2015年高考北京卷数学_理科_压轴题的背景是数学黑洞问题_甘志国
2015北京高考数学理科解析
2015北京高考数学理科试卷解析及评价纯WORD版参与人员：陈玉兵王海军韦家鼎刘迎春沈少林高原马文超石运红何军凤闫泓水从2015年北京高考数学理科试卷来看，命题依旧考察学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、分析问题和解决问题的能力．从试卷整体来看，难度有所下降，在考察能力的同时，更注重基础知识的和方法的考察．从试题来看，小题部分对函数的直接考察力度加大，其中第七题、第八题、第十四题均为函数问题；小题部分有所调整，今年取消了几何证明选讲部分的考察，增加了二项式定理部分的题目．整体来看，小题部分难度有所下降．解答题部分15题三角函数、16题概率、17题立体几何这三个题目没有太大改变，题目比较常规，18题导数部分加强了导数运算的能力，19题圆锥曲线通过三角形相似构建坐标关系，较去年难度有所下降；第20题依然考察学生思维能力，注重数学模型和数学语言的表达．从2015高考试题来看，北京高考依然以第8题，14题和20题三个题目为难点考察学生综合分析和综合运用的能力，起到高考选拔的作用．2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 1．复数()2i i -=（ ）．A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 【解析】()22212i i i i i -=-=+，选A2．若x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．32D ．2 【解析】如图，当 01x y ==，max 2z =，选B 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）．A ．(2,2)-B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(0,8)-【解析】020212222240403s t x y k s t x y k s t x y k ======-==-===-==-==结束，输出(4,0)-,选择B4．设αβ，是两个不同的平面，m 是直线且αm ⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，答案为B5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）． A ．25+ B ．45+ C ．225+ D ．5【解析】由三视图知，PA ⊥面ABC ，12222ABCS=⨯⨯=，5AB AC ==,155122PABPCASS==⨯⨯=,6PC PB ==,12552PBCS =⨯⨯=,∴225S =+，答案为C6．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则2123(-)(-)0a a a a > 【解析】210a a >>，0d ⇒>，所以30a >，132132a a a a a +=>，故答案为C 7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()2()1f x x +≥log 的解集是（ ）． A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤ 【解析】由题可知：22-10()202x x f x x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当(]1,0x ∈-时，2log (1)022x x +<<+．(]0,2x ∈时，()f x 单调递减，2()log (1)g x x =+单调递增，2log (1)2x x +=-+1x ⇒=∴当01x <≤时，2log (1)2x x +≤-+，∴2()log (1)f x x ≥+的解集为(]1,1-，∴答案选择C8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，∴A 错；由图知，当以40/km h 的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80/km h 行驶1小时耗油8升，故C 错在限速80/km h ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，所以选D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分．9． 在()52x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】rr r r x C T -+=5512，当3=r 时，系数为4024542235=⨯⨯=C ． 10．已知双曲线1222=-y a x )0(>a 的一条渐近线为03=+y x ，则=a __________．【解析】令00222=+⇒=-y a x y a x ，所以3331=⇒=a a ．11．在极坐标中，点)3,2(π在直线6)sin 3(cos =+θθρ的距离为__________．【解析】直线方程为36360x y x y +=⇒+-=，点为)3,1(，所以点到直线方程的距离为12231631==+-+=d ． 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则=CAsin 2sin __________． 【解析】222sin 22sin cos 24253616901sin sin 263090A A A a b c a C C c bc +-+-==⋅=⨯==．13． 在ABC △中，点N M ,满足.,2NC BC MC AM ==若,AC y AB x MN +=则=x __________；=y __________．【解析】CN MC MN +==31+AC 21CB =31AC +21)(AC AB -=21-AB 61AC ，所以61,21-==y x14． 设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥．①若1a =，则)(x f 的最小值为 ；②若)(x f 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【解析】①当1=a 时，⎩⎨⎧≥--<-=1),2)(1(41,12)(x x x x x f x ，1<x 时，1()1f x -<<，1≥x 时，min 311()()4()1222f x f ==⨯⨯-=-，所以1)(min -=x f ；②（I ）当0≤a 时，)(x f 没有两个零点，（Ⅱ）当10<<a 时，1<x 时，220log 0x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；1≥x 时，a x a x x f 2,0)(21==⇒=；当12≥a ，即21≥a 时，)(x f 恰有两个零点， 所以当121<≤a 时，)(x f 恰有两个零点； （Ⅲ）当21<≤a 时，1<x 时，220log 1x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；1≥x 时，1()0f x x a =⇒=，22x a =，()f x 有两个零点，此时)(x f 有三个零点；（Ⅳ）当2≥a 时，1<x 时，无零点；1x ≥时，有两个零点，此时)(x f 有两个零点．综上所述[)+∞⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈,21,21a ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2—2.222()x x x sin cos sin f x =（Ⅰ）求(x)f 的最小正周期；（Ⅱ）求(x)f 在区间[,0]π-上的最小值． 解：（Ⅰ）22()sin (1cos )22f x x x =-- 222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+-周期221T ππ==． （Ⅱ）0x π-≤≤3444x πππ∴-≤+≤21sin()42x π∴-≤+≤21()02f x ∴--≤≤ ∴最小值为212--．16．（本小题满分13分）A ，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组： 10111213141516，，，，，，B 组： 121315161714a ，，，，，，假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选 1人，A 组选出的人记为 甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14 天的概率；（Ⅱ）如果 25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ)当 a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件A ．则3()7P A =答：甲康复时间不小于14天的概率为37． （Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B ．基本事件空间如下表乙 甲 10 11 12 13 14 15 16 12 短 短 短 长 长 长 长 13 短 短 短 短 长 长 长 14 短 短 短 短 短 长 长 15 短 短 短 短 短 短 长 16 短 短 短 短 短 短 短 17 短 短 短 短 短 短 短 25短短短短短短短所以1010()7749P B ==⨯． （Ⅲ）11a =或18a =由于A 组为公差为1的等差数列，所以当11a =或18a =时B 组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于a 的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有11a =或18a =两个值．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ，4BC =， 2EF a =，060EBC FCB ∠=∠=，O 为EF 的中点．（Ⅰ）求证：AO BE ⊥；（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值； （Ⅲ)若 BE ⊥平面AOC ，求a 的值．解：（Ⅰ）证明：AEF ∆为等边三角形，O 为EF 中点， AO EF ∴⊥又平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，AO BE ∴⊥，（Ⅱ）以O 为原点建立如图坐标系(),0,0E a ，(),0,0F a -，()0,0,3A a ，()()2,32,0B a -(),0,3EA a a →=-，()()2,32,0EB a a →=--平面AEF 的法向量()0,1,0m →=； 设平面AEB 的法向量(),,n x y z →=，则030300n EA x z x y n EB →→→→⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⎩⋅=⎩ 取()3,1,1n →=-15cos ,515m nm n m n→→→→→→⋅-∴===-⨯⋅ 又二面角F AE B --为钝角，∴二面角F AE B --的余弦值为55-． （Ⅲ）BE ⊥平面AOC ，BE OC ∴⊥，()()2,32,0OC a →=--，()()()2232320BE OC a a a →→⋅=--+-⨯-=，解得2a =（舍）或43a =18．（本小题满分13分）已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线(x)y f =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时,2(x)2(x )3xf >＋；（Ⅲ）设实数k 使得3x (x)k(x )3f >＋对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值解：（Ⅰ) (x)ln(1x)ln(1x)f =+--11(x)11f x x -'=-+- 1111x x =++-所以(0)2f '= 又()0f x =所以，切线方程为02(x 0)y -=- 即2y x =（Ⅱ）3322(x)f(x)2x ln(1)ln(1x)2x 33F x x x =--=+----211(x)2211F x x x '=+--+-222(1)(1)(1x)x x =-++- 22222(1)(1)1x x x -+-=- 4221x x =- 又因为01x <<，所以(x)0F '>所以(x)F 在(0,1)上是增函数 又(0)0F =， 故(x)(0)F F >所以3x (x)k(x )3f >＋（Ⅲ）31ln (x ),x (0,1)13x x k x +>+∈-设 21(x)ln (x )0,(0,1)13x x t k x x +=-+>∈-422222(x)(1),(0,1),11kx k t k x x x x +-'=-+=∈--[0,2]k ∈，(x)0t '≥，函数(x)t 是单调递增，(x)t(0)t '>显然成立当2k >时，令(x)0t '=()0t x '=，得402(0,1)k x k-=∈ x 0(0,)x0x0(,1)x(x)t '— 0+ (x)t ↓极值↑0(x )t(0)0t <=，显然不成立，由此可知k 最大值为2．19． （本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为22，点()0,1P ，和点(,)(0)A m n m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q Q ，使得若存在，求点Q 的坐标；若不不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意知1b =，22c a =，又222a b c =+，解得2,1a b c ===， 所以C 的方程为2212x y +=． PA 的斜率1PA n k m-=， 所以PA 方程11n y x m-=+， 令0y =，解得1m x n=- 所以,01m M n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（Ⅱ）(),B m n -，同（I ）可得,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 1tan QM OQM k ∠=，tan QN ONQ k ∠=，因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k ⋅=，设(),0Q t 则111t t m m n n⋅=-+--即2221m t n =-， 又A 在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2221m n =-， 所以2t =±，故存在()2,0Q ±使得OQM ONQ ∠=∠20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足1a ∈Ν*，136a ≤，且12,18(1,2).236,18n n n n n a a a n a a +≤⎧==⋯⎨->⎩ 记集合{|}n M a n =∈N*（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）6，12，24．（Ⅱ）若存在(1,2,,)i a i n =L 是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ， 当18i a ≤时，126i i a a k +==，1i a +也是3的倍数； 当18i a >时，1236636i i a a k +=-=-，1i a +也是3的倍数． 综上，1i a +是3的倍数，依次类推，当n i ≥时，n a 是3的倍数；若存在(2,3,,)i a i n =L 是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当118i a -≤时，1322i i a k a -==⋅，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数； 当18i a >时，1363(6)22i i a k a -+==⋅+，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数；． 综上，1i a -是3的倍数，依次类推，当n i <时，n a 是3的倍数； 所以原结论成立．（Ⅲ）当11a =时，将11a =代入12,18(1,2,)236,18n n n nn a a a n a a +⎧==⎨->⎩L ≤， 依次得到2，4，8，16，32，28，20，4，L 所以当9n ≥时，6n n a a -=，此时{1,2,4,8,16,20,28,32}M =， 共8个元素．由题意，3a 可取的值有14a ，1436a -，1472a -，14108a -共4个元素， 显然，不论1a 为何值，3a 必为4的倍数，所以34(1,2,,9)a k k ==L ，① 当3{4,8,16,20,28,32}a ∈时， {4,8,16,20,28,32}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有8个元素； ② 当3{12,24}a ∈时，{12,24}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有4个元素； ③ 当336a =时，36n a =(3)n ≥，此时M 最多有3个元素； 所以集合M 的元素个数的最大值为8．。
