(八年级数学)一元二次方程(五)——因式分解法
一元二次方程的第五种解法
←关键步骤
∴ [ax +(ax+b)]2=[ ax -(ax+b)]2+4(-ac)
即 (2ax+b)2= b2-4ac 当b2-4ac≥0时， 2ax+b= b2 4ac
当b2-4ac≥0时，
2ax+b= b2 4ac
2ax= -b b2 4ac
b b2 4ac X=
2a
课时小结
谈一谈，这节课你有什么收获？
1、利用图形解一元二次方程的主要依据 是恒等式：(a+b)2=(a-b)2+4ab
2、利用图形法解一元二次方程可适用于形如 (ax+m)(ax+n)=b (a≠0,b≠0)的一元二次方程
3、“图形法”同样具有一般性，可解任意一道 一元二次方程
4、要自觉培养“发现问题，解决问题”的创新意识。
X+2
小正方形面积： [(x+2)-x]2=4 大正方形的面积：[(x+2)+x]2=4+35x4 X
X+2
X X+2
此图形反映了哪一个恒等式： (a+b)2=(a-b)2+4ab
（这正是利用图形解一元二次方程的依据）
学以致用 例题解析
例1：解方程 (32-2x)(20-2x)=540
解： 原方程可整理为 (x-16)(x-10)=135 ∴ [(x-16)+(x-10)]2= [ (x-16)-(x-10)]2+135x4 即 (2x-26)2=576 (x-13)2=144 x-13=±12 x=13±12 ∴ x1=25 ，x2=1
数学-沪科版-八年级下-第17章 一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
八年级数学下因式分解法解一元二次方程
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 3、因式分解的方法,突出了转化的思想方法——
“降次”, 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解
在实数范围内因式分解 ：
(1) x2 2x 2 (2) 2 y2 8 y 1
小结
1、当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法.
2、因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)令方程右边为0; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,化为两个一元一
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 13 x 9 ? 3x2 8x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6)
解x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1)
解4x2
12 x
9
0得x1
3 2
,
x2
3 2
;而4 x 2
12 x
9
4( x
3 )( x 2
3) 2
解3x2
7x
4
0得x1
4 3
,
x2
1;
而3 x2 7 x 4 3( x 4 )( x 1) 3
看 出 了 点 什 么? 有 没 有 规 律?
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
八年级数学一元二次方程的解法
２） x2=x 解：x2-x=0
x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0
∴ x1=0 x2=1
２) x2=x 解：把方程两边同除x,
得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
作业： Ｐ46 5
；/ 杏耀代理 ；
一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
《用因式分解法解一元二次方程》
与其他解法对比分析
01
02
03
直接开平方法
相较于直接开平方法，因 式分解法适用范围更广， 可以解决更多类型的一元 二次方程。
公式法
虽然公式法具有通用性， 但在某些情况下，使用因 式分解法可以更加简便快 捷地解决问题。
配方法
配方法与因式分解法具有 相似之处，但在处理复杂 问题时，因式分解法更具 优势。
用因式分解法解一元二次方
03
程步骤
将方程化为标准形式
移项
将方程中的所有项移到等号同一边，使另一边为0 。
化简
合并同类项，将方程化为ax²+bx+c=0的标准形 式。
进行因式分解
找公因式
观察方程中各项系数和字母部分 ，找出公因式。
提取公因式
将公因式提取出来，使方程变为两 个一次多项式的乘积等于0的形式 。
数学基础
一元二次方程是初中数学的重要内容之一，也是高中数学 和大学数学的基础。因此，掌握一元二次方程的求解方法 对于打好数学基础具有重要意义。
思维训练
通过学习和掌握一元二次方程的求解方法，可以培养学生 的逻辑思维能力、推理能力和解决问题的能力，对于学生 的全面发展具有重要意义。
02
因式分解法原理
多项式乘法逆过程
因式分解方法选择不当
针对不同的一元二次方程，要选择合 适的因式分解方法（如提公因式法、 公式法等），以提高解题效率。
忘记验根步骤
未将解代入原方程验根
在解得一元二次方程的解后，应将解代入原方程进行验根，以确保解的正确性 。
