2019届高考文科数学二轮复习专题突破练20统计与概率

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2019年高考数学“概率与统计”专题复习(真题+答案)

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(名师精选重点试题+实战真题演练+答案，建议下载保存) (总计65页，涵盖所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案 B2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为n m ，当n 很大时，P(A)与n m的关系是（）n mB. P(A)＜nm＞n mD. P(A)=nm答案3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个B.1个C.2个D.3个答案4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， . 答案 0.97 0.035.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案656.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ） =61，则出现奇数点或2点的概率之和为答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥.2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.12分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？（2）“3件都是一级品”是什么事件？（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）解（1）依据公式p=nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.解方法一记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）合格产品少于9件合格产品多于9件合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件答案2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）至多有1次中靶 B.2次都中靶次都不中靶D.只有1次中靶答案3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（）.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A.2165 B.21625C.21631D.21691答案 D5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是（）D.0.答案6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（）B.0.60答案二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够7环的概率.解（1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率；（2）派出医生至少2人的概率. 解记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”，事件C ：“派出2名医生”，事件D ：“派出3名医生”，事件E ：“派出4名医生”，事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C+D+E+F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A+B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A+B ）.解方法一因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A+B ）=64=32. 方法二记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21，所以P （A+B ）=P （A+C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=32. 方法三记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A+B 与事件D 为对立事件.因为P （D ）=62=31，所以P （A+B ）=1-P （D ）=1-31=32. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31. §2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A.21 B.31 C.32答案 C2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为（）A.31 B.41 C.21D.32答案 C3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A.43 B.65 C.61 D.31答案 B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )A.321 B.641 C.323D.643答案 D5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是（）A.P(M)=31,P(N)=21B.P(M)=21,P(N)=21C.P(M)=31,P(N)=43D.P(M)=21,P(N)=43答案例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （12分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.6分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率p=365.9分（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率p=3620=95. 12分方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率p=3616=94，所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 12分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ），即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率；（2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A:取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、选择题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则（）10=101P 1B.P 10=91P 1 10=010=P 1答案2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为（）A.21B.31C.41D.61 答案3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（）A.101B.103 C.51 D.53 答案4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为（）A.31B.61 C.81D.41 答案5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a,b ）落在直线x+y=n 上”为事件C n （2≤n≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为（）C.2和D.3和答案6.（2008·温州模拟）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x+y=5下方的概率是（）A.31B.41C.61D.121 答案二、填空题7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 答案54三、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率P （A ）；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10.箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率解（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率p=33A A ba a +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，可以取出3个正品的概率p=33C C ba a +.两种方法结果一致（2）从a+b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b 种方法，所以共有(a+b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率p=333)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解（1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥，∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. （2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157. §3 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为（）4131C.21D.以上都不对答案2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）A.π2 B.π1C.32D.31答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )A.53B.54 C.52 D.51答案4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为22979-=8132. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为819ππ=. 例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解 1升=1 000毫升，2分记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.12分例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解设事件D“作射线CM ，使|AM|＞|AC|”.在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′=230180-=75°, A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10（米），∴P （E ）=3010=31. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式，得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y ⇒x+y ＞2l,x+l-x-y ＞y⇒y ＜2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =22212l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、选择题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是（）A.31 B.21 C.103 D.107答案2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.259 B.2516C.103D.51答案3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.121B.83C.161D.65答案4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.π2B.π1 C.21 D.1-π2答案5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( ) A.41 B.21 C.43 D.32答案6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8πC.6πD.12π答案二、填空题7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 三、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点在面积为π41×22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21×21×21=87，Ωμ =1，所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率；（2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解（1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°，则0＜x ＜33a ，故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. （2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°. 若∠CAM ＜30°，则0°＜θ＜30°，故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)45,0()30,0( =32.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.。

2019年高考文科数学二轮复习：概率与统计解答题

2019年高考文科数学二轮复习概率与统计解答题【典例】(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.[信息提取]❶(1)、(2)中求a和评分不低于80的概率，联想到频率分布直方图的面积为1，利用频率估计概率.❷看到计算评分在[40，50)的概率，联想到由频率表确定各区间的人数，进而利用古典概型计算概率.[规范解答][高考状元满分心得]❶得步骤分：步骤规范，求解完整，解题步骤常见的失分点，第(2)问中，不能用频率估计概率，第(3)问中步骤不完整，没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.❷得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.❸得计算分：如第(1)、(2)问中，要理清频率直方图的意义，计算正确，否则导致后续皆错大量失分，第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，准确列出基本事件，正确计算概率.[解题程序]第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值.第二步：由样本频率分布估计概率.第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件.第四步：利用古典概型概率公式计算.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范.【巩固提升】(2018·潍坊模拟)2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：(1))与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y ^＝b ^t ＋a ^，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；(2)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：(ⅰ)求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X 的平均值x 及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；(ⅱ)将对补贴金额的心理预期值在[1，2)(万元)和[6，7](万元)的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率. 参考公式及数据：①回归方程y ^＝b ^t ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1t i y i －nt －y－∑n i ＝1t 2i －nt －2，a ^＝y －－b ^t －；②∑5i ＝1t i y i＝18.8.解 (1)易知t －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.75＝1.04，∑ni ＝1t 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55，b ^＝∑5i ＝1t i y i －5t － y －∑5i ＝1t 2i －5t －2＝18.8－5×3×1.0455－5×32＝0.32，∴a ^＝y －－b ^t －＝1.04－0.32×3＝0.08.则y 关于t 的线性回归方程为y ^＝0.32t ＋0.08，则t ＝6时，y ^＝2.00，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆. (2)(ⅰ)根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X 的平均值x －及中位数的估计值分别为：x －＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5，中位数的估计值为3＋1×100－20－6060＝3＋13≈3.3，(ⅱ)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知630＝x 10＝y20，解得x ＝2，y ＝4.在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A 1，A 2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，则所有的抽样情况如下：{A 1，A 2，B 1}，{A 1，A 2，B 2}，{A 1，A 2，B 3}，{A 1，A 2，B 4}，{A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}，{A 1，B 1，B 4}，{A 1，B 2，B 3}，{A 1，B 2，B 4}，{A 1，B 3，B 4}，{A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}，{A 2，B 1，B 4}，{A 2，B 2，B 3}，{A 2，B 2，B 4}，{A 2，B 3，B 4}，{B 1，B 2，B 3}，{B 1，B 2，B 4}，{B 1，B 3，B 4}，{B 2，B 3，B 4}共20种. 其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种.记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则P (A )＝1620＝0.8.。

2019年高考数学二轮复习概率与统计解答题专题训练(含解析)

2019年高考数学二轮复习概率与统计解答题专题训练（含解析）1．(xx·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A 、B 两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A 城到B 城(两车发生情况互不影响)，A 城发车时间及其概率如下表所示：8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； (2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．解 (1)X 的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下X 的数学期望E (X )＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 P 甲10＝16，P 甲30＝12，P 甲50＝13；P 乙10＝12，P 乙30＝13，P 乙50＝16×16＝136.所以所求概率P ＝16×12＋12×13＋13×136＝28108＝727，即甲、乙二人候车时间相等的概率为727.2．(xx·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝π2.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P (ξ＝0)＝6C 212＝111.(2)ξ的可能取值为0，π3，π2.则P (ξ＝0)＝6C 212＝111，P ⎝⎛⎭⎫ξ＝π3＝48C 212＝811，P ⎝⎛⎭⎫ξ＝π2＝12C 212＝211. ξ的分布列如下：ξ 0 π3 π2 P111811211E (ξ)＝0×111＋π3×811＋π2×211＝π3.3．(xx·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市xx 年9月份的30天中随机抽取15天的PM 2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．(1)试估计甲城市在xx 年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由茎叶图可知，甲城市在xx 年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在xx 年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10. (2)X 的所有可能取值为0,1,2，因为P (X ＝0)＝C 05C 210C 215＝37，P (X ＝1)＝C 15C 110C 215＝1021，P (X ＝2)＝C 25C 010C 215＝221，所以X 的分布列为：X 0 1 2 P371021221数学期望E (X )＝0×37＋1×1021＋2×221＝23.4．(xx·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，所以S n ＝n10n ＋702＝300.解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C 14⎝⎛⎭⎫124＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490.又P (X ＝220)＝2×⎝⎛⎭⎫124＝18， P (X ＝300)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14， P (X ＝390)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516， P (X ＝490)＝C 36⎝⎛⎭⎫126＝516，所以X 的分布列为X 220 300 390 490 P1814516516所以X 的均值E (X )＝5．自驾游从A 地到B 地有甲、乙两条线路，甲线路是A －C －D －B ，乙线路是A －E －F －G －H －B ，其中CD 段、EF 段、GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在⎝⎛⎭⎫23，1上变化，y 在⎝⎛⎭⎫0，12上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．CD 段 EF 段 GH 段(1)求CD 段平均堵车时间a 的值；(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．解 (1)a ＝12×8100＋32×6100＋52×38100＋72×24100＋92×24100＝3.(2)设走甲线路所花汽油费为ξ元，则E (ξ)＝500(1－x )＋(500＋60)x ＝500＋60x . 设走乙线路多花的汽油费为η元， ∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴P (η＝0)＝(1－y )×⎝⎛⎭⎫1－14， P (η＝20)＝(1－y )×14，P (η＝40)＝y ×⎝⎛⎭⎫1－14， P (η＝60)＝14y ，∴E (η)＝0×(1－y )×⎝⎛⎭⎫1－14＋20×(1－y )×14＋40×y ×⎝⎛⎭⎫1－14＋60×14y ＝40y ＋5. ∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E (545＋η)＝545＋E (η)＝550＋40y . 依题意，选择走甲线路应满足(550＋40y )－(500＋60x )≥0，即6x －4y －5≤0，又23<x <1,0<y <12，∴P (选择走甲线路)＝⎝⎛⎭⎫1－23×12－12×⎝⎛⎭⎫1－56×14⎝⎛⎭⎫1－23×12＝78.。