2015年北京高考数学(理科)卷
2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】i （2－i ）＝1＋2i2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z ＝4． 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0）4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m β∥”是“αβ∥”的必要条件． 若“m β∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是俯视图侧(左)视图A．2 B．4 C．2+ D ．5 【答案】C 【解析】例题图形如下图所示：过P 点做AB 的垂线交AB 于点D ，12222112,1,,12.2ABC PBC PAC PAB S S S BC PC PB PA PD S =⨯⨯=======∴=⨯所以表面积222S =++6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 【解析】当d ＞0，∴ a 1a 3＝（a 2－d ）（a 2＋d ）＝a 22－d 2 ∵ a 22＞a 22－d 2 ∴2a7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】如图，x ＝1时，f （x ）＝log 2（x ＋1）∴ f （x ）≥log 2（x ＋1）解集为（－1，1]，需要注意，log 2（x ＋1）定义域不包含－1，故选C ．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】A ．问的是纵坐标最大值．B ．消耗1升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C ．此时甲走过了80千米，消耗8升汽油D ．80km/h 以下丙“燃油效率”更高，更省油 所以选择D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【解析】()52x +中3x 的项为32352C x 所以系数为40．10．已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】0y +=所以有ba-=，有双曲线的方程2221x y a -=得b ＝1，且a ＞0.所以 a =．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为 ．【答案】1 【解析】点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚对应的直角坐标系为点(1‚，极坐标方程()cos sin 6ρθθ+=对应的直角坐标方程为60x -=，根据点到直线的距离公式1361.2d +-==．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】由余弦定理可得2222536163cos ,22564b c a A bc +-+-===⨯⨯由正弦定理和二倍角公式可得，sin 22sin cos 322cos 2 1.sin sin 43A A A a A C C c ==⨯=⨯⨯=13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若MN xAB yAC =+，则x =；y =．【答案】11,26x y ==- 【解析】12()23112611,.26MN AN AMAB AC AC AB AC x y =-=+-=-∴==-14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】① －1；② 1/2≤a ＜1或a ≥2【解析】 ①当a ＝1时，2x a -＞－1． 4（x －1）（x －2）＝4（x －1.5）2－1≥－1 当x ＝1.5时最小为－1．② 若函数()2x h x a =-在x ＜1时与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，(1)20x h a =->，所以0＜a ＜2，函数()()()42g x x a x a =--有一个交点，所以2a ≥1且a ＜1，所以1/2≤a ＜1 若函数()2x h x a =-与x 轴没有交点，()()()42g x x a x a =--有两个交点， 当a ≤0，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍）；当h （1）＝2－a 时，a ≥2，g （x ）的两个交点为x 1＝a ，x 2＝2a 都是满足题意的， 综上所述，a 的取值范围是1/2≤a ＜1或a ≥2三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】 【解析】（1）2()cos 2221cos sin 2sin cos sin()4x x xf x x x x x x π=-===+-∴ f （x ）的最小周期T ＝2π/1＝2π．（2）∵ －π≤x ≤0 ∴ 3444x πππ-≤+≤∴1sin()4x π-≤+≤∴1()0f x -≤≤∴()f x 在区间[π0]-，上的最小值为1--． 16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37；（2）1049；（3）a ＝11或a ＝8. 【解析】（1）13173(14)7C P t C ≥==（2）当a ＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天共4人； 乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天共3人； 乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天共2人； 乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天共1人；乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不合题意． 所以符合题意的甲、乙选择方式共：4＋3＋2＋1＝10种所有甲、乙组合情况共117749C C ⨯=．因为任何组合情况都是等可能的，故10().49P t t =乙甲>（3）a ＝11或a ＝8. 根据数据平移和调整顺序不影响方差易得． 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】 【解析】（1） ∵ △AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点 ∴ AO ⊥EF又 ∵ 平面AEF ⊥平面EFCB ， 且平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ∴ AO ⊥平面EBCF ∴ AO ⊥BE（2）取CB 的中点D ，连接OD如图分别以OE ，OD ，OA 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系(0,0,),(,0,0),(2,,0)A E a B(,0,),=(2,,0)AE a EB a =-设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =平面AEB 的法向量2(,,)n x y z(2))0ax a x a y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩所以21,1)n =-所以F —AE —B二面角的余弦值1212cos n n n n θ==因为F —AE —B 二面角为钝二面角，所以余弦值为 （3）由（1）知AO ⊥面FEBC∴ AO ⊥BE若BE ⊥平面AOC 仅需BE ⊥OC由（2）得=(2,,0)EB a -=(2,,0)OC -=0EB OC ，解得a ＝2（舍）或43a =．18．（本小题13分）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】【解析】（1）()1ln1xf x x +=-，x ∈（－1，1），()22'1f x x =-，()()'02,00f f ==， 所以切线方程为y ＝2x ．（2）原命题等价于()()301,203x x f x x ⎛⎫∀∈-+> ⎪⎝⎭，设函数()()()3ln 1ln 123x F x x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭()422'1x F x x=-，当()01x ∈，时，()'0F x >，函数F （x ）在()01x ∈，上是单调递增的， ()()00F x F >=，因此()()301,23x x f x x ⎛⎫∀∈>+ ⎪⎝⎭，（3）()()()()3342221ln ,01131()ln 0,011322'()1,0111x x k x x x x x t x k x x x kx k t x k x x x x⎛⎫+>+∈ ⎪-⎝⎭⎛⎫+⇔=-+>∈ ⎪-⎝⎭+-=-+=∈--，，，∴ [0,2]'()0k t x ∈≥，，函数()t x 是单调递增，()(0)0t x t =>显然成立． 当k ＞2时，令402'()0,(0,1)k t x x-==∈()(0)0t x t =<由此可知k 的最大值为2． 19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】椭圆()222210x y a b a b +=>>过()01P ，， ∴ b 2＝1离心率c e a ====∴ a =∴ 椭圆方程为2212x y +=∵ ()()01,P A m n ，， ． ∴ 直线PA 的方程为11n y x m--=，直线PA 与x 轴交于M ， 令y ＝0，则 ,,011M m m x M n n ⎛⎫=∴ ⎪--⎝⎭． （2）∵ ()()01,P B m n -，， ∴ 直线PB 的方程为11n y x m+-=-，直线PB 与x 轴交于N ， 令y ＝0，则 1N mx n=+． ∴ ,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭ 设Q （0，y 0）00001tan ,(1)(1)tan ,1mm n OQM y n y y n y ONQ m mn-∠==-+∠==+∵ ,OQM ONQ ∠=∠∴ tan tan ,OQM ONQ ∠=∠ ∴ 00(1),(1)n y m n y m+=- ∴ 2220222,12m m y m n===- ∴ 02y =± ∴ 存在点(0,2)Q ，使,OQM ONQ ∠=∠．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）M ＝{6，12，24}；（2）略；（3）8．【解析】（1）a 1＝6，a 2＝12，a 3＝24，a 4＝2×24－36＝12，∴M ＝{6，12，24}．（2）用反证法证明a 1是3的倍数．否则若a 1不是3的倍数，用归纳法证明所有的a n 都不是3的倍数．n ＝1时，a 1不是3的倍数，假设n ＝k 时，a k 不是3的倍数，对于n ＝k ＋1，a k ＋1＝2a k 或2a k －36都不是3的倍数，则所有的a n 都不是3的倍数，这与{a n }中存在一个数是3的倍数矛盾．因此a 1是3的倍数，于是a 2＝2a 1或2a 1－36是3的倍数，以此类推，所有的a n 都是3的倍数．（3）M 的元素个数的最大值为8．首先，M 中的元素都不超过36，由a 1≤36，易得a 2≤36，类似可得a n ≤36．其次，M中的数最多除了前面两个数外，都是4的倍数．因为第二个数肯定是偶数，由a n定义可知第三个数及其后面的数肯定是4的倍数．再次，M中的数除以9的余数，由定义式可知，a n＋1与2a n除以9的余数一样．①若a n中有3的倍数，由（2）可知，所有的a n都是3的倍数，所以，a n除以9的余数为3，6，3，6，…或者6，3，6，3，…，或0，0，0，…，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项最多4项．②a n中没有3的倍数，则an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数，只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3起，a n除以9的余数，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，…不断6项循环的（可能是从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，7，5且是4的倍数（≤36）只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前面两项最多8项．易知，a1＝1时，M＝{1，2，4，8，16，32，28，20}项数为8，所以M的元素最多个数为8．。
2015年高考理科数学北京卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．复数 i(2 i) B． 1 2i C． 1 2i x y ≤ 0， 2．若 x ， y 满足 x y ≤ 1， 则 z x 2 y 的最大值为 x ≥ 0， A． 0 B． 1 C． A． 1 2i D． 1 2i （ ）
D． 2 （ ）
D． {x | 1 x ≤ 2}
A -1
O
B 2
已知函数 f ( x) 2 sin cos
x
x 2
x x 2 sin 2 ． 2 2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． (2 ，2) B． ( 4 ， 0) C． (4 ， 4)
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中
18． （本小题满分 13 分） 已知函数 f (x) ln
20． （本小题满分 13 分）
A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a
2 x a ‚ x 1‚ 14．设函数 （ f x） 4(x a )(x 2a ) ‚ x ≥ 1.
