上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
【Word版解析】上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=．2．（3分）“若，则”是（真或假）命题．3．（3分）函数的定义域为．4．（3分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是．5．（3分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=．6．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．7．（3分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是．8．（3分）设函数y=f（x）在区间上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=．9．（3分）设x＞0，则x+的最小值为．10．（3分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是．11．（3分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为．12．（3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b14．（3分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}16．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）解不等式组．18．（8分）已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．（10分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．20．（12分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．21．（14分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈，不等式f（x）≤10在x∈上恒成立，求实数b的取值范围．上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2，4}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算，即可．解答：解：∵A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}，故答案为：{﹣1，0，1，2，4}，点评：本题主要考查集合的基本运算比较基础．2．（3分）“若，则”是真（真或假）命题．考点：四种命题．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：根据不等式的基本性质，结合已知中，分析中两个不等式是否成立，可得答案．解答：解：若若，则x+y＞2，xy＞1，故为真命题，故答案为：真；点评：题考查的知识点是命题的真假判断与应用，说明一个命题为真，需要经过严谨的论证，但要说明一个命题为假命题，只需要举出一个反例．3．（3分）函数的定义域为．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据题目中所给函数结构，求使函数有意义的x的值，再求它们的交集即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得：﹣2≤x≤2且x≠1，所以函数的定义域为：．故答案为：．点评：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4．（3分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可．解答：解：逆否命题是：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4；故答案为：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．点评：本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．5．（3分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=x2﹣2x，（x≥2）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，x﹣2≥0，从而化简f（x）•g（x）即可．解答：解：由题意，x﹣2≥0，故x≥2；f（x）•g（x）=x（x﹣2）=x2﹣2x，故答案为：x2﹣2x，（x≥2）．点评：本题考查了函数的解析式的求法及应用，属于基础题．6．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα（α为常数），可得，解出即可．解答：解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵，解得α=﹣．∴f（x）=．故答案为：．点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题．7．（3分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）为减函数，∴若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则满足f（0）=1+m≤0，即m≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．8．（3分）设函数y=f（x）在区间上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=﹣11．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数y=f（x）在区间上是奇函数知a=2；从而解得．解答：解：∵函数y=f（x）在区间上是奇函数，∴a=2；又∵f（﹣2）=11，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣11；故答案为：﹣11．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．9．（3分）设x＞0，则x+的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴x+=x+1+﹣1﹣1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（3分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x）的单调性，利用单调性去掉抽象不等式的对应f，解不等式得到解集．解答：解：∵y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数∴y=f（x）在故答案为：点评：本题考查偶函数的单调性：对称区间上的单调性相反；利用单调性解抽象不等式．11．（3分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为（﹣，0）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由题意可得1，2是方程ax2+bx+c=0（a＜0）的两根，运用韦达定理得到b=﹣3a，c=2a，代入所求不等式，再由一元二次不等式的解法，即可得到解集．解答：解：关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，即有1，2是方程ax2+bx+c=0（a＜0）的两根，则1+2=﹣，1×2=，即有b=﹣3a，c=2a，不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0即为2a（2x+1）2﹣3a（2x+1）+a＞0，即2（2x+1）2﹣3（2x+1）+1＜0，即有＜2x+1＜1，解得，﹣＜x＜0．则解集为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次方程的韦达定理，考查运算能力，属于基础题和易错题．12．（3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有①②④．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t=5时，s=32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势得出命题③错误．解答：解：∵其关系为指数函数，图象过（4，16）点，∴指数函数的底数为2，故①正确，当t=5时，s=32＞30，故②正确4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1=1，t2，=log23，t3=log26，∴有t1+t2=t3，故④正确，综上可知①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b考点：命题的真假判断与应用．分析：对于A，c＞0时，结论成立；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，由此可得结论．解答：解：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，故D不正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（3分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．15．（3分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．解答：解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选C．点评：本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．16．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：证明题．分析：先利用函数图象过点（0，1），排除选项CD，再利用当x=1时，函数值小于1的特点，排除A，从而选B解答：解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选B点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，利用特殊性质、特殊值，通过排除法解图象选择题的方法和技巧，属基础题三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）解不等式组．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．解答：解：由≤2得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣＜x＜3+，∴不等式组得解集为（3﹣，﹣1）∪2﹣4•（a2﹣1）＜0⇒a＜﹣1②当B={0}时，⇒a=﹣1③当B={﹣4}时，⇒a不存在④当B={0，﹣4}时，⇒a=1∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．点评：本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（2）时，注意分析B=∅的情况．20．（12分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据长方体的表面积公式即可将S表示成x的函数；（2）根据表面积对应的函数，结合一元二次函数的性质即可得到结论．解答：解：（1）由题得8x+4h=12…（2分）水箱的表面积S=4xh+2x2…（4分），∴S=x（12﹣8x）+2x2=﹣6x2+12x（5分），…（6分）（2）S=﹣6（x﹣1）2+6（8分）x∈…（9分），∴当…（11分）∴当水箱的高与底面边长都为0.25米时，这个水箱的表面积最小，为平方米…（12分）点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈，不等式f（x）≤10在x∈上恒成立，求实数b的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意，原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，由即可解得a、b的值；（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；利用定义证明时，先设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，再作差f（x2）﹣f（x1）后化积讨论即可；（3）依题意得，可解得到b ≤，从而可得实数b的取值范围．解答：解：（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，…（1分）所以，…（3分）解得a=﹣8，b=9．…（5分）（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（7分）证明：设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）•，因为x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞a，所以f（x2）﹣f（x1）＞0．…（10分）所以f（x ）在（，+∞）上是增函数．…（11分）（3）因为f（x）≤10，故x∈时有f（x）max≤10，…（12分）由（2），知f（x）在区间的最大值为f （）与f（1）中的较大者．…（13分）所以，对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在x∈上恒成立，当且仅当，即对任意的a∈成立．…（15分）从而得到b ≤．…（17分）所以满足条件的b的取值范围是（﹣∞，]．…（18分）点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．11。
2014-2015学年高一数学上学期必修一复习试题必修四综合试题一(含答案)
4．已知 a 2 ， b 3 ， a b 19 ，则 a b 等于（ A． 13 5．已知 cos( B． 15 C． 17
D． 7 ）
15．给出下列四个命题：
4
)
10 ， (0， ) ，则 cos 2 等于（ 10 2
①函数 f x tan x 有无数个零点；②把函数 f x 2sin 2 x 图像上每个点的横坐标伸长到原来的 4
， ，且满足 sin cos sin cos 1 ，则 2 2
）
2 ；③ a b 与 b 垂直；④ a // b ，其中真命题的序号是（ 2
B．③ C．①④ D．②③
）
sin sin 的取值范围是（
A． 2， 2
B． 1， 2
意 x 都有 f x1 f x f x2 成立， 则 x1 x2 的最小值为 你认为正确的序号都填上）
1 3
1 2
D．
3 4
.其中正确命题的序号为 2
（把
）
三、解答题: 本大题共 6 个小题，共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16．（本小题满分 12 分） 已知向量 a (1， 2) ，向量 b (3， 2) . （1）若向量 ka b 与向量 a 3b 垂直，求实数 k 的值； （2）当 k 为何值时，向量 ka b 与向量 a 3b 平行？并说明它们是同向还是反向.
