ch3-4有理函数的不定积分
有理函数的不定积分
M1 x + N1
2
x + px + q ( x + px + q )
+
M2 x + N2
2 2
+L +
Mk x+ Nk ( x + px + q )
2 k
其中 M 1 , M 2 , L M k ； N 1 , N 2 , L N k 都是常数。
特别地，当 k = 1 时，则分解后有 Mx + N x + Px + q
Mx + N
x 2 + px + q
dx ( p 2 − 4 q < 0 ) ；
(4) ∫
Mx + N ( x 2 + px + q ) n
dx ( n > 1 , p 2 − 4 q < 0 ) 。
前面三种积分都比较容易，已在上面例题中介绍了它们
的解法，最后一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式，
1= A( x −1)2 + Bx ( x −1)+ Cx ,
令 x = 0 ， A =1 ， 令 x =1 ， C =1 ， 1 1 1 ∴ ， = − + x ( x −1) 2 x x −1 ( x −1) 2
1
比较 x 2 项的系数： A + B = 0 ， B = −1 。
1
1 1 1 x 1 ∫ x( x −1)2 dx = ∫[ x − x −1 + ( x −1)2 ]dx = ln x −1 − x −1 + C .
x+3
6 5 = ∫( − )dx x−3 x−2
有理函数积分法
第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
有理函数的不定积分
A Mx + N ; ( k ∈N+ , p2 − 4q < 0) (x − a)k (x2 + p x + q)k
注：
1）若Q( x)含有因子( x − a) k , 则分解式中含有： ] [ Ak A1 A2 + +⋯ + ( A1 , A2 ,⋯ , Ak 为常数）； k 2 x − a ( x − a) ( x − a)
x x 2sin 2 cos 2
x 2tan 2
1+ sin x x 例 ∫ 5. dx(令t = tan ) sin x(1+ cos x) 2
=∫
1+
2t
2t 1+t 2
1−t 2 ) 1 2( + 1+t 1+t 2
⋅ 2 2 dt 1+t
1 1 = ∫ t + 2 + dt 2 t
1 1 2 = t + 2t + ln t + C 2 2
1 2x x x 1 = tan + tan + ln tan + C 4 2 2 2 2
例6. 求
dx x 1 2 解法1: 解法 ∫ (令t = tan ) = ∫ ⋅ dt 2 2t 1 + t 1+ sin x 2 1+
dx 例4. 求 ∫ 4 x +1 1 (x2 +1) − (x2 −1) 解: 原式 = ∫ dx 4 2 x +1
1+ 1 1− 1 1 1 x2 x2 = ∫ 2 dx − ∫ 2 dx 2 x +1 2 x +1 2 2
有理函数不定积分的一个综合公式
有理函数不定积分的一个综合公式
有理函数不定积分是数学中一个重要的概念，它是求解某些函数的积分的一种方法。
有理函数不定积分的一个综合公式是：
∫f(x)dx=f(x)ln|x|+C
其中，f(x)是一个有理函数，C是一个常数。
有理函数不定积分的一个综合公式可以用来求解有理函数的积分。
它可以用来求解一元函数的积分，也可以用来求解多元函数的积分。
有理函数不定积分的一个综合公式可以用来求解有理函数的积分，但是它也有一些局限性。
它只能用来求解有理函数的积分，而不能用来求解非有理函数的积分。
有理函数不定积分的一个综合公式是一个重要的数学概念，它可以用来求解有理函数的积分，但是它也有一些局限性。
因此，在使用有理函数不定积分的一个综合公式求解积分时，应该根据实际情况选择合适的方法。
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()(ΛΛ （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--=ΛΛ．其中s r q p b a ,,,,,,,ΛΛ为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βαΛμλ,,Λ为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-ΛΛλββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-Λμλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-ΛΛsrx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμΛ． （2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,,ΛΛ都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）ax A - ，（2）ka x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）k q px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du au B pu A dx pq p x BAx dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au Ap B du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222C pq px p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k k k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)( 122222)(+-++=k k k kI a kI a u u ． 整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u a a u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解 ⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u ]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u u C u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222． 例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解 因为2)1(1-x x 可分解为 1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即A x C AB xC A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C ABC A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112 C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ， 两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是C x x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解 dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122． 解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解 ⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222 C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx x x⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx xx x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx x x dx xx ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x⎰+2cos 311． 解 x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是du a nuu a b u R dx b ax x R n n n1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23． 例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换 u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 du u u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222C x xx x x ++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1． 解⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令u x x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是 du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1 C x x C u +-+-=+-=3112323．精品文档。
第4节有理函数的不定积分
2
2
2
例2
求积分
1 sin4
x
dx.