忽视解的取值范围
对于实际问题中的一元二次方程，要注意解的取值范围是否符合题意，避免得 出无意义的解。
八年级数学下册一元二次方程的解法——因式分解法
解下列方程：
1、x 2x 1 0； 2 2、x 4x； 3、x 3 x x 3 0； 2 2 4、 2x 1 x 0
完成书P92练习：1，2，3
练一练
2用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）（x-1）=0 （2）(2y+1)(y-3)=0 (3)x2-3x=0 (4)3x2=x (5)2(x-1)+x(x-1)=0 (6)4x(2x-1)=3(2x-1)
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
3 A.只有一个根x= 4
B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2=
3 4
D.有两个根x1=0,x2=-
3 4
典型例题
3.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ） A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0Biblioteka 1、式子ab=0说明了什么？
a 0或b 0
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 因式分解法 （第5课时）
1、你能用其它方法解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么 样的条件 ？ （1）方程的一边为0 （2）另一边能分解成两个一次因式的积
，x2=2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
一元二次方程的解法5-因式分解法
P42
T5
解得
x1 1 , x2 3 . 5 2
（3）（35-2x)² -900=0 解 （3）原方程可化为（35-2X）² -30² =0 把方程左边因式分解，得
(35-2X+30)(35-2X-30)=0
因此得 65-2X=0或 5-2X=0
解得 x1=32.5 ，x2= 2.5.
小提示
从例1至例4看到，解一元二次方程的 基本方法之一是因式分解法，即通过移项 使方程右边为0，然后把左边分解成两个 一次因式的乘积，从而转化成一元一次方 程，进行求解．
.
移项，得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0. ∴(x+2)(x-3)=0, ∴ x+2=0 或 x-3=0. ∴ x1=-2，x2=3.
中考 试题
2
3 方程 x -4x = 0 的解是 x1=0，x2=-2，x3=2 .
解
原方程变形为x(x2-4)=0, 即 x(x+2)(x-2)=0, ∴ x=0 或 x+2=0或x-2=0， ∴ x1=0，x2=-2，x3=2.
（1） x(x-5)=3x 解:
原方程可以写成 x(x-5)-3x = 0.
把方程左边因式分解，得 x(x-5-3)= 0. 由此得出 x =0 或 x-5-3 = 0. 解得 x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x(5x-1)=3(5x-1) 解: 原方程可以写成 2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得 (5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出 5x-1 = 0 或 2x-3 = 0.
2
2.解下列方程：
（1）2x(x-1)= 1-x；
（2）5x(x+2) = 4x+8.
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
一元二次方程的解法(分解因式)
————————因式分解法
【跟踪训练】
1.你能用因式分解法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
【解析】(x+2)(x2)=0, ∴x+2=0或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
(2)(x+1) 2-25=0.
【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
2x 14x -3 0,
2 x 1 0或4 x 3 0.
1 3 x1 , x2 . 2 4
【例题】
【例2】一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 【解析】设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x7=0. 7 x1 0, x2 . 2
（） 1 4 x 1 (5 x 7) 0
（2） 3x x 1 2 2 x
（ 3） (2 x 3) 2 4(2 x 3)
（ 4） 2( x 3) 2 x 2 9
（ 5） 5( x 2 x ) 3( x 2 x)
（6） ( x 2) 2 x 3
(1)化方程为一般形式.
(2)将方程左边因式分解.