sin(
3 ) 2 cos( ) 2 等于（
sin( ) sin( ) 2
A．
）
2 的扇形所对的弦长为 2 3 ，则扇形的面积为 3
2014-2015学年上海市嘉定区高一(上)期末数学试卷含答案
2014-2015学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）函数y=+的定义域为．2．（3.00分）函数y=x﹣2的单调增区间是．3．（3.00分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=．4．（3.00分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．5．（3.00分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是．6．（3.00分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=．7．（3.00分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=．8．（3.00分）已知函数y=x2﹣2ax在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．9．（3.00分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x﹣x，则f（﹣1）=．10．（3.00分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a=．11．（3.00分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则log a b=．12．（3.00分）若函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．f（x）=x0，g（x）=1 D．14．（3.00分）函数f（x）=（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数15．（3.00分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16．（3.00分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）A．是单调增函数B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8.00分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．18．（10.00分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．19．（12.00分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）20．（10.00分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈[﹣3，2]，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求实数m的取值范围；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．（3.00分）函数y=+的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0} ．【解答】解：要使函数有意义，需满足解不等式组，得x≥﹣1，且x≠0∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0}故答案为{x|x≥﹣1，且x≠0}2．（3.00分）函数y=x﹣2的单调增区间是（﹣∞，0）．【解答】解：函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，则在（﹣∞，0）内为增函数，故函数的增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）3．（3.00分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=a+b．【解答】解：原式=lg（2×3）=lg2+lg3=a+b．故答案为：a+b．4．（3.00分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，∴，解得a＞1且a≠2；∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．5．（3.00分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：根据反比例函数的单调性，若f（x）是减函数；则m+1＞0，m＞﹣1；∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．6．（3.00分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=4．【解答】解：由y=f（x）=（x≥0），得x=y2（y≥0），x，y互换得，y=x2（x≥0）．∴f﹣1（x）=x2（x≥0）．则f﹣1（2）=22=4．故答案为：4．7．（3.00分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=2．【解答】解：∵f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即a=2故答案为：28．（3.00分）已知函数y=x2﹣2ax在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是a≤2．【解答】解：∵函数y=x2﹣2ax在区间[2，+∞）上是增函数，对称轴x=a，∴根据二次函数的性质得出：a≤2故答案为：a≤29．（3.00分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x﹣x，则f（﹣1）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x＞0时，f（x）=3x﹣x，∴f（1）=3﹣1=2故答案为：﹣210．（3.00分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a=或．【解答】解：由题意可得，当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，f （2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．故答案为：或．11．（3.00分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则log a b=3．【解答】解：函数=，图象如下图：不难验证f（8）==2，∴函数图象上点A的坐标为（8，2）要使函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则a=2、b=8∴log a b=log28=3故答案为：312．（3.00分）若函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．【解答】解：由题意知a＞0且a≠1①当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=与函数y=|a x﹣1|的图象有两个公共点由图象可知0＜＜1，解得0＜a＜2，故a的取值范围是（0，1）∪（1，2）；②当0＜a＜1时，同理也可得a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．f（x）=x0，g（x）=1 D．【解答】解：对于A，f（x）==|x|（x∈R），与g（x）==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；对于C，f（x）=x0=1（x≠0），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一个函数；对于D，f（x）=|x|=（x∈R），与g（x）=（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一个函数．故选：D．14．（3.00分）函数f（x）=（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数【解答】解：∵函数f（x）=，∴定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故选：A．15．（3.00分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵关于x的方程2x=a2有负实数根，∴存在负实数x使得a2=2x，当x＜0时，2x∈（0，1），∴a2∈（0，1），解得a∈（﹣1，0）∪（0，1）故选：C．16．（3.00分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）A．是单调增函数B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间【解答】解：取函数f（x）=；故由这个函数可知，A，B不正确；若f（x）=x；则D不正确；故选：C．三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8.00分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．【解答】解：由＞得：﹣=＞0，即（x﹣4）（x+2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞4，即A=（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），由|x﹣1|≤4得：﹣4≤x﹣1≤4，解得：﹣3≤x≤5，即B=[﹣3，5]，则A∩B=[﹣3，﹣2）∪（4，5]．18．（10.00分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令a2﹣a+1=1，解得a=0或a=1．…（1分）当a=0时，f（x）=x2，它不是奇函数，不符合题意；当a=1时，f（x）=x3，它是奇函数，符合题意．所以a=1．…（3分）此时g（x）=x3+x．令g（x）=0，即x3+x=0，解得x=0．所以函数g（x）的零点是x=0．…（5分）（2）设函数y=x3，y=x．因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数．…（7分）又因为g（9）=738，g（10）=1010．…（9分）由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立．…（10分）19．（12.00分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）【解答】解：（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元．当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣（20000+100x），即y=﹣x2+400x﹣20000；当x＞500时，y=125000﹣（20000+100x），即y=105000﹣100x．所以；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000，所以当x=400时，y max=60000；当x＞500时，y=105000﹣100x是减函数，即y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．综上，当x=400时，y max=60000．即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，最大年利润为60000元．20．（10.00分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈[﹣3，2]，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），令x=0，所以f（0）=0，即k•20+20=0，即k+1=0，解得k=﹣1，此时f（x）=﹣2x+2x，因为f（﹣x）=﹣2﹣x+2x，即f（﹣x）=﹣（﹣2x+2﹣x），则f（﹣x）=﹣f（x）．所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=﹣1．（2）解法1：由题意知对于任意x∈[﹣3，2]，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．即对于任意x∈[﹣3，2]，不等式都成立．因为2x＞0，则对于任意x∈[﹣3，2]，不等式都成立．令，则，且对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，只需k＜（﹣t2+t）min即可．因为，所以，即（﹣t2+t）min=﹣56，因此k＜﹣56．解法2：由题意知对于任意x∈[﹣3，2]，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．因为2x＞0，所以对于任意x∈[﹣3，2]，不等式k•（2x）2﹣2x+1＜0都成立．令t=2x，则，且对于任意，不等式k•t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k•t2﹣t+1．①当k=0时，g（t）=﹣t+1，，不符合题意；②当k＞0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向上，则得，即；③当k＜0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向下，对称轴是直线，函数g（t）在区间上是减函数，则得，即，解得：k＜﹣56．综上：k＜﹣56，21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求实数m的取值范围；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．【解答】（1）证明：设x1、x2是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=﹣=因为x1、x2是∈（0，+∞）），即x1x2＞0，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0．于是f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．因此，函数f（x）是增函数．（2）解：由（1）知，函数f（x）是增函数，则得，即．所以a、b可视为方程的两个不相等的正实数根，于是，解得．（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即为．因为x∈（1，+∞），上述不等式即为．令，则其图象对称轴是直线．①，解得m∈∅；②，即，解得．综上，所求实数m的取值范围是．。
2014-2015高一上期末-交大附中
上海交通大学附属中学2014—2015学年第一学期高一数学期末试卷一、填空题（共14题，每题3分，共42分） 1． 命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为2． 设全集{}U 21012=--，，，，，{}A 210=--，，，{}B 012=，，，则U (C A)B=∩3． 方程14230x x +--=的解是4． 若函数()2x f x x =+的反函数是1()y f x -=，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭5． 你答题时，时针在缓慢转动，比过90分钟，时针转过的角的弧度数是6． 定义()f x y ，2(2)y y x =-，，若()(12)f m n =，，，则()m n =，7． “1a =”是“函数2()()f x x a =-在区间[)1+∞，上为增函数”的 条件（充分必要性）8．函数y =的单调减区间为 9． 若1sin cos 2αα+=，则tan cot αα+=10．函数()121f x x =--，则方程()21x f x ⋅=的实根的个数是11．设函数()bf x a x x=+（a 、b 为常数），且①(2)0f -=，②()f x 有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序实数对()a b ，为12．已知函数()f x x x a =-，若对任意的1x ，[)22x ∈+∞，，且12x x ≠，1212()(()())0x x f x f x -->恒成立，则实数a 的取值范围为13．对于函数()f x 1x 定义域中任意的，212()x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅②1212()()()f x x f x f x ⋅=+③1212()()0f x f x x x ->-④1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭当()1f x gx =时，上述结论中正确结论的序号是14．设A ，B 是R 的两个非空子集，如果存在一个从A 到B 的函数()y f x =满足；()i {}()B f x x A =∈()ii 对任意的1x ，2x A ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是①*A N B N ==，②{}13A x x =-≤≤，{8B x x =-或}010x <≤③A Z =，B Q = 二、选择题（共4题，每题4分，共16分）15．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅16．函数ln 1x y e x =--的图象大致是17．下列结论正确的是A ．当0x >且1x ≠时，1lg 21x gx+≥B ．当0x >2C ．当2x ≥时，1x x+的最小值为2D ．当02x <≤时，1x x-无最大值 18．设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有（ ） A ．[][]x x -=-B ．[][]22x x =C ．[][][]x y x y ++≤D ．[][][]x y x y --≤三、解答题（共4题，共42分）19．（8分）求函数2()231f x x x =---，[]11x ∈-，的最大值和最小值．20．（10分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D在AN 上，且对角线MN 过点C ，3AB =，2AD =．⑴设DN x =，要使矩形AMPN 的面积大于32，则x 应该在什么范围内？⑵若DN 的长度不小于4，则当BM 、DN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．21．（10分）已知关于x 的不等式14260x x k k +-+<，⑴若不等式的解集为2(1log 3)，，求实数k 的取值范围；⑵若不等式对一切2(1log 3)x ∈，都成立，求实数k 的取值范围；22．（14分）已知函数2()ax bx cf x x d ++=+（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x d ≠-）⑴若0a =，函数()f x 的图像关于点(13)-，成中心对称，求b ，d 的值；⑵若函数()f x 满足条件⑴，且对任意[]0310x ∈，．总有[]0()310f x ∈，，求c 的取值范围； ⑶若0b =，函数()f x 是奇函数，0f =⑴，3(2)2f -=-，且对任意[)1x ∈+∞，时，不等式()()0f mx mf x +<恒成立，求负实数m 的取值范围．。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 6．设}3 2, ,21,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ） A ．3 ,31 B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31 ,1-7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．． 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2014-2015高一(上)期末考试数学试卷(必修1、2)及答案