①若 a 1 ，则 f ( x) 的最小值为__________； ②若 f ( x) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题： 本大题共 6 小题， 共 80 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15． （本小题满分 13 分）
2015北京高考压轴卷理科数学
2015北京高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则（∁U A）∪B=（） A．∅ B． {1，2，3，4} C． {2，3，4} D． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合,则 ( )A． B． C． D．4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A． B． C． D．7.已知x，y满足约束条件且目标函数的最大值为-6，则的取值范罔是A. B.C. D.8.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为A． B． C． D．9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
数学高考真题-2015北京理科
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的） 1．复数()i 2i -=( ) A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图1所示的程序框图，输出的结果为( ) A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +y x =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积是( )图1正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A ．25+B ．45+C ．225+D ．5 6．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是( )A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．如图3，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( )A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图4描述了甲、乙、丙三 辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）图2图3图49．在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a = ．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为 ．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x =；y = ．14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题共13分)已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(I )求()f x 的最小正周期； (II )求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(I )求甲的康复时间不少于14天的概率；(II )如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(III )当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (I )求证：AO BE ⊥；(II )求二面角F AE B --的余弦值；(III )若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．18．（本小题13分） 已知函数()1ln 1x f x x+=-． O F ECB A(I )求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；(II )求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； (III )设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．(I )求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；(II )设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．(I )若16a =，写出集合M 的所有元素；(II )若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (III )求集合M 的元素个数的最大值．参考答案一、选择题1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D 二、填空题9.40 10.33 11.1 12.1 13.12；16 14.1，12≤ a <1 或a ≥ 2 三、解答题15.解：（I ）因为22()sin (1cos )22f x x x =-- 2sin()42x π=+-，所以()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤.当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值.所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为32()142f π-=--. 16.解：设时间1A 为“甲是A 组的第i 个人”，时间1B 为“乙是B 组的第i 个人”，i=1,2，…，7.由题意可知111()()7P A P B ==, i=1,2，…，7. （Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是5675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=U U （Ⅱ）设时间C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C=41516171526272736676A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B U U U U U U U U U . 因此4151617152()()()()()()P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ =1041()P A B =1041()()P A P B =1049. （III ）a=11或a=18.17. 解：（I ）因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB.所以AO ⊥BE.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接OG.由题设知EFCB 是等腰梯形， 所以OG ⊥EF. 由（I ）知AO ⊥平面EFCB 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz ，则E （a,0,0），A（0，0，3a ），B （2，3（2-a ），0），EA u u u r =（-a ，0，3a ），BE u u u r=（a-2，3（a-2）,0）.设平面ABE 的法向量为n=（x,y,z ），则n 0,?n 0,?EA BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r即30,(2)3(2)0,ax az a x a y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩ 令z=1，则x=3，y=-1.于是n=（3，-1,1）.平面AEF 的法向量为p=（0,1,0）， 所以cos （n ，p ）=n pn p⋅=55-. 由题知二面角F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为55-. （III ）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即0BE OC ⋅=u u u r u u u r.因为BE u u u r=（a-2 ，3（a-2），0），OC u u u r =（-2，3（2-a ），0），所以BE OC ⋅u u u r u u u r =-2（a-2）-32(2)a -.由0BE OC ⋅=u u u r u u u r 及0<a<2，解得a=43，18.解：（I ）因为()f x =ln （1+x ）-ln （1-x ），所以()f x '=1111x x++-，(0)f '=2. 又因为(0)f =0，所以曲线y= ()f x 在点（0 ，(0)f ）处的切线方程为y=2x.（Ⅱ）令()g x =()f x -2(x+33x )，则()g x '=()f x '-2（1+2x ）=4221x x-. 因为()g x '>0（0<x<1），所以()g x 在区间（0,1）上单调递增. 所以()g x >(0)g =0，x ∈（0，1）， 即当x ∈（0，1）时，()f x >2(x+33x ).（III ）由（Ⅱ）知，当k 《2时，()f x >k(x+33x )对x ∈（0，1）恒成立.当k>2时，令()h x =()f x - k(x+33x )，则()h x '=()f x '-k （1+2x ）=4221kx kx +--.所以当420k x k -<<时，()h x '<0，因此()h x 在区间（0，42k k-）上单调递减. 当420k x k -<<时，()h x <(0)h =0，即()f x < k(x+33x).所以当K>2时，()f x > k(x+33x )并非对x ∈（0，1）恒成立.综上可知，k 的最大值为2.19.解：（Ⅰ）由题意得2221,2,2.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2.故椭圆C 的方程为2212x y += 设M （m x ，0）. 因为m ≠0，所以-1<n<1.直线PA 的方程为y-1=1n x m-， 所以m x =1m n -，即M （1mn-，0）.（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B （m ，-n ），设N(N x ,0)，\则N x =1mn+. “存在点Q （0，Q y ）使得ZOQM=ZONQ 等价”，“存在点Q （0，Q y ）使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =.因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n===-. 所以Q y =2或Q y =-2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM=∠ONQ.点Q 的坐标为（0，2）或（0，-2）. 20.（Ⅰ）{6，12，24}.（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数.由12,18,236,18n n n nn a a a a a +≤⎧=⎨->⎩可归纳证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数.如果k=1，则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1，因为k a =21k a -或k a =21k a --36，所以21k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，；类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数. （III ）由36a ≤，11112,18,236,18n n n n n a a a a a ----≤⎧=⎨->⎩可归纳证明36(2,3...)n a n ≤=.由于1a 是正整数，112112,18,236,18,a a a a a ≤⎧=⎨->⎩所以2a 是2的倍数.从而当3n ≥时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数.因此当3n ≤时，{}12,24,36n a ∈.这时M 的元素个数不超过5. 如果1a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n ，n a 不是3的倍数. 因此当3n ≥时{}4,8,16,20,28,32n a ∈.这时M 的元素个数不超过8. 当1a =1时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数最大值为8.。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.1．复数()i 2i -=A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算2.若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B考点：程序框图4.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是俯视图侧(左)视图A．2 B．4 C．2+ D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面ABC ，取AB 棱的中点D ，连接CD 、PD ，有,PD AB CD AB ⊥⊥，底面ABC 为等腰三角形底边AB 上的高CD 为2，AD=BD=1,PC=1,ABC PD S ∆=1222,2=⨯⨯=,122PAB S ∆=⨯⨯=AC BC==，112PAC PBC S S ∆∆==⨯⨯2=,三棱锥表面积表2S =+. 考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分） 9.