高一上期末数学试卷(带答案)
高一数学第一学期期末试卷及答案5套
高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（ ）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（ ） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（ ） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （ ） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（ ） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分） 已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。
天津市高一上学期期末数学试题(解析版)
数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角 【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（ ） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（ ） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】 【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（ ）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（ ）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】 【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】 【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】 【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 ， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。
(−∞,3)∪(5,+∞)B。
(−∞,3)∪[5,+∞)C。
(−∞,3]∪[5,+∞)D。
(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。
a^3B。
a^3/2C。
a^3/4D。
都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。
e=1与ln1=0B。
8^（1/3）=2与log2^8=3C。
log3^9=2与9=3D。
log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。
x^2B。
x^3C。
e^xD。
1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。
log2B。
−1/lg2C。
lg2D。
−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。
y=−3x^−2B。
y=3^xC。
y=log_3xD。
y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。
新课标高一上学期期末考试数学试卷含答案
高一数学第一学期期末考试试题卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A {}24x x ==，B {}2280x x x =--=，则AB =（ ▲ ） A ．{}4B ．{}2C ．{}2- D. ∅ 2．函数2()log (2)f x x =++的定义域是（ ▲ ） A ．[2,1]-B ．(2,1]-C ．[2,1)-D ．(2,1)- 3．函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的一个区间是（ ▲ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知12log 5a =，0.314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，312=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ▲ ） A ．c b a << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<5．已知角α的终边过点(1,)P y ，若1cos 3=α，则y 的值是（ ▲ ）A B ．± C ． - D ．6．下列函数中，周期为π的偶函数是（ ▲ ）A ．tan y x =B ．sin y x =C ．cos 2x y = D ．sin cos y x x =⋅ 7．已知扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角是（ ▲ ）A ．1B ．2C ．2π D ．π 8. 函数2cos sin 1y x x =-+的值域是（ ▲ ） A ．[0,2] B ．9[2,]4 C ．[1,3] D ．9[0,]49. 已知向量=a (,)12，=b (,)k 1，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ▲ ）A ．(2,)-+∞ B.11(2,)(,)22-+∞ C ．(,2)-∞- D ．(2,2)-10．函数ln ()x f x e =的图像大致是（ ▲ ）A. B. C. D.11. 已知函数()x x f x e e -=-,()x x g x e e -=+，则以下结论正确的是（ ▲ ）A ．任意的12,x x ∈R 且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- B ．任意的12,x x ∈R 且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值12．已知e 是单位向量，向量a 满足-⋅-=2230a a e ，则-4a e 的取值范围是（ ▲ ）A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[1,5]D ．[1,25] 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分．13．计算：33log 362log 2-= ▲；138π+= ▲ ． 14．已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=0),1(log 0,2)(22x x x x x x f ，则((3))f f = ▲ ；若()3f a =，则 实数a = ▲ ．15．已知函数(),1f x x x a x =--∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是 ▲ ；123x x x 的取值范围是 ▲ ． 16．已知1cos()63πα-=-，则sin()3+=πα ▲ ． 17．若函数()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有()()44f t f t ππ+=-，且()34f π=-，则实数m =▲ ．18．在Rt ABC ∆中，已知A ∠=60，斜边AB =4，D 是AB 的中点，M 是线段CD 上的动点，则AM AB ⋅的取值范围是 ▲ ．19．已知函数2()2f x x bx =-，若(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则实数b 的取值范围是▲ ．三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本题满分14分）已知向量a (sin ,1)=α，b (1,cos )=α． （Ⅰ）若34πα=，求+a b 的值； （Ⅱ）若⋅a b 1,(0,)5απ=-∈，求sin()2sin()2ππαα+++的值．21．（本题满分14分）已知函数2()ln(3)f x x ax =-+．（Ⅰ）若)(x f 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当3a =时，解不等式()x f e x ≥．22．（本题满分14分）已知函数()sin()(f x A x x =+∈ωϕR ,0,0,0)2A >><<πωϕ的部分图象如图所示，P 、Q 分别是图象的最高点与相邻的最低点，且1(1)，OP =，4OP OQ +=，O 为坐标原点.（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，求函数(),[y g x x =∈-23．（本题满分14分）已知函数2()1f x x x =-+，,m n 为实数.(Ⅰ)当[,1]x m m ∈+时，求()f x 的最小值()g m ；(Ⅱ)若存在实数t ，使得对任意实数[1,]x n ∈都有()f x t x +≤成立，求n 的取值范围.第一学期普通高中教学质量监控高一数学参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分，每题所给的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求）1—5CDBAB 6—10ABDBC 11—12 DC二、填空题（本题有7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共34分）13．214．0；3- 15．a <<104；(,322 16．13- 17．--51或 18．[,]48 19．b b ≤-≥10或三、解答题：（本题有4个小题，共56分）20．解：（Ⅰ） +=2222a b （1）+（1,-）=（1,1-），∴+=a b --------------------------------6分 （Ⅱ） ⋅a b 15=-， sin cos αα∴+=-15， 又sin cos 221αα+=，sin cos 3545αα⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩或sin cos 4535αα⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 又(0,)∈απ sin ,cos αα∴==-3455， 11sin()2sin()sin 2cos 25ππαααα∴+++=-+=-.-----------14分 21．解：（Ⅰ）()f x 在(,1]-∞上单调递减，a a ⎧≥⎪∴⎨⎪-+>⎩12130得a ≤<24． ---------------------------------7分 （Ⅱ）原不等式等价于2(e )430x x e -+≥，ln x x ∴≤≥03或，所以原不等式的解集为{}0ln3或x x x ≤≥. --------------------------------14分22．(Ⅰ) ()sin()33f x x ππ=+； --------------------------------7分 (Ⅱ) 2g()sin()33x x ππ=+， [1,2]x ∈-，243333x ππππ∴+∈［，］，()[g x ∴∈． --------------------------------14分 23．解：(Ⅰ) （ⅰ）当12m ≤-时，2min ()(1)1f x f m m m =+=++， （ⅱ）当1122m -<≤时，min 13()()24f x f ==， （ⅲ）当12m >时，2min ()()1f x f m m m ==-+. 综上，2211,2311(),42211,2m m m g m m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩. --------------------------------7分(Ⅱ)由()f x t x +≤得22()(22)10h x x t x t t =+-+-+≤，(1)0()0h h n ≤⎧∴⎨≤⎩ ∴关于t 的不等式组2220(21)210t t t n t n n ⎧+≤⎨+-+-+≤⎩有解， 22(21)210t n t n n ∴+-+-+≤在t [1,0]∈-上有解，22112430n n n -⎧-≤-⎪∴⎨⎪-+≤⎩或2221102(2n 1)4(n 2n 1)0n -⎧-≤-≤⎪⎨⎪---+≥⎩， 解得3333242n n ≤≤≤<或, 即334n ≤≤ 又1n > ， n ∴的取值范围是13n <≤. ------------------------------14分 （注：第(Ⅱ)小题，由数形结合得正确答案可给满分）。
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2560,{10}A x x x B x x =-+≥=-<，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．(2,1)--C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【正确答案】A【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋂.【详解】()()256230x x x x -+=--≥，解得2x ≤或3x ≥，所以(][),23,A =-∞⋃+∞，而(),1B =-∞，所以A B = (,1)-∞.故选：A2．十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a ，众数为b ，第一四分位数为c ，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位数151515,2a +==众数为b =17，100.25 2.5⨯=，所以第一四分位数为第三个数，即c =14，所以<<c a b ，故选:B.3．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.4．如图是函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的定义域为[]3,2-C ．()f x 的值域为[]22-,D ．若()0f x =，则12x =或2【正确答案】C【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．【详解】解：由图象知(0)2f =-正确，函数的定义域为[3-，2]正确，函数的最小值为3-，即函数的值域为[3-，2]，故C 错误，若()0f x =，则12x =或2，故D 正确故选：C ．5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，设71249N =⨯，则N 所在的区间为（）A ．()131410,10B ．()141510,10C ．()151610,10D ．()161710,10【正确答案】C【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.【详解】因为712712142449,lg lg4lg9lg2lg314lg224lg3 4.21411.450415N N =⨯=+=+=+≈+≈.6644，所以()15.664415161010,10N =∈.故选：C6．方程24x x +=的根所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B构造函数()24xf x x =+-，利用零点存在定理可得出结论.【详解】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-< ，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式(1)0f x ->的解集为（）A ．(1,3)-B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，又因为2是它的一个零点，所以(2)0f =，所以(2)(2)0f f -==，所以当22x -<<时()0f x >，所以由(1)0f x ->可得212x -<-<解得13x -<<，故选:A.8．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞满足()()2112120x f x x f x x x->- 且(1)2f =，则不等式()2f x x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．,1(),)1(-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A 【分析】设()()f x F x x=，判断出()F x 的奇偶性、单调性，由此求得不等式()2f x x >的解集.【详解】设()()f x F x x =，由于()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-，所以()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数.任取120x x <<，120x x -<，则：()()()()()()1221121212120f x f x x f x x f x F x F x x x x x --=-=<，()()12F x F x <，所以()F x 在()0,∞+上递增，则()F x 在(),0∞-上递减.