2019-2020年高考数学文科二轮分类突破课件：题型分类突破第一篇考点五概率与统计

��
答案解析
刷最新模拟题
6.(2018
江西上饶二模)在
-
��
,
��
上随机取一个数
x,则
cos
x
的值介于��与
��
��之间
��
的概率为( A ).
A. ��
B.��
题型分析
例 3 甲、乙两人约定 7:10 在某处会面,已知甲在 7:00~ 7:20 内某一
时刻随机到达,乙在 7:05~7:20 内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙 5
分钟的概率是( C ).
A.��
B.��
C.��
D.��
��
��
��
��
��-�� ≤ �� , 例 2 设不等式组 �� + �� ≥ -�� ,所表示的区域为 M,函数 y=- ��-��的图象与 x轴所围成
�� ≤ ��
的区域为 N,向 M内随机投一个点,则该点落在 N内的概率为( A ).
��×��
方法技巧 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. (3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

高考数学二轮热点专题突破讲练第二十讲统计、统计案

第二十讲统计、统计案例1．(抽样方法)(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．【答案】 D2．(茎叶图)(2013·重庆高考)以下茎叶图6－3－1记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).甲组乙组909x2 1 5 y8 7424图6－3－1已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 【解析】由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ，∴x ＝5. 又乙组数据的平均数为9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8.∴x ，y 的值分别为5,8. 【答案】 C3．(回归分析)(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】由正负相关性的定义知①④一定不正确．【答案】 D4．(样本估计总体)(2013·辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图6－3－2A ．45B ．50C ．55D ．60【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.【答案】 B5．(独立性检验)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男 13 10 女 7 20已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k ＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_____．【解析】 ∵k ≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【答案】 5%抽样方法(1)(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15(2)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．【思路点拨】(1)确定抽样间隔→确定抽样号码→借助等差数列求做问卷B 的人数(2)确定女运动员的人数→按比例抽取【自主解答】 (1)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69， (939)落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．(2)依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x 42＝2898，解得x ＝12. 【答案】 (1)C (2)121．理解三种抽样方法的特征，根据适用范围选择抽样方法进行计算．2．三种抽样方法的异同点变式训练1 (1)(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14(2)(2013·合肥模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图6－3－3)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按下图横轴表示的月收入情况分成六层，再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入层中应抽出的人数为________．图6－3－3【解析】 (1)抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.(2)由直方图可知月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，再由分层抽样的特征得100人中在[2 500，3 000)中应该抽出25人．【答案】 (1)B (2)25用样本估计总体(2013·惠州质检)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图6－3－4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－4(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5【思路点拨】 (1)由频率之和为1求a 的值．(2)每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即为平均分．(3)求出每个分数段上语文成绩的人数，按比例关系得出相应段上数学成绩的人数，求出数学成绩在[50,90)之外的人数．【自主解答】 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.1．本题在求解过程中，常误认为直方图的高是频率而导致计算错误． 2．在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．变式训练 2 (2013·安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图6－3－5.图6－3－5(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．【解】 (1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.根据样本茎叶图可知30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分．线性回归方程的应用(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝1100x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．【思路点拨】 (1)求x ，y ，代入求b ^，a ^；得回归直线方程；(2)根据回归方程作出判断与预测．【自主解答】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．正确理解计算b ^、a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． 2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．变式训练3 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －b ^x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．独立性检验及应用电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图6－3－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：P (K 2≥k )0.05 0.01 k3.8416.635K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.【思路点拨】 (1)由频率分布直方图分别求“体育迷”的总人数，男“体育迷”的人数，填2×2列联表，计算K 2并作出判断．(2)X 服从二项分布，利用公式求E (X )和D (X )．【自主解答】 (1)由频率分布直方图，“体育迷”的频率是(0.005＋0.020)×10＝0.25.∴“体育迷”观众共有100×0.25＝25人，因此，男“体育迷”观众有25－10＝15人．由此可列2×2的列联表如下：非体育迷体育迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝10030×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030. ∵3.030＜3.841.∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知X ～B (3，14)，从而X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.1．求解本题的关键是利用频率分布直方图提供的信息列2×2列联表．2．解决独立性检验问题的关键是正确作出2×2列联表，然后利用K 2的计算公式求出其观测值，然后对照临界值，作出结论．3．由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，利用二项分布的性质与计算公式简化运算．变式训练4 (2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上组25周岁以下组图6－3－7(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋dP(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828 【解】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．∴日平均生产件数不足60件的工人有3＋2＝5人．从5人中任取2人有n＝C25＝10种取法．记“至少抽到一名25周岁以下组”为事件A，则A表示“抽到的2人均是25周岁以上组”．∵P(A)＝C2310＝310＝0.3.故P(A)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，因此可列2×2的列联表如下：生产能手非生产能手合计25 周岁以上组15456025周岁以下组152540 合计3070100所以得K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．从近两年高考命题看，以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．预测2014年高考仍将以此为载体全面考查学生的应用意识和分析问题的能力．概率与统计交汇问题的求解方法(12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图6－3－8所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－8(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2 人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【规范解答】(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.3分(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.5分因此ξ可能取0,1,2三个值．P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.9分ξ的分布列为ξ01 2P 611922122故E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.12分【阅卷心语】易错提示(1)不能正确运用频率分布直方图求出x的值及有关数据．(2)计算能力差，求错P(ξ＝k)(k＝0,1,2)的概率，导致错误．(3)解题步骤不规范，没有适当的文字说明．防范措施(1)认真审题，根据题目要求，准确从图表中提取信息．(2)正确找出随机变量ξ的取值，并求出取每一个值的概率，提高计算能力．(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象．1．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10 000名学生成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图6－3－9)，则总成绩在[400,500)内共有( )图6－3－9A．5 000人B．4 500人C．3 250人 D．2 500人【解析】由频率分布直方图可求得a＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4 500人．【答案】 B图6－3－102．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图6－3－10所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13，该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为1633.。

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版：专题突破练20 统计与统计案例

专题突破练20统计与统计案例1.(2019全国卷3,文17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).2.(2019山西吕梁4月模拟,文19)某高科技公司投入1 000万元研发某种产品,大规模投产后,在产品出库进入市场前,需做严格的质量检验.为此,从库房的产品中随机抽取200件,检测一项关键的质量指标值(记为X),由检测结果得到如下样本频率分布直方图:(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)该公司规定:当X>170时,产品为正品;当X≤170时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利80元;若是次品,则亏损20元.①估计这200件产品中正品、次品各有多少件;②求公司生产一件这种产品的平均利润.3.(2019全国卷1,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:K2=-.4.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到上表中数据,根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?附:K2=-,其中n=a+b+c+d.5.(2019河北衡水同卷联考,文18)2014年1月25日,中共中央办公厅、国务院办公厅专门发布了《关于创新机制扎实推进农村扶贫开发工作的意见》,对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署,提出建立精准扶贫工作机制.某乡镇根据中央文件精神,在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表:(1)根据2015~2018年的数据,求出y关于x的线性回归方程x+;(2)利用(1)中求出的线性回归方程,试估计到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.-.附:-6.(2019山东德州一模,文18)改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入(户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高.我国某地区2012年到2018年户均家庭教育投入(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况,并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少?-.附:-7.(2019安徽江淮十校联考一,文19)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码x=年份-2013.(1)已知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2018年该百货零售企业的线下销售额;(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?-.K2=-,n=a+b+c+d.参考公式及数据:-8.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得x i=9.97,s=-- ≈0.212,-≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)--附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=.≈0.09.--参考答案专题突破练20统计与统计案例1.解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.2.解(1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为:=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02=200,方差为:s2=(-60)2×0.02+(-40)2×0.08+(-20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600.(2)①由题意知,产品是正品的频率为1-(0.001+0.004)×20=0.9,则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件),是次品的件数为20件;②由题意知,生产一件产品的平均利润为0.9×80-0.1×20=70(元).3.解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2=-≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.解(1)由题图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人,设后四组的频数构成的等差数列的公差为d,则(27-d)+(27-2d)+(27-3d)=63,解得d=3,所以后四组频数依次为27,24,21,18,所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人,故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×=820(人).(2)K2=-≈4.110>3.841,因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.5.解(1)因为=2.5,=70,x i y i=1×55+2×69+3×71+4×85=746,=1+4+9+16=30,=9.2,所以--=70-9.2×2.5=47.因此,所求线性回归方程为=9.2x+47.(2)根据(1)中求得的线性回归方程可估算出2019年脱贫户数:=9.2×5+47=93,2020年脱贫户数:=9.2×6+47≈102.因为2015~2018年实际脱贫280户,2019年和2020年估计共脱贫195户,所以280+195=475>473,即到2020年底该乡镇的473户贫困户估计能够全部脱贫.6.解(1)由所给数据计算得×(1+2+3+4+5+6+7)=4,×(3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)=4.8,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14.--=0.5,-=4.8-0.5×4=2.8.所求回归方程为=0.5t+2.8.(2)由(1)知,b=0.5>0,故2012年至2018年该地区户均家庭教育投入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2019年的年份代号t=8代入(1)中的回归方程,得=0.5×8+2.8=6.8.故预测该地区2019年户均家庭教育投入为6.8千元.7.解(1)由题意得=2.5,=200,=30,x i y i=2 355,所以----=71,所以=200-71×2.5=22.5,所以y关于x的线性回归方程为=71x+22.5.由于2018-2013=5,所以当x=5时,=71×5+22.5=377.5,所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.(2)由题可得2×2列联表如下:故K2的观测值k=-≈6.109,由于6.109>5.024,所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.--8.解(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=--≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为(1 591.134-9.222-15×10.022 ≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.。

