点击直线与圆相切
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式当直线与圆相切时，直线的方程和圆的方程存在以下几个关系：1.直线与圆的切点在直线上。
2.直线与圆的切点的切线与直线垂直。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率。
现在，我们将分别介绍这些条件，并推导得出相切的公式。
1.直线与圆的切点在直线上：设直线的方程为 y = mx + c，圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆的圆心坐标，r为半径长度。
为了找到直线与圆的切点，我们将方程代入圆的方程，得到：(x-a)² + (mx + c - b)² = r²将方程展开，得到:x² - 2ax + a² + m²x² + 2mcx + c² + b² - 2bmx = r²整理后，得到方程：(1 + m²)x² + 2(mc - am - bm)x + a² + c² + b² - 2ab - r² = 0如果直线与圆相切，方程只有一个根，也就是说，二次方程的判别式为零。
因此，判别式为：(2(mc - am - bm))² - 4(1 + m²)(a² + c² + b² - 2ab - r²) = 02.直线与圆的切点的切线与直线垂直：通过求得的切点，我们可以获得切线的斜率。
与直线垂直意味着切线的斜率的乘积与直线的斜率为-1、设直线的斜率为m，切线的斜率为k。
通过求导数得到切线的斜率k=-1/m。
3.直线与圆的切点的切线斜率等于直线的斜率：这个条件可以由上述条件推导得出。
当直线与圆相切时，直线的斜率等于切线的斜率。
现在，我们通过一个例子来解释这些公式的应用。
假设有一个以坐标原点为中心的圆，半径为r。
直线通过点(0,h)，与圆相切。
直线和圆的关系
直线和圆的关系证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。
直线和圆的关系 11.直线和圆的关系 1① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
④ 直线和圆的关系 12.圆的切线① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图，直线l就是⊙O的切线。
此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。
如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.3. 切线长① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.4.切线的判定和性质的应用(1)辅助线的练习利用切线的性质进行计算或演示的常用辅助线是连接圆心和切点，利用垂直直角三角形解决相关问题。
(2) 证明直线与圆相切的三种途径证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立直线方程和圆方程，解方程组，如果方程组无解，则直线与圆分离，如果方程组有一组解，则直线与圆相切，如果方程组有两组解，则直线与圆相交。
12.2直线与圆相切
此时切线方程为：21x 20 y 145 0
(2)当过点 B(5, 2) 的切线斜率不存在时， 结合图形可知 x 5 也是符合题意的切线方程．
小结
过一点求圆的切线的方程
1、求经过圆上一点M( x0 ,y0 )的切线的方程 : 法一：点法向式方程 常用方法
法二：斜率关系
法三：平面向量 求点的轨迹方程的方法
例2.已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 C : x 2 y 2 r 2 上一点.
求: 过这点与圆相切的切线方程. 解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意： OM MP 即 OM MP 0
y
P ( x, y )
l
M ( x0 , y0 )
法3：设点法向式方程，避免斜率存在性问题， 用点到直线的距离等于半径。
【回顾练习】
练习1
当 0 a 1 时，判断原点与圆
x 2 y 2 2ax 2 y a 2 4a 1 0 的位置关系。
2. 求证：不论 k 为何值，直线 kx y 4k 3 0 与曲线
r O
x
P
过圆外一点的直线与圆相切
例1.求过点 M (2, 2 3) 且与圆 x2 y 2 4 相切的直线方程.