()(1)21f f ==-，()()()11211f F F ===-，对于不等式()2f x x >，当0x >时，有()2f x x >，即()()11F x F x >⇒>；当0x <时，由()2f x x<，即()()110F x F x <-⇒-<<，综上所述，不等式()2f x x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：A二、多选题9．有一组样本数据123,,,,n x x x x ，由这组数据得到新样本数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ ，则下列结论正确的是（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【正确答案】CD【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.【详解】数据123,,,,n x x x x 的平均数为123nx x x x x n++++=，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的平均数为123123222222n n x x x x x x x x nx n n++++++++++++==++ ，故A 错误；若数据123,,,,n x x x x 的中位数为i x ，则新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的中位数为2i x +，故B 错误；数据123,,,,n x x x x 的标准差为s =，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的标准差为1s s ==，故C 正确；若数据123,,,,n x x x x 中的最大数为,m x 最小数为n x ，则极差为m n x x -，则数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的极差为22m n m n x x x x +--=-，故D 正确，故选：CD.10．若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22lg lg a b >B ．22a b--<C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】BD【分析】应用特殊值23a b =>=-，判断A 、C ，根据2x y =，3y x =的单调性判断B 、D.【详解】当23a b =>=-时，则()22239<-=，而lg 4lg9<，又1123>-，∴A ，C 不正确；∵2x y =，3y x =都是R 上单调递增函数，∴B ，D 是正确的.故选：BD.11．关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（）A ．0B ．1-C ．1D ．3【正确答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x ≠且1x ≠，并将方程化为220x x k +-=；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：210x x x -≠-≠⎧⎨⎩，解得：0x ≠且1x ≠；由221x k x x x x-=--得：220x x k +-=；若221x k x x x x-=--的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解，440k ∴∆=+=，解得：1k =-，此时220x x k +-=的解为1x =-，满足题意；②方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0200k +⨯-=得：=0k ，220x x ∴+=，此时方程另一根为2x =-，满足题意；③方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1210k +⨯-=得：=3k ，2230x x ∴+-=，此时方程另一根为3x =-，满足题意；综上所述：1k =-或0或3.故选：ABD.12．已知函数2()21xx f x =+，下列说法正确的是（）A ．若2()1f a >，则0a >B ．()f x 在R 上单调递增C ．当120x x +>时，()()121f x f x +>D ．函数()y f x =的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【正确答案】ABC【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()21f a >，即221,2221,21,021aa a a aa ⨯>⨯>+>>+，A 选项正确.B 选项，1221()12111212x x x x xf x ==+=-+++-，由于121x y =+在R 上递减，所以()f x 在R 上递增，B 选项正确.C 选项，当120x x +>时，12x x >-，所以()()12f x f x >-，即12122221212112x x x x x -->=+++，所以()()1221222122221212121211x x x x x x x f x f x +=>++=++++，C 选项正确.D 选项，()()112212122x x xf x f x ---==≠-++，D 选项错误.故选：ABC三、填空题13．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，则1()f x -=_________．【正确答案】3x 【分析】根据幂函数的的知识求得α，然后根据反函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，所以182,3αα==，所以()13f x x =，令13y x =，解得3x y =，交换,x y 得3y x =，所以13()f x x -=故3x 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1p -，则A 与B 同时发生的概率的最大值为______.【正确答案】14##0.25【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.【详解】因为事件A 与B 同时发生的概率为()[]()221110,124p p p p p p ⎛⎫-=-=--+∈ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，最大值为14.故1415．已知函数(),y f x x =∈R ，且(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，写出函数()y f x =的一个解析式：________．【正确答案】()32xf x =⨯【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.【详解】因为(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，所以(1)(2)()(0)32(0)(1)(1)n f f f n f f f f n ⨯⨯⨯=⨯- ，即()32n f n =⨯，所以函数()y f x =的一个解析式为()32x f x =⨯，故答案为:()32x f x =⨯.16．已知函数2()|2|4f x x x a a a =-+-，若函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123111x x x ++的取值范围是_________．【正确答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，对a 进行分类讨论，求得12123,,x x x x x +，由此求得123111x x x ++的取值范围.【详解】()222224,224,2x ax a a x af x x ax a a x a ⎧-+-≥=⎨-++-<⎩，当0a >时，方程有3个不相等的实数根，()f x 在()2,a +∞上递增，所以2x a ≥时，22240x ax a a -+-=有1个根，且2x a <时，22240x ax a a -++-=有2个根，所以()222444040a a a a a ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得24a <<.由于123x x x <<，则2121232,4,2x x a x x a a x a +==-+=+，所以122123123111124x x a x x x x x x a a +++=+=+-+()24a a a =+-()()244a a a a a a -=-==--()()221111=----，)2111,311<<-<<，)22110-<-<，()2111<-()212214211+-<=-.当a<0时，当2x a >时，方程22240x ax a a -+-=的判别式()22444160a a a a ∆=--=<，所以此时不符合题意.当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.四、解答题17．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100-+-⋅．【正确答案】(1)2916(2)74-【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.18．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75.（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.【正确答案】（1）0.025x =；0.02y =；甲的平均分为74.5，乙的平均分为73.5；（2）35.（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，求得y ,再利用各矩形的面积的和为1，求得x ,然后利用平均数公式求解.（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.【详解】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =.∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =.同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为200.01102⨯⨯=，设为A ，B .乙测试成绩不足60分的试卷数为200.015103⨯⨯=，设为a ，b ，c .从中抽3份的情况有(),,A B a ，(),,A B b ，(),,A B c ，(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，(),,a b c ，共10种情况.满足条件的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为63105=.19．已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案.【详解】（1）解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；（2）解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立，依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.20．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.【正确答案】（1）1327；（2）427.【分析】（1）根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.【详解】（1）记“乙获胜”为事件C ，记甲第i 次投篮投进为事件i A ，乙第i 次投篮投进为事件iB 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()()111122112233P C P A B P A B A B P A B A B A B =+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()()()()()()()()111122112233P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B =++⋅22332121211332323227⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()112211223P D P A B A B P A B A B A =⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()()()()()()112211223P A P B P A P B P A P B P A P B P A =+⋅22222121143232327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：50,020,60,20120.140x v k x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．2.646=）【正确答案】(1)（1）车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【分析】（1）由120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由40v 求解x 的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【详解】（1）解：由题意，当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入60140k v x=--，得060140120k =--，解得1200k =．∴50,020120060,20120140x v x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，5040v =，符合题意；当20120x <时，令12006040140x--，解得80x ，2080x ∴<．综上，080x <．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；（2）由题意得，50,020120060,20120140x x y x x x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，50y x =为增函数，20501000y ∴⨯=，等号当且仅当20x =时成立；当20120x <时，12002020(140)28006060()60[140140140x x x y x x x x x x--=-=-=+---2800280060(2060[160(140)140140x x x x=+-=-----60(16060(1603250-=-≈．当且仅当2800140140x x-=-，即14087(20x =-≈∈，120]时成立，综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．函数()()lg 93x x f x a =+-．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若()f x 的值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()g x 为定义域为R 的奇函数，且0x >时，()()109f x x g x =-，对任意的R t ∈，解关于x 的不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥．【正确答案】(1)0a ≤；(2)0a =；(3)答案详见解析.【分析】（1）由930x x a +->恒成立分离常数a ，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；（2）令()93x x h x a =+-，结合()h x 的值域包含()0,∞+列不等式，由此求得正确答案；（3）先求得()g x 的解析式，由此化简不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥.对t 进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）由题930x x a +->恒成立，则93x x a <+恒成立，由于1130,322x x >+>，所以211933024x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭，所以0a ≤；（2）令()93x x h x a =+-，则()h x 的值域包含()0,∞+，因为21193324x x x a a a ⎛⎫+-=+-->- ⎪⎝⎭，所以0a -≤，即0a ≥,又因为0a ≤，所以0a =；（3）当0x >时，()()1093f x x x g x =-=；若0x <，0x ->，()3x g x --=，又因为()g x 为定义域为R 的奇函数，所以当0x <时，()3xg x -=-，所以()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，()()3g x g x =()()20g x x ≠，不等式()()()322g x g x tx t g x +-≥等价于()()()2220g x tx t g x x +-≥≠，由于()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩在()(),00,∞-+∞U 上是单调递增函数，所以原不等式等价于()2220x tx t x x +-≥≠，即：()()()200x x t x -+≥≠，当2t <-时，解集为{|2x x ≤且0x ≠或}x t ≥-；当2t =-时，解集为{}0x x ≠；当20t -<≤时，解集为{|x x t ≤-且0x ≠或}2x ≥；当0t >时，解集为{|x x t ≤-或}2x ≥.根据函数的奇偶性求函数的解析式要注意的地方有：1.如果函数的定义域为R ，则对于奇函数来说，必有()00f =，偶函数则不一定；2.当0x >时，0x -<（或当0x <时，0x ->），需要代入对应范围的解析式，结合()()=f x f x -或()()f x f x =--来求得函数的解析式.。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)