在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40 【解析】试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：二项式定理10.已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 12.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理13.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+，则x =；y =．【答案】11,26- 【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 考点：平面向量14.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）12-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x mωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：12--.试题解析：(Ⅰ) 211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos 222x x =+-sin()42x π=+-(1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：1--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a =或1817.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】(1)证明见解析，（2）5-，（3）43a =【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF ⊥平面EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥平面EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF 的法向量易得，只需求平面AEB 的法向量，设平面AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO BE ⊥，要想BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用向量、BE OC 的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z轴建立空间直角坐标系，)A，(,0,0),,0),(,0,)E a B AE a -=，(2,0)EB a =--，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =，2,0,n AE ax x ⊥==2,(2))0,1n EB a x y y ⊥-+-==-，则2n =1,1)-，二面角F AE B --的余弦值1212121cos ,5n n n n n n ⋅〈〉===-⋅，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为5-. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,EB a=-,0)-，又(,0)OC =--，22(2))0BE OC a ⋅=--+-=，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题13分）已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意； 当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 19.（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出0y =，则存在点Q （0，±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()01P ，2211,1,b b==222c e a=22221112a b a a -==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n ==-，(,0)1mM n∴-；考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。
(甘志国)商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题
商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题甘志国(已发表于 中学数学教学，2015(5)：55-59)一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2015年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计31套，其中江苏文理同卷)，发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有10道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．题1 (2015年高考湖北卷文科第4题)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 解 A.显然x 与y 负相关，又y 与z 正相关，所以x 与z 负相关.商榷 高中生是在普通高中课程标准实验教科书《数学3²必修²A 版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下简称《必修3》)第86页接触到“正相关、负相关”这两个概念的：图1从散点图(如图1所示)可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表(见《必修3》第85页的表2-3)中得出的结论.另外，这些点散布的位置也是值得注意的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.还有一些变量，例如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程，成负相关，汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.由此论述可知，“正相关、负相关”是呈相关关系的两个变量之间的关系.而在本题中，满足关系y ＝－0.1x ＋1的两个变量x 和y 呈函数关系(即确定性关系)不是相关关系，在函数关系中，教科书中没有介绍两个变量之间“正相关、负相关”的含义(笔者在整个数学领域中也未听说过有此含义).建议把这道题的题干中的“y ＝－0.1x ＋1”改为“11.0+-=∧∧x y ”(改述后的解法及答案均不变).题2 (2015年高考全国卷II 理科第10题即文科第11题)如图2所示，长方形ABCD的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2解法1 B.当点P 在BC 边上时，PB ＝OB ·tan x ＝tan x ，P A ＝AB 2＋PB 2＝tan 2x ＋4，所以f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋4(0≤x ≤π4)，显然f (x )单调递增且是非线性的，且f (π4)＝1＋ 5.当P 位于边CD 的中点时，x ＝π2，且f (π2)＝P A ＋PB ＝22，所以可知当点P 从点B 运动到点C 时，f (x )从2增到1＋5，当点P 从点C 运动到边CD 的中点时，f (x )从1＋5减到22，且增减都是非线性的，结合图象可知选B.解法2 B.由题意可知，f (π2)＝22，f (π4)＝1＋ 5.得f (π2)<f (π4)，排除选项C,D.当ππ≤≤x 43时，f (x )＝-tan x ＋tan 2x ＋4，可知其函数图象不是线段，排除选项A. 所以选B.商榷 建议把题2中的“长方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”；“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”改成“动点P 从点B 开始沿着折线BCDA 运动到点A 停止”(原说法是不清楚的：动点P 从哪一点开始运动？运动到哪一点停止？是连续运动还是跳跃的运动？因为题目只说了“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”).作为选择题，题2是可以勉强解答的；要是作为非选择题，题2将无从解答.题3 (2015年高考浙江卷理科第6题)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立解 A.命题①显然成立，由图3可知d (A ，C )表示的区域不大于d (A ，B )＋d (B ，C )表示的区域，所以命题②也成立.图3商榷 建议把题干改述为(若不改述，则题意不清，会使考生很茫然；因为有不少高考选择题是要求选出错误的选项，比如2015年高考中的福建卷理科第10题、陕西卷理科第12题)：设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． 则下列结论正确的是( )题4 (2015年高考浙江卷文科第8题)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t.( ) A ．若t 确定，则b 2唯一确定 B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解 B.对于选项A ，取t ＝12，b 可取π6或5π6，得b 2不能唯一确定；对于选项B ，由|a＋1|＝|sin b |＝t ，得|a ＋1|2＝t 2，即a 2＋2a ＋1＝t 2，a 2＋2a ＝t 2－1，所以若t 确定，则t 2确定，所以a 2＋2a 唯一确定，得选项B 正确；若t 确定，由|sin b |＝t ，得sin 2b ＝t 2，所以cos b ＝±1－t 2，sin b2＝±1－cos b 2＝±1±1－t 22，不唯一确定，选项C 中的结论不正确；若t 确定，由|a ＋1|＝t ，得a ＋1＝±t ，所以a ＝－1±t ，所以a 2＋a ＝(－1±t )2－1±t ＝t 2∓2t ±t ＝t 2∓t ，不唯一确定．综上可知，只有选项B 正确．商榷 建议把题干改述为(改述的理由同上)：设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t ，则下列结论正确的是( )题5 (2015年高考广东理科第8题)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5 解 B.正四面体符合要求，因此n 可以等于4. 下面证明n ＝5不可能．假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a .如果点E 在线段AG 上或线段GA 的延长线上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合. 如果点E 在线段AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述可得，正整数n 的取值至多是4.商榷 建议把选项A,B 中的“至多”均改为“最多”.中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6版)第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“正整数n 至多等于4”的意思是“正整数4≤n ，但等号不一定能取到”，而在本题中“正整数4≤n ，等号一定能取到”，所以改动后的表述更准确(不改动也无错误)．而对于2014年高考上海卷理科第13题“某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若2.4)(=ξE ，则小白得5分的概率至少为 ．”若不把其中的“至少”改为“最少”，则答案可填闭区间[0,0.2]中的任一个数，就不一定是参考答案“0.2”.题6 (2015年高考江苏卷第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解 7.设新的底面半径为r ，得13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.商榷 一般来说，在橡皮泥的重新制作过程中，体积会变化(但质量不变)，所以建议把题中的“若将它们重新制作”改述为“若将它们重新制作(假设重新制作的过程中，橡皮泥的体积不变)”.题7 (2015年高考陕西卷文科、理科第22题)如图4所示，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图4解 (1)因为DE 为⊙O 的直径，得∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED . 又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，得BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，得AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，所以DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.商榷 建议把该题及其解答中的“直径”改为“直径的长”.题8 (2015年高考陕西卷文科、理科第24题)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由柯西不等式，得at ＋12＋bt=－3t ＋12＋t ＝3²4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4当且仅当4－t 3＝t1即t ＝1时等号成立，所以(－3t ＋12＋ t )max ＝4. 商榷 第(2)问中的“t ”是变量还是常量呢？题目没作交代.若“t ”是变量，则解答同上；若“t ”是常量，则答案为“at ＋12＋bt ”(因为at ＋12＋bt 是常量).所以建议把该题第(2)问改述为：(2)求函数f (t )=at ＋12＋bt 的最大值．