2019届高考数学(文科)二轮专题复习习题第1部分专题七概率与统计 1.7.1 含答案

限时规范训练(十七) 概率及其应用限时50分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.13解析：选A.事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 2．(2017·山东潍坊模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2mn解析：选C.如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得mn＝14π12⇒π＝4mn.故选C. 4．(2017·山东威海二模)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A.16 B.13 C.14D.12解析：选A.由题意可知m ＝(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为16.5．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法(如图1)：画一个等边三角形ABC ，分别以A ，B ，C 为圆心，边长为半径，作圆弧︵BC ，︵CA ，︵AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2)．在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为()A.π8B.2π－334 C.π－22D.π－32解析：选 D.设鲁列斯曲边三角形的宽度为a ，则该鲁列斯曲边三角形的面积为3×16πa 2－2×34a 2＝π－3a 22，所以所求概率P ＝π－3a 22a2＝π－32，故选D.6．(2017·湖南六校联考)从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：选B.当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,3)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝47.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·山东泰安三模)在区间[－2,3]上任取一个数a ，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x有极值的概率为________．解析：区间[－2,3]的长度为5，f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ＋2.函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值等价于f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a 2－4(a ＋2)＞0，解得a ＜－1或a ＞2，又∵a ∈[－2,3]，∴－2≤a ＜－1或2＜a ≤3，区间范围的长度为2，∴所求概率P ＝25.答案：258．(2017·山东临沂模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．解析：根据题目条件知所有的数组(a ，b )共有62＝36组，而满足条件|a －b |≤1的数组(a ，b )有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P ＝1636＝49. 答案：499．(2017·杭州模拟)已知实数x ∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是________．解析：设实数x ∈[2,30]，经过第一次循环得到x ＝2x ＋1，n ＝2，经过第二循环得到x ＝2(2x ＋1)＋1，n ＝3，经过第三次循环得到x ＝2[2(2x ＋1)＋1]＋1，n ＝4，此时输出x ，输出的值为8x ＋7，令8x ＋7≥103得x ≥12，由几何概型得到输出的x 不小于103的概率为P ＝30－1230－2＝914.答案：914三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2017·北京海淀区模拟)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝920. (2)设答对题目数少于8的司机为A ，B ，C ，D ，E 其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710.11．(2017·甘肃兰州模拟)某市举行“职工技能大比武”活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．(1)若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率． (2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率．解：记甲厂派出的2名男职工为A 1，A 2,1名女职工为a ；乙厂派出的2名男职工为B 1，B 2,2名女职工为b 1，b 2.(1)从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，不同的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，b 1)，(a ，b 2)，共12种不同的选法．其中选出的2名职工性别相同的选法有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种不同的选法．故选出的2名职工性别相同的概率为P1＝612＝1 2.(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种不同的选法．其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种不同的选法．所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P2＝921＝37.12．为了吸引更多的优季学子，全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”，据悉甲、乙两所高校共收1 000名学生，分三个批次开展“夏令营活动”，每名学生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次，时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间，参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示：令营活动”的频率是0.21.(1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人，求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数；(2)已知135≤y≤150，求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率．解：(1)由题意知x1 000＝0.21，解得x＝210，第三批次参加“夏令营活动”的人数为y＋z＝1 000－(150＋200＋160＋210)＝280.现用分层抽样的方法在所有学生中抽取50名，应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数为501 000×280＝14.(2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数和参加乙大学“夏令营活动”的人数记为(y，z)，由(1)知y＋z＝280，且y，z∈N*，则总的基本事件有(135,145)，(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共16个．设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加甲大学‘夏令营活动’的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共10个，所以P (A )＝1016＝58.。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题七概率统计专题能力训练19 Word版含答案

专题能力训练19概率一、能力突破训练1.(2018全国Ⅱ,文5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.32.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A. B. C. D.4.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为 ()A. B.C. D.5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-B.-1C.2-D.6.记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.7.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(-1,1)垂直的概率为.8.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为.9.为了考察某厂2 000名工人的生产技能情况,随机抽查了该厂n名工人某天的产量(单位:件),整理后得到如下的频率分布直方图(产量的区间分别为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]),其中产量在[20,25)的工人有6名.(1)求这一天产量不小于25的工人数;(2)该厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训,求这两名工人不在同一分组的概率.10.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?11.某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的A,B两个小组所有同学所得分数(单位:分,百分制)的茎叶图如图,其中B组一同学的分数已被污损,但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分.(1)若在B组学生中随机挑选1人,求其得分超过85分的概率;(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学,设其分数分别为m,n,求|m-n|≤8的概率.二、思维提升训练12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()A. B. C. D.13.若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人,这5人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.14.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为.15.某校高二(1)班参加校数学竞赛,学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求高二(1)班参加校数学竞赛人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在[90,100]之间的概率.专题能力训练19概率一、能力突破训练1.D解析设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中2两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P==0.3.2.B解析因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为,故选B.3.C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)=.故选C.4.C解析设AC=x cm,0<x<12,则CB=(12-x)cm,要使矩形面积大于20 cm2,只要x(12-x)>20,则x2-12x+20<0,解得2<x<10,所求概率为P=.5.A解析由题设,S扇形ADE=S扇形CBF=×12=.又S矩形ABCD=2×1=2,∴该地点无信号的区域面积S=S矩形ABCD-2×=2-,因此所求事件的概率P==1-.6.解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.7.解析所有的(a,b)可能取值有12个,由向量m与向量n垂直,得m·n=0,即a=b.故满足向量m与向量n垂直的(a,b)共有2个:(3,3),(5,5),则所求概率为.8.0.96解析记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B∪C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.9.解(1)由题意得产量为[20,25)的频率为0.06×5=0.3,所以n==20,所以这一天产量不小于25的工人数为(0.05+0.03)×5×20=8.(2)由题意得,产量在[10,15)的工人数为20×0.02×5=2,记他们分别是A,B,产量在[15,20)的工人数为20×0.04×5=4,记他们分别是a,b,c,d,则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有15种不同结果.其中2名工人不在同一组的为(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),有8种,故所求概率为P=.10.解(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.11.解(1)A组学生的平均分为=85(分),∴B组学生平均分为86分,设被污损的数为x,由=86,∴x=8,则B组学生的分数分别为93,91,88,83,75, 故在B组学生随机选1人所得分超过85分的概率P=.(2)A组学生的分数分别是94,88,86,80,77,在A组学生中随机抽取2名同学,其分数组成的基本事件(m,n)有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86), (88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77),共10个,随机抽取2名同学的分数m,n满足|m-n|≤8的事件有(94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77),共6个.故学生得分m,n满足|m-n|≤8的概率P=.二、思维提升训练12.B解析1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;满足两球颜色为一白一黑的有6种,概率等于.13.D解析记事件A:甲或乙被录用.从5人中录用3人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,∴A的对立事件的概率为P()=,故P(A)=1-P()=.14.解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.区域Ω2就是图中△OAB 内部(含边界),且S△OAB=×22=2.由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=.15.解(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,所以高二(1)班参加校数学竞赛人数为=25.所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.(2)设至少有一人分数在[90,100]之间为事件A.将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2人编号为5,6.在[80,100]之间任取两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个.根据古典概型概率计算公式,得P(A)=.。