2014-2015高一上学期期末数学模拟试卷（时间：120分钟，分值：150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为80分，试卷Ⅱ分值为70分。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{1,2,3,4},{0,1,2,3}M N ==，则有 （ ） A 、M N ⊆ B 、N M ⊆ C 、{1,2,3}M N ⋂= D 、{1,2,3}M N ⋃= 2．若函数()f x =则(2)f = （ ）A 、2B 、4C 、0D 3．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 4．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ）(A)1∶3 (B)1 (C)1∶9 (D)1∶815．下列命题：(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行;(3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行; 其中正确的有 （ ） A. (1) (2)和(4) B. (2)和(4) B. (2) (3)和(4) D. (3)和(4) 6．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）(A)y x = (B)2log y x = (C)13y x = (D)0.5xy = 7．函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ）A 、(2,1)-B 、(2,1]-C 、[2,1)-D 、[2,1]-- 8．已知幂函数)()(322Z ∈=--m x x f m m为偶函数，且在),0(+∞上是单调递减函数，则m 的值为（ ）A ． 0、1、2B ． 0、2C ． 1、2D ． 19．若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,则a 值为 （ ） A . 0 B .1 C .10或 D .10-或 10．已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图像如右图所示： 则b a x g x+=)(的图像是（ ）11．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ． )1,0(B ． )31,0( C ． )31,71[ D ． )31,71(12．如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为a 2侧棱SC SA ,的夹角为 （ ）A .300B . 600C .200D .900二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．132264()log 83--+= ．14．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1f x x =+，则(1)f -的值为 ．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为______. 16．设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，真命题是第Ⅱ卷（解答题 满分70分）三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分10分）若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ,且A ∪B =A ,求由实数a 组成的集合C.S ACE F18．（本小题满分12分）已知直线1l ：310x y --=，2l ：30x y +-=，求：（1）直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）过点P 且与1l 垂直的直线方程．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面⊥PBD 平面PAC .20.（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程C:04222=+--+m y x y x . （1）当m 为何值时，方程C 表示圆。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
上海市闸北区2014—2015年度(一模)高三数学文科试卷
上海市闸北区2014—2015学年（一模）高三数学文科试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．若复数i21i2+-a （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 2．若)(x f 为奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则=)2(f ．3．设动点P 在函数xy 2=图像上，若O 为坐标原点，则PO 的最小值为 ． 4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位数有 个．5．设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ．6．在Rt ABC ∆中，3AB AC ==，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ．7．设函数)sin(2)(x x f π=，若存在R 0∈x ，使得对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立．则关于m 的不等式0)(02>-+x f m m 的解为 ．8．若不等式21x x a <-+在区间()33-，上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．9．关于曲线14:42=+y x C ，给出下列四个结论： ①曲线C 是椭圆； ②关于坐标原点中心对称； ③关于直线y x =轴对称； ④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．“2≠a ”是“关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+1)1(32y a x y ax 有唯一解”的 【 】A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 【 】A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．12．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中10,2a a >≠）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C过点(且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 方程；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F 且斜率为1与椭圆C 交于B A ,两点，求弦AB 的长； （3）以第（2）题中的AB 为边作一个等边三角形ABP ，求点P 的坐标． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的 最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且C D E F ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值． 16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）设数列{}n a 满足：①11=a ；②所有项*∈N n a ；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ． 设集合{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说，m b 是数列{}n a 中满足不等式m a n ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；（2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前20之和；C y 2EQ P xDGF (- 4,0)（3）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b的前m 项和m T ．上海市闸北区2014—2015学年（一模）高三数学文科试卷答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 14.4； π4.5；4.6； 7.(,2)(1,)-∞-+∞； [)+∞,7.8； 9.②④．二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+.……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x x a -⋅>，即：(2)xa a > ………………………3分 ①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………3分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………3分14. 解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为2y x =-． …………………1分联立方程组222162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22630x x -+=． …………………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故123x x +=，1232x x =． …………………1分则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+== …………2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ． 可得032x =， …………………1分 012y =-． …………………1分线段AB 的中垂线1l 斜率为1-， 所以1:1l y x =-+设(,1)P t t - …………………1分所以32MP ==-． …………………1分 当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，32-= 解得0t =或3． …………………2分 即(0,1)P ，或(3,2)P -． …………………1分15. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分 又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分（2）由22sin()163y x ππ=+=得6(1)4()k x k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴- ……………………2分OG = ……………………1分∴ 景观路GO……………1分 (3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=…1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPP Rt ∆中，θθsin 2sin 1==OP PP …………………1分 在OMP ∆中，C 1y 2EQP xDBG F (- 4,0))60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332…………………1分16. 解：（1）数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，（后面加3算对） ………………5分（2）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == …………………………2分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== …………………2分当*∈≤≤N m m ,209时，320289==⋅⋅⋅==b b b ……………2分∴5012362212021=⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = …………………1分当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ …………………1分由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以 *12342121,2,,()t t b b b b b b tt N -====⋅⋅⋅==∈ …………………1分当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+ …………………2分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+ …………………2分所以 2**(1)(21,4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩ …………………1分。
2014-2015学年高一上学期期末考试数学 试题
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分） 1．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A.),31(+∞- B.)1,31(- C. )31,31(- D.)31,(--∞2．已知21{|log ,2},{|(),1}2x A y y x x B y y x ==<==<，则A∩B ＝( )A.1(,)2+∞ B.（2,21） C. )21,0( D.1(,1)23．设α、β为钝角且sin α=，cos β=,则αβ+的值为( ) A.π43B.π45C. π47D.π45或π474．设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若33)2013(,1)2(-+=>a a f f ，则a 的取值范围是（ ）A.)0,(-∞B.)3,0(C.),0(+∞D.),3()0,(+∞-∞ 5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位6．设函数()1()cos 2f x x ωϕ=+，对任意x ∈R 都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A. B. 5-或3 C. 2- D.217．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()12xf x =，则函数()()sin F x f x x=-在[]ππ-，上的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C. 4 D.58．已知函数)1,0)(3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数21,x x ，当221ax x ≤<时，总有,0)()(21>-x f x f 则实数a 的取值范围是 （ ）A.（0，3）B.（1，3）C.（2，23）D.（1，23）二、填空题(每小题4分，共20分)11．sin168sin 72sin102sin198-=12．已知函数f x x x x x ()()c o s ()=≤<<⎧⎨⎪⎩⎪2020π，若f f x (())02=，则x 0的值是____________ 13．已知=-+--=-<<αααααπαtan 112cos 2sin ,55sin cos ,20则____________ 14．设为实常数,是定义在R 上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________15. 设,40,2cos ,2sin πθθθ<<==b a 给出)4tan(πθ+值的四个答案；①a b -1；②ba-1； ③a b +1；④ba+1. 其中正确的是 .三、解答题（本大题共4题，共40分）数学答题卷2015.1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11. 12. 13._________________14. _____________ 15.三、解答题（本大题共4小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．函数12--=x xy 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)0)(lg(2lg >+<a x a ax 的解集为B ，求使A B A =成立的实数a 的取值范围.19．已知函数a xax x f -+=)( （1）若方程0)(=x f 有正根，求实数a 的取值范围； （2）设函数|)(sin sin |)(x f x x g ⋅=，且)(x g 在区间]2,0[π上不单调，求实数a 的取值范围。