求: 过这点与圆相切的直线的方程. 方法一 设点斜式方程，注意k存在， 不存在，利用圆心与切线的距离等 于半径 求出k
y
l1
M (2,2 3)
l2
O
xபைடு நூலகம்
方法二 点斜式方程，k存在，不存在 ，利 用直线与元相交于一点，用 0来求出k
即：l : ax by 2a 2 3b 0 由题意，得圆心(0,0)与切线的距离
直线和圆相切
24.2.2(2)直线和圆相切一、内容和内容解析1.内容切线的判定定理2.内容解析直线和圆相切是直线和圆中的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能用数量关系确定位置关系的方法推导切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单问题。
2．目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：知道切线的判定定理，能够分清每个定理的条件和结论，并能解决简单问题；明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
三、教学问题诊断分析1.由于是抽班教学，教师和学生之间不是很熟悉，所以首先要营造一个良好的轻松的学习气氛，学生才能不紧张，进而很快的和老师融合进入学习状态，所以最好用轻松地情景教学给学生带入课堂。
2.学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。
所以让学生自己经历画图感知和交流悟理”垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，”经过半径外端”说明距离d等于半径，理解切线判定定理的两个条件。
3.教师要帮助学生明确定理的题设和结论正确理解定理，所以借助几个判断分析感受两个条件的重要性。
4.借助层次分明的证明题反复体会切线定理的两个要素，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
给予以上分析，本节课的教学重点是：探索切线的判定定理，并能运用它解决与圆的切线相关的证明问题。
教学难点是：探索圆的切线的判定方法和解决相关问题是怎么添加辅助线。
四、教学过程设计1.情境引入，感知直线和圆相切问题1让老师带着同学们到生活中找一找我们今天要学习的内容，它们共同体现了两种图形的哪一种位置关系?师生活动：共同欣赏后学生回答直线和圆相切。
证明直线与圆相切的常见方法
证明直线与圆相切的常见方法
一般会出现以下三种情况.
一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“见半径，证垂直”.
例1 如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,
且∠PAC=∠B.
求证:PA是⊙O的切线.
图1
二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”.
例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.
例3 如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O 与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.
求证：CD与⊙O相切．
图3。
直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
知2－讲
(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看
作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种
位置关系？由此你能得出直线
和圆的位置关系吗？
感悟新知
知2－讲
（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上 移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公 共点个数的变化情况吗？
第2章 对称图形-圆
2.5
直线与圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系—— 相交、相切、相离
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
直线和圆的位置关系与圆的公共点个 数间的关系
直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由 点组成的直线和圆的位置关系.
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
解答直线与圆的位置关系问题的三种方法
直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.一、几何法运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离d 与半径r 的大小关系.一般地，①当r >d 时，直线与圆相交；②当r =d 时，直线与圆相切；③当r <d 时，直线与圆相离.例1.直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y+3=0相切，则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是().A.相交B.相切C.相离D.不确定解：因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2，所以圆的圆心为(-2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以||-2k -1+1k 2+1=2，解得k =±1，因为k <0，所以k =-1，所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离：d =2+0-1=3，所以直线l 与圆D 相交.故选A 项.由于直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切，所以可以直接根据圆心到直线的距离等于半径，来建立关系，求得k 的值，即可求得直线l 的方程.根据点到直线的距离公式，求得圆D :(x -2)2+y 2=3的圆心到直线l 的距离，比较该距离与圆D 的半径之间的大小，即可判断出直线l 与圆D 的位置关系.例2.