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次
方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降 次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
【跟踪训练】 用因式分解法解下列方程
1.x 2 (5 2) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，解一元二次方程是数学学习的重要内容之一。
解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中的五种解法。
第一种解法是因式分解法。
对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就是x=-b1/a1和x=-b2/a2。
这种方法适用于方程具有特殊形式的情况，例如完全平方和差的形式。
第二种解法是配方法。
对于一般形式的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体做法是将方程的常数项c分解为两个数的乘积，使得一元二次方程可以写成(x+p)^2=q的形式，然后通过开方得到方程的解。
这种方法适用于方程的系数较为复杂的情况。
第三种解法是求根公式法。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别是方程的系数。
通过代入系数的值，可以得到方程的解。
这种方法是一元二次方程求解的基本方法，适用于一般情况。
第四种解法是图像法。
一元二次方程的解对应于抛物线的顶点和交点。
通过绘制方程对应的抛物线，并观察抛物线与x轴的交点和顶点的坐标，可以得到方程的解。
这种方法可以直观地理解方程的解的性质，并可以通过图像来验证解的正确性。
第五种解法是因式分解与配方法的结合。
对于一元二次方程，如果既可以进行因式分解，又可以进行配方法，那么可以结合两种方法来求解方程。
具体做法是先进行因式分解，然后再进行配方法，最终得到方程的解。
这种方法可以利用因式分解和配方法的优势，适用于复杂方程的求解。
解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法、图像法和因式分解与配方法的结合。
不同的方法适用于不同的方程形式和解的要求。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的解法，来求解一元二次方程。
掌握这些解法，有助于提高数学问题的解决能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。
八年级上册分解因式
八年级上册分解因式
在八年级上册，分解因式是一个重要的数学概念。
在这个阶段，你将开始学习如何将多项式进行因式分解。
下面是一些常见的分解因式的方法和示例：
1.公因式提取法：
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时，可以使用公因式提取法来分解因式。
例如：
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2：2(x+2)。
将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2：3x(x+2)。
2.二次因式分解法：
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时，可以使用二次因式分解法来分解因式。
例如：
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积：(x+2)(x+3)。
将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积：(x5)(x+1)。
3.特殊因式分解法：
在特定情况下，我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。
例如：
将差平方公式应用于多项式x^24：(x2)(x+2)。
将平方差公式应用于多项式x^2y^2：(xy)(x+y)。
这些是分解因式的一些常见方法。
在八年级上册，你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。
记住，在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律，以便找到
正确的分解因式的方法。
一元二次方程解法——分解因式法
§2．4 分解因式法课时安排1课时从容说课分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．第七课时课题§2．4 分解因式法教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教具准备投影片五张．第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A)第二张：引例(记作投影片§2．4 B)第三张；议一议(记作投影片§2．4C)第四张：例题(记作投影片§2．4 D)第五张：想一想(记作投影片§2．4 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．[生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法?[师]可以呀．[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即解：x2-4＝0，移项，得x2＝4．两边同时开平方，得x＝±2．∴x1＝2，x2=-2．[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即解：这里a＝1，b＝-3，c＝1．b2-4ac＝(-3)2-4×1×1＝5>0，∴x=253±∴x1=253+，x2=253-[师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢? [生乙]我觉得配方法不如公式法简便．[师]同学们的意见呢?[生齐声]同意乙同学的意见．[师]很好，继续．[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即解：移项，得(x+1)2＝25．两边同时开平方，得x+1＝±5，即x+1＝5，x+1＝-5．∴x1=4，x2=-6[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即解：这里a ＝20，b ＝23，c ＝-7，b 2-4ac ＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x ＝403323202108923±-=⨯±-. ∴x 1=41 x 2=-57. [师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a 、b 、c 的值；其次，通常应先计算b 2-4ac 的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．Ⅱ．讲授新课[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?[师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．[生甲]解这个题时，我先设这个数为x ，根据题意，可得方程x 2=3x ．然后我用公式法来求解的．