2019届高考数学二轮复习阶段提升突破练(三)概率与统计文新人教A版.doc

2019届高考数学二轮复习阶段提升突破练（三）概率与统计文新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·宜宾二模)某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为85mm,现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测,其尺寸用茎叶图表示如图(单位:mm),则估计( )A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B.甲、乙生产的零件质量相当C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好【解析】选D.甲的零件尺寸是:93,89,88,85,84,82,79,78;乙的零件尺寸是:90,88,86,85,85,84,84,78;故甲的中位数是:=84.5,乙的中位数是:=85;故A错误;根据数据分析,乙的数据稳定,故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好,故B,C错误.2.(2017·长沙二模)一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b分别是数列{2n-2}(n∈N*)的第2项和第4项,则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b分别是数列{2n-2}(n∈N*)的第2项和第4项,所以a=22-2=1,b=24-2=4,所以s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.3.(2017·黄冈一模)电子钟一天显示的时间从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.一天显示的时间总共有24×60=1440种,和为23有09:59,19:58,18:59,19:49总共有4种,故所求概率为P==.4.在矩形ABCD中,AB=2AD,在CD上任取一点P,△ABP的最大边是AB的概率是( )A. B. C.-1 D.-1【解析】选D.设AD=a,当AB=AP时,(2a)2=a2+(2a-PC)2⇒PC=(2-)a或PC=(2+)a(舍去),所以所求概率为1-=-1.5.(2017·大同一模)有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 B.设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何概型,则P1===,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.6.为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为11.75,则+的最小值为( )A.9B.C.3D.【解析】选 C.根据茎叶图中的数据,该组数据的平均数为=×(a+11+13+20+b)=11.75,所以a+b=3;所以+==+++=++≥+2=+2×=3,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取“=”;所以+的最小值为3.7.利用计算机产生120个随机正整数,其最高位数字(如:34的最高位数字为3,567的最高位数字为5)的频数分布直方图如图所示,若从这120个正整数中任意取出一个,设其最高位数字为d(d=1,2,…,9)的概率为P.下列选项中,最能反映P与d的关系的是( )A.P=lgB.P=C.P=D.P=×【解析】选 A.P是d的减函数,所以排除C;由P(1)+P(2)+…+P(9)=1得,对于P=lg,P(1)+P(2)+…+P(9)=lg=lg10=1;对于P=, P(1)+P(2)+…+P(9)=++…+>1;对于P=×,P(1)+P(2)+…+P(9)=·<1,所以最能反映P与d的关系的是A.8.如图,正方形ABCD是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正方形拼接而成,现随机地向大正方形内部区域投掷小球,若直角三角形的两条直角边的比是2∶1,则小球落在小正方形区域的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意可知:直角三角形的两条直角边的比是2∶1,设直角边分别为2k,k,因此,正方形的边长为k,内部小正方形的边长为k,因此小球落在小正方形区域的概率为P==.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2017·资阳一模)某厂在生产某产品的过程中,产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表所示.根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+.当产量为80吨时,预计需要生产能耗为________吨.【解析】由题意,=45,=35,代入=0.7x+,可得=3.5,所以当产量为80吨时,预计需要生产能耗为0.7×80+3.5=59.5(吨).答案:59.510.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.答案:0.111.从2,3,8,9中任取两个不同的数值,分别记为a,b,则log a b为整数的概率为________.【解析】从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有=12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,所以其概率P==.答案:12.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.【解析】从4只球中一次随机摸出2只,共有6种摸法,其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种,所以其概率为.答案:三、解答题(每小题10分,共40分)13.(2017·南充一模)某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高.(2)规定综合得分85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.【解析】(1)根据茎叶图知,东城区的平均分为=(78+79+79+88+88+89+93+94)=86,西城区的平均分为=(72+79+81+83+84+85+94+94)=84,所以东城区的平均分较高.(2)从两个区域各选一个优秀厂家,所有的基本事件数为5×3=15种,满足得分差距不超过5的事件(88,85)(88,85)(89,85)(89,94)(89,94)(93,94)(93,94)(94,94)(94,94)共9种,所以满足条件的概率为P==.14.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得=x i=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=,≈0.09.【解析】(1)因为1,2,3,…,16的平均数为8.5,所以样本(x i,i)(i=1,2,…,n)的相关系数r==≈-0.178,|r|=0.178<0.25,所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①-3s=9.97-3×0.212=9.334,+3s=9.97+3×0.212=10.606,第13个零件的尺寸为9.22,9.22<9.334,所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查.②剔除9.22,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为==10.02, 标准差为s==≈0.09.15.(2017·衡水一模)互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势,推动了互联网餐饮行业的发展,而“80后”“90后”逐渐成为餐饮消费的主力,年轻人的餐饮习惯的改变,使省时、高效、正规的外送服务逐渐进入消费者的视野,美团外卖为了调查市场情况,对50人进行了问卷调查得到了如下的列联表,按照出生年龄,对喜欢外卖与否,采用分层抽样的方法抽取容量为10的样本,则抽到喜欢外卖的人数为6.(1)请将下面的列联表补充完整:(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关?说明你的理由.(3)把“80后”中喜欢外卖的10个消费者从2到11进行编号,从中抽取一人,先后两次抛掷一枚骰子,出现的点数之和为被抽取的序号,试求抽到6号或10号的概率.下面的临界值表供参考:≥(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解题导引】(1)由题意,喜欢外卖的人数为50×0.6=30,不喜欢外卖的人数为20,我们易得到表中各项数据的值.(2)我们可以根据列联表中的数据,代入参考公式,计算出K2的值,然后对比临界值表,即可得到答案.(3)本小题考查的知识点是古典概型,关键是要找出满足条件的基本事件的个数,及总的基本事件的个数,再代入古典概型公式进行计算求解.【解析】(1)由题意,喜欢外卖的人数为50×0.6=30,不喜欢外卖的人数为20,(2)根据列联表中的数据,得到K2=≈8.333>7.879.因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关.(3)设“抽到6或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36个.事件A包含的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共8个,所以P(A)==.16.(2017·贵阳二模)为检测空气质量,某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度(单位:微克/立方米)监测数据,得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图,并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).(2)通过调查,该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级:记事件C:“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”,假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立,根据所给数据,利用样本估计总体的统计思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C的概率.【解题导引】(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表能作出相应的频率分布直方图,由频率分布直方图能求出结果.(2)记A1表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”,A2表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”,B1表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”,B2表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”,则A1与B1独立,A2与B2独立,B1与B2互斥,C=B1A1∪B2A2,由此能求出事件C的概率.【解析】(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图,如图:由频率分布直方图得:甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值,而且甲地的数据比较集中,乙地的数据比较分散.(2)记A1表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”,A2表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”,B1表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”,B2表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”,则A1与B1独立,A2与B2独立,B1与B2互斥,C=B1A1∪B2A2,P(C)=P(B1A1∪B2A2)=P(B1)P(A1)+P(B2)P(A2),由题意P(A1)=,P(A2)=,P(B1)=,P(B2)=,所以P(C)=×+×=.。

2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：六统计与概率专题对点练20(含答案)

专题对点练20　统计与概率1.为了检验学习情况,某培训机构于近期举办一场竞赛活动,分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析,其成绩的茎叶图如图所示(单位:分),假设成绩不低于90分者被命名为“优秀学员”.(1)分别求甲、乙两班学员成绩的平均分(结果保留一位小数);(2)从甲班4名优秀学员中抽取2人,从乙班2名80分以下的学员中抽取1人,求三人平均分不低于90分的概率.2.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.3.(2018北京,文17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)4.近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人.(1)求该组织的人数;(2)若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(3)在(2)的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.5.某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度,从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查,结果可以分成以下三类:支持、反对、无所谓,调查结果统计如下:支持无所谓反对高一年级18x 2高二年级106y(1)①求出表中的x ,y 的值;②从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况,求恰好抽取高一、高二各1人的概率;(2)根据表格统计的数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关.(不支持包括无所谓和反对)高一年级高二年级总计支持不支持总计附:K 2=,其中n=a+b+c+d.n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )P (K 2≥k 0)0.100.050.01k 02.7063.8416.635专题对点练20答案1.解 (1)甲班学员的平均分为88.1;乙班学员的平均分为89.0.(2)所有抽取情况为:92,94,78;92,94,79;92,106,78;92,106,79;92,108,78;92,108,79;94,106,78;94,106,79;94,108,78;94,108,79;106,108,78;106,108,79.总共有12种.这12种情况中,平均分不低于90分的情况有10种.所以三人平均分不低于90分的概率为.1012=562.解 (1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},共3个,则所求事件的概率为P=.315=15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有:{A 1,B 2},{A 1,B 3},共2个,则所求事件的概率为P=.3.解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为=0.025.502 000(2)(方法一)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故估计所求概率为1-=0.814.3722 000(方法二)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1 628(部).由古典概型概率公式,得P (B )==0.814.1 6282 000(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.4.解 (1)由题意,得第2组的人数为35=5×0.07×n ,得到n=100,故该组织有100人.(2)第3组的人数为0.06×5×100=30,第4组的人数为0.04×5×100=20,第5组的人数为0.02×5×100=10,所以第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组×6=3;第4组×6=2;第5组×6=1.306020601060所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.(3)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1,则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种.其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3至少有一名志愿者被抽中的有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2, B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),共有12种.则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为.1215=455.解 (1)①由题可得x=5,y=4.②假设高一持反对的编号为A 1,A 2,高二持反对的编号为B 1,B 2,B 3,B 4,则选取两人的所有结果为(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4),(A 2, B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 1,B 4),(B 2,B 3),(B 2,B 4),(B 3,B 4).∴恰好抽取高一、高二各1人包含8个事件,∴所求概率P=.815(2)列联表如图:高一年级高二年级总计支　持181028不支持71017总　计252045K 2==2.288<2.706.45×(180-70)228×17×25×20故没有90%的把握认为持支持与就读年级有关.。

高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升规范解答示例4概率与统计文科

得分分布：谢谢观看 Nhomakorabea(2)
y
＝
1 100
(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝
0.30①，(8分)
①处计算要使用区间中点值.
s2＝
1 100
[2×(－0.1－0.3)2＋24×(0.1－0.3)2＋53×(0.3－0.3)2＋14×(0.5
－0.3)2＋7×(0.7－0.3)2]＝0.029 6，(10分)
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负
增长的企业比例；
切入点：满足条件的企业个数
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到 0.01) 关键点：平均数、方差的计算公式
附： 74≈8.602．
s＝ 0.029 6＝0.02× 74≈0.17，(11分)
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30
和0.17．(12分)
阅卷现场评分细则：第(1)问得分点及说明： ①不能找出满足条件的企业的个数不得分； ②未进行作答或说明的扣1分；第(2)问得分点及说明： ③公式使用错误不得分； ④方差计算错误扣2分； ⑤不利用已知数据求标准差的扣1分．
第二部分
专题篇•素养提升(文理)
规范解答示例4 概率(文科)
[高考真题] (2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [－0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)

2019高考数学文科总复习第20单元【统计、统计案例、概率】测试A卷及答案解析

第二十单元统计、统计案例、概率卷A一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3B．16C．38D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48D．7，17，27，37，47100,120内的学5．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]生人数为（）A．36B．25C．22D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24B．18C．12D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A ．99%B ．97.5%C ．95%D ．90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（）A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（）A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（）A ．4m B ．m C ．4n D ．n 11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s ，则另一组数132x +，232x +，，32n x +的平均数和方差分别是（）A ．3x ，2s B ．32x +，2s C ．32x +，23s D ．32x +，23262s s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数x (天)34567繁殖个数y (千个)2345c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++＝16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.001|3.8416.63510.828P K kk≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：时间点8点10点12点14点16点18点甲游乐场1031261220乙游乐场13432619（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．第二十单元统计、统计案例、概率卷A一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ．3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ．4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ．5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=，解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=，所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ．6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++，根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ．7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ．8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：123453x ++++==，556686y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =，解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ．【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=，所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ．10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4m nπ=，故选A ．11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ．12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s1+，2+n +，方差是2223s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=，∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=．14．【答案】9【解析】根据上表的数据，根据平均数的公式可得：345675x ++++==，234514c c y +++++==，把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =．15．【答案】5%【解析】参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%．【解析】600=S ，所以36=S ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521PM =（）．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．所以，事件M 发生的概率为521PM =（）．18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ．【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802+==m ．列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．20．【答案】（1）1046ˆy t =+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．【解析】（1所求回归方程为1046ˆy t =+．（2）由（1）知，ˆ100b=>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=．故预测该商城8月份的销售额为126万元．21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元．（2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这222．【答案】（1）13；（2）815．【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为21==P ．（2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ；故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种，其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P ．。