题9 (2015年高考全国卷II 理科第21题)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤--1e e 1e e m m mm① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，得g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.所以g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，所以当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.所以当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①成立；当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上所述可得，m 的取值范围是[－1，1]．商榷 建议把第(1)问中的“(－∞，0)”，“(0，＋∞)”分别改述为“(－∞，0)上”，“(0，＋∞)上”.题10 (2015年高考广东卷理科第17题)某工厂36名工人的年龄数据如下表：到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解 (1)依题意知，所抽取的样本编号是一个首项为2公差为4的等差数列，得其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，所以对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得9100,402==s x . (3)由(2)知，310=s ，所以3143,3236=+=-s x s x . 因为年龄在s x -与s x +之间的共有23人，所以其所占的百分比是%89.633623≈(精确到0.01%).商榷 解答第(3)问时，必须要知道x 与s 的值，而在大前提及第(3)问的题设中均找不到，考生(也包括所有的答题者)在万般无赖的情形下，只有在第(1)问或第(2)问中找出这两个数据：果真在第(2)问中找到了！而后也作出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.这好像就是出题者的意思.但这是不对的，也是完全错误的！可把此题第(3)问改述为：(3)36名工人中年龄在s x -与s x s x ,(+的值见第(2)问)之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2011年高考广东卷理科第17题及2010年高考安徽卷理科第19题也都存在这种错误]1[. 笔者发表的文献[2],[3]均指出了2014年高考题中表述欠严谨的地方，读者可以浏览. 题11 (2015年高考广东卷文科、理科第20题)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1的方程即4)3(22=+-y x ，所以圆C 1的圆心坐标是(3,0)． (2)设线段AB 的中点为),(y x M ，可得AB M C ⊥1即OM M C ⊥1. 得点M 在以OC 为直径的圆0322=-+x y x 上.又点M 在圆C 1内，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)3(032222y x x y x ，得两圆的交点为⎪⎭⎫⎝⎛±532,35，进而可得所求轨迹C 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=-+350322x x y x . (3)存在实数k 满足题意.如图5所示，曲线C 是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23C 为圆心，23为半径的圆弧»EF (不包括端点)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛532,35,532,35F E.图5当直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 相切时，得43,23104232±==+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k . 又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4,0)，所以5724350532-=--=-=DFDE k k .再结合图5可得，当且仅当k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点.注 本题源于普通高中课程标准实验教科书《数学²选修2-1²A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修2-1》)第37页习题2.1的A 组第4题：过原点的直线与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》(人民教育出版社,2007年第2版)第11页给出的《选修2-1》第40页给出的答案是“335,0322≤≤=-+x x y x ”.笔者认为，由“弦AB ”知点B A ,不能重合，所以答案应当是“335,0322≤<=-+x x y x ”，也即“⎪⎭⎫⎝⎛>=-+350322x x y x ”.(这道高考题的解答与笔者的这一观点是一致的.) 商榷 应注意交点与切点是有区别的]4[：直线与圆相交时的公共点叫做交点，直线与圆相切时的公共点叫做切点，交点和切点统称为公共点.所以建议把题10(即2015年高考广东卷文科、理科第20题)第(3)问中的“交点”改为“公共点”(改动后答案不变；若不改动，则答案为：当且仅当k 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点).参考文献1 甘志国.大前提、小前提的规范使用[J].数学教学，2014(7)：23-242 甘志国.商榷2014年高考题中表述欠严谨的六道题[J].数学教学研究，2014(12)：24-253 甘志国.高考数学真题解密[M].北京：清华大学出版社，2015：287-2924 甘志国.应区分“交点”与“公共点”[J].中学数学教学，2009(3)：37。
2015年高考理科数学北京卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i(2i)-=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．(22)-，B ．(40)-，C ．(44)--，D ．(08)-，4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂.“m β∥”是“αβ∥”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A．2+ B．4C．2+D ．5 6．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式2()log (1)f x x +≥的解集是A ．{|10}x x -<≤B ．{|11}x x -≤≤C ．{|11}x x -<≤D ．{|12}x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.9．在52x +（）的展开式中，3x 的系数为________（用数字作答）. 10．已知双曲线22210x y a a-=>（）0y +=，则a =________. 11．在极坐标系中，点π23（）‚到直线cos 6ρθθ=（）的距离为________. 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________.13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+，则x =_______；y =_______.14．设函数2 14()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩（）≥‚‚‚ ①若1a =，则()f x 的最小值为__________；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos222x x x f x ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．俯视图侧(左)视图--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）16．（本小题满分13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立.从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点.（Ⅰ）求证：AO BE ⊥；（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值； （Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.18．（本小题满分13分）已知函数1()ln1xf x x+=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(01)x ∈，时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3xf x k x >+对(01)x ∈，恒成立，求k 的最大值.19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0) x ya b a bC +=>>：，点(01)P ，和点()A m n ，(0)m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨-⎩， ≤，，＞，12n =（，，）…. 记集合*{|}n M a n =∈N .（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值.O FECBA数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】2i(2i)2i i 12i -=-=+，故选A ．【提示】利用复数得运算法则解答． 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】D 【解析】如图，当01x y ==，，max 2z =，故选D ．【提示】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，即可求出z 取得的最大值． 【考点】简单线性规划 3.【答案】B【解析】依题意得：02021s t x y k =====，，，，， 2222240403s t x y k s t x y k =-==-===-==-==，，，，，，，，结束，输出(4)-，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到x y k ，，的值，当3k =时满足条件3k ≥，退出循环，输出(4)-． 【考点】程序框图4.【答案】B 【解析】m β∥不能推出αβ∥，因为αβ、可能相交，只要m 和αβ、相交即可得到m β∥；而αβ∥，m α⊂∴m β、没有公共点，∴m β∥，即αβ∥能得到m β∥，∴“m β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件，故选B ．【提示】m β∥并得不到αβ∥，根据面面平行得判定定理，只有α内得两相交直线都平行于β，而αβ∥，并且m α⊂，显然能得到m β∥，这样即可找出正确选项． 【考点】必要条件，充分条件与充要条件得判断 5.【答案】C【解析】由三视图知，OA ⊥面ABC，AB AC == E 为BC 中点，211EA EC EB OA ====，，， ∴AE BC BC OA ⊥⊥，12222ABC S =⨯⨯=△，112OAC OAB S S ===△△，122BCO S =⨯=△∴2S =+C ．【提示】根据三视图可判断直观图为：PA ⊥面ABC ，AB AC =，E 为BC 中点，211EA EC EB OA ====，，，BC AEO ⊥面，AC OE =特点，计算边长，求解面积． 【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】C【解析】∵若120a a +>，则120a d +>，2312320a a a d d d +=+>>，时，结论成立，即A 不正确；若120a a +<，则120a d +<，2312320a a a d d d +=+<<，时，结论成立，即B 不正确；{}n a 是等差数列，120a a <<，∴1322a aa +=>C 正确；若10a <，则22123)()(0a a a a d ---<=，即D 不正确．故选C ．【提示】对选项分别进行判断，即可得出结论．【考点】等差数列的性质 7.【答案】C【解析】由题可知：由已知()f x 的图象，在此坐标系内作出2log (1)y x =+的图象，如图满足不等式2()log (1)f x x ≥+的x 范围是11x -<≤；所以不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是(]1,1-，故选C ．【提示】在已知坐标系内作出2log (1)y x =+的图象，利用数形结合得到不等式的解集． 【考点】指数函数和对数函数不等式的解法 8.【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，所以A 错；由图知，当以40km/h 的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80km/h 行驶1小时耗油8升，故C 错；在限速80km/h ，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D ． 【提示】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【考点】函数的图象与图象变化第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】40【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为：5152r r rr T C x -+=，当3r =时，系数为3255424402C ⨯=⨯=．