解：由方程x 2＝3x ，得x 2-3x=0．这里a=1，b=-3，c ＝0.b 2-4ac ＝(-3)2-4×1×0＝9>0．所以x=293± 即x 1=3，x 2＝0．因此这个数是0或3．[生乙]我也设这个数为x ，同样列出方程x 2＝3x ．解：把方程两边同时约去x ，得x ＝3．所以这个数应该是3．[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x ，这时可把x 提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零， 这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x 2-3x ＝0，x(x-3)＝0，于是x ＝0，x-3＝0．∴x 1=0，x 2=3因此这个数是0或3．[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?[生齐声]行．[师]丁同学应用的是：如果a ×b ＝0，那么a=0，b ＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a ×b ＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x ＝0和x-3＝0也能同时成立吗?[生齐声]不行．……[师]那该如何表示呢?[师]好，这时我们可这样表示：如果a ×b=0，那么a ＝0或b ＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x-3)＝0得到x ＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x 2＝3x 的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a ×b ＝0，则a=0或b ＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0． 接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：(1)5x 2=4x ；(2)x-2＝x(x-2)．[师]同学们能独自做出来吗?[生]能．[师]好，开始．[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．解：原方程可变形为5x 2-4x ＝0，x(5x-4)=0，x ＝0或5x-4＝0．∴x 1=0，x 2=54． [生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x 1＝2，x 2=1．[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)你能用分解因式法解方程x 2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?[生丁]方程x 2-4=0的右边是0，左边x 2-4可分解因式，即x 2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x 2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x 2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x 1=-2，x 2=2．[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x 1=-6，x 2=4．[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主． 好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．Ⅲ．课堂练习(一)课本P 61随堂练习 1、21．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。
一元二次方程(因式分解法)
一元二次方程（因式分解法）【知识要点】1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x（7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________. 例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2．例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x【经典练习】填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
2、（1）方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程和 求解。
一元二次方程的解法因式分解法
展示内容
探究案1 探究案2 归纳
展示与点评
展示小组 点评小组
G9
G1
G7
G4
G5
要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分 层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示 同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
典例精析
可以试用
例1： 解下列方程：
多种方法解
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展示与点评
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G9 G7 G5
要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分 层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示 同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
21.2.3 因式分解法
一、情景引入 二、合作探究
探究点一 因式分解法解一元二 次方程
提出 问题
知识 要点典例 精析 Nhomakorabea巩固 训练
三、课堂小结 四、课后作业
探究点二 选择适当的方法解一元
二次方程
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相 乘法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
解：x2 100 x 0
解：4.9x2 10x 0
49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
a = 4.9，b =－10，c = 0
一元二次次方程 因式分解法
一元二次次方程因式分解法一元二次方程因式分解法是解决一元二次方程的一种常用方法。
在这种方法中，我们将一元二次方程转化为一个或多个因式的乘积，从而得到方程的解。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
我们可以通过因式分解法将其转化为(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式，其中m、n、p为实数。
我们需要找到一对数m和n，使得它们的和等于b/a，而它们的积等于c/a。
这个过程可以通过试错法或配方法来完成。