解
令utanx, 2
sinx12uu2 ,
dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 8[31 u3u 33uu 33]C 2 4 t1 a2 x n 38t3 a2 xn 8 3ta2 xn 2 1 4 ta2 x n 3C .
解法二
令 utaxn ,则sinx
u, 1u2
dx11u2
du,
1 sin4 xdx
1 u
4 11u2du
1u2
1 u2 u4
du
31u3
1C u
1co3xtcoxtC. 3
解法三
1 sin4
dx x
cs4cxdxcs2x ccs2xc dx
令 t pa x b,其中p为m,n的最小公.倍数
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令 t3x2, 则 xt32,dx3t2dt,
原式 13t2tdt 3(t211)t1dt 3(t11 1t)dt
31 t 2 tln1t C
2 33 (x2)2 33 x23ln13x2C.
原式 (1u)2u 1 (u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1u 1u2
du
1 du 1 u
arctuan 1ln(1u2)ln |1u|C
2
x ln| secx | ln|1taxn|C.
有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指函数在变量x上的不定积分。
它关注的是变量x的积分，并不关注变量x的形式。
这种方式的不定积分可以帮助研究者更好地研究函数的特性，以及对不定函数的运算。
一、什么是有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指以变量x作为函数的不定积分的形式，即函数f（x）可以表达为以下表达式：∫f（x）dx 。
它指的是x的积分，而不是f（x）本身。
它可以帮助我们分析函数特性，例如曲线的行为，最小和最大特性，以及它在某些范围内的增长和减少。
二、有理函数的不定积分的本质有理函数的不定积分可以用来就指定函数中变量x在指定范围内变化所产生的影响进行研究，它可以让我们理解不定函数的变化规律，以及不定函数的实际运算。
例如，以x为变量的一元函数的不定积分可以用来求得函数在指定范围内的变化。
三、计算有理函数的不定积分计算有理函数的不定积分的方式有以下几种：（1）积分表法将函数的不定积分使用积分表进行计算，积分表是专门为计算不定积分而提供的工具。
（2）函数展开法将函数展开为多项式，然后使用常见解法计算不定积分。
（3）图形法将函数画成图像，按照图像的形状和变化规律结合数值积分公式对函数的不定积分进行计算。
（4）数学软件计算利用计算机软件，输入函数表达式，利用计算机软件计算出函数的不定积分。
四、有理函数的不定积分的应用有理函数的不定积分可以用来分析函数的特性和变化规律，弥补函数的表示欠缺。
它可以用于多变量函数的导数计算，函数最大最小值求解，空间定位，参数估计，统计建模，地震位移分析以及动力学、物理和化学中的数值计算。
总之，有理函数的不定积分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们分析函数的特点，以及函数本质变化的规律，并且可以在多个领域中有效地应用，为这些领域的研究提供便利。
有理函数的不定积分省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
1 (x 1)2
1 x(x 1)
(x
1 1)2
x
(x 1) x(x 1)
(
x
1 1)
2
x
1
1
1 x
(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
A(x 3) B(x 2) (x 2)(x 3)
x 3 A(x 3) B(x 2)
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1
u
C
3 2
3 (x 2)2 3 3
x 2 3ln
1 3
x2
C
例11. 求
dx x3
x
.