高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。
2020-2021学年四川省遂宁市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2≤x<1}，B={−1,0，1，2，3}，求A∩B=()A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.下面各组函数中表示同一函数的是()A. f(x)=x,g(x)=(√x)2B. f(x)=2log2x,g(x)=log2x2C. f(x)=|x|,g(x)=√x2D. f(x)=|x|x ,g(x)={1,x≥0−1,x<03.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A. y=cosxB. y=−log2xC. y=2xD. y=x−24.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f i(x)(i=1,2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2，f2(x)=2x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A. f1(x)=x2B. f2(x)=2xC. f3(x)=log2xD. f4(x)=2x5.若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根(精确到0.01)可以是()A. 1.25B. 1.39C. 1.41D. 1.56.已知3a=4b=12，c=log a b，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b7.若sin(π−θ)−sin(π2−θ)=√72，且θ∈(34π,π)，则sin(π−θ)−cos(π−θ)=()A. −12B. ±12C. 12D. −438.函数f(x)=x3+sinxe x+e−x(e≈2.718281828459)的部分图象大致是()A.B.C.D.9. 若幂函数f(x)=qx −p2+2p+3(q ∈R,p ∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p +q =( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 设函数f(x)=3sin(ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象关于直线x =π3对称，则下列说法正确是( )A. f(x)的图象过点(0,32) B. f(x)在[π12,2π3]上单调递减 C. f(x)的一个对称中心是(7π12,0)D. 将f(x)的图象向左平移12|φ|个单位长度得到函数y =3sin2x +1的图象11. 若函数f(x)={a x ,x ≥1(5−a)x +1,x <1，满足对任意不相等的实数x 1，x 2都有(x 2−x 1)(f(x 1)−f(x 2))<0成立，则a 的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (5,+∞)C. [3,5)D. (3,5)12. 设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ是常数，A >0，ω>0).若f(x)在区间[π3,π2]上具有单调性，且f(π2)=−f(π3)，f(π2)=f(2π3)，则ω=( )A. 6B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={16x −1,x ≤1x 2+x −2,x >1，则f(1f(2))= ______ ．14. 计算：(2.25)−12+(−9.6)0−(827)13+log 2512⋅log 45= ______ ．15. 高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数f(x)=[x]也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号[x]表示不超过x 的最大整数，如：[3.14]=3，[−1.6]=−2，定义函数：f(x)=sin([x]π2)，则f(x)值域的子集的个数为______ ．16. 已知方程4x −k ⋅2x+1−3⋅2x +4=0(x >0)有两个不相等实根，则k 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α终边与单位圆交于点A(−35,45)，角β的终边落在射线y =x(x >0)上． (1)求sinα⋅tanβ的值； (2)求sin(π2−α)sin(3π+α)+sin 2(3π2−β)sin 2β+3sinβcosβ的值．18. 已知集合A ={x|log 2(x +2)<2}，B ={x|3a −2<x <2a +1}．(1)当a =1时，求A ∩B ；(2)若A ，B 满足：①若A ∩B =⌀，②A ∪B =A ，从①②中任选一个作为条件，求a 的取值范围．19. 遂宁市为打造最佳的宜居城市，践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设西山森林公园原来的面积为m 亩，计划每年种植一些树苗，且西山森林公园面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． (1)求西山森林公园面积的年增长率；(2)到今年为止，西山森林公园面积为原来的√2倍，则该地已经植树造林多少年？(3)为使西山森林公园面积至少达到6m亩，至少需要植树造林多少年？(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)20.定义在R上的函数f(x)，对任意x1、x2∈R，满足下列条件：①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2；②f(2)=4．(1)是否存在一次函数f(x)满足条件①②，若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，说明理由．(2)证明：g(x)=f(x)−2为奇函数．21.如图是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象．(1)求φ的值及f(x)单调递增区间．(2)若f(x)的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数g(x)的图3象，若g(x)在[0,b](b>0)上恰有10个零点，求b的取值范围．22.已知函数f(x)=1−b为定义在R上的奇函数．2x+a(1)求a，b的值；(2)判断f(x)=1−2的单调性，并用定义证明你的结论；2x+1(3)若f(lnm)+f(lnm−1)≤1−2lnm，求f(x)的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0}，B ={−1,0，1，2，3}， ∴A ∩B ={−1,0}． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：A.y =x 的定义域是R ，y =(√x)2=x 的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B .f(x)的定义域为(0,+∞)，g(x)的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C .g(x)=|x|，两个函数的定义域都是R ，对应法则相同，是同一函数，D .f(x)={1,x >0−1,x <0，定义域为{x|x ≠0}，g(x)的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 故选：C ．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题主要考查同一函数的判断，结合两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】D【解析】解：y =cosx 在(0,+∞)上没有单调性；y =−log 2x 和y =2x 都是非奇非偶函数；y =x −2是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数． 故选：D ．可看出选项A 的函数在(0,+∞)上没有单调性，选项B ，C 的函数都是非奇非偶函数，从而只能选D ．本题考查了偶函数和减函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，考查了计算能力，属4.【答案】D【解析】解：路程f i(x)(i=1,2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是：f1(x)=x2，f2(x)=2x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，它们相应的函数模型分别是幂函数，一次函数，对数函数和指数函数模型．根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体，即一定是第四种物体，故选：D．指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数函数运动的物体，即一定是第四种物体．本题考查几种基本初等函数的变化趋势，只要注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由表中数据可得f(1.40625)⋅f(1.4375)<0，根据零点的存在性定理可知，零点在区间(1.40625,1.4375)内，观察四个选项，方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根为1.41．故选：C．利用表中的数据，得到f(1.40625)⋅f(1.4375)<0，由零点的存在性定理分析求解即可．本题考查了函数与方程关系的应用，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为3a=4b=12，所以a=log312，b=log412，所以2=log39<a=log312<log327=3，1<log44<b=log412<log416=2，即2<a<3，1<b<2，所以c=log a b<log a a=1，所以c<b<a．通过指数对数互逆表示出a 、b ，然后判断a 、b 的范围，从而可确定c 的范围，即可得到它们的大小关系．本题主要考查了对数的大小关系，涉及指数与对数的互化，同时考查了学生的转化能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为sin(π−θ)−sin(π2−θ)=√72，可得sinθ−cosθ=√72，两边平方可得1−2sinθcosθ=74，可得2sinθcosθ=−34<0，因为θ∈(34π,π)，可得sinθ>0，cosθ<0，sinθ+cosθ<0，则sin(π−θ)−cos(π−θ)=sinθ+cosθ=−√(sinθ+cosθ)2=−√1+2sinθcosθ=−√1+(−34)=−12．故选：A ．利用诱导公式化简已知等式，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求2sinθcosθ=−34<0，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：f(−x)=−x 3−sinx e −x +e x=−f(x)，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除BD ，当x =π时，f(x)>0，排除D ， 故选：A ．根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．【解析】解：∵幂函数f(x)=qx−p2+2p+3(q∈R,p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数，∴q=1，且−p2+2p+3为正的偶数，∴p=1．∴p+q=2，故选：C．由题意利用幂函数的定义和性质，求出p、q的值，可得结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：函数f(x)=3sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，故ω=2，其图象关于直线x=π3对称，所以2π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，由于|ϕ|<π2，故φ=−π6，所以f(x)=3sin(2x−π6)+1．对于A：当x=0时，f(0)=3sin(−π6)+1=−32+1=−12，故A错误；对于B：由于x∈[π12,2π3]，所以2x−π6∈[0,7π6]，故B错误，对于C：当x=7π12时，f(7π12)=3sinπ+1=1，故C错误；对于D：将f(x)的图象向左平移12|φ|=π12个单位长度得到函数y=3sin2x+1的图象，故D正确．故选：D．首先利用函数的性质求出函数的关系式，进一步判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系的变换，函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：对任意不相等的实数x 1，x 2都有(x 2−x 1)(f(x 1)−f(x 2))<0成立， 可得函数f(x)={a x ,x ≥1(5−a)x +1,x <1是R 上的增函数，∴{a >15−a >05−a +1≤a ，即3≤a <5． ∴a 的取值范围是[3,5)． 故选：C ．由题意可得，函数f(x)={a x ,x ≥1(5−a)x +1,x <1是R 上的增函数，进一步得到关于a 的不等式组求解．本题考查分段函数的单调性及其应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】B【解析】解：∵f(x)在区间[π3,π2]上具有单调性，且f(π2)=−f(π3)，f(π2)=f(2π3)， ∴由f(π2)=−f(π3)，得函数关于(π2+π32,0)对称，即关于(5π12,0)对称， 由f(π2)=f(2π3)，得函数关于x =π2+2π32=7π12对称，则T4=7π12−5π12=2π12，得T =2π3，即2πω=2π3，得ω=3，故选：B ．结合条件得到函数关于(5π12,0)对称，关于关于x =7π12对称，根据对称性求出函数的周期即可取出ω的值．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的对称性，结合对称性求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】1【解析】解：因为f(x)={16x −1,x ≤1x 2+x −2,x >1，所以f(2)=22+2−2=4， 所以f(1f(2))=f(14)=1614−1=24×14−1=1．故答案为：1．先利用x >1的解析式求出f(2)，再利用x ≤1的解析式求解f(1f(2))即可．本题考查的是函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是弄清该使用哪一段解析式求解，属于基础题．14.【答案】34【解析】解：(2.25)−12+(−9.6)0−(827)13+log 2512⋅log 45=11.5+1−23+lg 12lg25⋅lg5lg4 =23+1−23+(−14) =34．故答案为：34．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】8【解析】解：由[x]的定义知，当x ≥0时，[x]=0，1，2，3，…… 则f(x)=0，f(x)=sin π2=1，f(x)=sinπ=0，f(x)=sin 3π2=−1，f(x)=sin2π=0，……，则f(x)的值域为{0,1，−1}，所以子集的个数为23=8个， 故答案为：8．根据[x]的定义，结合三角函数定义进行计算即可．本题主要考查真子集的计算，结合[x]的定义计算出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】(12,1)【解析】解：方程4x −k ⋅2x+1−3⋅2x +4=0(x >0)， 即(2x )2−(2k +3)2x +4=0(x >0)， 令2x =t ，则t >1， 则有t 2−(2k +3)t +4=0，若方程4x −k ⋅2x+1−3⋅2x +4=0(x >0)有两个不相等实根， 即t 2−(2k +3)t +4=0(t >1)有两个不相等实根，则{2k+32>1△=[−(2k +3)]2−4×4>0f(1)=1−(2k +3)+4>0，解得：12<k <1，故答案为：(12,1)．