高考数学一轮课时知能训练 第6章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式 文

第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32
2．log 2sin π12＋log 2cos π
12
的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．－2
D ．2
3．(2011年辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1
3
，则sin2θ＝( )
A ．－79
B ．－19 C.19 D.79
4．若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin2α
的值为( )
A.103
B.53
C.2
3
D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范
围为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
k π＋π
3≤x ≤k π＋π，k ∈Z
B.
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＋π
3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
k π＋π6≤x ≤k π＋5π
6，k ∈Z
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π
6，k ∈Z
6．函数y ＝2cos 2
x ＋sin2x 的最小值是______________．
7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3
，则tan α＝________.
8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4－2 2sin 2
x 的最小正周期是________．
9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.
10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)． (1)当a ⊥b 时，求tan2θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B
cos C
.
(1)证明：B ＝C ；
(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．
12．(2010年四川)(1)证明两角和的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
由C α＋β推导两角和的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)的值．
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－1
2
8.π
9．－5665
10．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0) ⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，
∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2
θ＝－2 3
1－－32
＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝
cos θ＋3
2
＋sin θ＋1
2
＝cos 2
θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2
θ＋2sin θ＋1 ＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝
5＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin θ＋60°.
当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3.
11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B
cos C
，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C . (2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，
故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝1
3.
又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 2
2B ＝2 2
3
. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝
4 2
9， cos4B ＝cos 22B －sin 2
2B ＝－79
.
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318. 12．(1)证明：如图D50，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的
图D50
始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．
①由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2
(α＋β)＝
[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2
，展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝cos α，sin(α＋β)＝
cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)解：∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan β＝－13， ∴sin β＝
1010，cos β＝－310
10
. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351010
＝31010.。