2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第二篇考点四考查角度2概率与统计的综合应用Word版含解析

考察角度 2概率与统计的综合应用分类透析一古典概型的综合应用例 1 一个均匀的正四周体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机扔掷两次 , 设正四周体朝下边的数字分别为b, c.(1)若 z=|b- 3|+|c- 3| ,求 z=2的概率;(2) 若方程x2-bx-c= 0 起码有一个根x∈{1,2,3,4},就称该方程为“美丽方程” , 求方程为“美丽方程”的概率.剖析 (1) 用列举法列失事件 , 再依据要求求解.(2) 分类议论.分析 (1) 由于随机扔掷两次 , 因此基本领件 ( b, c) 有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16个.当 z=2时,( b, c)的所有取值有(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共6个.因此 P( z=2) = = .(2)①若方程的一个根为 x=1,则1-b-c= 0,即 b+c=1,不建立 .②若方程的一个根为 x=2,则4- 2b-c= 0,即 2b+c=4, 因此,③若方程的一个根为x=3,则9- 3b-c= 0,即 3b+c=9, 因此,④若方程的一个根为x=4,则16- 4b-c=0,即 4b+c=16, 因此,由①②③④知,( b, c) 的所有可能取值为 (1,2),(2,3),(3,4).因此方程为“美丽方程”的概率P= .方法技巧古典概型中基本领件个数的探究方法(1)列举法 .(2)树状图法 : 合适于较为复杂的问题中的基本领件的探究.对于基本领件有“有序”与“无序”区其他题目, 常采纳树状图法.(3)列表法 : 合用于多元素基本领件的求解问题 , 经过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目详细化 .分类透析二统计与古典概型的综合应用例 2 据统计 ,2017 年国庆中秋假日时期 , 黔东南州共招待游客 590.23 万人次 , 实现旅行收入 48. 67 亿元 , 同比分别增加 44. 57%、 55. 22%.旅行企业规定 : 若企业导游招待游客 , 旅行年总收入不低于 40( 单位 : 百万元 ), 则称为优异导游.经验表示 , 若企业的优异导游率越高 , 则该企业的影响度越高.已知甲、乙两家旅行企业各有导游 100 名, 统计他们一年内旅行总收入 , 分别获得甲企业的频次散布直方图和乙企业的频数散布表 :分 [10, [20, [30, [40, [50, 组20) 30) 40) 50) 60)频b1849245数乙企业(1)求 a, b 的值,并比较甲、乙两家旅行企业,哪家的影响度更高?(2)若导游的奖金 ( 单位 : 万元 ) 与其一年内旅行总收入x( 单位 : 百,,万元 ) 之间的关系为y=,, 求甲企业导游的年均匀奖金.,(3)从甲、乙两家企业旅行收入在 [50,60) 的总人数中 , 用分层抽样的方法随机抽取 6 人进行表彰 , 此中有两名导游代表旅行行业去参加会谈 , 求参加会谈的导游中有乙企业导游的概率.剖析 (1) 由频次和为 1 可求得a=0. 02, 由频数为 100 可求得b=4.从而可求得甲、乙企业的导游优异率 , 得结论.(2)先求甲企业年旅行总收入分别在 [10,20),[20,40),[40,60)内的人数 , 再用均匀数公式求甲企业导游的年均匀奖金.(3)由已知得按分层抽样的方法 , 甲企业抽取 4 人, 记为a, b, c, d; 乙企业抽取 2 人, 记为 1,2 .则 6 人中随机抽取 2 人的基本领件有 15 个. 参加会谈的导游中有乙企业导游的基本领件有9个,按公式可求所求概率 .分析 (1) 由频次散布直方图知(0 . 01+0. 025+0. 035+a+0. 01) ×10=1, 解得a=0. 02,由频数散布表知 b+18+49+24+5=100,解得 b=4.∴甲企业的导游优异率为 (0 . 02+0. 01) ×10=30%;乙企业的导游优异率为=29%.∵30%>29%,∴甲企业的影响度更高.(2)甲企业年旅行总收入在 [10,20) 内的人数为0. 01×10×100=10 人;年旅行总收入在 [20,40) 内的人数为(0 . 025+0. 035) ×10×100=60 人;年旅行总收入在 [40,60) 内的人数为 (0 . 02+0. 01) ×10×100=30 人.故甲企业导游的年均匀奖金==2. 2(万元).(3)由已知得 , 年旅行总收入在 [50,60) 内的人数为 15 人, 此中甲企业 10 人, 乙企业 5 人.故按分层抽样的方法甲企业抽取6× =4人,记为 a , b , c ,d ; 从乙企业抽取 6×=2 人, 记为 1,2 .从 6 人中随机抽取 2 人的基本领件有( a , b ),( a , c ),( a , d ),( a ,1),( a ,2),( b , c ),( b , d ),( ,( c ,1),( c ,2),( d ,1),( d ,2),(1,2), 共 15 个.参加会谈的导游中有乙企业导游的基本领件有b ,1),( b ,2),(c ,d )( a ,1),( a ,2),( b ,1),( b ,2),( c ,1),( c ,2),( d ,1),( d ,2),(1,2),共9个.设事件 A 为“参加会谈的导游中有乙企业导游”, 则 P ( A ) = = .∴所求概率为 .方法技巧以统计为载体 , 利用统计中的数据来求古典概型的概率, 仍用列举法求解 .分类透析三独立性查验与古典概型的综合应用例 3 最近几年来 , 我国电子商务蓬勃发展 , 相关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评论系统 , 从该系统中随机选出 100 次成功了的交易 , 并对这些交易的评论进行统计 , 网购者对商品的满意率为 0. 6, 对服务的满意率为 0. 75, 此中对商品和服务都满意的交易为 40 次.(1) 依据已知条件达成下边的 2×2 列联表 , 并回答可否有 99%的掌握以为“网购者对服务满意与对商品满意之间相关” .对服务对服务共计满意不满意对商品40满意对商品不满意共计100(2) 现从对商品和服务都不满意的网购者中 , 随意抽取两人 ,对他们进行回访 , 求对商品和服务都不满意的网购者甲被抽到的概率.2-( 此中 n=a+b+c+d 为样本容量 ) .附: K=P (K 2≥ 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 k 0) 5 0 5 25 10k 0 2.0 2.7 3.8 5.0 6.672 06 41 24 35剖析 (1) 利用数据填写列联表即可 , 求出 K 2 的观察值 , 比较临界值即可获得结论 ;(2) 由(1) 知对商品和服务都不满意的网购者共有 5 人, 利用列举法求出所求随机事件的概率 .分析 (1) 对服务对服务共计满意不满意对商品402060满意对商品35540不满意25100共计752-≈5. 556<6. 635,K 的观察值 k=∴没有 99%的掌握以为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关” .(2) 由(1) 知对商品和服务都不满意的网购者共有 5 人, 记他们是甲、乙、丙、丁、戊 , 从他们中随意抽取两人 , 有( 甲乙 ),( 甲丙 ),( 甲丁),( 甲戊 ),( 乙丙 ),( 乙丁 ),( 乙戊 ),( 丙丁 ),( 丙戊 ),( 丁戊 ), 共 10种抽法 , 此中甲被抽到的有 ( 甲乙 ),( 甲丙 ),( 甲丁 ),( 甲戊 ), 共 4 种抽法, 因此所求概率为= .方法技巧 (1) 利用公式求出K2的观察值 , 比较临界值即可获得结论;(2)判断出是古典概型后 , 利用列举法求解古典概型概率问题.1. (2017 年全国Ⅲ卷, 文 18 改编 ) 某花店每天以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花 , 而后以每枝 10 元的价钱销售.假如当天卖不完 , 剩下的玫瑰花看作垃圾办理 .(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花 , 求当天的收益y( 单位 : 元) 对于当天需求量 n(单位:枝, n∈N的函数分析式;(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 ( 单位 : 枝), 整理得下表 :日需13 14 15 16 17 18 19求量 n频数 10 20 16 16 15 13 10①假定花店在这 100 天内每天购进 16 枝玫瑰花 , 求这 100 天的日收益(单位: 元)的均匀数 ;②若花店一天购进 16 枝玫瑰花 , 以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率 , 求当天的收益许多于 70 元的概率.分析 (1) 当天需求量n≥16 时, 收益y=80,当天需求量 n<16时,收益 y=10n- 80.因此 y 对于 n 的函数分析式为 y=- ,,( n∈N .,(2)①这 100 天中有 10 天的日收益为 50 元,20 天的日收益为 60 元,16 天的日收益为 70 元,54 天的日收益为 80 元,因此这 100 天的日收益的均匀数为×(50 ×10+60×20+70×16+80×54) =71. 4( 元) .②当天收益许多于 70 元, 改日需求量许多于 15 枝,故当天收益许多于 70 元的概率P=0. 16+0. 16+0. 15+0. 13+0. 1=0. 7.2. (2017 年全国 Ⅱ卷, 文 18 改编 ) 最近几年来 , 微信愈来愈受欢迎 , 很多人经过微信表达自己、沟通思想和传达信息 . 微信是现代生活中进行信息沟通的重要工具 , 而微信支付为用户带来了崭新的支付体验 , 支付环节由此变得简易而快捷 . 某商场随机对商场购物的 200 名顾客进行统计 , 结果以下 :40岁 40岁使用微以下以上8020信支付未使用60微信支 40付(1) 预计该地域 40 岁以上的人中 , 在商场购物时未使用微信支付的比例;(2) 可否有 99. 9%的掌握以为“使用微信支付与年纪相关”?参照公式 : K 2= -, n=a+b+c+d.参照数据 :P ( K 2≥0. 01 0. 000. 100. 05 k 0) 0 1k 02. 703. 846. 6310. 86 1 5 28分析 (1) 预计该地域 40 岁以上的人中 , 在商场购物时未使用微信支付的比率为= .(2) K 2 的观察值 k=-≈33. 3>10. 828.所有 99. 9%的掌握以为“使用微信支付与年纪相关” .1. (2018 海南高三联考 ) 某城市为鼓舞人们绿色出行 , 乘坐地铁 , 地铁企业决定依据乘客经过地铁站的数目实行分段优惠政策的地铁票价以下表 : , 不超出9 站乘坐站0<x 3<x 6<x数 x≤3 ≤6 ≤9票价 123( 元)有甲、乙两位乘客同从起点乘坐同一地 , 已知他乘坐地都不超 9 站, 且他各自在每个站下的可能性是同样的.(1)若甲、乙两人共付 2 元, 甲、乙两人下方案共有多少种 ?(2)若甲、乙两人共付 4 元, 求甲比乙先抵达目的地的概率.分析 (1) 由意知甲、乙乘坐地均不超 3 站,前 3 站A1 , B1, C1, 甲、乙两人有( A1, A1),( A1, B1 ),( A1, C1),( B1, A1),( B1, B1),( B1, C1),( C1, A1),( C1 , B1),( C1 ,C1),共9种下方案 .(2)9 站分A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3,因甲、乙两人共付4元,因此有甲付 1 元,乙付 3元;甲付 3元, 乙付 1 元; 甲付 2 元, 乙付 2 元共三状况.由 (1) 可知每状况中各有 9 种方案 , 因此甲、乙两人共付 4 元有 27种方案.而甲比乙先抵达目的地的方案有( A1, A3),(A1, B3),(A1, C3),(B1, A3),( B1, B3),( B1, C3),( C1, A3),( C1, B3),( C1 , C),( A , B),(A, C),( B, C),共12种,3222222故所求概率= .因此甲比乙先抵达目的地的概率.2. (2018 南大附中模 ) 《字听写大会》不停收新高 , 了防止“ 写危机” , 弘文化 , 某市大 10 万名市民行了字听写 . 从某社区居民中随机抽取50名市民的听写状况,被市民正确写字的个数所有在 160 到184 之, 将果按以下方式分红 6 : 第 1 [160,164), 第 2 [164,168 , ⋯, 第6 [180,184] .如所示的是按上述分方法获得的率散布直方.(1)若台者要从抽取的市民中 1 人行采 , 求被采人恰幸亏第 1 或第 4 的概率 ;(2)已知第 5,6 两市民中共有 3 名女性 , 方要从两中随机抽取 2 名市民成弘文化宣 , 求起码有 1 名女性市民的概率.分析 (1) 被采人恰幸亏第 1 或第 4 的率(0 . 05+0. 02) ×4=0. 28,∴被采人恰幸亏第 1 或第 4 的概率 0. 28.(2) 第 5,6 两的人数 (0 . 02+0. 01) ×4×50=6,∴第 5,6 两中共有 6 名市民 , 此中女性市民共 3 名.第 5,6 两中的 3 名男性市民分A, B, C,3名女性市民分x, y, z,从第 5,6 两中随机抽取 2 名市民成宣 , 共有 15个基本领件,列举以下 : AB , AC , Ax , Ay , Az , BC , Bx , By , Bz , Cx , Cy , Cz , xy , xz , yz. 起码有 1 名女性有 Ax , Ay , Az , Bx , By , Bz , Cx , Cy , Cz , xy , xz , yz , 共12 个基本领件 .∴从第 5,6 两组中随机抽取 2 名市民构成宣传队 , 起码有 1 名女性的概率为= .3. (2018 广东省高三第一次模拟 “微信运动”是一个近似计步数据库的民众账号 . 用户只要以运着手环或手机协办理器的运动数据为介 , 而后关注该民众号 , 就能看见自己与挚友每天行走的步数 , 并在同一排行榜上得以表现 . 现随机选用朋友圈中的 50 人, 记录了他们某一天的走路步数 , 并将数据整理以下 :步数 / 男性人女性人步数/ 人数/ 人 0~3000 1 0 3001~62 30006001~87 50008001~115 1100001000051以上规定 : 人一天行走的步数超出 8000 步时被系统评定为“踊跃型” , 不然为“懒惰型” .(1) 填写下边列联表 ( 单位 : 人), 并依据列表判断能否有 90%的掌握认为“评定种类与性别相关”;积懈总极怠型型计男女总计附:K 2=-,P ( K 2≥ 0. 10. 00. 00.0k 0) 0 5 25 10k 0 2. 73. 85. 06.606 41 24 35(2) 为了进一步认识“懒惰型”人群中每一个人的生活习惯 , 从步行数在 3001~6000 的人群中再随机抽取 3 人, 求选中的人中男性人数超出女性人数的概率 .分析 (1) 依据题意达成下边的列联表 :积懈总极怠计型型男201030女12820总321850计依据列联表中的数据 , 获得K2的观察值-k=≈0. 231<2. 706,因此没有 90%的掌握以为“评定种类与性别相关”.(2)设步行数在 3001~6000 中的男性的编号为 1,2, 女性的编号为a, b, c.从 5人中选用 3人有(1,2, a),(1,2,b),(1,2,c),(1,a, b),(1,a, c),(1,b, c),(2,a,b),(2, a, c),(2,b, c),( a, b, c),共10种状况 .切合条件的状况有 (1,2, a),(1,2,b),(1,2,c),共3种.故所求概率为.4. (2018 东北三省三校高三模拟 ) 某校从高一年级参加期末考试的学生中抽取 50 名学生 , 并统计了他们的数学成绩 ( 满分为 100 分), 将数学成绩进行分组 , 并依据各组人数制成以下频次散布表 :分组频数频次[40,5a0. 040)[50,63b0)[60,7140. 280)[70,8150. 300)[80,9c d0)[90,140. 0800]501共计(1)写出 a, b, c, d 的值,并预计本次考试整年级学生的数学均匀分( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 );(2)现从成绩在 [90,100] 内的学生中任选两名同学 , 从成绩在 [40,50) 内的学生中任选一名同学 , 共三名同学参加学习习惯问卷检查活动.若 A1同学的数学成绩为43分, B1同学的数学成绩为95分,求 A1, B1两同学恰巧都被选出的概率 .分析 (1) a=2, b=0. 06, c=12, d=0. 24.预计本次考试整年级学生的数学均匀分为45×0. 04+55×0. 06+65×0. 28+75×0. 3+85×0. 24+95×0. 08=73 . 8.(2)设数学成绩在 [90,100] 内的四名同学分别为B1, B2, B3, B4,成绩在 [40,50) 内的两名同学分别为A1, A2 ,则选出的三名同学有AB B, A BB, ABB, ABB, ABB , AB B, ABB, ABB, ABB, ABB , AB B11211311412312413421221321422322 4,A2B3B4 ,共12种状况 .A1B1B2, A1B1B3, A1B1B4,共3 A1, B1两名同学恰巧都被选出的有种情况.因此 A1, B1两名同学恰巧都被选出的概率P= = .。