解: 为去掉被积函数分母中旳根式, 取根指数
2, 3 旳最小公倍数 6, 令 x t 6 , 则有
原式
6t 5
t3
dt
t2
6
( t 2 t 1 1 ) dt 1 t
6
则 R(sin x , cos x) dx
令
t
tan
x 2
万能代换
t 旳有理函数旳积分
例7. 求
1 sin x dx . sin x(1 cos x)
解: 令t tan x , 则 2
sin
x
2
sin
x 2
cos
x 2
sin
2
x 2
cos2
x 2
2 1
tan
x 2
tan 2
x 2
2t 1 t
2
cos
高等数学有理式的不定积分方法
4
如果Q x有一个n 重实根 a, 则 Px/Qx 的部分
n 分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:
A1 L xa
x
An a
n
如果 Qx中包含因子 x2 px q m q p2 / 4
时 , 则 Px / Qx 的部分分式中一定包含下列形
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
Bx C
3.
x2
dx px q
4.
(x2
Bx px
C
q)n
dx
变分子为
B 2
(2x
p)
C
Bp 2
再分项积分
7
3.
Bx C x2 px
q
dx
B 2
2x x2
2C B
px
L
(x
Ank k ak
)nk
B11x C1,1 L Bm11x Cm11
x2 p1x q1
(x2 p1x q1)m1
L
B1l x C1l x2 pl x ql
L
Bmll x (x2 pl
Cmll x ql )ml
}
（其中各系数待定）；
2x(x 2 2) 4 x2 x2 2
18
1 2x(x 2 2)
1 1 1 arctan 4x 42
x C. 2
x3 x2 x(x2
2 2)2
不定积分求解方法-有理函数积分汇编
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dx 例6. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
dx
按常规方法较繁
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
3
2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
x3 A ( x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B ( x 3) 原式 x 3 x2 x 3
故
5 6 原式 x2 x 3
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(3) 混合法
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
d(t 1 ) t (t
2 1 t)
(t 1) dt 1 t2 t4 1 t 1 arctan t C 3 3 2 1 cos x arctan C 3 3 sin x
3
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2. 简单无理函数的积分 （P255-P257）
机动目录上页下页返回结束内容小结可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出但不一定要注意综合使用基本积分法简便计算
有理函数的不定积分-生物
1 x 例4： sin x cos x dx，利用u tan 2 ； x 1 例5： x dx，利用u x 1； 1 1 x 1 x 例6： x x dx，利用u x ；
作业
P241 1,4,6,9,10,14,15,17,18 P247 1,4,5,8 (下下周一交)
x 1 例3： ( x 1)(x 1) 2 dx 1 1 1 ln | x 1 | ln | x 1 | C， 2 x 1 2 部分分式分解
2Leabharlann x 1 A B C ， 2 2 ( x 1)(x 1) x 1 x 1 ( x 1) 1 1 其中A ，B ，C 1。 2 2
可化为有理函数积分的例子
（1）有理三角函数的不定积分，都是初等函 数，理论上都是可算的。三角换元 t=sinx, t=cosx, 或t=tan(x/2)是常见的方法， 其中t=tan(x/2)是将有理三角函数不定积分化 为有理函数积分的“万能钥匙”，但计算比 前两 种换元方法（不一定总适用）复杂些。 （2）部分无理函数（带根号的）。换元方法 因题而异。
2
1 例4： dx ， n 1 , 2 , 3 , ； 2 2 n [(x a) b ] 问题可以很容易转化为 计算 1 In 2 dx。 n ( x 1)
小结
（1）一般的部分分式分解。 （2）部分分式分解中可能遇到的各类有理分 式在上述例子中都包括了，可以归纳出下面 的定理： 定理：有理函数的不定积分为初等函数，理 论上都是可以计算出来的。
有理函数的积分
有理函数积分的一般思路
通过带余除法、部分分式分解等一系列手将 问题简化，逐项积分（用线性性），具体每 种情形要用基本积分公式、换元法和分部积 分。下面通过例子来说明。
高等数学有理式不定积分方法
而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.
1 x 2 n 1 I 递推公式 I n1 2 2 2 n 2 n 2 n a (x a ) 2na 1 x 说明: 已知 I1 arctan C 利用递推公式可求得 I n . a a 例如, 1 x 3 2 I2 I3 2 2 2 2 4a ( x a ) 4a 1 x 3 1 x 1 2 2 2 2 2 2 I1 2 2 2 4a ( x a ) 4a 2a x a 2a 1 x 3 x 3 x 2 2 4 2 5 arctan C 2 2 2 a 4a ( x a ) 8a x a 8a
化简并约去两端的公因子 x后为 2 x 2 3x 1 A12 ( x 1) 2 A22 ( x 1),
即 2 x 1 A12 x A12 A22 ,
A12 2, A22 ห้องสมุดไป่ตู้ 1.