令2x =t ，问题转化为t 2−(2k +3)t +4=0(t >1)有两个不相等实根，根据二次函数的性质求出k 的范围即可．本题考查了二次函数，二次方程与二次不等式问题，考查转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意可得A 点到原点O 的距离√(45)2+(−35)2=1， 由三角函数的定义知sinα=45，设角β的终边落在射线y =x(x >0)上任意一点B(m,m)，m >0， 则tanβ=1， 所以sinα⋅tanβ=45．(2)由(1)及三角函数的定义知tanα=45−35=−43，原式=−cosαsinα+cos 2βsin 2β+3sinβcosβ=−1tanα+1tan 2β+3tanβ=−1−43+11+3=1．【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义可求sinα，设角β的终边落在射线y =x(x >0)上任意一点B(m,m)，m >0，可求tanβ=1，即可计算得解．(2)由(1)及三角函数的定义可求tanα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简求解即可得解．本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)集合A ={x|log 2(x +2)<2}={x|−2<x <2}，当a =1时，B ={x|1<x <3}， ∴A ∩B ={x|1<x <2}． (2)当选①∵A ∩B =⌀，∴当B =⌀时，3a −2≥2a +1，解得a ≥3，符合题意； 当B ≠⌀时，{3a −2<2a +13a −2≥2或{3a −2<2a +12a +1≤−2解得43≤a <3或a ≤−32，综上，a 的取值范围为(−∞,−32]∪[43,+∞)． 当选②∵A ∪B =A ，∴B ⊆A∴当B =⌀时，3a −2≥2a +1，即a ≥3，符合题意； 当B ≠⌀时，{a <3−2≤3a −22≥2a +1，解得0≤a ≤12，综上，a 的取值范围为[0,12]∪[3,+∞)．【解析】(1)可以求出A ={x|−2<x <2}，a =1时，求出集合B ，然后进行交集的运算即可；(2)若选①根据A ∩B =⌀，可讨论B 是否为空集：B =⌀时，3a −2≥2a +1；B ≠⌀时，根据集合关系列出不等式组，解出a 的范围即可．若选②由A ∪B =A ，得到B ⊆A ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查对数不等式的解法，考查交集运算、集合之间的关系，子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设增长率为x ，依题意得：m(1+x)10=2m ，所以(1+x)10=2，从而[(1+x)10]110=2110， 即1+x =2110，解得x =2110−1， 故年增长率为2110−1；(2)设已经植树造林n年，则m(1+2110−1)n=√2m，即2110n=212，解得n=5，故已经植树造林5年；(3)设已经植树造林n年，则m(1+2110−1)n=√2m，即2110k≥6，即110k≥log26=log22+log23，解得k≥10+10lg3lg2≈25.8，故至少还需要26年．【解析】(1)设增长率为x，依题意得：m(1+x)10=2m，然后解方程即可；(2)设已经植树造林n年，则m(1+2110−1)n=√2m，解方程即可求解；(3)设已经植树造林n年，则m(1+2110−1)n=√2m，解不等式即可．本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到解指数式方程以及对数式方程，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：假设存在一次函数f(x)，设f(x)=kx+b(k≠0)，则f(x1+x2)=k(x1+x2)+b，f(x1)+f(x2)−2=k(x1+x2)+2b−2，所有b=2b−2，b=2，f(2)=2k+b=4，k=1，故满足条件的一次函数为：f(x)=x+2；(2)证明：定义在R上的函数f(x)对任意的x1、x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2成立，令x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)−2，∴f(0)=2，令x1=x，x2=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)−2，∴[f(x)−2]+[f(−x)−2]=0，即g(x)+g(−x)=0，于是g(−x)=−g(x)，∴g(x)=f(x)−2为奇函数．【解析】(1)假设存在一次函数f(x)，设出解析式，然后结合题目条件建立等式，解之即可求出所求；(2)令x1=x2=0，求出f(0)，再令x1=x，x2=−x，变形可得g(−x)=−g(x)，根据奇函数的定义可得结论．本题主要考查了抽象函数及其应用，及其赋值法的应用和奇函数的判定，同时考查了学生的转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由图易知T2=2π3−π6=π2，则T=π，ω=2πT=2，由题意结合图象知，2×π6+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<π，故φ=2π3，则f(x)=sin(2x+2π3)．令：2kπ−π2 ≤2x+2π3≤2kπ+π2,k∈Z，整理得kπ−7π12≤x≤kπ−π12,k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间是[kπ−7π12,kπ−π12](k∈Z)．(2)若f(x)的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移π3个单位，最后向上平移1个单位，得到函数g(x)=2sin2x+1．令g(x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12 (k∈Z)．所以在[0,π]上恰好有两个零点，若g(x)在[0,b]上恰有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即b的范围为：b≥4π+11π12 =59π12．且b<4π+11π12+π−11π12+7π12 =67π12即59π12≤b<67π12．【解析】(1)直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间；(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换，根据图象和零点的关系求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的额关系式的求法和应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，函数的图象和零点的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=1−b2x+a为定义在R上的奇函数．所以f(x)+f(−x)=1−b2x+a +1−b2−x+a=0在R上恒成立，变形可得：(b −2a)(2x +2−x )+2ab −2a 2−2=0恒成立， 所以{b =2a ab =1+a2，解得：{a =1b =2或{a =−1b =−2， 当{a =1b =2时，f(x)=1−22x +1=2x −12x +1，是定义域为R 的奇函数，符合题意，当{a =−1b =−2时，f(x)=1+22x −1，其定义域为{x|x ≠0}，不符合题意， 故a =1，b =2；(2)函数f(x)为R 上的单调增函数；证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−(1−22x 2+1)=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1) 因为x 1<x 2，又y =2x 为R 上的单调增函数，所以0<2x 1<2x 2，则有f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)为R 上的单调增函数；(3)因为f(lnm)+f(lnm −1)≤1−2lnm ，即f(lnm)+lnm ≤−f(lnm −1)+1−lnm 而函数f(x)为R 上的奇函数，则有f(lnm)+lnm ≤f(1−lnm)+1−lnm ， 令ℎ(x)=f(x)+x ，设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，因为x 1−x 2<0， 由(2)知f(x 1)−f(x 2)<0，所以ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=f(x 1)+x 1−(f(x 2)+x 2)=f(x 1)−f(x 2)+(x 1−x 2)<0， 即ℎ(x 1)<ℎ(x 2)，所以ℎ(x)为R 上的单调增函数．因为f(lnm)+lnm ≤f(1−lnm)+1−lnm ，所以ℎ(lnm)≤ℎ(1−lnm) 所以lnm ≤1−lnm ，即lnm ≤12，解可得：0<m ≤√e ，所以m 的范围是(0,√e].【解析】(1)根据题意，由奇函数的定义可得f(x)+f(−x)=0，结合函数的解析式分析可得a 、b 的值，验证函数的定义域可得答案， (2)根据题意，由作差法分析可得结论，(3)根据题意，原不等式变形可得f(lnm)+lnm ≤f(1−lnm)+1−lnm ，令ℎ(x)=f(x)+x ，由作差法可得ℎ(x)是R 上的单调增函数，则原不等式可以转化为lnm ≤1−lnm ，即lnm ≤12，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于中档题．。
北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。
高一上期末数学试卷带答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -1/2D. 0答案：D2. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像的对称轴是（）A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -2答案：A3. 已知等差数列{an}的前三项分别是2，5，8，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 无法确定答案：B5. 下列函数中，在定义域内单调递减的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = -x^2D. y = x^3答案：C6. 已知等比数列{an}的前三项分别是1，2，4，则该数列的公比是（）A. 1B. 2C. 4D. 1/2答案：D7. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)答案：A8. 若函数f(x) = |x| + 1在x=0处的导数等于（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在答案：A9. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an等于（）A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) =（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数y = (x - 1)^2 + 2的最小值是__________。
答案：212. 等差数列{an}的前10项和S10 = 110，则第5项a5 =__________。
答案：1113. 若等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则第4项a4 =__________。
2024届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题含解析
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
BD1 3 3 【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线 AD1 与 EF 所成角即为∠AD1B ，难度中等 12、 2 【解析】根据直线一般式，两直线平行则有 A1B2 A2B1 0 ，代入即可求解. 【详解】由题意，直线 x y 2 0 与直线 ax 2y 0 平行，
则有1 (2) 1 a 0 a 2 故答案为： 2
3
，
则反射光线所在直线方程 y 3 3 1 x 4 4 1
即： 4x 5y 1 0
故选 A 10、D 【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 对应的二次函数设为： f x x2 (m 2)x 2m 1
(m 2)2 42m 1 0 ，解得 m 6 2 7 ，
当 m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 2 7 ，不合题意；
若 m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 7 2 ，符合题意
综上：实数
m
的取值范围为
不一定有对任意 x R ， f x 0 ，所以 A 错误，
对于 B，当函数 y f x 的图像关于原点成中心对称，可知 f (x) f (x) ，函数 f (x) 为奇函数，所以 B 错误，
安徽省淮北市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年安徽省淮北市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）等于（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3.5} D．{4，5}2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．53．下列方程可表示圆的是（）A．x2+y2+2x+3y+5=0 B．x2+y2+2x+3y+6=0C．x2+y2+2x+3y+3=0 D．x2+y2+2x+3y+4=04．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台5．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣46．已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.60.4＞log0.60.5C．log0.750.34＞logπ3.14 D．0.75﹣0.3＜0.750.19．已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足xf（x）≤0的x取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）10．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（2015秋淮北期末）（B类题）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=AB，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．△PFB为等边三角形二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.12．（6分）（2015秋淮北期末）过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为．13．（6分）（2015秋淮北期末）函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．14．（6分）（2007天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．15．（6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（6分）（2015秋淮北期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为cm3．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）（2015秋淮北期末）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A．且B={x∈Z|2 17．＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．（Ⅰ）求A和（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∪C=R，求实数a的取值范围．18．（12分）（2015秋淮北期末）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．19．