2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：七概率统计专题能力训练18(含答案)

专题能力训练18统计与统计案例一、能力突破训练1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.1403.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s24.已知x与y之间的一组数据:y m35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为()A.1B.0.85C.0.7D.0.55.(2018全国Ⅲ,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.6.某样本数据的茎叶图如图,若该组数据的中位数为85,则该组数据的平均数为.7.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.8.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.9.(2018全国Ⅰ,文19)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)二、思维提升训练10.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位经计算得x i=9.97,s=≈0.212,≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=≈0.09.11.(2018全国Ⅲ,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,专题能力训练18统计与统计案例一、能力突破训练1.B解析标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B.2.D解析由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数为200×0.7=140.故选D.3.D解析,s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2],月工资增加100元后:'=+100=+100,s'2=[(x1+100-')2+(x2+100-')2+…+(x10+100-')2]=s2.故选D.4.D解析由题意,得=1.5,(m+3+5.5+7)=,将()代入线性回归方程为=2.1x+0.85,得m=0.5.5.分层抽样解析因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.6.85.3解析依题意得,将样本数据由小到大排列,中间的两个数之和等于85×2=170,因此x=6,样本数据的平均数等于(70×2+80×6+90×2+53)=85.3.7.18解析抽取比例为,故应从丙种型号的产品中抽取300×=18(件),答案为18.8.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.9.解(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).二、思维提升训练10.解(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(ⅰ)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.11.解(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m==80.列联表如下:(3)由于K2==10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.。

(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习专题能力训练20 概率、统计与统计案例理

专题能力训练20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车,小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（)A。

B.C. D.2.已知x与y之间的一组数据：x0123y m35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2。

1x+0。

85,则m的值为（）A.1 B。

0。

85 C。

0.7 D.0。

53。

某市2016年各月的平均气温(℃）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A。

19 B。

20 C。

21.5 D.234.（2018全国Ⅱ,理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23。

在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A. B.C。

D.5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x/万元8。

28。

610.011.311。

9支出y/万元6。

27.58.08。

59。

8根据上表可得回归直线方程x+，其中=0。

76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A。

11.4万元B.11.8万元C。

12.0万元D。

12。

2万元6。

如图,点A的坐标为（1,0),点C的坐标为(2,4）,函数f(x)=x2。

若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.7。

有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为.8.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300，100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件。

9。

一辆小客车有5个座位，其座位号为1，2,3，4,5,乘客P1,P2,P3，P4，P5的座位号分别为1，2,3，4，5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。