得
例2 求
解
1 A Bx C , 2 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x
补例 求 dx . x3 1
解
1 1 1 x2 3 ( 2 ). x 1 3 x 1 x x 1
x2 1 2x 4 1 2x 1 3 dx x 2 x 1 2 x 2 x 1dx 2 x 2 x 1dx
1 (2 x 1)dx 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1
3-3
有理式的不定积分与有理化方法
1. 有理式的不定积分 有理函数:
a0 x a1x P( x) R( x) Q( x)
n
n1
an
高等数学有理式的不定积分方法
A11 A12 1, 3A11 2 A12 A22 0, 3A11 A12 A22 A32 0, A11 1.
从而解得 A11 1, A12 2, A22 1, A32 2. 故有
dx
B 2
2x 2C
[(x
p )2
B (g
p2
)]n
dx
2
4
B 2
2x p 2C p B
(x2 px q)n
dx
B 2
(x2
2x px
p
q)n
dx
C Bp
(x2
2 px
q)n
d
B 2
d (x2 px q)
2x(x 2 2) 4 x2 x2 2
18
1 2x(x 2 2)
1 1 1 arctan 4x 42
x C. 2
x3 x2 x(x2
2 2)2
dx
1 2
ln
|
x
|
1 4
ln( x 2
2)
1 x(x 2 2)
1 2x
1 arctan 22
2 x2 x 1 2 (x 1)2 3
24
1 ln( x2 x 1) 3 arctan 2x 1 C.
2
3
dx
x3 1
1 3
ln(
x
1)
1 6
ln(
x2
x
1)
有理函数的不定积分
例1
于是有
1 1 1 1 = − + 2 x ( x − 1) x x − 1 ( x − 1)2
这种确定待定系数的方法称为赋值法.
例2
x2 + 2x − 1 A Bx + C = + 2 2 ( x − 1)( x − x + 1) x − 1 x − x + 1
去分母得: x 2 + 2 x − 1 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
k = 1 时,
t 1 2 2 d t = ln( t + r ) + C, ∫ t2 + r2 2 dt 1 t ∫ t 2 + r 2 = r arctan r + C .
k ≥ 2 时,
t 1 d( t 2 + r 2 ) 1 ∫ (t 2 + r 2 )k dt = 2 ∫ (t 2 + r 2 )k = 2(1 − k )(t 2 + r 2 )k −1 + C . dt 记 Ik = ∫ 2 2 k ,则 (t + r ) 1 (t 2 + r 2 ) − t 2 Ik = 2 ∫ dt 2 2 k r (t + r ) 1 1 t2 = 2 I k −1 − 2 ∫ 2 2 k dt r r (t + r )
2 k ( x px q ) + + 的部分分式是 对应于
B1 x + C1 B2 x + C 2 Bk x + C k + 2 +⋯+ 2 , 2 2 k x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q )
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xa C xa
x C ; x
复习
1 x 1 a2 x 2 dx a arctan a C. 1 2 2 dx ln( x x a ) C . x 2 a 2 1 2 2 dx ln x x a C . x 2 a 2 1 x a2 x2 dx arcsin a C.
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
1 A Bx C 例如 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 2
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8
P( x) 设 R( x ) , 求积分 R( x ) dx 的步骤 Q( x ) 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和. 实系数多项式的 因式分解定理 P( x) 设 R( x ) 为真分式 Q( x ) 1. 将Q(x)(次数大于零)在实数范围内分解成一 次式和二次质因式的乘积. x 4 1 如何分解 ? P ( x ) 2.将R( x ) 拆成若干个部分分式之和(分 Q( x ) 解后的部分分式必须是最简分式).
