高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末总结课件新人教A版

(2)因为AA1⊥平面ABCD且EF∥BD,
所以AC⊥EF.
因为AA1∩AC=A, 所以EF⊥平面AA1C. 因为EF⊂平面EFG,
所以平面AA1C⊥平面EFG.
规律方法 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的 转化主要有: (1)平行关系的转化.
在四棱锥 P ABCD 中,设 AB=2t,
则 DM= 13 t,PM= 3 t,MH= 7 5 t,所以 PH= 4 5 t,MN= 7 3 t,
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从而 sin∠MDN= MN = 7 39 , DM 104
即直线 DM 与平面 PCD 所成的角的正弦值为 7 39 . 104
规律方法 求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所 成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题 意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三 类: ①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点 引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异 面直线所成的角. ②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影. ③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确 定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.
(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F, 则 BF=AD= 2 ,EF=AB-DE=1,FC=2. 在 Rt△BFE 中,BE= 3 ,在 Rt△BFC 中,BC= 6 . 所以 BE2+BC2=EC2,故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD,得 BE⊥BB1,BE⊥平面 BB1C1C.
主题串讲
一、平面基本性质的应用 【典例 1】 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中 点,求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.
证明:(1)分别连接 EF,A1B,D1C. 因为 E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点,
(1)证明:由∠APB=90°,AB=2PB=4BM,得PM⊥AB, 又因为PM⊥CD,且AB,CD相交, 所以PM⊥平面ABCD,且PM⊂平面PAB. 所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解:过点 M 作 MH⊥CD,连接 HP, 因为 PM⊥CD,且 PM∩MH=M, 所以 CD⊥平面 PMH,又由 CD⊂ 平面 PCD,得到平面 PMH⊥平面 PCD, 平面 PMH∩平面 PCD=PH,过点 M 作 MN⊥PH,即有 MN⊥平面 PCD, 连接 DN,则∠MDN 为直线 DM 与平面 PCD 所成的角.
设 D1F∩CE=P. 因为 D1F⊂ 平面 AA1D1D, P∈D1F, 所以 P∈平面 AA1D1D. 又 CE⊂ 平面 ABCD,P∈EC, 所以 P∈平面 ABCD. 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点, 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD. 所以 P∈AD. 所以 CE,D1F,DA 三线共点.
规律方法 证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于 一点;然后证明这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面的交线上,从而 得到三线共点.也可以证明直线a、b相交于一点A,直线b与c相交于一点B, 再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.
二、空间线面位置关系的转化 【典例 2】 (2015 北京市房山区高二期中)如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、 F、G 分别是 CB、CD、CC1 的中点, (1)求证:平面 AB1D1∥平面 EFG; (2)求证:平面 AA1C⊥平面 EFG.
(2)垂直关系的转化. 线线垂直 线面垂直 (3)平行与垂直的转化.
面面垂直
三、空间位置关系的证明与空间角的计算 【典例 3】 (2015 杭州市重点中学高二联考)在四棱锥 P ABCD 中,AD∥BC, ∠ABC=∠APB=90°,AB=4MB,且 PM⊥CD,AB=BC=2PB=2AD. (1)证明:平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)求直线 DM 与平面 PCD 所成的角的正弦值.
即时训练 3 1(2015 唐山市玉田县林南仓中学高二期中)如图,四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= 2 ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离; (3)求二面角 B1 A1C1 E 的正弦值.
证明:(1)连接 BD、BC1, 因为正方体 ABCD A1B1C1D1 中,BB1 DD1,
所以四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥BD. 又因为△BCD 中,E、F 分别是 CB、CD 的中点, 所以 EF∥BD,所以 EF∥B1D1. 又因为 EF⊄ 平面 AB1D1,B1D1⊂ 平面 AB1D1, 所以 EF∥平面 AB1D1,同理可得 EG∥平面 AB1D1. 因为 EF∩EG=E,EF、EG⊂ 平面 EFG, 所以平面 AB1D1∥平面 EFG.
章末总结
网络建构 主题串讲
网络建构
网络点拨 1.一条主线:空间关系. 2.一个模型:长方体. 3.一种重要思想:转化与化归思想. 4.两种重要关系:平行与垂直. 5.三种语言:图形语言、符号语言、文 字语言. 6.三种角:线线角、线面角、面面角. 7.四个公理:公理1～公理4. 8.八个定理:线面平行、面面平行的判 定、性质,线面垂直、面面垂直的判定、 性质.
所以 EF 1 A1B. 2
又因为 A1D1 B1C1 BC, 所以四边形 A1D1CB 是平行四边形, 所以 A1B∥CD1,从而 EF∥CD1. 所以 EF 与 CD1 确定一个平面. 所以 E,C,D1,F 四点共面.
(2)由(1)易得 EF 1 CD1, 2
所以延长 D1F 和 CE 必相交,