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=．2．（3分）“若，则”是（真或假）命题．3．（3分）函数的定义域为．4．（3分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是．5．（3分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=．6．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．7．（3分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是．8．（3分）设函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=．9．（3分）设x＞0，则x+的最小值为．10．（3分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是．11．（3分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为．12．（3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b14．（3分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}16．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）解不等式组．18．（8分）已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．（10分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．20．（12分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．21．（14分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．上海市浦东新区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B={﹣1，0，1，2，4}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算，即可．解答：解：∵A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}，故答案为：{﹣1，0，1，2，4}，点评：本题主要考查集合的基本运算比较基础．2．（3分）“若，则”是真（真或假）命题．考点：四种命题．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：根据不等式的基本性质，结合已知中，分析中两个不等式是否成立，可得答案．解答：解：若若，则x+y＞2，xy＞1，故为真命题，故答案为：真；点评：题考查的知识点是命题的真假判断与应用，说明一个命题为真，需要经过严谨的论证，但要说明一个命题为假命题，只需要举出一个反例．3．（3分）函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据题目中所给函数结构，求使函数有意义的x的值，再求它们的交集即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得：﹣2≤x≤2且x≠1，所以函数的定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]．故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]．点评：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4．（3分）命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可．解答：解：逆否命题是：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4；故答案为：若x2﹣7x+12=0，则x=3或x=4．点评：本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．5．（3分）已知f（x）=x，g（x）=，则f（x）•g（x）=x2﹣2x，（x≥2）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，x﹣2≥0，从而化简f（x）•g（x）即可．解答：解：由题意，x﹣2≥0，故x≥2；f（x）•g（x）=x（x﹣2）=x2﹣2x，故答案为：x2﹣2x，（x≥2）．点评：本题考查了函数的解析式的求法及应用，属于基础题．6．（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα（α为常数），可得，解出即可．解答：解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵，解得α=﹣．∴f（x）=．故答案为：．点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题．7．（3分）若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）为减函数，∴若函数f（x）=（）x+m的图象不经过第一象限，则满足f（0）=1+m≤0，即m≤﹣1；故答案为：（﹣∞，﹣1]点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．8．（3分）设函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=﹣11．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数知a=2；从而解得．解答：解：∵函数y=f（x）在区间[﹣2，a]上是奇函数，∴a=2；又∵f（﹣2）=11，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣11；故答案为：﹣11．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．9．（3分）设x＞0，则x+的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴x+=x+1+﹣1﹣1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（3分）已知y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≥f（2），则a的取值范围是[﹣2，2]．考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x）的单调性，利用单调性去掉抽象不等式的对应f，解不等式得到解集．解答：解：∵y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数∴y=f（x）在[0，+∞）是减函数∵f（a）≥f（2），∴|a|≤2∴a∈[﹣2，2]故答案为：[﹣2，2]点评：本题考查偶函数的单调性：对称区间上的单调性相反；利用单调性解抽象不等式．11．（3分）已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0的解集为（﹣，0）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由题意可得1，2是方程ax2+bx+c=0（a＜0）的两根，运用韦达定理得到b=﹣3a，c=2a，代入所求不等式，再由一元二次不等式的解法，即可得到解集．解答：解：关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，即有1，2是方程ax2+bx+c=0（a＜0）的两根，则1+2=﹣，1×2=，即有b=﹣3a，c=2a，不等式c（2x+1）2+b（2x+1）+a＞0即为2a（2x+1）2﹣3a（2x+1）+a＞0，即2（2x+1）2﹣3（2x+1）+1＜0，即有＜2x+1＜1，解得，﹣＜x＜0．则解集为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次方程的韦达定理，考查运算能力，属于基础题和易错题．12．（3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有①②④．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t=5时，s=32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势得出命题③错误．解答：解：∵其关系为指数函数，图象过（4，16）点，∴指数函数的底数为2，故①正确，当t=5时，s=32＞30，故②正确4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1=1，t2，=log23，t3=log26，∴有t1+t2=t3，故④正确，综上可知①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分，不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内），一律得零分.13．（3分）下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＞b D．若，则a＞b考点：命题的真假判断与应用．分析：对于A，c＞0时，结论成立；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，由此可得结论．解答：解：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a=﹣2，b=﹣1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a=﹣1，b=2，满足，但a＜b，故D不正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（3分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．15．（3分）若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．解答：解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选C．点评：本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．16．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：证明题．分析：先利用函数图象过点（0，1），排除选项CD，再利用当x=1时，函数值小于1的特点，排除A，从而选B解答：解：令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选B点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，利用特殊性质、特殊值，通过排除法解图象选择题的方法和技巧，属基础题三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）解不等式组．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．解答：解：由≤2得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣＜x＜3+，∴不等式组得解集为（3﹣，﹣1）∪[1，3+）．点评：本题考查分式不等式与一元二次不等式的解法，考查集合的交并补运算，属于中档题．18．（8分）已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）并与f（x）进行比较，根据函数奇偶性的定义判断．解答：解：由题意知，函数的定义域是R，又∵，∴f（x）为奇函数．点评：本题考查了函数奇偶性的判断方法：定义域法，先求出定义域判断是否关于原点对称，再求出f （﹣x）并与f（x）进行比较，再结合定义下结论．19．（10分）设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）解x2+4x=0可得集合A，又由A∩B=A∪B可得A=B，即方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两根为0、﹣4，由根与系数的关系可得关于a的方程，解可得答案；（2）根据题意，由A∩B=B可得B⊆A，进而可得B=∅或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}，分别求出a的值，综合可得答案．解答：解：（1）A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，﹣4}若A∩B=A∪B，则A=B，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1（2）若A∩B=B，则B⊆A∴B=∅或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}；①当B=∅时，△=[2（a+1）]2﹣4•（a2﹣1）＜0⇒a＜﹣1②当B={0}时，⇒a=﹣1③当B={﹣4}时，⇒a不存在④当B={0，﹣4}时，⇒a=1∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．点评：本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（2）时，注意分析B=∅的情况．20．（12分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．（1）将S表示成x的函数；（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据长方体的表面积公式即可将S表示成x的函数；（2）根据表面积对应的函数，结合一元二次函数的性质即可得到结论．解答：解：（1）由题得8x+4h=12…（2分）水箱的表面积S=4xh+2x2…（4分），∴S=x（12﹣8x）+2x2=﹣6x2+12x（5分），…（6分）（2）S=﹣6（x﹣1）2+6（8分）x∈[0.25，1.25]…（9分），∴当…（11分）∴当水箱的高与底面边长都为0.25米时，这个水箱的表面积最小，为平方米…（12分）点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意，原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，由即可解得a、b的值；（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；利用定义证明时，先设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，再作差f（x2）﹣f（x1）后化积讨论即可；（3）依题意得，可解得到b≤，从而可得实数b的取值范围．解答：解：（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1﹣b）x﹣a=0，…（1分）所以，…（3分）解得a=﹣8，b=9．…（5分）（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．…（7分）证明：设x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）•，因为x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞a，所以f（x2）﹣f（x1）＞0．…（10分）所以f（x）在（，+∞）上是增函数．…（11分）（3）因为f（x）≤10，故x∈[，1]时有f（x）max≤10，…（12分）由（2），知f（x）在区间[，1]的最大值为f（）与f（1）中的较大者．…（13分）所以，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，当且仅当，即对任意的a∈[，2]成立．…（15分）从而得到b≤．…（17分）所以满足条件的b的取值范围是（﹣∞，]．…（18分）点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2014-2015年上海市金山区高一上学期数学期末试卷和解析
2014-2015学年上海市金山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）1．（3.00分）已知全集U=R，A={x|x≥2}，则∁U A=．2．（3.00分）函数y=lg的定义域是．3．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的最小值为．4．（3.00分）若集合A={﹣1，0，1}，集合B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示B=．5．（3.00分）若4x﹣2x+1=0，则x=．6．（3.00分）已知关于x的不等式x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0的解集是R，则实数a取值范围是．7．（3.00分）已知函数y=a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象经过一个定点，则顶点坐标是．8．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（m）＜f（1）的实数m的范围是．9．（3.00分）用二分法求函数f（x）=3x﹣x﹣4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x﹣x﹣4=0的一个近似解（精确到0.01）是．10．（3.00分）方程|x2+4x+3|﹣a=0有2解，则实数a的取值范围是．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．12．（3.00分）设a+b=3，b＞0，则当a=时，取得最小值．二、选择题（本大题满分18分）本大题共6题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题中，与命题“如果x2+3x﹣4=0，那么x=﹣4或x=1”等价的命题是（）A．如果x2+3x﹣4≠0，那么x≠﹣4或x≠1B．如果x≠﹣4或x≠1，那么x2+3x﹣4≠0C．如果x≠﹣4且x≠1，那么x2+3x﹣4≠0D．如果x=﹣4或x=1，那么x2+3x﹣4=014．（3.00分）已知实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（3.00分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．16．（3.00分）如图所示曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象，其中a=±，a=±2，则曲线C1，C2，C3，C4对应a的值依次是（）A．、2、﹣2、﹣B．2、、﹣、﹣2 C．﹣、﹣2、2、D．2、、﹣2、﹣17．（3.00分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣|x|（x∈R）B．y=﹣x3﹣x（x∈R）C．D．18．（3.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．1﹣≤m≤1+B．1﹣≤m≤2C．﹣2≤m≤2D．﹣2≤m≤1﹣三、解答题（本大题满分46分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（6.00分）本题共有2题，第1小题满分4分，第2小题满分2分已知集合A={x||x﹣1|≤1}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求集合A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．（8.00分）已知a≠0，试讨论函数f（x）=在区间（0，1）上单调性，并加以证明．21．（8.00分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物总额：（1）如果不超过500元，那么不予优惠；（2）如果超过500元但不超过1000元，那么按标价给予8折优惠；（3）如果超过1000元，那么其中1000元给予8折优惠，超过1000元部分按5折优惠．设一次购物总额为x元，优惠后实际付款额为y元．（1）试写出用x（元）表示y（元）的函数关系式；（2）某顾客实际付款1600元，在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出多少元？22．（12.00分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式：（2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围．23．（12.00分）已知集合H是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）幂函数f（x）=x﹣1是否属于集合H？请说明理由；（2）若函数g（x）=lg∈H，求实数a的取值范围；（3）证明：函数h（x）=2x+x2∈H．2014-2015学年上海市金山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）1．（3.00分）已知全集U=R，A={x|x≥2}，则∁U A={x|x＜2} ．【解答】解：∵全集U=R，A={x|x≥2}，∴∁U A={x|x＜2}，故答案为：{x|x＜2}2．（3.00分）函数y=lg的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数y=lg，∴x应满足：；解得0＜x＜1，或x＞1，∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．3．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的最小值为2．【解答】解：∵x＞0，∴≥2，当且仅当x=时取等号，此时x=，即函数的最小值是2，故答案为：2．4．（3.00分）若集合A={﹣1，0，1}，集合B={x|x=t2，t∈A}，用列举法表示B= {0，1} ．【解答】解：当t=±1时，x=1，当t=0时，x=0，∴B={0，1}，故答案为：{0，1}．5．（3.00分）若4x﹣2x+1=0，则x=1．