（12分）（2015秋淮北期末）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）．（1）求圆的方程；（2）若直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；（3）求直线l2：x﹣=0被此圆截得的弦长．20．（12分）（2015秋淮北期末）如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．21．（12分）（2015秋淮北期末）（A类题）设f（x）=，其中e为自然底数．（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；（Ⅱ）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（Ⅲ）判断f（x）的反函数f﹣1（x）的奇偶性．22．（2015秋淮北期末）（B类题）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．23．（12分）（2015秋淮北期末）设函数f（x）=，g（x）=x+1﹣a（1）求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省淮北市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）等于（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3.5} D．{4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集与交集的定义，求出∁U M与N∩（∁U M）即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，∴∁U M={2，3，5}，∴则N∩（∁U M）={3，5}．故选：C．【点评】本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，是基础题目．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5【考点】三点共线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C 三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m 的值【解答】解：∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），∴直线AB的斜率k1==﹣1同理可得：直线AC的斜率k2=，∵A、B、C三点共线，∴直线AB与直线AC的斜率相等，即k1=k2，得=﹣1，解之得m=1，故选：A．【点评】本题给出三点共线，求参数m的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题．3．下列方程可表示圆的是（）A．x2+y2+2x+3y+5=0 B．x2+y2+2x+3y+6=0C．x2+y2+2x+3y+3=0 D．x2+y2+2x+3y+4=0【考点】二元二次方程表示圆的条件．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】只需计算D2+E2﹣4F的正负即可．【解答】解：对于A：4+9﹣20＜0，不表示任何图象，对于B：4+9﹣24＜0，不表示任何图象，对于C：4+9﹣12＞0，表示圆，对于D：4+9﹣16＜0，不表示任何图象，故选：C．【点评】本题考查了圆的一般方程问题，掌握圆的一般方程，计算D2+E2﹣4F的正负是解题的关键，本题是一道基础题．4．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台【考点】由三视图还原实物图．【专题】图表型．【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）如图．故选C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题．5．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法，令t=3x+2，则x=代入f（x）中，即可求得f（t），然后将t换为x即可得f（x）的解析式．【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．【点评】本题主要考查复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决．属于基础题．6．已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，l1∥l2，∴当m=0时，l1⊥l2，不成立；当m≠0时，解得m=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.60.4＞log0.60.5C．log0.750.34＞logπ3.14 D．0.75﹣0.3＜0.750.1【考点】对数值大小的比较；指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接利用指数函数与对数函数的性质比较四个选项中两个值的大小得答案．【解答】解：由指数函数的单调性可得30.8＞30.7，A正确；由对数函数的单调性可得log0.60.4＞log0.60.5，B正确；∵log0.750.34＞log0.750.75=1，logπ3.14＜logππ=1，∴log0.750.34＞logπ3.14，C正确；由指数函数的单调性可得0.75﹣0.3＞0.750.1，D错误．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．9．已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足xf（x）≤0的x取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由奇函数的图象关于原点对称及在（0，+∞）上是增函数，从而转化为不等式组，进而可解出x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0∴或，∴x的取值范围是（0，4]∪[﹣4，0）∪{0}=[﹣4，4]，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，考查函数单调性与奇偶性的结合，应注意奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反．10．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在①中，由已知推导出C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，从而得到C1M⊥平面A1ABB1；在②中，由已知推导出A1B⊥平面AC1M，从而A1B⊥AM，由AN B1M，得AM∥B1N，进而得到A1B⊥NB1；在③中，由AM∥B1N，C1M∥CN，得到平面AMC1∥平面CNB1．【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．（2015秋淮北期末）（B类题）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=AB，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．△PFB为等边三角形【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴A不成立，又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．∵PA=AB，PA⊥平面ABC∴PF=PB，BF=AB∴△PFB为等边三角形，故选：D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.12．（6分）（2015秋淮北期末）过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为3x﹣y ﹣5=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，故答案为：3x﹣y﹣5=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．13．（6分）（2015秋淮北期末）函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞1 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数g（x）=|x2﹣1|的图象，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣1|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞1．故答案为：a=0或a＞1．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．14．（6分）（2007天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y=0 ．【考点】相交弦所在直线的方程．【专题】计算题．【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为 x+3y=0．【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．15．（6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，∴球的表面积为=3π．故答案为：3π．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．16．（6分）（2015秋淮北期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为32πcm3．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，∵PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=4，∴AB=BC=CA=4，且O′为△ABC的中心，于是=2r，得r=，又PO′==．OO′=R﹣=d=，解得R=2，故V球=πR3=32π．故答案为：32π．【点评】本题是中档题，考查球的体积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）（2015秋淮北期末）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A．且B={x∈Z|2 17．＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．（Ⅰ）求A和（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∪C=R，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集A，再求∁R A∩B；（Ⅱ）根据A∪C=R，列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣，∴，解得3≤x＜7，∴A={x|3≤x＜7}；∴∁R A={x|x＜3或x≥7}，又B={x∈Z|2＜x＜10}={3，4，5，6，7，8，9}，∴∁R A∩B={7，8，9}；（Ⅱ）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=R，∴，解得3≤a＜6．【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的基本运算问题，是基础题．18．（12分）（2015秋淮北期末）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．【考点】点到直线的距离公式；直线的截距式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，﹣1）；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，﹣1）代入，得a=1．由此能求出过点P（2，﹣1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线n的方程．【解答】解：（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，﹣1），∴直线方程为y=﹣x；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，﹣1）代入，得a=1，∴所求的直线方程为：x+y﹣1=0．综上：过点P（2，﹣1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=﹣x或x+y﹣1=0．（2）直线n的方程为x=2时，满足题意；直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0，坐标原点到该直线的距离为=2，∴k=，∴方程为3x﹣4y﹣10=0，综上，直线n的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用．19．（12分）（2015秋淮北期末）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）．（1）求圆的方程；（2）若直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；（3）求直线l2：x﹣=0被此圆截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知得圆心为（0，0），由两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．（2）由已知得l1与圆相切，由圆心（0，0）到l1的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式能求出b．（3）先求出圆心（0，0）到l2的距离d，所截弦长l=2，由此能求出弦长．【解答】解：（1）∵圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，），∴圆心为（0，0），半径r==2，∴圆的方程为x2+y2=4．…（4分）（2）∵直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，∴l1与圆相切，则圆心（0，0）到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=±4．…（8分）（3）∵直线l2：x﹣=0与圆x2+y2=4相交，圆心（0，0）到l2的距离d==，∴所截弦长l=2=2=2．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）（2015秋淮北期末）如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理证明平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）利用AD⊥平面C′AB，证明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，证明AB⊥C′A，再利用线面垂直的判定定理证明C′A⊥平面ABD．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）因为M，N分别是BD，BC′的中点，所以MN∥DC′．因为MN⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′．同理NG∥平面ADC′．又因为MN∩NG=N，所以平面GNM∥平面ADC′…（5分）（Ⅱ）因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB．又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB．因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A．因为△BCD是等边三角形，AB=AD，不妨设AB=1，则BC=CD=BD=，可得C′A=1．由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A．因为AB∩AD=A，所以C′A⊥平面ABD…（10分）【点评】本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，考查了学生分析解决问题的能力、空间想象能力和推理论证能力，正确运用面面平行、线面垂直的判定定理是解题的关键，属于中档题．21．（12分）（2015秋淮北期末）（A类题）设f（x）=，其中e为自然底数．（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；（Ⅱ）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（Ⅲ）判断f（x）的反函数f﹣1（x）的奇偶性．【考点】反函数；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（m）=2列出方程，转化为二次函数解出；（2）将函数式子变形，用y表示出x，然后互换变量的符号得出反函数；（3）先判断反函数的定义域，再计算f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）．