若直线l :x -y +m =0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0恒有公共点，则m 的取值范围是().A.[-2，2]B.[-22，22]C.[-2-1，2-1]D.[-22-1,22-1]解：因为圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4，所以圆的圆心为(2，1)，半径为2，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d =||2-1+m 2，若直线与圆恒有公共点，则直线与圆相交或相切，所以||2-1+m 2≤2，解得-22-1≤m ≤22-1，故选D 项.要使直线与圆恒有公共点，需使直线与圆相交或相切，那么圆心到直线的距离需小于或等于半径，即d ≤r .根据点到直线的距离公式建立不等关系式，即可求得参数m 的取值范围.例3.已知圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，直线l :y =kx .下面四个命题：（1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切;（4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切.其中说法正确的有_______.解：因为圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，所以圆的圆心M ()-cos θ,sin θ，半径为1，所以M 到直线l 的距离d M -l =||-k cos θ-sin θk 2+1，则d2M -l-1=()k cos θ+sin θ2-k 2-1k 2+1=k 2cos 2θ+2sin θcos θ⋅k +sin 2θ-k 2-1k 2+1刘艳林43。
判定直线与圆相切
如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥BC于 点F，且交⊙O于点E，若∠AEC= ∠ODB。
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系， 并给出证明。
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长。
D
C
E
F
A
O
B
sinA=
3
，求⊙O的半径的长． 5
4、如图，AB是⊙O的直径，AD 是⊙O的切线，点C的⊙O上， BC∥OD，AB=2，OD=3，求BC 的长。
B C
O
D A
4、如图，AB是⊙O的直径，AD 是⊙O的切线，点C的⊙O上， BC∥OD，AB=2，OD=3，求BC 的长。
B C
O
D A
5. 已知:如图，AB是⊙O的直径，⊙Ｏ 过AC的中点D，DE切⊙Ｏ于点D，交 BC于点E． （１）求证：DE⊥BC； （２）如果CD＝4，CE＝3，求⊙Ｏ的 半径．
C
D
E
A
OB
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是 和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD 平行于OC． 求证：DC是⊙O的切线．
如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为 BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆 与AB边交于点D，连接CD，若CD恰好是⊙O 的切线：
（1）求证：△CAD是等腰三角形； （2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半径r．
3、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径 的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
3、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，
O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径
的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，
catia圆和直线相切的约束
Catia是一种广泛应用于工程设计和制造领域的CAD软件，能够帮助工程师和设计师进行3D建模、绘图和装配。
在Catia软件中，圆和直线的相切约束是设计过程中常见的约束之一。
本文将从Catia软件中圆和直线相切的约束的使用方法和注意事项等方面进行介绍和分析。
一、Catia软件中圆和直线相切约束的基本概念在Catia软件中，圆和直线相切的约束是指圆线和直线之间的一个约束关系，使得圆和直线在某一点上相接触。
这种约束可以使得圆线和直线之间保持相切状态，从而在设计中具有一定的实用性和意义。
二、Catia软件中圆和直线相切约束的使用方法1. 选择约束命令在Catia软件中，首先需要选择约束命令来对圆和直线进行约束。
在菜单栏或工具栏中可以找到相应的约束命令，点击后即可进入约束编辑界面。
2. 选择圆和直线在约束编辑界面中，需要按照要求选择圆和直线进行约束。
可以通过鼠标点击或拖动的方式来选择相应的圆和直线。
3. 添加相切约束在选择好圆和直线之后，需要在约束编辑界面中找到相切约束的选项，并进行添加。
通常可以通过简单的点击或拖动操作来完成相切约束的添加。
4. 调整约束参数在添加相切约束之后，可能需要对约束参数进行一些调整。
可以通过改变圆线和直线的位置或角度来调整相切约束的效果。
5. 确认和退出需要确认所添加的相切约束是否符合要求，并进行保存。
确认无误后即可退出约束编辑界面，完成圆和直线相切约束的添加过程。
三、Catia软件中圆和直线相切约束的注意事项1. 注意圆和直线的选择在进行圆和直线相切约束的过程中，需要特别注意选择的圆和直线是否符合要求。
圆和直线的位置和角度等参数都会对相切约束的效果产生影响。
2. 注意相切方向在添加相切约束时，需要注意圆和直线的相切方向。
不同的相切方向可能会对设计产生不同的影响，需要根据具体要求进行选择。
3. 注意约束参数的调整在添加相切约束后，可能需要对约束参数进行一定的调整。
需要根据具体设计的要求和效果来灵活调整约束参数，以达到最佳的设计效果。
直线与圆相切的几何特征
y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0.
由 3k-2k+3 =1,得k =- 4 .
k2 1
3
∴直o线的方程为4x+3y-173=0.
x
从而所求直线的方程为
x=2或4x+3y-17=0.
