2013届高考考前题型回顾复习

2013届高考考前题型回顾复习填空题1、对于△ABC ，有如下四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sin B ＝cos A ，则△ABC 是直角三角形； ③若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形； ④若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 是等边三角形．其中正确的命题个数是________．解析 ①不对，可能2A ＋2B ＝π；②不对，如B ＝120°，A ＝30°；③不对，仅能说明C 为锐角；④对，由正弦定理可得sin A 2＝sin B 2＝sin C2，即A ＝B ＝C . 答案 1 变式训练：有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； p 3：∀x ∈[0，π],1－cos 2x2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________．解析 p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12是假命题；p 2是真命题，如x ＝y ＝0时成立；p 3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0，∴1－cos 2x 2＝sin 2x ＝|sin x |＝sin x ；p 4是假命题，如x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2.答案 p 1，p 4 2、已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的______条件解析 a ＞2可以推出a 2＞2a ；a 2＞2a 可以推出a ＞2或a ＜0不一定推出a ＞2. 所以“a ＞2”是“a 2＞2a ”的充分不必要条件．答案 充分不必要 3、设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为________．解析 法一 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积V ＝13x 21－x 22＝26x 4(2－x 2)，记y ＝t 2(2－t )，t ＞0，利用导数可求得当t ＝43时，y max ＝3227，此时V max ＝4327；法二 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则V ＝13×2cos 2θ×sin θ＝23(1－sin 2θ)×sin θ，0＜θ＜π2，记y ＝(1－t 2)t,0＜t＜1，利用导数可求得当t ＝33时，y max ＝239，此时V max ＝4327. 4、若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan 2β＝________.cos(α＋β－α)＝cos β＝－35，且β是第二象解析 ∵cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝限的角，∴sin β＝45，tan β＝－43，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝247. 5、如图所示为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，π2≤φ≤π)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为3，那么f (－1)＝________.解析 由函数图象求解析式，再求函数值．由A ，B 两点之间的距离为3得T 2＝3⇒T ＝6＝2πω⇒ω＝π3，又f (0)＝2sin φ＝1，且π2≤φ≤π，所以φ＝56π，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6，故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2.答案 2 6、若函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数F (x )＝f (x )－|log 4x |的零点个数为________．解析 根据条件作出函数f (x )，y ＝|log 4x |，x ＞0的图象，由两个函数图象的交点个数确定函数零点个数．因为f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数，f (x )的周期为2，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，在同一坐标系中作出函数f (x )，y ＝|log 4x |，x ＞0的图象如图，由图象可知，交点个数是4，即F (x )的零点个数为4.7、设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x≤0的解集为________．解析 由奇函数的定义化简解析式，再利用分类讨论的方法解不等式．因为函数f (x )是奇函数，所以3f (－x )－2f (x )5x＝－3f (x )－2f (x )5x ＝－f (x )x ≤0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f (x )≤0，又奇函数f (x )在(0，＋∞)上递减，f (2)＝0，所以在(－∞，0)上递减，f (－2)＝0，作出函数f (x )的大致示意图可得原不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．8、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )是[0,1]上的增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．以上命题中正确的是________．(写出所有正确命题的编号)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)，得函数f (x )是周期为2的周期函数，故①正确；因为f (2－x )＝f (1＋1－x )＝－f (1－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )关于x ＝1对称，故②正确；因为f (x )是偶函数，且[－1,0]递增，周期是2，所以在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，故③④均错误，⑤正确，故正确的是①②⑤.9、已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上任意一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析 设M (x ，y )(x ＞0)，因为在M 点处切线的倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2，所以切线的斜率是[1，＋∞)，即y ′＝1x ＋x ＋1－a ≥1，x ∈(0，＋∞)恒成立，分离参数得a ≤1x ＋x ，x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋x min ，x ∈(0，＋∞)时，由基本不等式得1x＋x ≥2，所以a ≤2.答案 (－∞，2]10、如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则P A →·PB →的值为________．解析 建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A 为坐标原点，AD 、AB 所在直线为4)，C (2,4)，D (4,0)，P (3,2)，所以P A →·PB →＝(－3，x 、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0，－2)·(－3,2)＝5.答案 5变式训练：(南京一中模拟试题)如图在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点→DC ＝λ→BD ，则→AD ·→BC的取值范围是 ．答案：（-2,5]解法简析：建立坐标系，标出A ，B ，C 的坐标， 写出BC 的方程，注意→DC ＝λ→BD 条件的具体含义，D 点的横坐标的范围是[-1,1).11、等差数列{a n }的公差d ∈(0,1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin (a 3＋a 7)＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为________．解析 因为{a n }是等差数列，所以sin 2a 3－sin 2a 7sin (a 3＋a 7)＝(sin a 3＋sin a 7)(sin a 3－sin a 7)sin 2a 5＝2sin a 5cos 2d (－2cos a 5sin 2d )sin 2a 5＝－sin 4d ＝－1，得d ＝π8＋k π2，k ∈Z ，又d∈(0,1)，所以k ＝0，即d ＝π8.又由S 10是{S n }中的最小项，所以⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9π8≤0，a11＝a 1＋5π4≥0，解得－54π≤a 1≤－98π.答案 ⎣⎡⎦⎤－54π，－98π 12、定义：F (x ，y )＝y x (x ＞0，y ＞0)，设数列{a n }满足a n ＝F (n ，1)F (2，n )，设S n 为数列{}a n a n ＋1的前n 项和，则S n ________1(填“＞”、“＝”、“＜”)．解析 由题意可得a n ＝1n 2，所以a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，其前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1.答案 ＜13、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．