【解答】解：∵4x﹣2x+1=0，∴2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0，解得x=1．故答案为：16．（3.00分）已知关于x的不等式x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0的解集是R，则实数a取值范围是（1，5）．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a﹣1）x+（a﹣1）＞0的解集是R，∴△＜0，即（a﹣1）2﹣4（a﹣1）＜0；整理得（a﹣1）（a﹣5）＜0，解得1＜a＜5；∴实数a取值范围是（1，5）．故答案为：（1，5）．7．（3.00分）已知函数y=a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象经过一个定点，则顶点坐标是（1，2）．【解答】解：当x=1时，f（1）=a1﹣1+1=a0+1=2，∴函数f（x）=a x﹣1+1的图象一定经过定点（1，2）．故答案为：（1，2）．8．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（m）＜f（1）的实数m的范围是﹣1＜m＜1．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（m）＜f（1）等价为f（|m|）＜f（1），即|m|＜1，∴﹣1＜m＜1，即实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，故答案为：﹣1＜m＜1．9．（3.00分）用二分法求函数f（x）=3x﹣x﹣4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x﹣x﹣4=0的一个近似解（精确到0.01）是 1.56．【解答】解：由表格作数轴如下，故f（1.5625）f（1.5563）＜0；故方程3x﹣x﹣4=0的一个近似解在（1.5563，1.5625）之间，故可取（1.5563+1.5625）=1.5594≈1.56作为近似解．故答案为：1.56．10．（3.00分）方程|x2+4x+3|﹣a=0有2解，则实数a的取值范围是a=0或a ＞1．【解答】解：方程|x2+4x+3|﹣a=0有2解可化为y=|x2+4x+3|与y=a有两个交点，作函数y=|x2+4x+3|的图象如右图，故当a=0或a＞1时，有两个交点；故答案为：a=0或a＞1．11．（3.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．12．（3.00分）设a+b=3，b＞0，则当a=﹣时，取得最小值．【解答】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，即a＜3，当0＜a＜3时，=+=++≥+=+=，当且仅当a=取等号，故当a=时，取得最小值；当a＜0时，=﹣﹣=﹣﹣﹣≥﹣+2=﹣+=，当且仅当a=﹣取等号，故当a=﹣时，取得最小值；综上所述a的值为﹣时，取得最小值．故答案为：﹣．二、选择题（本大题满分18分）本大题共6题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．（3.00分）下列命题中，与命题“如果x2+3x﹣4=0，那么x=﹣4或x=1”等价的命题是（）A．如果x2+3x﹣4≠0，那么x≠﹣4或x≠1B．如果x≠﹣4或x≠1，那么x2+3x﹣4≠0C．如果x≠﹣4且x≠1，那么x2+3x﹣4≠0D．如果x=﹣4或x=1，那么x2+3x﹣4=0【解答】解：原命题与其逆否命题等价，故命题“如果x2+3x﹣4=0，那么x=﹣4或x=1”等价的命题是：如果x≠﹣4且x≠1，那么x2+3x﹣4≠0，故选：C．14．（3.00分）已知实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：ab＞0，＜⇔⇔b＜a．∴实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的充要条件．故选：C．15．（3.00分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C 错∵ab＞0∴故选：D．16．（3.00分）如图所示曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象，其中a=±，a=±2，则曲线C1，C2，C3，C4对应a的值依次是（）A．、2、﹣2、﹣B．2、、﹣、﹣2 C．﹣、﹣2、2、D．2、、﹣2、﹣【解答】解：根据幂函数y=x a在第一象限内的图象，知；当a=2时，幂函数y=x2在第一象限内是增函数，图象向上靠近y轴，符合C1特征；当a=时，幂函数y=在第一象限内是增函数，图象向右靠近x轴，符合C2特征；当a=﹣时，幂函数y=在第一象限内是减函数，图象向右靠近x轴，符合C3特征；当a=﹣2时，幂函数y=x﹣2在第一象限内是减函数，图象向右更靠近x轴，符合C4特征．综上，曲线C1，C2，C3，C4对应a的值依次是2、、﹣、﹣2．故选：B．17．（3.00分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣|x|（x∈R）B．y=﹣x3﹣x（x∈R）C．D．【解答】解：A选项不正确，因为y=﹣|x|（x∈R）是一个偶函数，且在定义域内不是减函数；B选项正确，y=﹣x3﹣x（x∈R）是一个奇函数也是一个减函数；C选项不正确，是一个减函数，但不是一个奇函数；D选项不正确，是一个奇函数，但在定义域上不是减函数．综上，B选项正确故选：B．18．（3.00分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．1﹣≤m≤1+B．1﹣≤m≤2C．﹣2≤m≤2D．﹣2≤m≤1﹣【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣，综上：1﹣．故选：B．三、解答题（本大题满分46分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（6.00分）本题共有2题，第1小题满分4分，第2小题满分2分已知集合A={x||x﹣1|≤1}，B={x|x≥a}．（1）当a=1时，求集合A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，A={x||x﹣1|≤1}=[0，2]，（1）B={x|x≥1}，故A∩B=[1，2]．（2）∵A⊆B，∴a≤0．20．（8.00分）已知a≠0，试讨论函数f（x）=在区间（0，1）上单调性，并加以证明．【解答】解：a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，a＞0时，f（x）在（0，1）上是增函数；证明如下：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=；∵0＜x1＜x2＜1，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，（1﹣）（1﹣）＞0；∴当a＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x）在（0，1）上是减函数；当a＞0时，f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x）在（0，1）上是增函数．综上，a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，a＞0时，f（x）在（0，1）上是增函数．21．（8.00分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物总额：（1）如果不超过500元，那么不予优惠；（2）如果超过500元但不超过1000元，那么按标价给予8折优惠；（3）如果超过1000元，那么其中1000元给予8折优惠，超过1000元部分按5折优惠．设一次购物总额为x元，优惠后实际付款额为y元．（1）试写出用x（元）表示y（元）的函数关系式；（2）某顾客实际付款1600元，在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出多少元？【解答】解：（1）由题可知：y=．（6分）（2）∵y=1600＞900，∴x＞1000，∴500+400+0.5（x﹣1000）=1600，解得，x=2400，2400﹣1600=800，故此人在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出800元．…（12分）22．（12.00分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式：（2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=3x+k（k为常数），且A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点；∴32+k=﹣2k，解得k=﹣3；∴f（x）=3x﹣3，∴函数y=f1（x）=log3（x+3）；（2）将y=f1（x）=log3（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴y=g（x）=log3x；∵2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1，即2log3（x+﹣3+3）﹣log3x≥1，∴log3≥1；即≥3对任意的x＞0恒成立，∴x+2+≥3，即x++2≥3对任意的x＞0恒成立；∵x＞0，∴x+≥2，当且仅当x=时取“=”，∴函数h（m）=x++2≥2+2=4，令4≥3，解得m≥，∴实数m的取值范围[，+∞）．23．（12.00分）已知集合H是满足下列条件的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）幂函数f（x）=x﹣1是否属于集合H？请说明理由；（2）若函数g（x）=lg∈H，求实数a的取值范围；（3）证明：函数h（x）=2x+x2∈H．【解答】（1）解：若f（x）=x﹣1∈H，则有，即，而此方程无实数根，所以f（x）=x﹣1∉H．（4分）（2）解：由题意有实数解即，也即有实数解．当a=2时，有实数解．当a≠2时，应有．综上得，a的取值范围为．（3）证明：∵，∴令m（x）=2x+2x﹣2，∵m（x）在R上连续不断，且m（0）=﹣1＜0，m（1）=2＞0，∴存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0成立．∴存在x0∈（0，1），使得h（x0+1）=h（x0）+h（1）成立．∴h（x）∈H．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
闸北区2015年一月度第一学期高三数学(理科)期末考试及评分标准
闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数i21i2+-a （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 2．若)(x f 为R 上的奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则=+)2()0(f f ． 3．设定点)1,0(A ，若动点P 在函数)0(2>+=x xx y 图像上，则PA 的最小值为 ． 4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个．5．设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ．6．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ． 7．设函数)sin(215)(x x f π=，若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：①对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是 ．8．若不等式21x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的取值范围为 ． 9．关于曲线1:34=-y x C ，给出下列四个结论： ①曲线C 是双曲线； ②关于y 轴对称；③关于坐标原点中心对称； ④与x 轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“2≠a ”是“关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+1)1(32y a x y ax 有唯一解”的 【 】A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 【 】A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．12．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且C D E F ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆C 过点()且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 方程；（2）斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与椭圆交于B A ,两点，求弦AB 的长； （3）P 为直线3x =上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP 为等边三角形，求直 线l 的方程． 16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列{}n a 满足：①11=a ；②所有项*∈N n a ；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ． 设集合{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说，m b 是 数列{}n a 中满足不等式m a n ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ； （2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和； （3）若数列{}n a 的前n 项和23122n S n n c =-+（其中c 常数），试求数列{}n a 的伴随 数列{}n b 前m 项和m T ．C y 2EQ P xDBGF (- 4,0)理科答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 7.4； π4.5； 4.6； ),2()2,.(7+∞--∞ ； 8.(,5]-∞； 9.②④二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x xa -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分 ①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分14. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分 （2）由22sin()163y x ππ=+=得 6(1)4()kx k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴-…2分OG = ……………………1分∴ 景观路GO……………1分C1y 2EQ P xD F (- 4,0)(3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=……………………………………1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPPRt ∆中， θθsin 2sin 1==OP PP ……………1分 在OMP ∆中，)60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分 ∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ……………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分 θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ 332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分 当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332 …………………1分15.解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为(2)y k x =-． …………………1分联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=． …………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． …………………1分 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+== …2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+， …………………1分02231ky k =-+． …………………1分 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)P k MP x x k +=-=+． …………………2分当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，22223(1)1)(31)231k k k k ++=⋅++， …………………1分 解得1k =±． …………………1分 即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=． …………………1分16. 解：（1）1,4,7． ………………6分 （2）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == …………………………1分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*926,m m N ≤≤∈时，910263b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*∈≤≤N m m ,8027时，4802827==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 当*∈≤≤N m m ,10081时，51008281==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 ∴384205544183622110021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = …………………1分当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-∴ *32()n a n n N =-∈ …………………2分由32n a n m =-≤得：*2()3m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以 *123456323131,2,,()t t tb b b b b b b b bt t N --======⋅⋅⋅===∈ ……1分 当*32()m t t N =-∈时：21(1)313(1)(1)(2)226m t t t T t t m m +--=⋅⋅-+==++ …………………1分当*31()m t t N =-∈时：21(1)313(1)2(1)(2)226m t t t T t t m m +-+=⋅⋅-+==++ …………………1分当*3()m t t N =∈时：213()13(3)226m t t t T t m m ++=⋅⋅==+ …………………1分所以 **(1)(2)(3231,)6(3)(3,)6m m m m t m t t N T m m m t t N ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩或 ……………1分。