例题分析 探究解法
反思 解题
开窍点在哪里
1.求直线方程
利用几何特征求切线方程
2.直线与圆相切
优化思维线路
PM
MC
2
PC 1
M
P
当 PC 2时，S min 3.
O
1
C
x
N
课堂练习 熟化技能
利用几何特征求切线长
练习2：4.过直线L上一点P向圆C:(x-2)2+y2=1引切线PM
与PN,若点P与原点重合时四边形PMCN的面积最 小，则直线L的方程为_X__=_0_.
y
析：直线L为过原点且与
直线OC垂直的直线
M
P
所以直线L的方程为x=0.
O
1
C
x
N
课堂小结 强化认知
题型一，利用几何特征求切线方程
1.将切线方程化（注意直线斜率不存在的情形） 2.利用距离解题,已知切点可利用垂直解题
题型二，利用几何特征求切线长
运用勾股定理——实现长度转化 距离与垂直是解析几何中两几何元素间的最基本关 系，熟练地将解析几何中的距离关系与垂直关系转 化为数量关系是我们必备的能力.
书少成天才功山壮就=有是艰不百路苦分努的勤之力劳为一动的，径+灵老，正感学确大，的百海徒方分无之法伤崖九+悲少十苦九说！作的空汗舟话水. ！
金堂县竹篙中学校数学组
直线与圆重要的位置关系——相切
\中考链接责任编辑:彭深2020748334@直线与圆重要的位置关系相切画封霞霖直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。
我们对直线与圆的位置关系的研究,反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。
这里的数形结合，既是重要的知识内容,又是重要的思想方法。
一、切线与函数例1(2019-荷泽)如图1,直线y=交兀轴于点4,交y轴于点点P 是尤轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作O p,当O p与直线佃相切时，点、p的坐标是y图1【分析】考点:一次函数、切线性质。
对于运动问题，要考虑多解。
对圆心位置分类讨论,圆心在4点左侧和右侧，直线都会与圆相切。
根据相切时圆心到直线的距离等于半径,结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。
•解：•.•直线y=-扌％-3交％轴于点A,交y轴于点B,令％=0,得y=-3,令y=0,得x=~4,/.4(-4,0),5(0,-3),..OA=4,OB=3,:.AB=5O设O p与直线ab相切于d,连接PD,如图2,P在A点左侧时为R,在4点右侧时为匕。
j图2则PD1AB,PD=1,Z-ADP=/-AOB=90°,"AD=ABAO,.-.AAPD^/^ABO,•PD_4P••OB AB5•1=4P•Ap=d•-35^3，.-.OP=OA+AP或OA-4P,0P=孑或孕，.•.P.（-^,0）,P2（-j,0）o【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。
如果抓住切线的本质,C>Pi 和OP2不画出来亦可。
我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。
另外，利用相似求ap的这部分，用三角函数也可以解决。
二、切线与角度例2（2019-天津）已知PA,PB分别与O0相切于点A.B,乙4加=80。
,C为Oo上一点。
（I）如图3-①，求厶1CB的大小；（n）如图3-②,也为00的直径,4E与相交于点D,若AB=AD,求AEAC的大小。
证明直线与圆相切的两种方法-学习文档
证明直线与圆相切的两种方法证明直线与圆相切主要有以下两种：一、根据切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明直线与圆相切的两种方法。
当已知直线与圆有公共点时，常用此法。
辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。
例1. （2019年江苏省淮安市题）已知：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC 的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。
图1（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。
求证：EF与⊙O相切。
证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，得，则OD⊥BC所以因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF从而即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。