例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以将6分解为2×3或者1×6，然后找到一对数，使得它们的和等于5。
显然，这对数是2和3，因为2+3=5。
因此，我们可以将方程转化为(x+2)·(x+3)=0的形式。
接下来，我们需要解出方程中每个因式的根。
对于(a·x+m)·(n·x+p)=0的形式，我们可以得到x=-m/a和x=-p/n两个根。
因此，对于(x+2)·(x+3)=0的方程，我们可以得到x=-2和x=-3两个根。
我们需要检验解是否正确。
我们可以将每个根代入原方程中，看是否满足方程的等式。
例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以将x=-2代入原方程中，得到(-2)²+5(-2)+6=0，这个等式成立。
同样地，我们可以将x=-3代入原方程中，得到(-3)²+5(-3)+6=0，这个等式也成立。
因此，我们得到的解是正确的。
一元二次方程因式分解法是一种简单而有效的解方程的方法。
通过将方程转化为因式的乘积，我们可以更容易地求出方程的根，并且可以通过检验解的方法来验证解的正确性。
一元二次方程五大解法
一元二次方程五大解法
1、直接开平方法。
对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。
2、配方法。
在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。
3、公式法。
公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。
用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。
4、因式分解法。
因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节。
5、图像解法。
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。
当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。
当△=0时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）。
当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。
一元二次方程的判别式。
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。
①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。
②当△=0时，方程有两个相等的实数根。
③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
1.2一元二次方程解法(5)(因式分解法)
练习：用因式分解法解下列方程：
（1） (x ＋ 3) 2 －7 ＝0
（2） 9t 2 －(t －1) 2 ＝0 • （3）(x－2) 2－9(x＋1) 2＝0
（4）(2x－1) 2＝(3x＋2) 2 •
15
4
活动三
用因式分解法解下列方程
• （1）4x(2x－1)＝3(1－2x) • • (2) (3x＋2) 2－2x2 ＝0 • • (3) x2 ＋5 ＝2 x • • （4）x2 ＋3x ＋2 ＝0
5
拓展提升
1
1、已知关于x的一元二次方程a x2 + bx + 4＝0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实 数a,b的值：a＝ ,b ＝
2、已知（x2 +y2）(x2－1 + y2 ) －12 ＝0求x2 +y2的值来自• 这节课你有什么收获
初中数学 八年级（上册）
1.2一元二次方程解法（5） （因式分解法）
情境创设
如何解方程 x 2 x 0
情境创设
某同学在解一元二次方程 x2 4 0
发现，方程左边可以用平方差公式，因式分解为
(x 2)(x 2) 0 ，根据两数乘为0的情况可得
x 2 0 或 x 2 0 ，也能得到 x 2
练习：用因式分解法解下列方程：
（1） x2 －3x＝0 （2） 3 x2 ＝x (3) 2(x －1) ＋x(1 －x) ＝0
( 4 ) 4a(2a－1)＝3(2a－1)
活动二
用因式分解法解下列方程：
（1） x 12 9 0
（2）(2x－1) 2－x2＝0 ( 3 ) (2x－1) 2－(x－3) 2＝0 ( 4 ) (4y－1) 2－5＝0
一元二次方程的解法——因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法学习目标：一、理解因式分解求解一元二次方程的方法在于降次，转化为一元一次方程求解；二、掌握用因式分解求解一元二次方程的四种类型1、平方差公式因式分解。
2、提取公因式因式分解；3、完全平方公式因式分解；4十字相乘法因式分解重点：会进行因式分解来解方程。
难点：完全平方公式因式分解、十字相乘法因式分解学习过程：一、复习引入：（一）、什么是因式分解：（二）因式分解的方法：1、提取公因式法：ma mb mc ++= 。
因式分解（1）、23x x -= ，（2）、(2)2xxx -+-= 。
2、公式法： 22x y -= ；222x xy y ++= ，222x xy y -+= ；因式分解：（1）、29x -= ，（2）、241x -= ；（3）、22(4)(52)x x ---= = ；（4）、269x x ++= ，（5）、2363x x -+= 。
3、十字相乘法：2()x p q x pq +++= 。
因式分解：232x x ++= ，256x x --= 。
二、新课内容。
在解一元二次方程23x x -=0时，左边可以因式分解，将方程变为(3)0x x -=于是得 =0或 =0，所以有 。
思考，上面的二次方程是如何变成我们以前学习的一次方程的？象上面利用因式分解实现降次求解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
因式分解求解一元二次方程的条件：1、方程一边是两个式子的乘积形式；2、方程另一边为0。
三、例题和练习例1、解下列方程：（1）(2)20x x x -+-= （2）、221352244x x x x --=-+练习1、解下列方程（1）、20x x += （2）、20x -=（3）、264y = （4）、241210x -=（5）、22(4)(52)x x -=- （6）、3(21)42x x x +=+例2、解下列方程：1、2363x x -=-2、228x x -=练习2、（1）、231212x x -=-（2）、(2)10x x ++=（3）、(3)(1)5x x +-=（4）、(3)18x x +=（5）、24210x x --=（6）、24912x x +=B 组练习，解下列方程1、22(1)3(1)x x -=-2、2(2)4x x x -=-3、2(1)4(1)40x x ---+=4、242436y y -=-5、若代数式233x x -的值与2(1)x -的值互为相反数，求x 的值？6、x 为何值时，代数式239x x +-的值与52x -的值相等？C 组：1、已知代数式242x x +-的值为3，求代数式2285x x +-的值.2、已知2215500(0)x xy y y -+=≠，求x y 的值。
一元二次方程(5)因式分解法
第21章一元二次方程（5）——因式分解法学习目标：2、准确使用直接开平方法解一元二次方程； 学习过程：1.复习：把下列多项式因式分解： （1）22x x； （2）264x ；（3）245x x ； （4）269y y .2.写出下列一元二次方程的解。