2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷和答案
2014-2015学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分36分)考生应在答题纸相应编号地空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.(3,。
0分)函数y=log2(x-1)地定义域是.2.(3,00分)设全集U=R,集合S={x|xN-l},则［uS=.3.(3,00分)设关于x地函数y=(k -2)x+1是R上地增函数，则实数k地取值范围是.4.(3,00分)已知x=logy5,用含x地式子表示log?625,则log?625=.5.(3,00分)函数y=Jx(4-x)地最大值为.6.(3,00分)若函数f(x)=—^―-a是奇函数，则实数a地值为.3X+127.(3,00分)若不等式x-mx+n<0(m,n£R)地解集为(2,3),则m-n=.8.(3,00分)设a：OWxWl,P：mWxW2m+5,若a是0地充分条件，则实数m地取值范围是.9.(3,00分)设a,b均为正数，则函数f(x)=(a+b)x+ab地零点地最小22值为•10.(3,00分)给出下列命题：①直线x=a与函数y=f(x)地图象至少有两个公共点；②函数y=x「2在(0,+8)上是单调递减函数；③蓦函数地图象一定经过坐标原点；④函数f(x)=ax"(a〉0,a7^1)地图象恒过定点(2,1).⑤设函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)地图象过点(1,2),则函数y=f1(x) -1地图象一定过点(2,0).其中，真命题地序号为.211.(3,00分)设函数f(x)(xGR)满足|f(x)+(上匚)2|W1_,且|f(x)1+x23-(-^)2|WZ.则f(0)=•1+x2312.(3,00分)若F(x)=a*f(x)g(x)+b*[f(x)+g(x)]+c(a,b,c均为常数)，则称F(x)是由函数f(x)与函数g(x)所确定地〃afb3c〃型函数.设函数fi(x)=x+l与函数f2(x)=x2-3x+6,若f(x)是由函数fi1(x)+1与函数f2(x)所确定地“1095”型函数，且实数m,n满足f(m)=lf(n)=6,则2m+n地值为.二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸地相应编号上，将代表答案地小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13.（3,00分）"3>1"是“a>0”地（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（3,00分）函数y=x+A（x>0）地递减区间为（）xA.（0,4]B.[2,4]C.[2,+°°）D.（0,2]15.（3,00分）如图为函数f（x）=t+log a x地图象（a,t均为实常数），则下列结论正确地是（）A.0<a<l,t<0B.0<a<l,t>0C.a>l,t<0D.a>l,t>016.(3,00分)设g(x)=|f(x+2m)-x|,f(t)为不超过实数t地最大整数,若函数g(x)存在最大值，则正实数m地最小值为()A.XB.X c.-L D.X161284三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号地规定区域内写出必要地步骤.x2+3x-10<017.(8,00分)解不等式组：y+1—>1I x18.(8,00分)某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满.根据实际需要，该中心需提高租金.如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间.(不考虑其他因素)(1)设每间客房日租金提高4x元(xCW,x<20),记该中心客房地日租金总收入为y,试用x表示y；(2)在(1)地条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房地日租金总收入最高？19.(10,00分)已知f(x)=|x+a|(a>-2)地图象过点(2,1).(1)求实数a地值；(2)如图所示地平面直角坐标系中，每一个小方格地边长均为1.试在该坐标系中作出函数y=f(x没+a地简图，并写出(不需要证明)它地定义域、值域、f(x)奇偶性、单调区间.20.(12,00分)设函数f(x)=log m(1+mx)-log m(1-mx)(m>0,且m乂1).(1)判断f(x)地奇偶性；(2)当m=2时，解方程f(6x)=1；(3)如果f(u)=u-1,那么，函数g(x)=x2-ux地图象是否总在函数h(x) =ux-1地图象地上方？请说明理由.21.(14,00分)对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称(x,y)是（z,w）地“下位序对（1）对于2,3,7,11,试求（2,7）地“下位序对”；（2）设a,b,c,d均为正数，且（a,b）是（c,d）地“下位序对"，试判断£,d 旦，地之间地大小关系；b b+d（3）设正整数n满足条件：对集合｛t|0<t<2014）内地每个m£N+，总存在k £N,使得（m,2014）是（k,n）地“下位序对”，且（k,n）是（m+1,2015）地“下位序对求正整数n地最小值.2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号地空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.（3,00分）函数y=log2（x-1）地定义域是（1,+8）.【解答】解:Vy=log2（x-1）,.\x-l>0,x>l函数y=log2（x-1）地定义域是（1,+°°）故答案为（1,+8）2.（3,00分）设全集U=R,集合S={x|xN-l},贝l］「uS={x|xV-l}.【解答】解：..•全集U=R,集合S={x|xN-l},CuS={x|x<-1},故答案为：（x|x<-1}.3.（3,00分）设关于x地函数y=（k-2）x+l是R上地增函数，则实数k地取值范围是（2,+8）.【解答】解：关于x地函数y=（k-2）x+1是R上地增函数所以：k-2>0解得：k>2所以实数k地取值范围为：（2,+8）故答案为：（2,+8）4.（3,00分）己知x=log75,用含x地式子表示log?625,则log7625=4x.【解答】解:Vx=log75,.•.log7625=lo g T54=4x,故答案为：4x.5.(3,00分)函数y=Jx(4-x)地最大值为2.【解答】解：函数*x(4-x)=J-x2+4x=V-(x-2)2+4函数地定义域｛x0<x<4)所以：当x=2时，函数取最小值所以：ymin=2故答案为：26.(3,00分)若函数f(x)=—^—-a是奇函数，则实数a地值为1.3X+1【解答】解：因为奇函数f(x)=—2_-a地定义域是R,3X+1所以f(0)=W_-a=0,解得a=l,3°+l故答案为：1.7.(3,00分)若不等式x2-mx+n<0(m,n《R)地解集为(2,3),则m-n= -1.【解答】解：...不等式x2-mx+n<0(m,nGR)地解集为(2,3),.•.对应方程X2-mx+n=0地两个实数根2和3,由根与系数地关系，得Jnp2+3=5,寸i n=2X3=6‘m-n=5-6=-1.故答案为：-1.8.(3,00分)设a：OWxWl,P：mWxW2m+5,若a是。
上海中学2015学年第一学期期末考试高一数学试题(含答案)
上海中学2015学年第一学期期末考试高一数学试题（含答案）2016年1月命题人：李海峰 审卷人：马岚一、填空题（每小题3分，共36分） 1．函数()1f x =，则1(3)f -= 16 .2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x = 0 ．3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则MN = )2,1( .4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 1 .5．函数31()lg1xf x x x-=++的奇偶性为 奇函数 . 6．函数f (x )=22log (2)x x -+的单调递增区间是 ](0,1 .7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 )2,2(- .8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 )4,0( .9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是]),0(0,1(+∞⋃- .10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 6- . 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩，这里U A 表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3） .（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A Af x f x =-（3）()()()ABA B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+12．对任意的120x x <<，若函数1()f x a x x =-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）13．条件甲：23log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a aa k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=班级 姓 名 学 号的图像是（ A ）15．已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 (B ) A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >>16．设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）17．设全集U R =，集合1{|||1},{|2}2x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆，求实数a的取值范围．[12025022(,2)5,)2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞分分[){12152,52||1(1,1)2342U U a a Bx a A a a A Ba -≥+≤=-<∴=-+⊆∴≤≤分分分18．已知不等式230x x m -+<的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数()24f x x ax =-++.（1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()2log 320a nx x m -++-<. 解：(1) 由条件得：131n n m +=⎧⎨⋅=⎩， 所以22m n =⎧⎨=⎩4分(2)因为()24f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以12a≥，2a ≥. 2分()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.所以2223022310x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩分， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><<211230x x x 或. 所以102x <<或312x <<. 2分 19．设幂函数()(1)(,)kf x a x a R k Q =-∈∈的图像过点2). （1）求,a k 的值；（2）若函数()()21h x f x b =-+-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值．(1)1122(2)222k a a k -=∴==∴=分分（2）2()f x x =222()21()()1[0,1]h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈max 1)1,(1)22bh h b ≥===分2max 2)01,()122b h h b b b b <<==-+=∴=舍）分max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=-分综上：212b b ∴==-或分20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关． （1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、 (127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．21．对于函数12(),(),()f x f x h x ，如0.050.0.42(3)(4)(3)(4)(3)(4)0.320.115ln0.85,2,66x x x x x x aae a a e a ≥--≥---->∴≥+==--=（1）当x 7时，f(x+1)-f(x)=分而当7时，函数y=单调递增，且 故f(x+1)-f(x)单调递减.当7，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减.分（）由题意可知分 整理得解得(](]050.05620.506123.0,21123.0121,127123.0121,133.1e ⋅≈⨯=-∈∈分由此可知，该学科是乙和丙学科。
上海市行知中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题及答案
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数2(1)y log x =-的定义域为 ．2. 设全集U R =，集合{|1}S x x =≥-，则U S =ð ．3. 设关于x 的函数(2)1y k x =-+是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是 ．4. 已知75x log =，用含x 的式子表示7625log ，则7625log = ．5. 函数()4y x x =-的最大值为 ．6. 若函数2()31xf x a =-+是奇函数，则实数a 的值为 ． 7. 若不等式20x mx n -+<（m n R ∈，）的解集为()23，，则m n -= ．8. 设α：01x ≤≤，β：25m x m ≤≤+，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 ．9. 设a b ，均为正数，则函数22()()f x a b x ab =++的零点的最小值为 ． 10. 给出下列命题：①直线x a =与函数()y f x =的图象至少有两个公共点； ②函数2y x -=在()0+∞，上是单调递减函数； ③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数2()x f x a -=（01a a >≠，）的图象恒过定点()21，．⑤设函数()y f x =存在反函数，且()y f x =的图象过点(12)，，则函数1()1y f x -=-的图象一定过点(20)，． 其中，真．命题的序号为 ． 11. 设函数()f x （x R ∈）满足22211()13x f x x ⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭，且2222()13x f x x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭．则 (0)f = ．12. 若[]()()()()()F x a f x g x b f x g x c =⋅+⋅++（a b c ，，均为常数），则称()F x 是由函数()f x 与函数()g x 所确定的“a b c →→”型函数．设函数1()1f x x =+与函数22()36f x x x =-+，若()f x 是由函数11()1f x -+与函数2()f x 所确定的“105→→” 型函数，且实数m n ，满足1()()62f m f n ==,则m n +的值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13. “1a >”是“0a >” 的………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14. 函数4(0)y x x x=+>的递减区间为 ………………………………………………（ ） （A ）(]04， （B ）[]24， （C ）[)2+∞， （D ）(]02，15. 如图为函数()a f x t log x =+的图象（a t ，均为实常数），则下列结论正确的是 ……………………………（ ） （A ）010a t <<<， （B ）010a t <<>，（C ）10a t ><， （D ）10a t >>，16. 设()(2)g x f x m x =+-，()f t 为不超过实数t 的最大整数，若函数()g x 存在最大值，则正实数m 的最小值为 ……………………………………………………………（ ）（A ）116 （B ）112 （C ）18 （D ）14三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分8分）解不等式组：2310011x x x x ⎧+-<⎪⎨+>⎪⎩．18. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分．某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x 元（20x N x *∈<，），记该中心客房的日租金总收入为y ，试用x 表示y ；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19. （本题满分10分）本题共有2个小题，第1题满分3分，第2题满分7分．已知()f x x a =+（2a >-）的图象过点(21)，． （1）求实数a 的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数()()f x a ay f x -+=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20. （本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．设函数()(1)(1)m m f x log mx log mx =+--（0m >，且1m ≠）． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）当2m =时，解方程(6)1x f =；（3）如果()1f u u =-，那么，函数2()g x x ux =-的图象是否总在函数()1h x ux =-的图象的上方？请说明理由．21. （本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分．对于四个正数x y z w ，，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”． （1）对于23711，，，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a cd b b d++，，之间的大小关系；（3）设正整数n 满足条件：对集合{|02014}t t <<内的每个m N *∈，总存在k N *∈，使得()2014m ，是()k n ，的“下位序对”，且()k n ，是()12015m +，的“下位序对”．求正整数n 的最小值．