例2. （2019年湖北省黄冈市中考题）如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。
（1）求证：AP是⊙O的切线。
（2）略。
图2证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB所以∠POB＝∠APD由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°即∠APD＋∠OPC＝90°所以AP是⊙O的切线二、根据直线与圆的位置关系若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。
辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。
caxa直线与圆相切指令
caxa直线与圆相切指令
在caxa软件中，要绘制一条直线与圆相切，可以按照以下步骤进行操作：
1. 打开caxa软件并创建一个新的图纸。
2. 在绘图界面上方的工具栏中选择“绘图”选项。
3. 在下拉菜单中选择“直线”工具。
4. 在绘图界面上点击两个点来定义直线的起点和终点。
确保这条直线与圆的切点重合。
5. 在绘图界面上方的工具栏中选择“创建几何元素”选项。
6. 在下拉菜单中选择“圆”工具。
7. 在绘图界面上点击一个点来定义圆的圆心位置。
8. 输入圆的半径并按下“Enter”键或使用鼠标点击确定圆的大小。
9. 右键点击直线和圆进行选中。
10. 在绘图界面上方的工具栏中选择“同心圆与公切线”选项。
11. 在下拉菜单中选择“直线与圆”工具。
12. 确定直线与圆是否以相切方式相交。
13. 点击“确定”按钮完成绘制。
通过以上步骤，你可以在caxa软件中绘制一条直线与圆相切。
请注意，具体的操作步骤可能会因caxa软件的不同版本而略有差异，但大致的操作流程是相似的。
圆和直线相切的公式
圆和直线相切的公式圆和直线相切是解析几何中一个重要的概念，它在数学和几何的应用中具有广泛的意义。
有关圆和直线相切的公式主要有两个方面：一是圆和直线相切的判断公式，用于确定给定的圆和直线是否相切；二是圆和直线相切点的求解公式，用于确定圆和直线的切点坐标。
先来看圆和直线相切的判断公式。
设圆的标准方程为：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
设直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A、B、C$为常数。
直线与圆相切的判断条件有两个：1.切线与圆心连线垂直。
2.切线与圆相交点的切线斜率与直线的斜率相等。
根据第一点，切线与圆心连线垂直，即斜率乘积为$-1$。
切线的斜率由直线的方程的斜率得到，切点坐标由切线与圆的方程联立得到。
接下来我们来推导圆和直线相切点的求解公式。
设切点坐标为$(x_0,y_0)$。
对于直线$Ax+By+C=0$，根据直线方程，可以得到切线斜率的公式：$$k_{t} = -\frac{A}{B}$$切线斜率与切线与圆的切点连线的斜率乘积为$-1$，即：$$(-\frac{A}{B}) \cdot (\frac{y_0 - b}{x_0 - a}) = -1 $$化简上式可得：$$y_0 - b = \frac{B}{A}(x_0 - a)$$从而得到切点坐标$(x_0,y_0)$：$$y_0 = \frac{B}{A}(x_0 - a) + b$$将直线的方程代入切线方程，可以得到：$$Ax_0 + B(\frac{B}{A}(x_0 - a) + b) + C = 0$$化简上式可得一个关于$x_0$的一元二次方程：$$(A + \frac{B^2}{A})x_0 - \frac{B^2}{A}a + Bb + C = 0$$求解这个方程，可以得到切点的横坐标$x_0$，再通过切线方程可以得到切点的纵坐标$y_0$。
cad里两条直线相切的已知半径的圆实现原理
cad里两条直线相切的已知半径的圆实现原理在CAD软件中，实现两条直线相切的已知半径的圆，需要经过以下几个步骤：1.创建两条直线：首先，在CAD软件中打开新的绘图文件，然后使用绘图工具，如直线工具，创建两条直线。
这两条直线是我们要让圆与其相切的直线。
2.确定圆心：在绘制的直线中，选择其中一条直线，通过选择直线的端点或其他特定点，确定圆心的位置。
例如，选择直线的中点作为圆心。
在CAD软件中，可以使用捕捉工具来帮助确定精确的位置。
3.绘制圆：选择绘图工具中的圆工具，然后输入圆需要的半径。
在CAD软件中，可以直接输入数值或者使用绘图界面中的标尺工具来测量直线的长度，然后将其作为半径输入。