【解答】解：（Ⅰ）由=2得：e2m﹣4e m﹣1=0，解得e m=2+或e m=2﹣（舍）．∴m=ln（2+）．（Ⅱ）由y=得：e2x﹣2ye x﹣1=0，解得e x=y+，∴x=ln（y+）．∴f﹣1（x）=ln（x+）（x∈R）．（Ⅲ）f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）=ln（﹣x+）+ln（x+）=ln1=0．∴f﹣1（x）为奇函数．【点评】本题考查了函数值的计算，反函数的求法，函数奇偶性的判断，属于基础题．22．（2015秋淮北期末）（B类题）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．【考点】函数的单调性及单调区间；函数的值；分段函数的应用．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式代入即可求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）根据函数图象的坐标即可画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）由图象可知函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f（﹣1）=﹣（﹣1）﹣1=0，f（0）=1，f（1）=﹣1+2×1=1，即f{f（f（﹣1））}=1．（Ⅱ）函数的图象如图：（3）由图象知递减区间：（﹣∞，0），（1，+∞），递增区间：（0，1）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，比较基础．23．（12分）（2015秋淮北期末）设函数f（x）=，g（x）=x+1﹣a（1）求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；点到直线的距离公式．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据根式函数以及一元二次函数的性质即可求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，利用点到直线的距离关系进行求解即可求a值；（3）利用数形结合转化为直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：（1）由﹣x2﹣4x≥0得x2+4x≤0，即﹣4≤x≤0，此时f（x）==∈[0，2]，即函数f（x）的值域为[0，2]．（2）由g（x）=x+1﹣a=y得4x﹣3y+3（1﹣a）=0，则若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，则d==3，即，则|3﹣a|=5，即a=8或a=﹣2．（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，则函数f（x）对应的图象，在g（x）的图象下方，函数f（x）=，表示以C（﹣2，0）为圆心，半径r=2的圆的上半部分，则直线g（x）=x+1﹣a的截距1﹣a＞0，即a＜1，则满足圆心C到直线4x﹣3y+3（1﹣a）=0的距离d≥2，即≥2，则|3a+5|≥10，即3a+5≥10或3a+5≤﹣10，即3a≥5或3a≤﹣15，即a≥（舍）或a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．【点评】本题主要考查函数值域以及点到直线的距离的计算，不等式恒成立问题，利用数形结合进行转化是解决本题的关键．。
(完整版)高一上学期期末数学试卷(含答案)
高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）2．（5分）设，则tan（π+x）等于（）A．0B．C．1D．3．（5分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）4．（5分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（5分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4B．3C．1D．07．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣18．（5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A ．πB ．πC．D ．π9．（5分）函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B ．（，1）C．（1，2）D．（﹣1，2）二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=．12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．13．（4分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是．14．（4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“”15．（4分）当0＜x ＜时，函数f（x）=的最大值是．三、解答题16．（8分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣1≤x≤m+1}（1）若m=5，求A∩B（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．17．（8分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求证：．18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售价格/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．19．（10分）设=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．20．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集的运算法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B={x|﹣4＜x＜3}∪{x|x≤2}={x|x＜3}，故选：D．点评：本题考查集合的并集的求法，考查并集的定义以及计算能力．2．（5分）设，则tan（π+x）等于（）A．0B．C．1D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简tan（π+x），将x的值代入，求出正切值．解答：解：∵tan（π+x）=tanx∴时，tan（π+x）=tan=故选B．点评：给角的值求三角函数值时，应该先利用诱导公式化简三角函数，在将x的值代入求出值．3．（5分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：1＜x≤2．∴函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（1，2]．故选：A．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．4．（5分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间上的零点至少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．解答：解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，故函数在区间上的零点至少有3个，故选B．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，用二分法判断函数的零点的方法，比较基础．5．（5分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的图像与性质．分析：sinα•cosα＞0得到sinα和cosα同号；再结合sinα+cosα＜0即可得到sinα＜0，cosα＜0；进而得到结论．解答：解：因为sinα•cosα＞0∴sinα和cosα同号．又∵sinα+cosα＜0∴sinα＜0，cosα＜0．即α的正弦和余弦值均为负值．故α的终边在第三象限．故选：C．点评：本题主要考查三角函数值的符号和象限角．是对基础知识的考查，要想做对，需要熟练掌握三角函数值的符号的分布规律．6．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4B．3C．1D．0考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误；②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误；③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误．④利用向量共线定理即可判断出与共线，即可判断出正误．解答：解：①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个，（不含本身），正确；②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个，，，（不含本身），正确；③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得：的长度恰为长度的倍，正确．④与共线，因此不正确．因此说法中错误说法的个数是1．故选：C．点评：本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1B．﹣x+1C．x+1D．x﹣1考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，x＜0时，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，再利用奇函数求出f（x）的表达式．解答：解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1；又f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x+1，∴f（x）=﹣x﹣1．故选：A．点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目．8．（5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A ．πB．πC．D ．π考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象对应的函数的解析式为y=cos（x﹣φ+），由于所得图象正好关于y轴对称，则﹣φ+=kπ，k∈z，即φ=﹣kπ，故φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．（5分）函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x 的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x ﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x ﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（，1）C．（1，2）D．（﹣1，2）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，f（x）在R上是单调递减函数，则0＜a＜1①，a﹣2＜0，即a＜2②，a0≥（a﹣2）×0+2a③，求出它们的交集即可．解答：解：由于对任意x1≠x2，都有＜0成立，则f（x）在R上是单调递减函数，当x＜0时，y=a x为减，则0＜a＜1；①当x≥0时，y=（a﹣2）x+5a为减，则a﹣2＜0，即a＜2；②由于f（x）在R上是单调递减函数，则a0≥（a﹣2）×0+2a，解得a ≤．③由①②③得，0＜a ≤．故选A．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的单调性，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于中档题和易错题．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，化简求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（0）+f（1）=（0﹣1）+（1+1）=1；故答案为：1．点评：本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力．12．（4分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（2sin30°，﹣2cos30°）判断出α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．解答：解：依题意可知tanα==﹣∵，﹣2cos30°＜0，2sin30°＞0∴α属于第四象限角∴sinα=﹣=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．13．（4分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是c＜b＜a．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质进行计算即可．解答：解：∵=＜＜1=；∴c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．点评：本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．14．（4分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“向东北方向航行km；”考点：向量的几何表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量表示的几何意义，画出图形，进行解答即可．解答：解：∵表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，∴﹣表示“向北方向航行1km”，∴﹣表示“向东北方向航行km”如图所示．故答案为：向东北方向航行km．点评：本题考查了平面向量的几何意义，是基础题目．15．（4分）当0＜x ＜时，函数f（x）=的最大值是﹣．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据1的代换，利用换元法将函数进行转化，利用一元二次函数的性质进行求解．解答：解：f（x）===tanx﹣（tanx）2﹣1，设t=tanx，∵0＜x ＜，∴0＜tanx＜1，即0＜t＜1，则函数f（x）等价为y=﹣t2+t﹣1=﹣（t ﹣）2﹣，∴当t=时，函数取得最大﹣，故答案为：﹣点评：本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．三、解答题16．（8分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣1≤x≤m+1}（1）若m=5，求A∩B（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）若m=5，求出集合B，即可求A∩B（2）若B⊆A，根据集合关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）因为m=5，所以B={x|4≤x≤6}．…（1分）所以A∩B={x|4≤x≤6}…（3分）（2）易知B≠∅，…（4分）所以由B⊆A 得…（7分）得﹣1≤m≤4…（8分）点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．17．（8分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求证：．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由可得﹣3x=﹣2×8，解方程可得；（2）当x=﹣5时，可得的坐标，可得=0，可判垂直．解答：解：（1）∵=（x，8），=（﹣2，﹣3）又∵，∴﹣3x=﹣2×8，解得x=（2）当x=﹣5时，=++=（4+x，6）=（﹣1，6），∵=（6，1），∴=﹣1×6+6×1=0∴．点评：本题考查数量积与向量的垂直关系和平行关系，属基础题．18．（10分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售价格/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用表格的特征变化规律，推出关系式，即可在经营部在进价基础上增加x元进行销售，求出此时的日均销售量的桶数．（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，求出函数的解析式，利用二次函数的最值求解最大值及其对应的销售单价．解答：解：（1）由表可以看出，当销售单价每增加1元时，日均销售量将减少40桶．