（1）x(x-2)=0__________________;(2)(x+8)(x-8)=0________________________. (3)(x-5)(x+1)=0_________________;(4)(y-3)2=0___________________________. 3．通过上面的练习，归纳求下列一元二次方程的解的步骤。
（1）(2)0x x（2）2640x解： =0 或 =0 解：（ ）（ ）=0∴1x = ，或2x = 。
∴ =0 或 =0 ∴1x = ，或2x = 。
（3） 2450x x （4）2690y y解：（ ）（ ）＝0 解：（ ）（ ）=0∴ =0 或 =0 ∴ =0 或 =0 ∴1x = ，或2x = 。
∴ 1x = ，或2x = 。
4．阅读书P13归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式，再使_________________，从而实现 ，这种解法叫做__________________。
（2）如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。
环节二：师生探究·合作交流例1：运用因式分解法解一元二次方程(1)(8)0x x -= （2）10x-4.9x 2=0(3)x(x+2)+x+2=0(4)2(x+2)2=3(x+2)例2：运用因式分解法解一元二次方程（1）x2-49=0 (2)4x2-121=0(3)(x-4)2=(5-2x)2 (4)5x2-2x+3-=x2-2x+4例3：运用因式分解法解一元二次方程（1）x2+6x+9=0 (2)4x2-4x+1=0 (3)3x2-6x=-3(4)x2-5x+6=0 (5)3x2-5x-2=0环节三：反馈练习1、用因式分解法解方程：x x（1）(3)(1)0x x（2）230解：由原方程得： 解：( ) ( )⨯=0 =0 或 =0 ∴ =0 或 =0 ∴1x = ，2x = ∴1x = ，2x = （3）(41)(57)0x x -+= （4）2460x x（5） 2x = （6）2300x x解：（7）(2)20x x x -+-= （8）(2x-1)2=(3-x)2环节四：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程右边化为（2）将方程左边分解成两个一次因式的（3）令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解课外作业：1．方程(3)0x x +=的根是 ;2．方程22(1)1x x +=+的根是__________ 3．方程2x(x-2)=3（x-2）的解是_________4．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ）A ．-1，2B ．1，-2C ．0，-1，2D ．0，1，25．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A ．（x+5）（x-7）=0 B ．（x-5）（x+7）=0 C ．（x+5）（x+7）=0 D ．（x-5）（x-7）=0 6．解下列方程： （1）2(1)3(1)0x x （2）5242x x x（3）29 2 (3)x x （4）2(3)3(3)0y y y2．试用两种方法解方程：（1）29000x ． （2）x 2-4x+1=03、用因式分解法解方程： （1） 26916x x x （2）5(27)3(27)x x x（3）23 (49) 2 (23)xx （4）3(1)22x x x。
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（八年级数学）一元二次方程（五）——因式分解法
第 周 星期 班别_______ 姓名_________ 学号_____
一、学习目标：
能正确运用因式分解法解一元二次方程。
二、复习回顾：
1、一元二次方程的一般形式：
2、因式分解：x 2-5x=_______；
2x （x-3）-5（x-3）= ______．
2、解方程：①2160y -= ②022=-x x
三、新课学习：
1、预备知识：若0=ab ，则 。
2、解方程：
①0652=--x x
解：方程左边分解因式，得：( ) ( )⨯=0
∴ =0 ，或 =0
原方程的解：1x = ，2x =
②23x x =
解：移项，得： （目的使等号的右边为0）
方程左边分解因式，得：( )x =0
∴ =0 ，或 =0
原方程的解：1x = ，2x =
2、小结：因式分解法解方程的步骤：
①将方程右边化为0；
②把方程左边的式子因式分解；
③使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解所得的两个一元一次方程；
四、课堂训练： A 组
1、解方程：232x x =-
解：移项，得： （目的使等号的右边为0） 方程左边分解因式，得：( ) ( )⨯=0
∴ =0 ，或 =0
原方程的解：1x = ，2x =
2、用适当的方法解方程：
（1）2640x -= （2）2450x -=
（3）234x x = （4）268y y =
（5）0)3(5)3(2=---x x x （6）2(31)1x -=
（7）2760x x -+= （8）2(23)250x +-=
（9）(1)3(1)0x x x -+-= （10） 2(32)60x x x --=
（11） 0432=--x x （12）2341x x =-
（13） 5)4(=+x x （14）604)3(+=-y y y
B 组
1、下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）。
A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7
B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=
25 ，x 2=35
C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2
D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1
2、下列命题中，正确的命题有（ ）。
①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；
②x=1与方程x 2=1是同解方程；
③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；
④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3、如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）。
A．-1
2
B．-1 C．
1
2
D．1
4、方程（2x-1）2=2x-1的根是________。
5、二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为；
如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是。
6、已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值。
C组：
7、今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长a m，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）。