确认输入值后，以确定的圆心位置为圆心，在绘图界面上绘制圆。
4.圆与直线相切：选择CAD软件中的切线工具，然后指定圆与直线的相切点。
通过点击直线上的一个点，CAD软件会自动绘制切线，并将其与圆相切。
5.调整圆与直线的位置：如果圆不完全与直线相切，需要进行调整。
通过选择CAD软件中的移动工具，将圆心或直线移动到适当的位置，以使其完全相切。
在CAD软件的绘图界面上，可以通过拖动和放置对象来实现位置的调整，也可以通过直接输入坐标数值来实现精确调整。
6.确定圆与直线相切的半径：根据题目要求的已知半径，通过选择CAD软件中的测量工具，在绘图界面上测量圆的半径值。
确保所测量的半径值与题目要求的半径一致。
7.完善绘图：按照需要，可以对绘图进行进一步的优化、美化和调整。
例如，可以添加文字标注、颜色填充、线型设置等，以提高绘图的可读性和美观度。
8.保存和输出：最后，保存绘图文件，以便后续的查看和编辑。
可以将绘图输出为图片或者打印出来，以满足不同需求。
以上步骤是实现在CAD软件中绘制两条直线相切的已知半径的圆的基本方法。
当然，在实际绘图过程中，可能还会涉及到更多的操作和调整，具体的步骤也可能因CAD软件的不同而有所差异。
但总体上，以上步骤描述了实现这个功能的基本原理。
直线与圆的特殊位置关系——相切
切线定理
• 圆的切线垂直于过 其切点的半径；经 过半径的非圆心一 端，并且垂直于这 条半径的直线，就 是这个圆的一条切 线。
切线长定理
• 从圆外一点可以引 圆的两条切线，它 们的切线长相等， 这一点和圆心的连 线，平分两条切线 的夹角。 • AC=AB • ∠OAC=∠OAB
• • • • • • • • •
∵AC、AB切○O于C、B ∴∠OCA=∠OBA=90° 在△OCA和△OBA中， ∵OC=OB， AO=AO， ∠OCA=∠OBA=90° ∴ △OCA≌△OBA ∴AC=AB ∠OAC=∠OAB
弦切角定理
• 弦切角的度数等于 它所夹的弧的圆心 角的度数的一半。 • ∠TCB=1/2∠COB
• • • • • • •
连接AT, BT 在△PBT和△PTA中 ∵∠PTB=∠PAT ∠APT=∠TPA ∴△PBT∽△PTA ∴PB：PT=PT：AP ∴PT²=PB·PA
弦切角定理
• • • • • • • • • 设圆心为O，连接OC，OB。 ∵PT为圆O的切线 ∴OC⊥PT ∴∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB ∵∠BOC=2∠BAC ∴∠TCB=∠BAC ∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
切割线定理
• 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线 长是这点到割线与 圆交点的两条线段 长的比例中项。 • PT^2=PD×PC
相交
相切
相离
相交
相切
相离
定义
• 若直线与曲线交于两点，且这两点无限相 近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该 点的切线。//初中数学中，若一条直线垂 直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这 条直线与圆相切。
直线与圆相切
直线与圆相切
数学领域的词语。
直线和圆相切，直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切。
可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小、或者方程组、或者利用切线的定义来证明。
定义
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.
证明方法:(3种)
第一种
在直角坐标系中直线和圆交点的坐标应满足直线方程和圆的方程，它应该是直线
Ax+By+C=0 和圆x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F=0)的公共解，因此圆和直线的关系，可由方程组
Ax+By+C=0
x²+y²+Dx+Ey+F=0
的解的情况来判别
如果方程组有两组相等的实数解，那么直线与圆相切与一点，即直线是圆的切线。
第二种
直线与圆的位置关系还可以通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小来判别，其中，当d=r 时，直线与圆相切。
第三种
利用切线的定义 --在已知条件中有"半径与一条直线交于半径的外端"，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端.