2019年全国版高考数学必刷题：第二十单元概率与统计的综合应用

第二十单元概率与统计的综合应用考点一概率1.(2015年全国Ⅰ卷)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为().A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.【答案】A2.(2015年全国Ⅱ卷)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.【解析】(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为,,,,故P(C A1)=,P(C A2)=,P(C B1)=,P(C B2)=,P(C)=×+×=0.48.考点二离散型随机变量的期望与方差3.(2017年全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.【解析】由题意得X~B(100,0.02),∴DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96.【答案】1.964.(2016年全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【解析】(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.5.(2017年山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X的数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.6.(2016年山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.【解析】(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC,由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+P()+P(A CD)+P(AB)+P(ABC=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(P(B)P(C)P(D)+P(A)P(P(C)P(D)+P( A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2××××+×××=,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)根据题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×==,P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,P(X=3)=×××+×××==,P(X=4)=2×==,P(X=6)=×××==.可得随机变量X的分布列为所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.7.(2017年全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【解析】(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n,因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.8.(2016年全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列.(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值.(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040;当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.所以当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.考点三正态分布9.(2015年山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为().附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(-3<ξ<3)=0.6826,P(-6<ξ<6)=0.9544,故P(3<ξ<6)=--==0.1359=13.59%,故选B.【答案】B10.(2017年全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性. ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 = x i =9.97,s= - =- ≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值＾,用样本标准差s 作为σ的估计值＾,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( ＾-3 ＾, ＾+3 ＾)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B (16,0.0026).因此P (X ≥1)=1-P (X=0)=1-0.997416≈0.0408.X 的数学期望EX=16×0.0026=0.0416.(2)①如果生产状态正常,那么一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由 =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为＾=9.97,σ的估计值为＾=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在( ＾-3 ＾, ＾+3 ＾)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除( ＾-3 ＾, ＾+3 ＾)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02. 因此μ的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除( ＾-3 ＾, ＾+3 ＾)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.高频考点:相互独立事件的概率、二项分布、正态分布、超几何分布、离散型随机变量的均值与方差.命题特点:离散型随机变量主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值和方差的概念,重点考查n次独立重复试验的模型及二项分布,试题往往涉及古典概型、二项式定理等内容,其难度不会太大;正态分布主要考查随机变量在某一区间取值的概率,但题型可能较灵活,背景更新颖.§20.1离散型随机变量及其分布列一离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为,所有取值可以一一列出的随机变量,称为随机变量.二离散型随机变量的分布列及其性质1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,以表格的形式表示如下:上表称为离散型随机变量X的.2.离散型随机变量的分布列的性质:(1)p i≥0(i=1,2,…,n);(2)=1.三常见的离散型随机变量的分布列1.两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率.2.超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量X服从超几何分布.即X m☞左学右考若随机变量X 的分布列中概率为P (X=i )=(i=1,2,3),则P (X=2)等于( ).A. B.C. D.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X=0)等于( ).A.0B.C. D.为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源人数如下表:若要求选出两位队员代表发言,设其中来自北京队的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.知识清单一、随机变量离散型二、1.p 1 p 2 p i p n 概率分布列 2.(2)p 1+p 2+…+p n三、2.--------基础训练1.【解析】由题意知, + +=1,∴=1,∴a=3,∴P (X=2)= =.【答案】C2.【解析】由已知得X 的所有可能取值为0,1,且P (X=1)=2P(X=0).由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)=.【答案】C3.【解析】ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,故ξ的分布列为题型一离散型随机变量的分布列的性质【例1】已知离散型随机变量X的分布列为求:(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.【解析】由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3,且2X+1和|X-1|的值(列表)为(1)2X+1的分布列为(2)|X-1|的分布列为(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.【变式训练1】(1)设随机变量Y的分布列为则“≤Y≤”的概率为().A. B. C. D.(2)设随机变量X的概率分布列如下表:若F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于().A. B. C. D.【解析】(1)由题意知,+m+=1,解得m=.故P=P(Y=2)+P(Y=3)=+=.(2)由分布列的性质,得a++=1,解得a=.又x∈[1,2),所以F(x)=P(X≤x)=+=.【答案】(1)C(2)D题型二两点分布【例2】若离散型随机变量X的分布列如图,则常数c的值为().A.或B.C.D.1【解析】由随机变量的分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,解得c=.【答案】C【变式训练2】若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数,求D(ξ)的最大值.【解析】由题意可知,ξ服从两点分布,其分布列为所以E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2,由二次函数知识可得D(ξ)的最大值为.题型三超几何分布【例3】为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列;(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【解析】(1)由题图可知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人的指标y的值小于60 的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考【变式训练3】某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩(百分制)分布在[50,100]内,同时为了了解学生爱好数学的情况,从中随机抽取了n名学生,这n名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示,各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.(1)求n,p的值;(2)用分层抽样的方法,从体能成绩在[70,90)的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动,现从6人中随机选取2人担任领队,记体能成绩在[80,90)内领队人数为X人,求X的分布列.【解析】(1)由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,得第一组的频率为0.02×10=0.2,第一组的人数为=200,由总数等于频数除以频率得n=1000,第二组的频率为1-(0.02+0.025+0.015+0.01)×10=0.3,第二组的人数为1000×0.3,因此p==0.65.(2)[80,90)内人数为0.015×10×1000=150,a=150×0.4=60,再根据分层抽样得在[70,80)内抽出4人,在[80,90)内抽出2人,随机变量X=0,1,2,P(X=0)===,P(X=1)==,P(X=2)==.故X的分布列为方法一公式法直接用公式计算离散型随机变量的分布列,主要考查两种类型:一是以排列、组合知识为基础,以摸球、选取、数字等古典概型的求解为背景;二是以相互独立事件、独立重复试验等概率的求解为基础求解其分布列.【突破训练1】研究塞卡病毒(Zika Virus)某种疫苗的过程中,为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z症状的情况,做接种试验,试验设计每天接种一次,连续接种3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为,假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.(1)若出现Z症状即停止试验,求试验至多持续一个接种周期的概率;(2)若在一个接种周期内出现2次或3次Z症状,则这个接种周期结束后终止试验,试验至多持续3个周期,设接种试验持续的接种周期数为ξ,求ξ的分布列.【解析】(1)试验至多持续一个接种周期分三种情况:第一天出现Z症状;直至第二天出现Z症状;直至第三天出现Z症状.试验至多持续一个接种周期的概率P1=+×+××=++=.(2)随机变量ξ=1,2,3,设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”,则P(ξ=1)=P(C)=×+=,P(ξ=2)=[1-P(C)]×P(C)=×=,P(ξ=3)=[1-P(C)]×[1-P(C)]×1=,所以ξ的分布列为方法二方程法【突破训练2】某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有A、B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少有一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.(1)求一个零件经过检测为合格品的概率;(2)依次任意抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率;(3)依次任意抽取该零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求E(ξ)与D(ξ).解【解析】(1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2,由题意得-得或所以一个零件经过检测为合格品的概率为P1×P2=.(2)任意抽出5个零件进行检测,其中至多3个零件是合格品的概率为1--=.(3)依题意知,ξ服从二项分布,即ξ~B,故E(ξ)=4×=2,D(ξ)=4××=1.1.(2017莱芜模拟改编)设X是一个离散型随机变量,其分布列为则q的值为().A.1B.±C.-D.+【解析】由分布列的性质知解得q=-.【答案】C2.(2017福州调研)已知随机变量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如下表,则n的值为().A. B. C. D.【解析】η=4ξ-2⇒E(η)=4E(ξ)-2⇒7=4×E(ξ)-2⇒E(ξ)=⇒=1×+2×m+3×n+4×,又+m+n+=1,联立可解得n=,故选A.【答案】A3.(2017咸阳模拟)在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于的是().A.P(X=6)B.P(X≤6)C.P(X=4)D.P(X≤4)【解析】X服从超几何分布,P(X=k)=,故k=4,故选C.【答案】C4.(2017临沂月考)若随机变量X的分布列为则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是().A.(-∞,2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,2)【解析】由随机变量X的分布列知,P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].【答案】C5.(2017宜昌模拟)若离散型随机变量X的分布列为则常数c=,P(X=1)=.-【解析】由分布列的性质知,-解得c=,故P(X=1)=3-8×=.【答案】6.(2016年南宁二模)设随机变量X的概率分布列为则P(|X-2|=1)=.【解析】由++m+=1,解得m=.由|X-2|=1,解得X=1或X=3,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=+=.【答案】7.(2017珠海模拟改编)在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一个球,记下它的颜色,然后放回,再取一个球,又记下它的颜色,求两次取出白球数X的分布列.【解析】X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为8.(2017聊城模拟)随机变量X的分布列如下:其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于().A. B. C. D.【解析】∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.又a+b+c=1,∴b=,∴P(|X|=1)=a+c=.【答案】D9.(2017淮南模拟)袋中有4个红球和3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量X,则P(X≤6)=.【解析】P(X≤6)=P(取到3个红球和1个黑球)+P(取到4个红球)==.【答案】10.(2017石家庄调研)为检测某种产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克),测量数据如下:如果产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品.现从上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的分布列.【解析】5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2.P(X=0)==0.3,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.1.故优等品数X的分布列为11.(2017渭南检测)有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.(如:明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223)(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码.(2)设随机变量X表示密码中所含不同数字的个数.①求P(X=2);②求随机变量X的分布列.【解析】(1)这个明文对应的密码是12232.(2)①因为表格的第一行均含数字1,第二行圴含数字2,所以当X=2时,只能取表格第一、二列中的数字作为密码.所以P(X=2)==.②由题意可知,X的可能取值为2,3.所以P(X=3)=1-P(X=2)=1-=.所以X的分布列为12.(2017潍坊模拟)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球为止,每个球在每一次被取出的机会是相等的,用X表示终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量X的分布列;(3)求甲取到白球的概率.【解析】(1)设袋中原有n个白球,由题意知==-=-,所以n(n-1)=6,解得n=3或n=-2(舍去).即袋中原有3个白球.(2)由题意知,X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)=;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==;P(X=5)==.所以取球次数X的分布列如下表所示:(3)因为甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球.设“甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(X=1或X=3或X=5).因为事件“X=1”“X=3”“X=5”两两互斥,所以P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=++=.13.(2017武威模拟)盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设X为取出的3个球中白色球的个数,求X的分布列.【解析】(1)P=1-=.(2)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,则所求概率为P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.(3)X的可能取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,所以P(X=k)=,k=0,1,2,3.故P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为§20.2二项分布与正态分布一条件概率1.定义:设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.2.性质:(1)0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=.二事件的相互独立性1.定义:设A,B为两个事件,若P(AB)=,则称事件A与事件B相互独立.2.性质:若事件A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立,P(B|A)=,P(A|B)=.三独立重复试验与二项分布1.独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中A i(i=1,2,…,n)是第i次试验的结果,则P(A1A2A3…A n)=.2.二项分布在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从,记作,并称p为成功概率.四正态分布1.定义如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)d x,其中φμ,σ(x)=--,x∈(-∞,+∞),那么称随机变量X服从正态分布,记为.2.正态曲线的性质(1)曲线位于x轴,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;(2)曲线是单峰的,它关于直线对称;(3)曲线在处达到峰值;(4)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=;(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=;(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=.☞左学右考某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是().A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是().A. B.C. D.一袋中有大小相同的5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于().A.××B.××C.××D.××已知随机变量X服从正态分布N(3,12),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),求c的值.知识清单一、1.2.(2)P(B|A)+P(C|A)二、1.P(A)P(B)2.P(B)P(A)三、1.P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)2.p k(1-p)n-k二项分布X~B(n,p)四、1.X~N(μ,σ2)2.(1)上方(2)x=μ(3)x=μ(4)越小越大3.(1)0.6826(2)0.9544(3)0.9974基础训练1.【解析】记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由条件概率,得P(B|A)===0.8.【答案】A2.【解析】三次均反面朝上的概率是=,所以至少一次正面朝上的概率是1-=.【答案】D3.【解析】由题意知,第12次取到红球,前11次中恰有9次红球和2次白球.因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=×××=××.【答案】D4.【解析】∵X~N(3,12),∴正态曲线关于x=3对称.又∵P(X>2c-1)=P(X<c+3),∴2c-1+c+3=3×2,∴c=.题型一条件概率【例1】先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6这六个数)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y.设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=().A. B. C. D.【解析】(法一)事件A为“x+y为偶数”,其所包含的基本事件数有(2,2),(4,4),(6,6),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4),(1,1),(3,3),(5,5),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,5),(5,3),共18种.事件AB 为“x,y中有偶数,且x≠y,x+y为偶数”,其包含的基本事件数有(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4),共6种.由条件概率计算公式,可得P(B|A)===.(法二)正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有=36(种).事件A为“x+y为偶数”,事件A1为“x,y都为偶数”,事件A2为“x,y都为奇数”,事件A包含事件A1和事件A2,且事件A1与事件A2为互斥事件,其中P(A1)==,P(A2)==,所以P(A)=+=.事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,所以事件AB为“x,y都为偶数,且x≠y”,所以P(AB)=-=.根据条件概率公式,P(B)==.【答案】B。