ABD C解析 如图，A 、F 分别为顶点、焦点，则|OF ||OA |＝|FC ||AB |，即c a ＝62＝3.答案 3解答题1、已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．解 (1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， (2分)所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．(3分) 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0. 所以cos B ＝22.(5分)因为0＜B ＜π，所以B ＝π4.(6分) (2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，(8分)所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435.(10分)所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值． 此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43.(12分)所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7.(14分)2、如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB . (1)求证：平面P AB ⊥平面PCB ；(2)求证：PD ∥平面EAC .解 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB . (3分) 又BC ⊂平面PCB ， ∴平面P AB ⊥平面PCB . (6分)(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥AD .又∵PC ⊥AD ，又PC ∩P A ＝P ，∴AD ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ， ∴AC ⊥AD . 在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝π4，∴∠DCA ＝∠BAC ＝π4.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形． (4分) ∴DC ＝2AC ＝2(2AB )＝2AB .连接BD ，交AC 于点M ，则DM MB ＝DCAB ＝2.在△BPD 中，PE EB ＝DMMB ＝2，∴PD ∥EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC .(14分)3、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的PQRS 面积为S 2. (1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求S 1S 2的最小值．解 (1)S 1＝12a sin θ·a cos θ＝14a 2sin 2θ， 设正方形边长为x ，则BQ ＝xtan θ，RC ＝x tan θ，∴x tan θ＋x tan θ＋x ＝a ，∴x ＝a 1tan θ＋tan θ＋1＝a sin 2θ2＋sin 2θ，(4分)S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin 2θ2＋sin 2θ2＝a 2sin 22θ4＋sin 22θ＋4sin 2θ，(6分)(2)当a 固定，θ变化时，S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin 2θ＋sin 2θ＋4，令sin 2θ＝t ，则S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋t ＋4(0＜t ≤1)，利用单调性求得t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2min ＝94.(14分)4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)若OA →·OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值；(2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－23，又点P 在椭圆上，则(3－x 2)b 23(x 2－3)＝－b 23＝－23，∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1.(3分)∵OA →·OB→＝4tan ∠AOB，∴|OA →|·|OB→|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB，∴|OA →|·|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB →|sin ∠AOB ＝2， 又S △AOB ＝12|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.(7分)(2)假设存在一点Q (m,0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 23＋y 22＝1消去y 得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，(9分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2.∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， ∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，(13分) 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0，∴m ＝3，∴存在Q (3,0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角．(16分)附加题1、如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝|BE →·AD →||BE →||AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .2、已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n .(1)求f (－1)及f (2)的值；(2)试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论． 解 (1)f (－1)＝0，f (2)＝17(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n ，f (n )是整数． ①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N)时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－130k 是整数，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130(k ＋1)＝C 05k 5＋C 15k 4＋C 25k 3＋C 35k 2＋C 45k ＋C 555＋C 04k 4＋C 14k 3＋C 24k 2＋C 14k ＋C 442＋C 03k 3＋C 13k 2＋C 23k ＋C 333－130(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1. 根据假设f (k )是整数，而k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1显然是整数． ∴f (k ＋1)是整数，从而当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①、②可知对一切正整数n ，f (n )是整数． (Ⅰ)当n ＝0时，f (0)＝0是整数(Ⅱ)当n 为负整数时，令n ＝－m ，则m 是正整数，由(Ⅰ)知f (m )是整数， 所以f (n )＝f (－m )＝15(－m )5＋12(－m )4＋13(－m )3－130(－m )＝－15m 5＋12m 4－13m 3＋130m ＝－f (m )＋m 4是整数．综上，对一切整数n ，f (n )一定是整数．3、已知抛物线x y 22=及定点A （1，1），B （-1，0），M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标． 解：设M （2t 2,2t ）若2t 2=1时，则点M 处的切线方程恰好过点B,则BM 与抛物线无交点M 1,舍去；若2t 2≠1时，则直线AM 的方程为)1(121212---=-x t t y ，联立)1222,)12()1(2(2)1(1212122122----⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---=-t t t t M x y x t t y , 直线BM 的方程为)1(1222++=x t ty ，联立)1,21(2)1(1222222t t M x y x t t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=, ∴M 1M 2的方程为)21(21)12()1(21122212222t x tt t t t t t y -------=-，即 12)1(21224222--+--=t t x t t t y ，化简得，02)22()24(2=-+-+-y t x t y x 对于任意的t 恒成立， ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-2102022024y x y x y x ，∴直线M 1M 2恒过定点（1，2）。