2 1 2x 1 1 ln | 1 2 x | dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x
2 1 1 2 ln | 1 2 x | ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
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11
归纳
将有理函数化为部分分式之和后，只出现 三类情况： A Mx N (1) 多项式； ( 2) ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x px q )
2
1 dx . x 1 e
无理函数代换
解 令 t 1 ex
2t e t 1, x lnt 1, dx 2 dt , t 1
x 2
1 1 1 2 dt 1 e x dx t 2 1dt t 1 t 1 t 1 ln C 2 ln 1 e x 1 x C . t 1
令 t
n a xb c xd
例1 (1)
dx
3
x 1 3 (x 1)2
令 t 3 x 1
1 x 令 t 1 x
15
(2) 求积分
1 x dx 1 x
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（作业：P58 三4）
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3.
令 t p a x b , 其中 p 为 m , n的最小公倍数.
解 令t
6
5
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C .
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
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例3 求积分
解
x dx. 3x 1 2x 1
分母有理化
x ( 3 x 1 2 x 1) 原式 dx ( 3 x 1 2 x 1)( 3 x 1 2 x 1)
1 arctan u ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2 x u tan 2 x x ln | sec | ln | 1 tan x | C . 2 2 2
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22
1 例2 求积分 dx. 4 sin x x 2u 2 , dx du, 解（一） u tan , sin x 2 2 2 1 u 1 u
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14
二、简单无理函数的不定积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过 根式代换化为有理函数的积分.
讨论类型 (主要三种)
1. 2.
n n ax b R ( x , ax b ) d x , 令 t n R ( x , a xb c xd
) dx ,
两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
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三、三角函数有理式的不定积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
x x 2 tan x x 2 tan 2 2 , sin x 2 sin cos 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2
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5
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个
多项式和一个真分式之和.
1 x3 x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
难点 将有理函数化为部分分式(最简式)之和.
1 +C n>1 dx n 1 (n Z ) (n 1)(x a ) n (x a ) ln|x a |C n=1
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2
分部积分法:
uvdx uv uvdx, udv uv vdu, 关键是正确选择 u 和 v .
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6
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k ( x a ) （1）分母中若有因式 ，则分解后为
(常数)
Ak A1 A2 , 1 2 k x a ( x a) ( x a)
( k项 )
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地：k 1, 分解后为 xa
2u (1 u)2 (1 u2 ) du du 2 2 (1 u)(1 u ) (1 u)(1 u )
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21
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
反三角函数 慢
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对数函数
幂函数 三角函数
指数函数
dx 快
3
第四节 有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分 二、简单无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分
第三章
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一、有理函数的不定积分
有理函数的定义：
2
2u 1 u2 2 sin x , cos x , dx du 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 , du. 2 2 2 R(sin x, cos x ) dx R 1 u 1 u 1 u
2
化为了 u 的有理函数的积分.
n m R ( x , ax b , ax b ) dx ,
讲过
1 dx. 例2 求积分 3 x 1 x 1
x 1 6t dt dx, 1 1 5 6 t dx t 3 t 2 dt x 1 3 x 1 3 t 6 dt 2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C t 1
1 例如 x ( x 1)2
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A B C 2 x (x 1) x 1
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（2）分母中若有因式 ( x px q ) ，其中
k
(二次不可约因式) 2
(一次)
p 2 4q 0 则分解后为
(k项)
M 1x N 1 M 2x N 2 M kx N k 2 2 2 2 k x px q (x px q ) (x px q )
x 1 tan 2 x 2 x 2x 2x 2 cos x cos sin cos (1 tan ) 2 2 2 2 2x sec 2
2
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x 2 x 1 tan 1 tan 2 2, cos x 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x 令u tan x 2 arctanu（万能置换公式） 2
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注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构
特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例2 求积分 解
1 2 2 ( t 1)2 1 dt ( 2 ＋ 3 ) dt 原式 3 t t t t 2 1 2 1 ln | t | 2 C ln | x 1 | C. 2 x 1 ( x 1) t t
3. 求出各部分分式的原函数.
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例1 求积分
解
1 1 2 x x 2 2 x 3 dx.
1 1 1 2 x x 2 2 x 3 dx (1 2 x )(1 x 2 ) dx
4 2 1 x 5 dx 5 2 5dx 1 2x 1 x