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专题突破练20统计与概率(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.400,40C.200,40D.400,202.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,73.对具有线性相关关系的变量x,y有一组预测数据(x i,y i)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是y=x+a,且x1+x2+…+x8=2(y1+y2+…+y8)=6,则实数a的值是()A. B. C. D.4.已知在数轴上0和3之间任取一个实数x,则使“log2x<1”的概率为()A.B.C.D.5.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为() 66674067146405719586110565096876832037905716001166149084451175738805905227411486A.05B.09C.11D.206.(2017河北保定二模,文5)在区间[-3,3]内随机取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为()A.B.C.D.7.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度y(毫米)与腐蚀时间x(秒)之间的5组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5).根据收集到的数据可知=16,由最小二乘法求得回归直线方程为=0.3x+5.3,则y1+y2+y3+y4+y5的值为()A.45.5B.9.1C.50.5D.10.18.(2017辽宁沈阳一模,文3)设样本数据x1,x2,…,x10的平均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均值和方差分别为 ()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a9.(2018湖南衡阳一模,文6)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日,中国人民银行为此发行了以此为主题的金质纪念币,如下图所示,该圆形金质纪念币,直径22 mm.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻(将芝麻近似看作一个点)向硬币内随机投掷220次,其中恰有60次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是()A.32π mm2B.33π mm2C.132π mm2D.133π mm2二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018河北衡水中学考前仿真,文14)某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据如下表所示:根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a,若根据回归方程计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为.11.一个袋中装有1个红球、2个白球和2个黑球共5个小球,这5个小球除颜色外其他都相同,现从袋中任取2个球,则至少取到1个白球的概率为.12.(2018山东师大附中一模,文15)在区间-上随机取一个数x,则sin x+cos x∈[1,]的概率是.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2018辽宁抚顺一模,文19)PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如下图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这18个数据中不超标数据的方差;(2)在空气质量为一级的数据中,随机抽取2个数据,求其中恰有一个为PM2.5日均值小于30微克/立方米的数据的概率;(3)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.14.(2018山东济宁一模,文19)某快餐代卖店代售多种类型的快餐,深受广大消费者喜爱.其中,A种类型的快餐每份进价为8元,并以每份12元的价格销售.如果当天20:00之前卖不完,剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理,且全部售完.(1)若该代卖店每天定制15份A种类型快餐,求A种类型快餐当天的利润y(单位:元)关于当天需求量x(单位:份,x∈N)的函数解析式;(2)该代卖店记录了一个月30天的A种类型快餐日需求量(每天20:00之前销售数量)①假设代卖店在这一个月内每天定制15份A种类型快餐,求这一个月A种类型快餐的日利润(单位:元)的平均数(精确到0.1);②若代卖店每天定制15份A种类型快餐,以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率,求A种类型快餐当天的利润不少于52元的概率.15.某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(单位:天)与销售单价y(单位:元)的一组数据,且做了一定的数据处理(如下表),并作出了散点图(如图).(x-)2(w-)2(x-)(y-)(w-)·(y-)表中w i=w i.(1)根据散点图判断x与哪一个更适宜作价格y关于时间x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)若该产品的日销售量g(x)(单位:件)与时间x的函数关系为g(x)=+120(x∈N*),求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考答案专题突破练206.1~6.2组合练1.B解析由图1得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×4%=10 000×4%=400,抽取的高中生人数为2 000×4%=80人,则近视人数为80×0.5=40人,故选B.2.A解析甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.3.B解析由题意易知,代入线性回归方程得a=,选B.4.C解析由log2x<1,得0<x<2,区间长度为2,区间[0,3]长度为3,所以所求概率为.故选C.5.B解析根据题意,从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始,由左向右依次选取两个数字,其中小于或等于50的编号依次为14,05,11,05(重复,舍去),09,20.可知选出的第4个数值为09.6.D解析由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得2+a-a2>0,解得-1<a<2.由几何概型的知识知,总的测度区间[-3,3]的长度为6,随机地取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}这个事件的测度区间的长度为3,故概率为,故选D.7.C解析∵=0.3x+5.3,=16,∴=0.3×+5.3=0.3×16+5.3=10.1.y1+y2+y3+y4+y5=5×10.1=50.5.8.A解析由题意知y i=x i+a(i=1,2,…,10),则(x1+x2+…+x10+10a)=(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,方差s2=[(x1+a--a)2+(x2+a--a)2+…+(x10+a--a)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2=4.故选A.9.B解析设军旗的面积为S,由圆的直径为22 mm,可知其半径为11 mm,由,可得S=33π(mm2).10.4.5解析残差=实际值-预测值,即残差=y-=y-(x+),∴-0.15=3-(0.7×4+a),a=0.35,y=0.7x+0.35,(3+4+5+6)=4.5,=0.7×0.45+0.35=3.5.(2.5+3+4+m)=3.5,∴m=4.5.11.解析记1个红球为A,2个白球为B1,B2,2个黑球为C1,C2,从中任取2个球的基本事件有10个,分别为(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(C1,C2),其中至少取到1个白球的基本事件有7个,故至少取到1个白球的概率为P=,故答案为.12.解析∵x∈-,∴x+∈,若sin x+cos x=sin x+∈[1,],则x+∈,x∈0,,故使sin x+cos x∈[1,]的概率p=.13.解(1)均值=40,方差s2=133.(2)由题目条件可知,空气质量为一级的数据共有4个,分别为26,27,33,34.则由一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(26,27),(26,33),(26,34),(27,33),(27,34),(33,34)},共由6个基本事件组成,设“其中恰有一个为PM2.5日均值小于30微克/立方米的数据”为事件A,则A={(26,33),(26,34),(27,33),(27,34)},共有4个基本事件,所以P(A)=.(3)由题意,一年中空气质量超标的概率P=×360=160,所以一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.14.解(1)当日需求量x≥15时,利润y=60.当日需求量x<15时,利润y=4x-3(15-x)=7x-45.所以y关于x的函数解析式为y=(x∈N).(2)①这30天中有4天的日利润为39元,5天的日利润为46元,6天的日利润为53元,15天的日利润为60元,所以这30天的日利润的平均数为(39×4+46×5+53×6+60×15)=53.5(元).②利润不低于52元当且仅当日需求量不少于14份的概率为P==0.7.15.解(1)由散点图可以判断适合作价格y关于时间x的回归方程类型.(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.∵=20,∴=37.8-20×0.89=20,∴y关于w的线性回归方程为=20+20w,∴y关于x的线性回归方程为=20+.(3)日销售额h(x)=g(x)=-200=-2 000,故x=10时,h(x)有最大值2 420元,即该产品投放市场第10天的销售额最高,最高为2 420元.。

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