宝山区2014学年度第一学期期末高一数学质量监测试卷参考答案三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分） 解：原不等式组可化为(5)(2)0110x x x x +-<⎧⎪+⎨->⎪⎩，……………………………………………………………………（2'） 解得5210x x-<<⎧⎪⎨>⎪⎩，…………………………………………………………………………………………………（4'） 即520x x -<<⎧⎨>⎩，……………………………………………………………………………………………………（6'）从而有02x <<， …………………………………………………………………………………………………（7'）所以，原不等式的解集为()02，． ………………………………………………………………………………（8'）18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分． 解：（1）若每间客房日租金提高4x 元，则将有10x 间客房空出，……………………………………………（2'） 故该中心客房的日租金总收入为(404)(20010)y x x =+-，…………………………………………………（3'）即40(10)(20)y x x =+-（这里20x N x *∈<，）． …………………………………………………………（4'） （2）40(10)(20)y x x =+-2(10)(20)402x x ++-⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦40225=⋅9000=，……………………………（6'）当1020x x +=-即5x =时，9000max y =， …………………………………………………………………（7'）即每间客房日租金为404560+⨯=（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．……（8'）………………………………………………………………………………………………………………（6'） 定义域：()()11-∞+∞，，，…………………………………………………………………………………………（7'） 值 域：[]11-，，………………………………………………………………………………………………………（8'） 奇偶性：非奇非偶函数，…………………………………………………………………………………………………（9'）单调（递减）区间：(]0-∞，．…………………………………………………………………………………………（10'）20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．解：（1）由已知条件可得函数()f x 的定义域为11m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，关于原点对称；……………………………………（1'） 又()(1)(1)()m m f x log mx log mx f x -=--+=-，即()f x f x-=-，…………………………………………（2'） 故()f x 为定义域11m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的奇函数．……………………………………………………………………………（3'） （2）当2m =时，22()(12)(12)f x log x log x =+--，由(6)x f =得22(126)(126)1x x log log +⋅--⋅=，…（4'）去对数得1262126x x+⋅=-⋅，…………………………………………………………………………………………………（5'）解得166x=，从而1x =-．经检验，1x =-为原方程的解．…………………………………………………………（6'）注意到(0)10F =>，1(1)(1)01mmF f log m+==<-，所以函数()F x 在(01)，上存在唯一零点，即满足()1f u u =-的(01)u ∈，（且u 唯一），故21u <．综上所述，21u <．………………………………………………………（10'）于是()()()2222()()1110g x h x x ux ux x u u u -=---=-+-≥->，即()()0g x h x ->，…………………（11'）也就是说，对于任一x R ∈，均有()()g x h x >，故函数2()g x x ux =-的图象总在函数()1h x ux =-图象的上方．………………………………………………………………………………………………………………………（12'）方法二：注意到()f x 的定义域为11m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分． 解：（1）37112⋅<⋅，……………………………………………………………………………………………………（1'）()27∴，的下位序对是()311，．………………………………………………………………………………………（3'） （2）()a b ，是()c d ，的“下位序对”，∴ad bc <，……………………………………………………………（5'）注意到+a b c dR∈，，，，故()0a c a bc ad b d b b d b+--=>++，即0a c ab d b +->+，所以a c ab d b+>+；…………………（6'） 同理a cb d+<+．…………………………………………………………………………………………………………（7'） 综上所述，a a c cb b d d+<<+．……………………………………………………………………………………………（8'）（3）依题意，得2014(1)2015mn k m n k <⎧⎨+>⎩，……………………………………………………………………………………（9'）注意到m ，n ，k 均为正整数，故12012015m n k m n n k +≤⎧⎨+-≥⎩，……………………………………………………………（11'） 于是2014(1)201420152015(1)mn n k mn +-≥⨯≥+，可得40292014n m≥-，该式对集合{|02014}t t <<的每个正整数m 都成立，故4029402920142013n ≥=-．……………………………………………………………………（12'）注意到120142015m k m n +<<，据（2）可得(1)12014201420152015m m m m +++<<+，…………………………………………（13'） 即211201440292015m m m ++<<，于是对{|02014t t <<内的每个m N *∈，总存在21k m =+N *∈，使得()2014m ，是()k n ，的“下位序对”，且()k n ，是()12015m +，的“下位序对”，因此，正整数n 的最小值为4029．……（14'）。
【优质文档】2014-2015年上海市闸北区高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2014-2015年上海市闸北区高一上学期期末数学试卷一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是．（将所有符合的序号都填上）5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为．7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．2014-2015年上海市闸北区高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于3．【解答】解：根据题意，得；，解得a=3．故答案为：3．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为③．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．【解答】解：对于①lg（ab）=lga+lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以①不正确；对于②lg=lga﹣lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以②不正确；对于③lg（）2=lg，当＞0时成立，＜0时不成立，由ab＞0可得：＞0，所以③正确；对于④当ab≠1时，lg（ab）=，当ab=1时，不成立，所以④不正确．故答案为：③3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣．【解答】解：①当a=0时，﹣2x+1=0，故x=；②当a＜0时，函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1的零点一正一负，故f（﹣2）•f（﹣1）=（6a+5）（2a+3）＜0，故﹣＜a＜﹣；③当a＞0时，ax2﹣（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上没有零点，综上所述，﹣＜a＜﹣．故答案为：﹣＜a＜﹣．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是①③④．（将所有符合的序号都填上）【解答】解：由函数y=2|x|的性质知，其在[2，4]上单调递增，在[﹣4，4]上先减后增；在（0，+∞）上单调递增；在（﹣∞，0）上单调递减，故存在反函数的区间是①③④；故答案为：①③④．5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：由﹣x2+6x﹣5＞0解得1＜x＜5，即函数的定义域为{x|1＜x＜5}，设t=﹣x2+6x﹣5，则函数y=log0.5t为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递减区间，即是函数t=﹣x2+6x﹣5的递增区间，∵t=x2﹣6x﹣7，递减增间为（1，3]，∴函数f（x）的递减区间为（1，3]，∵函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，∴，解得1≤a≤2，故答案为：[1，2]6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为[，] ．【解答】解：∵函数f（x）=为减函数又∵函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，∴函数f（x）=的定义域为[，]∴函数f﹣1（x）的值域[，]故答案为：[，]7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是①③．【解答】解：函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y 轴对称，命题①正确；当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；由②知，f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f （x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．故答案为：①③．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是①②．【解答】解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32＞30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2﹣t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＞0∴（x﹣2）（x+1）＞0∴x＞2或x＜﹣1∴A={x|x＜﹣1或x＞2}y=3﹣|x|≤3∴B={x|x≤3}∴A∩B={x|x＜﹣1或2＜x≤3}A∪B=R．（2）∵C≤A∴∴p≥4∴p的取值范围为[4，+∞）10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．【解答】解：∵2x+4y﹣4=0，∴z=4x﹣2•4y+5=（2x）2﹣2（4﹣2x）+5=（2x）2+2•2x ﹣3=（2x+1）2﹣4．令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，可得0＜2x＜4，即0＜t＜2．根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得﹣3＜z＜21．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．【解答】解：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．故满足f（x）＞1的x的集合为（0，）∪（10，+∞）．（Ⅱ）证明：若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，∴0＜ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．【解答】解：（1），任取x2＞x1＞2，记，∴，∴ϕ（x）单调递减．当a＞1时，f（x）在单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在单调递增．…（4分）（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得+=0，得﹣m2x2=﹣x2，m=±1．…（8分）∵当m=1时，f（x）=无意义，∴m=﹣1，f（x）=．…（10分）（3）由于f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，若（b，a）⊆（﹣∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）若（b，a）⊆，∴2≤b＜a，由（1）知f（x）为减函数．故值域即为，∴b=2…（15分）又，得a=3．…（16分）附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
2014-2015年上海市宝山区高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3.00分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．2．（3.00分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S=．3．（3.00分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是．4．（3.00分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=．5．（3.00分）函数y=的最大值为．6．（3.00分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为．7．（3.00分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=．8．（3.00分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．9．（3.00分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为．10．（3.00分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为．11．（3.00分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．12．（3.00分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3.00分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．（0，2]15．（3.00分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0 16．（3.00分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8.00分）解不等式组：．18．（8.00分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19．（10.00分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20．（12.00分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．21．（14.00分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k ∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3.00分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）2．（3.00分）设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，则∁U S={x|x＜﹣1} ．【解答】解：∵全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，∴∁U S={x|x＜﹣1}，故答案为：{x|x＜﹣1}．3．（3.00分）设关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：关于x的函数y=（k﹣2）x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）4．（3.00分）已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=4x．【解答】解：∵x=log75，∴log7625==4x，故答案为：4x．5．（3.00分）函数y=的最大值为2．【解答】解：函数=函数的定义域{x|0＜x＜4}所以：当x=2时，函数取最小值所以：y min=2故答案为：26．（3.00分）若函数f（x）=﹣a是奇函数，则实数a的值为1．【解答】解：因为奇函数f（x）=﹣a的定义域是R，所以f（0）=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．7．（3.00分）若不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），则m﹣n=﹣1．【解答】解：∵不等式x2﹣mx+n＜0（m，n∈R）的解集为（2，3），∴对应方程x2﹣mx+n=0的两个实数根2和3，由根与系数的关系，得，∴m﹣n=5﹣6=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3.00分）设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：∵α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，∴α是β的充分条件，则，即，解得﹣2≤m≤0，故答案为：[﹣2，0]．9．（3.00分）设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为﹣．【解答】解：函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点即方程（a2+b2）x+ab=0的解，x=﹣≥﹣；当且仅当a=b时，等号成立；故答案为：﹣．10．（3.00分）给出下列命题：①直线x=a与函数y=f（x）的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）．⑤设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0）．其中，真命题的序号为②④⑤．【解答】解：对于①，直线x=a与函数y=f（x）的图象至多有1个公共点；，故①错误；对于②，由于﹣2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x﹣2在（0，+∞）上是单调递减函数，故②正确；对于③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，故③错误；对于④，函数f（x）=a x﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1），故④正确；对于⑤，设函数y=f（x）存在反函数，且y=f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）的图象过点（2，1），y=f﹣1（x）﹣1的图象一定过点（2，0），故⑤正确．