2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

考 反函数；函数的零点．菁优网版权所有 点：
专 压轴题；函数的性质及应用． 题：
分 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1） 析： 时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；
由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）
的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．
∴Dξ=
+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]
=
=
=30d2． 故答案为：30d2．
点 熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是 评： 解题的关键． 11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=
，sin2x+sin2y=
，则sin（x+y）=
=
=
， 故答案为：
． 点 本题考查数列极限的求法，属基础题． 评：
2．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，
其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．
考 复数的基本概念．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 析：
根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的
2013年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2013•上海）计算：
=
．
考 数列的极限．菁优网版权所有 点： 专 计算题． 题： 分 由数列极限的意义即可求解． 析： 解 解： 答：
=3x﹣1为
=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得 3x=4，可得x的值．
解 解：方程 答：
+
=3x﹣1，即
=3x﹣1，即 8+3x=3x﹣1（ 3x+1﹣3）， 化简可得 32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0． 解得 3x=4，或 3x=﹣2（舍去）， ∴x=log34， 故答案为 log34．
解 答：
解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2）， f﹣1（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）
=x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）
，若AB=4，BC= ，则Γ的两个焦点之间的距离为
．
考 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 点： 专 圆锥曲线的定义、性质与方程． 题： 分 由题意画出图形，设椭圆的标准方程为 析：
，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点 C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案． 解 解：如图，设椭圆的标准方程为
，∴cos（x﹣y）=
． ∵sin2x+sin2y=
， ∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=
， ∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=
， ∴
， ∴sin（x+y）=
． 故答案为
． 点 熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关 评： 键．
12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函 数，当x＜0时，f（x）=9x+
种． 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为
种． 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为
． 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是
． 故答案为
点 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合 评： 知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均
为奇数时其乘积为奇数，是基础题． 9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=
当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣
+7 因为y=f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（x）=9x+
﹣7； 因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a≤﹣1； 当x＞0时，9x+
﹣7≥a+1成立， 只需要9x+
﹣7的最小值≥a+1， 因为9x+
﹣7≥2
围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几 何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π
+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积
值为 2π2+16π ．
考 进行简单的合情推理．菁优网版权所有 点： 专 计算题；压轴题；阅读型． 题： 分 由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方 析： 体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可． 解 解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4 答：
考 二项式系数的性质．菁优网版权所有 点： 专 计算题． 题： 分 利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指
析： 数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．
解 解： 答：
的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（
）r=C5rx10﹣3rar
令10﹣3r=7得r=1，
∴x7的系数是aC51 ∵x7的系数是﹣10， ∴aC51=﹣10，
．
考 三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有 点： 专 三角函数的求值． 题： 分 利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny= 析：
，可得cos（x﹣y）=
，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=
，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=
，即可得出sin（x+y）． 解 解：∵cosxcosy+sinxsiny= 答：
答： ， 由题意知，2a=4，a=2． ∵∠CBA=
，BC= ，∴点C的坐标为C（﹣1，1）， 因点C在椭圆上，∴
，
∴b2=
，
∴c2=a2﹣b2=4﹣
=
，c=
， 则Γ的两个焦点之间的距离为
． 故答案为：
．
点 本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用． 评：
10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的 公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ= 30d2 ．
点 本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程 评： 的解法，属于基础题． 7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公 共点到极点的距离为
．
考 点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．菁优网版权所有 点： 专 计算题． 题： 分 联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案． 析： 解 解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1， 答： 解得ρ=
解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 点 本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解 评： 决二项展开式的特定项问题的工具． 6．（4分）（2013•上海）方程
+
=3x﹣1的实数解为 log34 ．
考 函数的零点．菁优网版权所有 点： 专 函数的性质及应用． 题： 分 化简方程 析：
+
专 解三角形． 题：
分 析：
把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为
，再利用余弦定理
即可得出．
解 答：
解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴
， ∴
=
=
． ∴C=
． 故答案为
． 点 熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键． 评： 5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若
的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a= ﹣2 ．
+8π，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到 的，对于4
，看作是把一个半径为1， 高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，
这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截 面积相等，故它们的体积相等，
即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π． 故答案为2π2+16π．
（结果用最简分数表示）．
考 古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 点： 专 概率与统计． 题： 分 利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意 析： 取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的
取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对 立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率． 解 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的 答： 取法种数为
值．
解 答：
解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数， ∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，
故答案为：﹣2．
点 评：
本题主要考查复数的基本概念，得到 解题的关键，属于基础题．
m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是
3．（4分）（2013•上海）若
=
，x+y= 0 ．
考 二阶行列式的定义．菁优网版权所有 点： 专 常规题型． 题： 分 利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论． 析： 解 解：∵ 答：
+7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为
． ．
考 函数奇偶性的性质；基本不等式．菁优网版权所有 点： 专 函数的性质及应用． 题： 分 先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式， 析： 将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本
不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围． 解 解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数， 答： 所以当x=0时，f（x）=0；
考 极差、方差与标准差．菁优网版权所有 点： 专 概率与统计． 题：
分 利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=
析：
和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可 得出Dξ=
即可得出． 解 解：由题意可得Eξ= 答：
=
=x1+9d． ∴xn﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，
=
，
∴x2+y2=﹣2xy ∴（x+y）2=0
∴x+y=0 故答案为0
点 本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础 评： 题．
4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是
a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是
．
考 余弦定理．菁优网版权所有 点：
点 本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面 评： 面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题． 14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）= {y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f
﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）． 若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．
=x无解；
所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，
2]∪（4，+∞），
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故若f（x0）=x0，只有x0=2，
故答案为：2．
点 本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力， 评： 属中档题．
或ρ=
（舍）， 所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为
， 故答案为：
． 点 本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础 评： 题． 8．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7， 8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概 率是
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答 案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对 得5分，否则一律得零分． 15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a） ≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
=6|a|﹣7， 所以6|a|﹣7≥a+1， 解得
， 所以
． 故答案为：
． 点 本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函 评： 数的最值；利用基本不等式求函数的最值． 13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣
1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1