…（2分）当经营部在进价基础上增加x元进行销售时，此时的日均销售量为：480﹣40（x﹣1）=520﹣40x（桶）…（5分）（2）因为x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13…（6分）所以y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．…（8分）易知，当x=6.5时，y有最大值1490元．即只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大净利润1490元．…（10分）（本题改编自教科书104页例5）点评：本题考查函数的最值，实际问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（10分）设=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=4sin（2x+），由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由x，可得2x+∈，由正弦函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．解答：解：（1）f（x）=2（cos2x+sin2x）=4（cos2x+sin2x）=4sin（2x+）…（3分）由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得：kπ﹣≤x≤k π（k∈Z）故函数f（x）的单调递增区间是：（k∈Z）…（5分）（2）∵x，∴2x+∈，…（6分）∴当x=时，函数f（x）的最大值为4…（8分）当x=时，函数f（x）的最大值为﹣2…（10分）点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：（1）根据“弱增函数”的定义，判断f（x）、g（x）在（1，2）上是否满足条件即可；（2）根据“弱增函数”的定义，得出①h（x）在（0，1）上是增函数，在（0，1）上是减函数，列出不等式组，求出b与θ的取值范围．解答：解：（1）由于f（x）=x﹣4在（1，2）上是增函数，且F（x）==1﹣在（1，2）上也是增函数，所以f（x）=x﹣4在（1，2）上不是“弱增函数”…（2分）g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是增函数，但=﹣x+4在（1，2）上是减函数，所以g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是“弱增函数”…（4分）（2）设h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ、b是常数）在（0，1）上是“弱增函数”，则①h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数，由h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数得≤0，…（6分）∴sin θ≤，θ∈（k∈Z）；…（8分）②H（x）==x ﹣+﹣sinθ在（0，1）上是减函数，记G（x）=x﹣，在（0，1）上任取0＜x1＜x2≤1，则G（x1）﹣G（x2）=（x1x2+b）＞0恒成立，…（11分）又∵＜0，∴x1x2+b＜0恒成立，而当0＜x1＜x2≤1时，0＜x1x2＜1，∴b≤﹣1；（如果直接利用双沟函数的结论扣2分）∴b≤﹣1；且θ∈（k∈Z）时，h （x）在（0，1]上是“弱增函数”．…（14分）点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与导数的应用问题，考查了新定义的应用问题，考查了分析与解决问题的能力，是综合性题目．。
高一数学第一学期期末考试试卷(共5套,含参考答案)
高一第一学期期末考试数学试卷 满分：150分 时间: 120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则AB 的元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( ) A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α⊂3.方程的1xe x =的根所在的区间是（ ）． A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,23(4.函数y=x （x 2-1）的大致图象是( )5.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°6.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则 长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.57.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1角为60°9.若方程1ln 02xx a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是（ ）A.65B.6C.2D.511.已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()120f x f +-<的解集为（ ）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()()3,11,1--⋃-D. ()()1,11,3-⋃12.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p = .14.2lg 2＝ _________15.函数()lg 21y x =+的定义域是______________________. 16.函数x21f x =-log x+23⎛⎫⎪⎝⎭（）（）在区间[－1,1]上的最大值为________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ．（1）求U A ð； （2）若A B A = ,求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点； （2）求不等式()0f x >的解集.19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠A ＝90°，BD ⊥DC ，将△ABD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面BDC. (1) 求证:平面EBD ⊥平面EDC ； (2) 求ED 与BC 所成的角．20．(1２分)一块边长为10 cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数； (2)若x ＝6，求图2的正视图的面积．21.（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB .（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥； （Ⅱ）若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离.1A A1B B1C COD22．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )，且满足(1)(1)f f -=． （1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围； （3）若函数1()2()421f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.高一第一学期期末考试 数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 1 14. 2 15. 16. 316.解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴23x -<<…………………………………3分∴A=(-2,3) ∴(][)23u C A =-∞-+∞，，……………………………5分 （2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A = ……………………………6分当0>a 时，)(a a B ，-= ∵AB A = ∴A B ⊆[]∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a ， ∴40≤<a ……………………………9分 综上所述：实数a 的范围是4≤a ……………………………………10分18.解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1..................................6分（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >.所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}.................................12分19.(1) 证明：∵平面EBD ⊥平面BDC ，且平面EBD ∩平面BDC ＝BD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面EBD ， ∵CD 平面EDC ，∴平面EBD ⊥平面EDC.……………………………6分 (2) 解：如答图，连接EA ，取BD 的中点M ，连接AM ，EM ， ∵AD ∥BC ，∴∠EDA 即为ED 与BC 所成的角． 又∵AD ＝AB ，∴ED ＝EB. ∴EM ⊥BD ，∴EM ⊥平面ABCD.设AB ＝a ，则ED ＝AD ＝a ，EM ＝MA ， ∴AE ＝a ，∴∠EDA ＝60°.即ED 与BC 所成的角为60°……………………………１２分20.(12分)解 (1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm. 在Rt △EOF 中，EF ＝5 cm ，OF ＝12x cm ，所以EO ＝25－14x 2.于是V ＝13x225－14x 2(cm 3)．依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．……………………………６分(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB ＝6， 底边上的高为四棱锥的高＝EO ＝25－14x 2＝4，S ＝4×62＝12(cm 2)．……………………………１２分21.解：(1),由 得又即又又BD 与CO 交于O 点，又……………………………６分(2),,又AB=1，可得，由得……………………………１２分22．解析：（1）(1)(1)f f -=，即144log (41)log (41)k k -+-=++444512log log 5log 144k ∴=-==- ∴12k =- ………………………………………………………………………… ………5分（2）由题意知方程411log (41)22x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解, 令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点444411()log 41)log log (1)44x x x xg x x +=+-==+（ 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，121144x x ∴>. 12124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.1114x +>， 41()log 104xg x ⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0.-∞ ……………………………………………………………… 9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分。
自贡市中职校2023-2024学年度高一上末考试数学试卷 (含答案)
中职高一数学上期末试卷 第1页 共9页自贡市中等职业学校2023-2024学年高一年级上学期期末考试数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.2.第I 卷共1个大题，15个小题.每个小题4分，共60分.一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4,5B =，则AB =（ ）A. φB. {}3C. {}1,2D. {}1,2,3,4,5 2.函数()f x =）A. {}|2x R x ∈≠B. {}|<2x R x ∈C. {}|2x R x ∈≥D. {}|>2x R x ∈3. 已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中(1, 3)(2, 1)(3, 2)A B C ，，，则()()2f g 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0中职高一数学上期末试卷 第2页 共9页4. 若>a b ,下列说法正确的是（ ）A. 1>2a b +-B. >ac bcC. 22>ac bcD. 2>2b a 5. (1)(2)0x x -+≤的解集为（ ）A. {}|12x x -≤≤B. {}|21x x -≤≤C. {}|21x x x ≤-≥或D. {}|12x x x ≤-≥或 6. 函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A . (, 0)(0, +)-∞∞和 B . (, 0)(0, +)-∞∞C . (, 0)-∞D . (0, +)∞7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(1)3f =，则(1)f -=（ ） A. 1- B. 3- C. 3 D. 1 8. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9. “>0x ”是“>1x ”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（ ）A. 210x -≤B. 10x -≤C.()()1011x x ≤+-D. 101x x -≤+中职高一数学上期末试卷 第3页 共9页11. 已知函数1()(>1)x f x a a -=,则该函数图象必经过定点（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. (1, 1)12. 若函数2()21f x x mx =+-在区间(3, )-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3m ≥ B. 3m ≤ C. 3m ≥- D. 3m ≤-13. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则随机调查的100位学生阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A. 50B. 60C. 70D. 8014. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()10f -=，若对于任意两个实数x 1，()20,x ∈+∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则不等式()0xf x >的解集是（ ）A. ()(),10,1-∞-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()()1,00,1-15. 计算0122222()x x N ++++∈,令0122222x S =++++Ⅰ，将Ⅰ两边同时乘以2：123122222x S +=+++Ⅰ，用Ⅰ−Ⅰ得到：2S S -=1231(2222)x ++++_012(2222)x ++++，得到121x S +=-；观察该式子的特点，每一项都是前一项的2倍（除第一项外）；运算思路是将代数式每一项乘2后再与原式相减，数学上把这种运算的方法叫做“错位相减”，那么当 0121013333S =++++时候，则1S 的值为（ ）A. 1131- B. 1031- C. 11312- D. 10312-中职高一数学上期末试卷 第4页 共9页第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.答在试题卷上无效.2. 本部分共2个大题，12个小题.共90分.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 不等式2<1x -的解集为 .（注意：用区间表示）17. 分段函数()22, 11, 2<1x x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪+-≤⎩，则分段函数的定义域为________． 18. 若()12f x x =-，则(2)f -= .19. 2023年第31届世界大学生运动会（成都大运会）是中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办的世界性综合运动会，有关吉祥物“蓉宝”的纪念徽章、盲盒等商品成为抢手货，市场供不应求。
2023-2024学年山东省临沂高一上学期期末数学质量测试题(含答案)
2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。
高一数学必修一期末试卷及答案