数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）故答案为40．【提示】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为3，求出r ，然后求解所求数值．【考点】二项式定理的应用 10.【答案】3【解析】双曲线2221x y a -=的渐近线方程为，所以x y a =±，解得1aa =． 【提示】运用双曲线的渐近线方程为x y a =±，结合条件可得1aa 的值．【考点】双曲线的简单性质 11.【答案】1【解析】点π2,3P ⎛⎫⎪⎝⎭化为P，直线方程为660x x =⇒+-=，所以点到直线方程的距离为212d ===． 【提示】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出． 【考点】简单曲线的极坐标方程 12.【答案】1【解析】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，1625361cos =58C +-=⨯，2536163cos =2564A +-=⨯⨯，∴sin 8C =，sin 4A =，∴222sin 22sin cos 24253616901sin sin 263090A A A a b c a C C c bc +-+-===⨯==g ． 【提示】利用余弦定理求出cos cos C A ，，即可得出结论． 【考点】余弦定理，二倍角的正弦，正弦定理 13.【答案】12x =【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以1126x y ==-，．【提示】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量AB AC uu u r uuu r、表示，然后利用平面向量基本定理得到值．【考点】平面向量的基本定理及其意义 14.【答案】min ()1f x =-[)1,12,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】①当1a =时，21,1()4(1)(2),1x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，当1x <时，1()1f x -<<，当1x ≥时，min 311()41222f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以min ()1f x =-；②当0a ≤时，()f x 没有两个零点，当01a <<时，1x <时，220log 0x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；而1x ≥时，12()0,2f x x a x a =⇒==；当21a ≥，即12a ≥时，()f x 恰有两个零点，所以当112a ≤<时，()f x 恰有两个零点；当12a ≤<时，1x <时，220log 1x aa x -=⇒=<，()f x 有一个零点；而1x ≥时，1()0f x x a =⇒=，22x a =，()f x 有两个零点， 此时()f x 有三个零点；当2a ≥时，1x <时，无零点；1x ≥时，有两个零点，此时()f x 有两个零点．综上所述[)1,12,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【提示】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分情况讨论，求出符合()f x 有两个零点的并集．【考点】函数的零点，分段函数的应用三、解答题15.【答案】（Ⅰ）2πT = （Ⅱ）12--【解析】（Ⅰ）()cos )f x x x -x x =πsin()42x =+-，则周期2π2π1T==． （Ⅱ）∵π0x -≤≤，∴3πππ444x -≤+≤，∴π1sin()42x -≤+≤，∴1()0f x -≤≤，∴()f x 在区间[π0]-，上的最小值为1--． 【提示】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简()f x ，再由正弦喊话说的周期，即可得到所求（Ⅱ）由x 的范围，可得π4x +的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值． 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值 16.【答案】（Ⅰ）37（Ⅱ）1049（Ⅲ）11a =或18a =【解析】（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件A ．则3()7P A =，所以甲康复时间不小于14天的概率为37．（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B ．16y =-所以()7749P B==⨯．（Ⅲ）由于A组为公差为1的等差数列，所以当11a=或18a=时，B组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于a的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有11a=或18a=两个值．【提示】（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得．（Ⅱ）设“甲的康复时间比乙的康复时间长”为事件B，列出基本时间空间表，由表即可求得()P B．（Ⅲ）由方差的公式可得．【考点】古典概型及其概率公式，概率的加法公式和方差17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）5-（Ⅲ）2a=【解析】（Ⅰ）证明：AEF∵△为等边三角形，O为EF中点，AO EF∴⊥又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF I平面EFCB EF=，AO∴⊥平面EFCB，AO BE∴⊥．（Ⅱ）以O为原点建立如图坐标系：∴(,0,0)E a，(,0,0)F a-，)A，),0)B a-，()EA a=-uu r，(2),0)EB a a=--uur平面AEF的法向量(0,1,0)m=u r；设平面AEB的法向量(,,)n x y z=r，则00n EA xxn EB⎧⎧=-=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩r uu rgr uu rg，取1,1)n=-r，cos,||||m nm nm n==u r ru r r gu r rg∴又∵二面角F AE B--为钝角，∴二面角F AE B--的余弦值为．（Ⅲ）BE∵⊥平面AOC，BE OC∴⊥，(),0)OC a=--uuu r，2(2)))0BE OC a a a=----=uur uuu rg，解得2a=（舍去）或43a=．【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO BE⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F AE B--的余弦值．（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值．【考点】空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解18.【答案】（Ⅰ）2y x=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）k最大值为2【解析】：（Ⅰ）()ln(1)ln(1)f x x x=+--，11()11f xx x-'=-+-1111x x=++-，又()0f x=，所以，切线方程为02(0)y x-=-，即2y x=．（Ⅱ）3322()()2ln(1)ln(1)233F x f x x x x x x x=--=+----，211()2211F x xx x'=+--+-222(1)(1)(1)xx x=-++-22222(1)(1)1x xx-+-=-4221xx=-，又因为01x<<，所以()0F x'>，所以()F x在(0,1)上是增函数，又(0)0F=，故()(0)F x F>，所以3()3xf x k x⎛⎫>+⎪⎝⎭．（Ⅲ）31ln(0,1)13x xk x xx⎛⎫+>+∈⎪-⎝⎭，，设21()ln()0,(0,1)13x xt x k x xx+=-+>∈-，422222()(1)(0,1)11kx kt x k x xx x+-'=-+=∈--，[0,2]k∈，()0t x'≥，函数(x)t是单调递增，()(0)t x t'>显然成立．当2k>时，令()0t x'=()0t x'=，得42(0,1)kx-=∈，()(0)0t x t<=，显然不成立，由此可知k最大值为2．【提示】（Ⅰ）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（Ⅱ）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（Ⅲ）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围【考点】切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）C 的方程为2212x y +=,01m M n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（Ⅱ）存在，点Q的坐标为(【解析】（Ⅰ）由题意知1b =，c a =，又222a b c =+，解得1a b c ===，所以C 的方程为2212x y +=．PA 的斜率1PA n k m-=，所以PA 方程11n y x m -=+， 令0y =，解得1m x n =-，所以,01m M n ⎛⎫⎪-⎝⎭． （Ⅱ）(,)B m n -，同（Ⅰ）可得,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，1tan QM OQM k ∠=，tan QN ONQ k ∠=，因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k =g ，设(,0)Q t ，则111m m n nt t -+--=即2221m t n =-， 又A 在椭圆C 上，所以2212m n +=，即2221m n =-，所以t =(Q 使得OQM ONQ ∠=∠．【提示】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质得出2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩求解即可．（Ⅱ）求解得出,01m M n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，,01m N n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，运用图形得出OQM ONQ ∠=∠，故1Q N Q M k k =g ， 设(,0)Q t ，代入整理得2221m t n =-，又2212m n +=，则2221m n=-根据m ，n 的关系整体求解．【考点】直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题20.【答案】（Ⅰ）6,1{2,24}M = （Ⅱ）见解析（Ⅲ）集合M 的元素个数的最大值为8【解析】（Ⅰ）若16a =，由于12,18(1,2,)236,18n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，{|}n M a n =∈*N ． 故集合M 的所有元素为6，12，24，即6,1{2,24}M = （Ⅱ）若存在(1,2,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当18i a ≤时，126i i a a k +==，1i a +也是3的倍数； 当18i a >时，1236636i i a a k +=-=-，1i a +也是3的倍数． 综上，1i a +是3的倍数，依次类推，当n i ≥时，n a 是3的倍数；若存在(2,3,,)i a i n =是3的倍数，设3()i a k k =∈*N ，当118i a -≤时，1322i i a k a -==g ，因为1i a *-∈N ，所以1i a -也是3的倍数；当18i a >时，1363622i i a k a -+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g ，因为1i a -∈*N ，所以1i a -也是3的倍数；． 综上，1i a -是3的倍数，依次类推，当n i <时，n a 是3的倍数；所以原结论成立．（Ⅲ）当11a =时，将11a =代入1218(1,2,)23618n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，，， 依次得到2，4，8，16，32，28，20，4，所以当9n ≥时，6n n a a -=，此时{1,2,4,8,16,20,28,32}M =，共8个元素． 由题意，3a 可取的值有14a ，1436a -，1472a -，14108a -共4个元素， 显然，不论1a 为何值，3a 必为4的倍数，所以34(1,2,,9)a k k ==，①当3{4,8,16,20,28,32}a ∈时，{4,8,16,20,28,32}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有8个元素； ②当3{12,24}a ∈时，{12,24}n a ∈(3)n ≥，此时M 最多有4个元素； ③当336a =时，36n a =(3)n ≥，此时M 最多有3个元素；所以集合M 的元素个数的最大值为8．【提示】（Ⅰ）16a =，利用12,18(1,2,)236,18n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩可求得集合M 的所有元素为6，12，24．（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由12,18(1,2,)236,18n n n nn a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩，可归纳证明对任意n n k a ≥，是3的倍数． （Ⅲ）分1a 是3的倍数与1a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值． 【考点】数列递推关系的应用，分类讨论思想与等价转化思想及推理，运算能力。
