馈运算法则
•前向通道和反馈通道传递函数分别为G(s)、H(s)
•
• • 结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 •的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 •馈通道传递函数的乘积。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•⑶速度控制系统方块图：
•-
•运放 Ⅰ
•运放Ⅱ
•功放
•电动机Biblioteka •测速•⑷各环节微分方程：
•运放Ⅰ：
， 运放Ⅱ：
•功率放大：
，反馈环节：
•电动机环节：
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•⑸消去中间变量：推出
之间的关系：
•显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•F •m
•F •m
• [解]：图1和图2分别为 系统原理结构图和质量 块受力分析图。图中，
•f
m为质量，f为粘性阻尼
系数，k为弹性系数。
•图1
•图2
•根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
•这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•称为环节的传递函数 •性质 •1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 • 有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间 • 的一种关系式。 •2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•5 非线性微分方程的线性化 • 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为 线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理， 即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。 • 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•1、传递函数的定义和性质 •定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输 出量的拉氏变换之比。 •设系统或元件的微分方程为：
•式中：x(t)—输入，y(t) —输出 •为常系数
•将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
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•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利 用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程。
了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求--综合
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•[解]：结构图等效变换如下：
•+ •-
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•+
•-
•②
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
• 编写系统微分方程的步骤：
• 1.确定系统的输入量和输出量； •2.将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出
量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； • 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•设f(x)在
点连续可微，
•则将函数在该点展开为泰勒级
•数，得：
•y •B
•A
•0
•x
•若 很小，则
，即
•式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
•是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
•作点附近展开。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•[例]系统结构图如下，求传递函数
。
•相加点移动
•+ •-
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•3、线性系统的基本特性 •线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有 两重含义。 •叠加性 •均匀性
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•4、线性方程的求解 • 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。 方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏 变换法。 •[拉氏变换求微分方程解的步骤]： •①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 •②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
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3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/12/10
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•图2.1 RLC无源网络
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
解： 消去中间变量 得到微分方程：
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•例 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入 量为外力F，输出量为位移x。
•4、闭环系统的传递函数： • 闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所 示：
•+ •-
• 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•（一）给定输入作用下的闭环系统：
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
• 1、串联运算法则
•因为
•
•结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环
•节传递函数的乘积。
•
G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s)
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化与电子工
2020/12/10
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•1 线性元件的微分方程
• 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模 型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。 •例:图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。
（a）信号线；
（b）分支点(又叫测量点)；
（c）比较点(又叫求和点)；（d）方块（又叫环节）；
系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来， 它一种对系统的全面描写。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流
图•[例]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。 •[解]：不能把左图简单地看成两 个RC电路的串联,有负载效应。根 据电路定理，有以下式子：
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•2 控制系统微分方程的建立 • 例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
•-
•+
•-
•+
• 功率 • 放大器
•负载
•测速发电机
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•[解]：⑴该系统的组成和原理；
•
⑵该系统的输出量是 ，输入量是 ，扰动量是
•令
，则有：
•-
•输出量为：
•上式中，
称为前向通道传递函数，前向通道指从输入
端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘
积称为开环传递函数
。含义是主反馈通道断开时
从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
图•3、反馈运算法则
•前向通道和反馈通道传递函数分别为G(s)、H(s)
•
• • 结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 •的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 •馈通道传递函数的乘积。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•⑶速度控制系统方块图：
•-
•运放 Ⅰ
•运放Ⅱ
•功放
•电动机Biblioteka •测速•⑷各环节微分方程：
•运放Ⅰ：
， 运放Ⅱ：
•功率放大：
，反馈环节：
•电动机环节：
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•⑸消去中间变量：推出
之间的关系：
•显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。
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•F •m
•F •m
• [解]：图1和图2分别为 系统原理结构图和质量 块受力分析图。图中，
•f
m为质量，f为粘性阻尼
系数，k为弹性系数。
•图1
•图2
•根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
•这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•称为环节的传递函数 •性质 •1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 • 有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间 • 的一种关系式。 •2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关
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•5 非线性微分方程的线性化 • 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为 线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理， 即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。 • 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•1、传递函数的定义和性质 •定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输 出量的拉氏变换之比。 •设系统或元件的微分方程为：
•式中：x(t)—输入，y(t) —输出 •为常系数
•将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
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•控制系统的数学模型>>控制系统的复域数学模型
•传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利 用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程。
了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求--综合
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•[解]：结构图等效变换如下：
•+ •-
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•+
•-
•②
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• 编写系统微分方程的步骤：
• 1.确定系统的输入量和输出量； •2.将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出
量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； • 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•设f(x)在
点连续可微，
•则将函数在该点展开为泰勒级
•数，得：
•y •B
•A
•0
•x
•若 很小，则
，即
•式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
•是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
•作点附近展开。
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
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•控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流 图
•[例]系统结构图如下，求传递函数
。
•相加点移动
•+ •-
第二章控制系统的数学模型青岛科技 大学自动化与电子工
•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•3、线性系统的基本特性 •线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有 两重含义。 •叠加性 •均匀性
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•控制系统的数学模型>>控制系统的时域数学模型
•4、线性方程的求解 • 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。 方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏 变换法。 •[拉氏变换求微分方程解的步骤]： •①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 •②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。