综上所述，真命题的序号为②④⑤．故答案为：②④⑤．11．（3.00分）设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）+（）2|≤，且|f（x）﹣（）2|≤．则f（0）=．【解答】解：利用赋值法，令x=0，则|f（0）﹣1|解得：同理：令x=0，则|f（0）|解得：所以：即f（0）=故答案为：12．（3.00分）若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1（x）=x+1与函数f2（x）=x2﹣3x+6，若f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=f（n）=6，则m+n的值为2．【解答】解：∵f1（x）=x+1，∴f1﹣1（x）=x﹣1，即f1﹣1（x）+1=x﹣1+1=x，∵f（x）是由函数f1﹣1（x）+1与函数f2（x）所确定的“1→0→5”型函数，∴f（x）=x（x2﹣3x+6）+5，由f（m）=f（n）=6可得f（m）=6，f（n）=12，即m（m2﹣3m+6）=1，n（n2﹣3n+6）=7，设m+n=t，则m=t﹣n，代入m（m2﹣3m+6）=1，可得（t﹣n）[（t﹣n）2﹣3（t﹣n）+6]=1，即n3﹣（3t﹣3）n2+（3t2﹣6t+6）n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，∴t=2故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3.00分）“a＞1”是“a＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若a＞1，则a＞0成立，若a=，满足a＞0，但a＞1不成立，故“a＞1”是“a＞0”的充分不必要条件，故选：A．14．（3.00分）函数y=x+（x＞0）的递减区间为（）A．（0，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．（0，2]【解答】解：函数y=（x＞0）则：解得：0＜x＜2所以函数的递减区间为：（0，2）故选：D．15．（3.00分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0【解答】解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，故选：C．16．（3.00分）设g（x）=|f（x+2m）﹣x|，f（t）为不超过实数t的最大整数，若函数g（x）存在最大值，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（t）为不超过实数t的最大整数，∴当n﹣1≤x+2m＜n，（n∈Z）时，f（x+2m）=n﹣1；故n﹣1﹣2m≤x＜n﹣2m；故2m﹣1＜f（x+2m）﹣x≤2m；又∵m＞0；故若函数g（x）存在最大值，则2m≥|2m﹣1|；故m≥；故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8.00分）解不等式组：．【解答】解：原不等式组可化为，解得，从而有0＜x＜2，所以，原不等式的解集为（0，2）．18．（8.00分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？【解答】解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y=（40+4x）（200﹣10x）=40（10+x）（20﹣x），（这里x∈N•且x＜20）．（2）∵y=40（10+x）（20﹣x）≤40（=40×225=9000，当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5=60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．19．（10.00分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．【解答】解：（1）依题意得f（2）=1，即|2+a|=1，∵a＞﹣2，∴2+a=1，解得a=﹣1，（2）由（1）可得f（x）=|x﹣1|，故y==，即y=．定义域：（﹣∞，1）∪（1，+∞），值域：[﹣1，1]，奇偶性：非奇非偶函数，单调（递减）区间：（﹣∞，0]．20．（12.00分）设函数f（x）=log m（1+mx）﹣log m（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当m=2时，解方程f（6x）=1；（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x2﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣，），关于原点对称；又f（﹣x）=log m（1﹣mx）﹣log m（1+mx）﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为定义域（﹣，）上的奇函数．（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），由f（6x）=1得log2（1+2•6x）﹣log2（1﹣2•6x）=1，去对数得1+2•6x=2（1﹣2•6x），解得6x=，从而x=﹣1．经检验，x=﹣1为原方程的解．（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1．因log m（1+mx）在（﹣，）上递减，而log m（1﹣mx）在（﹣，）上递增，故f（x）在（﹣，）上递减，又﹣x在（﹣，）上递减，所以F（x）在（﹣，）上也递减；注意到F（0）=1＞0，F（1）=f（1）＜0，所以函数F（x）在（0，1）上存在唯一零点，即满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．方法二：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u2＜1；若0＜m＜1，设函数G（x）==﹣m x﹣1﹣1，注意到在（﹣，）上递增，m x﹣1在（﹣，）上递减，故G（x）在（﹣，）上递增，又G（0）=1﹣＜0，G（1）=﹣1＞0，所以函数G（x）在（0，1）上存在唯一零点，又G（x）=0，即f（x）=x﹣1，于是，满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g（x）﹣h（x）=（x2﹣ux）﹣（ux﹣1）=（x﹣u）2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g（x）﹣h（x）＞0，即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），故函数g（x）=x2﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．21．（14.00分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k ∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵3×7＜11×2，∴（2，7）的下位序对是（3，11）．（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”，∴ad＜bc，∵a，b，c，d均为正数，故﹣=＞0，即﹣＞0，所以＞；同理＜．综上所述，＜＜．（3）依题意，得，注意到m，n，l 整数，故，于是2014（mn+n﹣1）≥2014×2015k≥2015（mn+1），∴n ≥，该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n ≥=4029，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．正整数n 的最小值为4029。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于．2．（5分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．3．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是．4．（5分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①；②；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是．（将所有符合的序号都填上）5．（5分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．6．（5分）若函数f（x）=的值域是，则函数f﹣1（x）的值域为．7．（5分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是．8．（5分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．10．（10分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．11．（12分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．12．（14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？13．（14分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．上海市闸北区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于3．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的定义是y=a x（a＞0且a≠1），列出条件表达式，求出a的值．解答：解：根据题意，得；，解得a=3．故答案为：3．点评：本题考查了指数函数的概念与应用问题，解题时应利用指数函数的定义进行解答，是容易题．2．（5分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为③．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．考点：命题的真假判断与应用；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接通过对数的基本性质判断A、B、C的正误；通过对数的换底公式判断D的正误即可．解答：解：对于①lg（ab）=lga+lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以①不正确；对于②lg=lga﹣lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以②不正确；对于③lg（）2=lg，当＞0时成立，＜0时不成立，由ab＞0可得：＞0，所以③正确；对于④当ab≠1时，lg（ab）=，当ab=1时，不成立，所以④不正确．故答案为：③点评：本题以命题的真假的判断为载体，考查对数的基本性质与换底公式的应用，考查基本知识的应用．3．（5分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，分a的取值讨论，从而求a的取值范围．解答：解：①当a=0时，﹣2x+1=0，故x=；②当a＜0时，函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1的零点一正一负，故f（﹣2）•f（﹣1）=（6a+5）（2a+3）＜0，故﹣＜a＜﹣；③当a＞0时，ax2﹣（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上没有零点，综上所述，﹣＜a＜﹣．故答案为：﹣＜a＜﹣．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．4．（5分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①；②；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是①③④．（将所有符合的序号都填上）考点：反函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由反函数的定义，结合函数y=2|x|的性质求解．解答：解：由函数y=2|x|的性质知，其在上单调递增，在上先减后增；在（0，+∞）上单调递增；在（﹣∞，0）上单调递减，故存在反函数的区间是①③④；故答案为：①③④．点评：本题考查了反函数存在的条件应用，属于基础题．5．（5分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=﹣x2+6x﹣5，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：由﹣x2+6x﹣5＞0解得1＜x＜5，即函数的定义域为{x|1＜x＜5}，设t=﹣x2+6x﹣5，则函数y=log0.5t为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递减区间，即是函数t=﹣x2+6x﹣5的递增区间，∵t=x2﹣6x﹣7，递减增间为（1，3]，∴函数f（x）的递减区间为（1，3]，∵函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，∴，解得1≤a≤2，故答案为：点评：本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．6．（5分）若函数f（x）=的值域是，则函数f﹣1（x）的值域为．考点：反函数．专题：计算题．分析：由已知中函数f（x）=的解析式，我们可以判断出函数f（x）的单调性，进而根据函数f（x）=的值域是，我们可以确定函数f（x）=的定义域，即函数f﹣1（x）的值域．解答：解：∵函数f（x）=为减函数又∵函数f（x）=的值域是，∴函数f（x）=的定义域为∴函数f﹣1（x）的值域故答案为：点评：本题考查的知识点是反函数，其中求反函数的值域，即求原函数的定义域是解答本题的关键．另外，判断出原函数的单调性，也很关键．7．（5分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断①；利用对勾函数的单调性判断②；由对勾函数的最值及复合函数的最值结合函数奇偶性求得函数的最值判断③．解答：解：函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，命题①正确；当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；由②知，f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．故答案为：①③．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．8．（5分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是①②．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由图象知：t=2时，y=4，代入解析式求出a，可判断①；令t=5代入解析式求解判断②；令y=4、y=12分别求出t，再求出差值判断③；根据图象得变化趋势判断增长速度越来越快，可判断④．解答：解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32＞30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2﹣t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．点评：本题考查指数函数的图象与性质，以及函数图象与解析式得关系，考查识图能力．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提．（2）用字母p表示出集合C，借助数轴分析列出关于实数p的不等式是解决本题的关键．解答：解：（1）x2﹣x﹣2＞0∴（x﹣2）（x+1）＞0∴x＞2或x＜﹣1∴A={x|x＜﹣1或x＞2}y=3﹣|x|≤3∴B={x|x≤3}∴A∩B={x|x＜﹣1或2＜x≤3}A∪B=R．（2）∵C≤A∴∴p≥4∴p的取值范围为专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得z=（2x+1）2﹣4，令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，求得0＜t＜2，根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得z的范围．解答：解：∵2x+4y﹣4=0，∴z=4x﹣2•4y+5=（2x）2﹣2（4﹣2x）+5=（2x）2+2•2x﹣3=（2x+1）2﹣4．令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，可得0＜2x＜4，即0＜t＜2．根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得﹣3＜z＜21．点评：本题主要考查指数函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．11．（12分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．由此求得满足f（x）＞1的x的集合．（Ⅱ）由条件可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，从而得到0＜ab＜1．解答：解：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．故满足f（x）＞1的x的集合为（0，）∪（10，+∞）．（Ⅱ）证明：若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，∴0＜ab＜1．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，属于中档题．12．（14分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．解答：解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．13．（14分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）由于，单调递减，再由复合函数的单调性可得函数，在上的单调性．（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得m=±1，经检验，m=﹣1满足条件（3）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，分（b，a）⊆（﹣∞，0）和（b，a）⊆2种情况，根据f（x）的取值恰为，求出实数a，b的值．解答：解：（1），任取x2＞x1＞2，记，∴，∴ϕ（x）单调递减．当a＞1时，f（x）在单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在单调递增．…（4分）（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得+=0，得﹣m2x2=﹣x2，m=±1．…（8分）∵当m=1时，f（x）=无意义，∴m=﹣1，f（x）=．…（10分）（3）由于f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，若（b，a）⊆（﹣∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）若（b，a）⊆，∴2≤b＜a，由（1）知f（x）为减函数．故值域即为，∴b=2…（15分）又，得a=3．…（16分）点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．。