例: 已知:△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC.
求证:PA是⊙O的切线.
证明:连接EC.
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠EAC=90°.
∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，
例题配图∴∠E=∠CAP，
∴∠EAC+∠CAP=∠EAC+∠E=90°，
∴∠EAP=90°，
∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线.。
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点击直线与圆相切
一知识解读：
判定直线与圆相切的方法：
1、定义法：
直线和有且只有一个公共点，就说直线与圆相切。
2、d 、R 法则：
设圆心到直线的距离是d ，圆的半径是R ，则当d=R 时，直线与圆相切。
3、切线的判定定理：
过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
在应用判定定理时，关键有两个：
一是直线要经过圆上的某点，而是直线与过该点的半径垂直。
必要时，要构造半径作为解题的辅助线。
二、考点例析：
考点1、考d 、R 法则
例1、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A ．与x 轴相离、与y 轴相切
B ．与x 轴、y 轴都相离
C ．与x 轴相切、与y 轴相离
D ．与x 轴、y 轴都相切
分析：根据坐标系的知识，知道，圆心到y 轴的距离是d y =2，到x 轴的距离是d x =3，
由于圆的半径R=2，所以，d y =R ，所以，y 轴与圆相切，这样，我们就可以排除B 和D ；
因为，d x =3＞R=2，所以，x 轴与圆相离，因此，选项A 是正确的。
解：选则A 。
例2、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =∠，且AB AD BC >+，AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
分析：圆的圆心位置已经确定，圆的半径已经确定，现在缺少的条件是，圆心到直线CD 的距离。
只需过圆心做出圆心到直线的距离，后根据dR 法则就可以判断直线CD 与圆的位置关系了。
因此，如图2所示，过点O 作OE ⊥CD ，垂足是E ，又因为，∠C=90°，所以，OE ∥BC ，
因为，点O 是圆的圆心，所以，OE 是梯形的中位线，所以，OE=2
1（AD+BC ），因为，AB ＞AD+BC, 所以，21 AB ＞2
1（AD+BC ）,即OA ＞OE,所以，直线与圆不相切，是相交。
解：选择C 。
考点2、判定静止直线是圆的切线
分析：要证DE是圆的切线，现在点D已经在圆上，所以，要证DE是圆的切线，根据切线的判定定理，缺少的是半径与垂直的关系。
所以，可以通过连接OD构造过半径外端的半径，只需设法证明二线是垂直的就可以了。
证明：
如图2，连接OD ，
因为，AB=AC，所以，∠B=∠C,因为，OB=OD，所以，∠B=∠ODB,
所以，∠C=∠ODB,
所以，OD∥AC，
因为，DE⊥AC，
所以，DE⊥OD，
所以，DE是圆的切线。
例4、如图3所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D 作DE⊥AC，垂足为E.
求证：DE为⊙O的切线；
分析：连接OD ，关键证明DE⊥OD。
证明：如图4，连接OD ，
因为，OA=OB，DC=BD，
所以，OD∥AC，
因为，DE⊥AC，
所以，DE⊥OD，
所以，DE是圆的切线。
考点3、判定运动直线是圆的切线
例5、如图所示，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A 出发，以 cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为▲ s时，BP与⊙O相切．
分析：点P运动到两个位置时，直线BP是圆的切线，一个是OP⊥BP时，一个是OD⊥BP时，分别计算出点P行驶的弧长，除以速度就是所用的时间。
解：如图6所示，连接OP、OD，
因为，AB=OA=OP,
所以，∠PBO=30°，所以，∠POB=60°，
所以，PA弧的长为：
1803
60⨯
⨯π
=π（cm），
根据圆的对称性，知道AD劣的长为π（cm），
因为，圆的周长是6π（cm），
所以，优弧AD的长为5π（cm），
所以，点P运动的时间分别是：
π÷π=1秒，或5π÷π=5秒。
所以，点P运动1秒或者5秒时，直线BP是圆的切线。