再谈2015年北京高考理科数学压轴题与_数学黑洞_问题_李启超_张燕
项由前一项唯一决定， 因而当 k 足够大时， 数列将陷 “数学黑洞” ． 入循环， 即陷入 经过 k 次洗牌后， 原来编号为 x 的牌位置序号变 k 成 2 x（ mod（ 2n － 1） ） ． k 若经过 k 次洗牌后， 牌的顺序回到初始位置， k 须满足 2 ≡ 1（ mod（ 2n － 1） ） ， 当 2n － 1 = 19 时， 不 k 至少为 φ （ 19） = 18． 所以， 难直接验证得， 至少要经 牌的顺序回到初始位置． 过 18 次洗牌后， 2 甘志国先生的一个猜想与初等数论 1］ 的 结 尾 处 提 出 了 一 个 猜 甘志国先生在文［
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中学数学杂志
2017 年第 1 期
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
高考和数学竞赛中时有出现， 我们再试举一例： 问题 2 （ 2015 年北京高中数学知识应用竞赛 “严格对插洗牌” 决赛第五题） 有一种叫做 的扑克牌 洗牌方法， 每洗一次牌 （ 牌的张数是偶数 ） ） 即是完 成如下两步操作： ① 将这叠牌（ 2n 张） 的前 n 张分为第一组， 后n 张为第二组； ② 从两组中按顺序依次交替摸牌， 直至摸完为 2、 止， 依照摸出的顺序将牌排成一排． 比如， 对于 A、 3、 4、 5、 6 这 6 张牌， 并依此顺序从左到右排成一排， 4、 2、 5、 3、 6． 第一次严格对插洗牌之后的牌序变为 A、 问题： 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 的 10 （ 1） 对于顺序为 1、 张牌， 经过 2017 次严格对插洗牌之后， 第 5 张是什么 牌？ 标记为 9 的牌在哪个位置？ （ 2） 如果对于任意排好顺序的 20 张牌， 最少经 牌的顺序变回到初始 过多少次严格对插洗牌之后， 位置？ 分析 解决本题第 （ 2） 小问的关键是引入字 “洗牌 ”描述成一个映射， 母， 将每次 并且观察到这 “数学黑洞” ． 个映射的迭代将陷入 解答 （ 1） 洗牌后第 5 张牌是 3； 标记为 9 的牌 过程略． 是第 8 张， （ 2） 容易观察到， “洗牌 ”不改变第一张和 每次 最后一张牌的编号． 我们不妨将处于中间的 （ 2n － 2） 张牌重新编号为 1， 2， …， k， …， 2n － 2， 每次洗牌， 这些牌的位置序号一直在变化． 每次洗牌看做一个 则牌的位置序号变化满足映射： 映射， 2， …， 2n － 2｝ ． σ ： x ａ 2x（ mod（ 2n － 1） ） ，x ∈ ｛ 1， 映射 σ 是这 2n － 2 张牌所成集合到自身的一个 映射， 满足
2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析讲解
2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．答案：1、解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2、解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．3、解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．4、解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．5、解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．6、解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．7、解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．8、解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D 正确．9、解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T5﹣r x r，r+1=2所求x3的系数为：=40．故答案为：40．10、解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．11、解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．12、解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．13、解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．14、解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15、解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．16、解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．17、证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．18、解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．19、解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）20、解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．11。
2015年高考试题及解析：理科数学(北京卷)_中小学教育网
2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数()i2i-=A．12i+B．12i-C．12i-+D．12i--【答案】A【解析】i（2－i）＝1＋2i【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2．若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为A．0 B．1 C．32D．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z＝4．【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0） 【难度】容易【点评】本题算法初步。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。
4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m β∥”是“αβ∥”的必要条件． 若“m β∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。
2015年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
17．（14 分）如图，在四棱锥 A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥ BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O 为 EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值； （Ⅲ）若 BE⊥平面 AOC，求 a 的值．
≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，
使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由．
（n=1，2，…），记
集合 M={an|n∈N*}． （Ⅰ）若 a1=6，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）如集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．
19．（14 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 P（0，1）和点 A（m，n）（m
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
数 学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1．（5 分）复数 i（2﹣i）=（ ）
A．1+2i
2015年北京市高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A ．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A ．0 B．1 C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A ．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A ．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C ．若若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A ．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考二项式定理的应用．点：二项式定理．专题：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．分析：解解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，答：所求x3的系数为：=40．故答案为：40．点本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．评：10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值．解答：解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜aD．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 1＜a2，则a27．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x ）；（Ⅲ）设实数k使得f（x ）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．21。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的• 1 •复数 i 2 _i 二 A. 1 2i 【答案】A【解析】试题分析： ( )B . 1 -2i C. —1 2i D. _1_2ii (2 -i )=1 2i考点：复数运算_^x _y w 0 ,2.若 x , y 满足 x y w 1, x 》0 ,则z = x - 2y 的最大值为（A . 0 --x 1 z ，令 Z= 0 , 2 2 作直线y 2 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. （—2 , 2 ）B. （-4 , 0 ）C. （-^4，B . 1 D . 2【答案】【解析】试题分析: x ，在可行域中作平行线，得最优解 （0,1）,此时直线的截距最大， Z 取得最小值2. C 3【答案】B【解析】试题分忻：运行程序：^ = 1,_^ = 1,-^ = 0,s = 1-1 = Ojt = 1 + 1 =k = i> + 1 = 1 ■ >■ }. "> 3 ■■ 1、满足，s = —2f f = 2! x = —2j y = 2、k = 2、因天 2A3 、-4, y = O t Jc = 5因再3工3満足’输出(Tj)考点：程序框图【答案】B【解析】试题分析：因为：•，■-是两个不同的平面， m 是直线且m? :•.若“ m //「’，则平面:-、■- 二〃：，反过来若二〃 ：，m 二：；，则有m // ：,则“ m // ： ”是:-// 1 ”的必要而不充分条件考点：1.空间直线与平面的位置关系； 2.充要条件.5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）4. 设：•， 一：是两个不同的平面, A. 充分而不必要条件 m 是直线且m?、£ ." m //「■ ”是“用//「■ ”的B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件可能相交也可能平行，不能推出A. 2 5 B . 4 5 C. 2 25 D . 5【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC丄平面ABC取AB棱的中点D,连接CD PD,有PD丄ABCD丄AB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,1 1PD - ■■ 5, S AB^=— 2 2 = 2,, S PAB = q 2 ：：订5 = \ 5 , AC = BC =、，5，S PAC 二S PBC = 2 ' 5 1- ~2，三棱锥表面积3表=2；'5 2.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6. 设:a n ?是等差数列.下列结论中正确的是（）A.若a! a20，则a2a30 B .若a a3=0，则a a, <0C. 若o ::: a :::比，贝U a^ . a1a3 D .若Q ::: 0，贝U a^ a v n： a? - a^ - 0【答案】C【解析】试題分析:先分析四个答案支，A举一反例％ = 2., a2 = -1^勺=-4 ! + a, >0而冬+叫<0 »A错:宅E举同样反例％= 2, a2 = -13 s3 = 一4 , + a <0 ,而珂+冬>0：3错误，下电»■对匚进行研究，3 :是誓差数列，若0<坷 y 则耳> 3设公畫対右则d > 0,数仪吞项均为正，由于衬-爲可=（爲+ d）「-祜q + 2d）=吉:+迢孑+护-$ - 2辱=d1> 0,则曙> 气毎a % >石玄、选c.考点：1.等差数列通项公式；2•作差比较法7.如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f X > log2x 1的解集是（）：x|-1 < x < 1 C. ?x|-1：：x < 1? D .、x|-1：：x < 2?A. 、x|—1：：x< 0? B【解析】"y试题分析；如图所示，把硒数尸=Log, J的團象向左平移一十单位得到y =I OS/J +1）的图象x = 1时两图象相交*不等式的解为-1 < r < 1,用集合表示解集选C考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解； 3.对图象的理解.。
2015年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)
2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0C．若若0＜a1＜a2，则a27．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0C．若若0＜a1＜a2，则a2考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3的系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值．解答：解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．从而当n≥3时，a n是2的倍数．如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。
2015年北京高考数学理科第20题
2015年北京高考数学理科第20题摘要：一、引言1.介绍2015年北京高考数学理科第20题的背景2.阐述数学题目对于选拔人才的重要性二、题目内容分析1.题目的具体要求与条件2.题目涉及的数学知识点3.题目难度及考查的能力三、解题思路与方法1.分析题目，提取关键信息2.结合相关知识点，构建解题模型3.具体解题步骤及注意事项四、解题过程中的难点与易错点1.题目中的难点解析2.学生在解题过程中容易犯的错误3.如何避免这些错误，提高解题效率五、结论1.总结解题思路和方法2.对学生的建议和启示正文：一、引言在每年的高考中，数学题目都是考生们关注的焦点，因为它不仅考查学生的数学基础知识，还考查学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
2015年北京高考数学理科第20题，作为一份具有代表性的题目，具有一定的难度和深度，对学生的综合能力提出了较高的要求。
二、题目内容分析2015年北京高考数学理科第20题是一道关于函数的题目，具体要求如下：设函数f(x) = ax^3 - 3x^2 + b，已知f(x)在区间[0, 1]上单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3。
求a和b的值。
此题涉及的数学知识点包括函数的单调性、函数的导数等。
题目难度适中，考查了学生的分析问题和解决问题的能力。
三、解题思路与方法1.分析题目，提取关键信息根据题目要求，首先要求出函数f(x)的导数f"(x)，并利用导数的性质建立关于a和b的方程组。
2.结合相关知识点，构建解题模型根据函数的单调性，可以得到f"(x)在区间[0, 1]上大于等于0。
结合函数的导数公式，可以得到关于a和b的不等式组。
3.具体解题步骤及注意事项将f"(x)展开，得到3ax^2 - 6x，要求f"(x)在区间[0, 1]上大于等于0，即3ax^2 - 6x >= 0。
解这个不等式，可以得到a >= 2。
结合f(0) = 1，可以得到b = 1。
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学生的薄弱环节， 当然学生的薄弱环节， 需要集中时 间打歼灭战， 更需要进一步巩固和扩大战果， 有时需 要打持久战． 4．4 养成好的习惯， 是数学教师不可推卸的责任 教育的本质是习惯的养成． 数学教师在这方面有 不可推卸的责任， 作为数学教师， 应该明确在高一、 高 二、 高三， 培养学生的哪些习惯， 尤其是结合数学学科 特点， 哪些习惯更好养成， 哪些习惯需要在1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
数列｛ a n ｝ 8， 16， 32， 28， 20， … 16， 32， 28， 20， … 3， 6， 12， 24， 12， 24， … 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 5， 10， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 6， 12， 24， 12， 24， … 7， 14， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， … 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， … 9， 18， 36， 36， … 4， 8， 16， 32， 28， … 8， 16， 32， 28， 8， 20， 4， … 12， 24， 12， 24， … 16， 32， 28， 8， 20， 4， 8， … 20， 4， 8， 16， 32， … 15， 30， 24， 12， 24， 12， … 28， 20， 4， 8， … 32， 28， 8， 20， 4， 8， 16， … 18， 36， 36， … 19， 2， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， … 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， … 21， 6， 12， 24， 12， 24， … 22， 8， 16， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 8， 20， 4， … 20， 4， 8， 16， 32， 28， … 24， 12， 24， 12， … 28， 20， 4， 8， 16， 32， … 32， 28， 20， 4， 8， …
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都是 3 的倍数 ． 2 用列举法解答 2015 年高考北京卷数学（ 理科） 压轴 由题设可列举出满足题意的数列共 36 个（ 下表中 “ M ”表示 “集合 M 的元素个数 ” ）： 的 题（ 即高考题 1 ）
中学数学杂志
2015 年第 7 期
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
由此表可知， 表中的 36 个数列的项从某项后均呈 现周 期 性 的 变 化 （ 此 表 列 出 了 每 个 数 列 的 两 个 周 期） （ 严格的证明均易用数学归纳法完成， 这里略去过 程） ． 由此表容易给出本题的解答： 12， （ Ⅰ） 若 a 1 = 6， 则集合 M 的所有元素分别是 6， 24 ． （ Ⅱ） 若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数， 由上表 a 1 是 3 的倍数， 可知， 进而可得 M 的所有元素都是 3 的 倍数 ． （ Ⅲ） 由上表可知， 集合 M 的元素个数只可能是 1 ， 2， 3， 4， 7， 8， 所以集合 M 的元素个数的最大值是 8． 1 —4］就阐述了“应重视用枚举法解排列 、 文献［ 组合及概率统计题 ”的观点， 实际上， 用枚举法解题是 解各类数学题的基本观点， 不仅仅限于排列 、 组合及概 率统计题， 比如高考题 1 这道数列题及下文的高考题 3 这道函数题 ． 高考题 2 ( 2010 年高 考安 徽卷 数学 ( 理 科 ) 第 21 题) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试， 一种通常 采用的测试方法如下： 拿出 n 瓶外观相同但品质不同 的酒让其品尝， 要求其按品质优劣为它们排序； 经过一 段时间， 等其记忆淡忘之后， 再让其品尝这 n 瓶酒， 并 重新按品质优劣为它们排序， 这称为一轮测试 ． 根据一 轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 ． a2 ， a3 ， a 4 表示第一次排序时 现设 n = 4 ， 分别以 a 1 ， 2， 3， 4 的四种酒在第二次排序时的序号， 被排为 1 ， 并令 X = 1 － a1 + 2 － a2 + 3 － a3 + 4 － a4 ， 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述 ． （ Ⅰ） 写出 X 的可能值集合；
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甘志国（ 特级教师）
的只有 36 ， 被 9 除余 3 且是 4 的倍数的数只有 12 ， 被9除 余 6 且是 4 的倍数的数只有 24 ． 所以数列｛ a n ｝ 的项从第 3 项开始必呈现周期性变 化， 且周期是 1 或 2 ． 得此时集合 M 的元素个数至多是 2 + 2 = 4 ． ② 若数列｛ a n ｝ 的项均不是 3 的倍数， 则 a3 被 9 除 4， 7， 2， 5， 8 ． 再由递推式可得， 所得的余数只可能是 1 ， 数列｛ a n ｝ 的项从第 3 项起被 9 除所得的余数呈现周期 2， 4， 8， 7， 5； 4， 8， 7， 5， 1， 2； 7， 性变化， 且周期分别 是 1 ， 5， 1， 2， 4， 8； 2， 4， 8， 7， 5， 1； 5， 1， 2， 4， 8， 7； 8， 7， 5， 1， 2， 4． 又呈现周期性变化的每个数都是 4 的倍数且不大 2， 4， 8， 7， 5 对应的数分别是 28 ， 20， 4， 8， 于 36 ， 所以 1 ， 16 ， 32 ． 得此时集合 M 的元素个数至多是 2 + 6 = 8． 2， 4， 8， 16 ， 32 ， 28， 20｝ ， 可得 M = ｛ 1 ， 又当 a 1 = 1 时， 所以集合 M 的元素个数是 8 ． 综上所述， 可得集合 M 的元素个数的最大值是 8 ． 注 倍数， 则 笔者再给出第（ Ⅱ ） 问的数学归纳法证明： 设集合 M 中的元素 a k（ k 是确定的正整数） 是 3 的 ① 由所 给 的 递 推 式 及 数 学 归 纳 法 可 得 a n（ n ∈ N ， n ≥ k） 均是 3 的倍数； ② 由所给的递推式及反向数学归纳法可得 a n（ n n ≤ k） 均是 3 的倍数． ∈N ，
* 所以 a n（ n ∈ N ） 均是 3 的倍数， 即 M 的所有元素 * *
2015 年高考北京卷数学（ 理科） 压轴题及其参考答
{
∈N ｝． （ Ⅰ） 若 a 1 = 6， 写出集合 M 的所有元素； （ Ⅱ） 若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数， 证明： M 的所有元素都是 3 的倍数； （ Ⅲ） 求集合 M 的元素个数的最大值 ． 由所给的递推式可 参考答案 （ Ⅰ ） 当 a 1 = 6 时， 12， 24， 12， 24， …， 12 ， 24 ｝ ， 所以 M = ｛ 6 ， 得数列｛ a n ｝ ： 6， 12， 24． 即集合 M 的所有元素分别是 6 ， （ Ⅱ） 假设 a 1 不是 3 的倍数， 由所给的递推式及数
2015 年高考北京卷数学 （ 理科 ） 压轴题的背景是数学黑洞问题
北京丰台二中
1 案 （ 2015 年高考北京卷数学（ 理科） 第 20 * a 1 ≤ 36， 且 an + 1 = 题） 已知数 列｛ a n ｝ 满足： a 1 ∈ N ， 2 a n（ a n ≤ 18 ） （ n = 1， 2， … ） ． 记集合 M = ｛ a n | n 2 a n － 36 （ a n ＞ 18） 高考题 1
* 学归纳法可得 a n（ n ∈ N ） 均不是 3 的倍数 ． 这与题设 相矛盾！ 所以 a 1 是 3 的倍数 ． 再由所给的递推式及数学
*
归纳法可得 a n（ n ∈ N ） 均是 3 的倍数， 即 M 的所有元 素都是 3 的倍数 ． （ Ⅲ） 用数学归纳法易证 a n ≤ 36（ n ∈ N ） ． 易知 a 2 是偶数， 再用数学归纳法易证 a n（ n ∈ N ， n ≥ 3 ） 是 4 的倍数 ． a n + 1 与 2 a n（ n ∈ N ） 被 9 除 由所给的递推式可得， 所得的余数相等 ． ① 若数列｛ a n ｝ 的项中有 3 的倍数， 则由（ Ⅱ ） 的结 a n（ n ∈ N * ） 均是 3 的倍数 ． 所以 a 1 被 9 除所得的 论知， 3， 余数是 0 ， 或 6． 由此可得数列｛ a n ｝ 的项被 9 除所得的余数依次为 0， 0， …； 或 3， 6， 3， 6， …； 或 6， 3， 6， 3， …． 在不大于 36 的正整数中： 被 9 除余 0 且是 4 的倍数
28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20， ｛ 28， 20， 4， 8， 29， 22， 8， 16， 32， 28， 20， 4， ｛ 29， 22， 8， 16，
31， 26， 16， 32， 28， 20， 4， 8， ｛ 31， 26， 16， 32， 32， 28， 20， 4， 8， 16， 32， 28， ｛ 32， 28， 20， 4，
集合 M 32， 28， 20｝ 28， 20｝ ｛ 3， 6， 12， 24｝ ｛ 4， 8， 16， 32， 28， 20｝ ｛ 5， 10， 20， 4， 8， 16， 32， 28｝ ｛ 6， 12， 24｝ ｛ 7， 14， 28， 20， 4， 8， 16， 32｝ ｛ 8， 16， 32， 28， 20， 4｝ ｛ 9， 18， 36｝ 16， 32， 28｝ 32， 28， 20， 4｝ ｛ 12， 24｝ 28， 20， 4， 8｝ 8， 16， 32｝ ｛ 15， 30， 24， 12｝ 4， 8｝ 20， 4， 8， 16｝ ｛ 18， 36｝ ｛ 19， 2， 4， 8， 16， 32， 28， 20｝ ｛ 20， 4， 8， 16， 32， 28， 20｝ ｛ 21， 6， 12， 24｝ ｛ 22， 8， 16， 32， 28， 20， 4｝ 8， 16， 32， 28｝ ｛ 24， 12｝ 4， 8， 16， 32｝ 20， 4， 8｝