一、选择题。
（共10小题，每题4分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A ∩B={2}，则A ∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。
3，0。
37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ） A 、 70。
3，0.37，，㏑0.3, B 、70。
3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。
3，，㏑0.3, D 、㏑0.3, 70。
3，0.37，6、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.57、函数2,02,0xxxyx-⎧⎪⎨⎪⎩≥=<的图像为（）8、设()log af x x=（a>0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（）A、f(xy)=f(x)f(y)B、f(xy)=f(x)+f(y)C、f(x+y)=f(x)f(y)D、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（）A、b>0且a<0B、b=2a<0C、b=2a>0D、a，b的符号不定10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（）（年增长率=年增长值/年产值）A、97年B、98年C、99年D、00年二、填空题（共4题，每题4分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为；0099989796(年）2004006008001000（万元）12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为 ； 13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{|0}x R x ∈≠； ③在(0,)+∞上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。
2022-2023学年北京市怀柔区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A={0,1,2,3,4,5,6}，集合B={−1,0,1,2,3}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {−1,0,1,2,3,4,5,6}B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}2. 若命题P“∃x∈(0,+∞)，lnx≥1”，则¬P为( )A. ∃x∈(−∞,0],lnx≥1B. ∃x∈(0,+∞)，lnx<1C. ∀x∈(0,+∞)，lnx≤1D. ∀x∈(0,+∞)，lnx<13. 下列函数既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=(12)xB. f(x)=log2(x+1)C. f(x)=x3D. f(x)=x2+14. 已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A. |a|>|b|B. a−c>b−cC. 1a <1bD. a⋅c2>b⋅c25. 设a=20.3，b=0.23，c=log0.25则a，b，c的大小关系是( )A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=log2x，则f(−4)的值是( )A. 2B. −2C. −12D. 127. 某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则估计在这200人中年龄在[25,35)的人数n及直方图中a值是( )A. n=35，a=0.032B. n=35，a=0.32C. n=30，a=0.035D. n=30，a=0.358. 已知a∈R，p：方程x2+ax+1=0有实数解，q：2<a<3，则p是q的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分不必要条件9. 溶液酸碱度是通过PH计量的．PH的计算公式为PH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为[H+]=5×10−9摩尔/升，计算这种苏打水的PH值．(精确到0.001)(参考数据：lg2≈0.301)( )A. 8.699B. 8.301C. 7.699D. 6.60210. 已知f(x−2)是偶函数，函数f(x)对任意x1，x2∈(−∞,−2],且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2> 0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,2)C. (−∞,−4)∪(0,+∞)D. (−4,0)11. 函数f(x)=log2(x−1)的定义域为______.12. 某学校高一有280名学生，高二有200名学生，高三有120名学生，用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查，则从高一学生中应抽取______人．13. 已知x>−1，则函数f(x)=x+4x+1的最小值是______.14. 已知函数f(x)=3x，则下列命题正确的有______.(写出所有正确命题的编号)①对于任意x1，x2∈R，都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)成立；②对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有ΔyΔx =f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立；③对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)成立；④存在实数a，使得对于任意实数x，都有f(x+a)=f(a−x)成立．15. 已知函数f(x)={−ax +1,x <a(x −2)2,x ≥a，当a =1时，则f[f(−2)]=______；若函数g(x)=f(x)−a 有三个零点，则实数a 的取值范围是______.16. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|x ≥a}.(Ⅰ)当a =1时，求∁R B ，A ∩B ，A ∪B ； (Ⅰ)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．17. 为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是34，乙队答对此题的概率是23，假设每队答题正确与否是相互独立的． (Ⅰ)求甲乙两队都答对此题的概率； (Ⅰ)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．18. 已知函数f(x)=2x 2+bx +c(b,c ∈R).(Ⅰ)若不等式f(x)>0的解集为(−∞,12)∪(2,+∞)，求f(x)的最小值； (Ⅰ)若f(−2)=f(4)且f(1)=−1，求方程f(x)=0两实根之差的绝对值．19. 已知函数f(x)=x −ax ，a ∈R ，若f(1)=−1.(Ⅰ)求a 值；(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并用定义给出证明； (Ⅰ)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．20. 为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示．(Ⅰ)若x −甲，x −乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，S 甲2，S 乙2分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则x −甲_____x −乙，S 甲2_____S 乙2.(填“>”或“<”)(Ⅰ)若成绩在85分(含85分)以上为优秀，(i)从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；(ii)从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．21. 已知函数f(x)=a⋅2x +b2x +1是定义域为R 的奇函数，且f(1)=13.(Ⅰ)求实数a 和b 的值；并判断f(x)在R 上单调性；(不用写出单调性证明过程)；(Ⅰ)若关于x 的不等式f[(m +1)x 2]+f[mx +(m −1)]≥0恒成立，求实数m 的取值范围； (Ⅰ)对于任意的x 1∈[1,3]，存在x 2∈[1,3]，使log n (x 2+2)≤f(x 1)成立，求实数n 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：图中阴影部分为A ∩B ， 则A ∩B ={0,1,2,3}， 故选：C.根据交集的定义可解．本题考查交集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以¬P 为∀x ∈(0,+∞)，lnx <1. 故选：D.根据特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A ，由指数函数的性质可知，f(x)=(12)x 为非奇非偶函数，不合题意； 对于B ，由对数函数的性质可知，f(x)=log 2(x +1)为非奇非偶函数，不合题意； 对于C ，由幂函数的性质可知，f(x)=x 3为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； 对于D ，由二次函数的性质可知，f(x)=x 2+1为偶函数，不合题意； 故选：C.根据题意逐项分析判断即可．本题考查常见函数的奇偶性及单调性，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A ，当a >b 时，若0>a >b ，则|a|<|b|，所以选项A 错误； 对于B ，当a >b 时，根据不等式的基本性质得a −c >b −c ，选项B 正确； 对于C ，当a 、b 中有一个为0时，1a 、1b 中有不存在的值，所以选项C 错误； 对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，选项D 错误． 故选：B.根据不等式的基本性质，对选项中的不等式判断是否成立即可．本题考查了不等式的基本性质应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a=20.3>a=20=1，0<b=0.23<0.20=1，c=log0.25<log0.21=0，所以c<b<a.故选：D.利用指数函数与对数函数的图象与性质即可得大小关系．本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=log2x，则f(4)=log24=2，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−4)=f(4)=2，故选：A.根据题意，由函数的解析式求出f(4)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图知年龄在[25,35)的小距形的面积为：0.015×10=0.15，即年龄在[25,35)的频率为0.15，∴年龄在[25,35)的人数为n=0.15×200=30，由频率分布直方图的小矩形的面积和为1，得：0.01×10+0.15×10+a×10+0.03×10+0.01×10=1，解得a=0.035.故选：C.求出频率直方图中年龄在[25,35)的频率，根据频率即可求出人数，根据频率分布直方图中，小矩形面积和为1，列出等式，能求出a.本题考查频率分布直方图的性质、频率、频数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：因为p：方程x2+ax+1=0有实数解，则a2−4≥0，则a≤−2或a≥2，又q：2<a<3，则q表示的集合是p表示集合的真子集，则p是q的必要不充分条件，故选：B.根据充分条件、必要条件的定义可解．本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由可得，PH=−lg(5×10−9)=−(lg5+lg10−9)=−(1−lg2−9)=8+lg2≈8.301.故选：B.由已知结合对数的运算性质即可直接求解．本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础试题．10.【答案】D【解析】解：因为f(x−2)是偶函数，所以f(x−2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x=−2对称，>0成立，又对任意x1，x2∈(−∞,−2],且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，则在(−2,+∞)上单调递减，则f(x)>0，即f(x)>f(0)，则|x−(−2)|<|0−(−2|)|，即|x+2|<2，解得−4<x<0，即不等式的解集为(−4,0).故选：D.分析可知f(x)的图象关于直线x=−2对称，且函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，在(−2,+∞)上单调递减，由此可得解．本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】(1,+∞)【解析】解：对数函数f(x)=log2(x−1)中，x−1>0，解得x>1；∴f(x)的定义域为(1,+∞).故答案为：(1,+∞).根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．12.【答案】28=28(人).【解析】解：由分层抽样性质可知，从高一学生中应抽取60×280280+200+120故答案为：28.利用分层抽样性质直接求解．本题考查分层抽样性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】3【解析】解：因为x >−1， 则函数f(x)=x +4x+1=x +1+4x+1−1≥2√(x +1)⋅4x+1−1=3，当且仅当x +1=4x+1，即x =1时取等号，此时函数取得最小值3. 故答案为：3.由已知结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14.【答案】②③【解析】解：∵f(x 1⋅x 2)=3x 1x 2≠3x 1+3x 2=f(x 1+x 2)，∴①不正确； ∵f(x)=3x 单调递增，∴②正确； ∵f(x 1)+f(x 2)2=3x 1+3x 22≥√3x 1⋅3x 2=3x 1+x 22=f(x 1+x22)，∵x 1≠x 2，∴f(x 1)+f(x 2)2>f(x 1+x22)，所以③正确；若对于任意实数x ，都有f(x +a)=f(a −x)成立，则f(x)关于x =a 对称，显然④不正确． 故答案为：②③．利用指数的运算性质，容易判断①不正确，结合指数函数的图像和性质，可判断②正确，④错误，利用基本不等式易证③成立．本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．15.【答案】1(√5−12,1]【解析】解：a =1时，f(−2)=3，f(3)=1，故f[f(−2)]=1；函数g(x)=f(x)−a 有三个零点，即为y =f(x)与y =a 的图象有三个不同交点， 首先f(x)在[a,+∞)上需先减后增，则a 满足0<a <2①，此时y =−ax +1在(−∞,a)上递减，故还需−a 2+1<a ≤(a −2)2， 解得{a <−1−√52或a >√5−12a ⩽1或a ⩾4，结合①式得√5−12<a ≤1即为所求．故答案为：(√5−12,1].由里向外计算第一个空的结果，然后结合f(x)的图象研究g(x)的零点个数，进而求出a 的范围．本题考查分段函数的函数值的计算，分段函数条件下函数零点个数的判断问题，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x ≥a}，当a =1时，B ={x|x ≥1}，则∁R B ={x|x <1}，A ∩B ={x|−1≤x ≤2}，A ∪B ={x|x ≥−1}； (Ⅰ)因为A ∩B =⌀，则a >2， 则a 的取值范围为{a|a >2}.【解析】根据集合间的运算可分别求解． 本题考查集合的运算，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是34，乙队答对此题的概率是23，假设每队答题正确与否是相互独立的． 则甲乙两队都答对此题的概率P =34×23=12； (Ⅰ)甲乙两队至少有一队答对此题的概率为： P =1−(1−34)(1−23)=1−112=1112.【解析】(Ⅰ)利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲乙两队都答对此题的概率；(Ⅰ)利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式能求出甲乙两队至少有一队答对此题的概率．本题考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为不等式f(x)>0的解集为(−∞,12)∪(2,+∞)，所以f(x)=0的两根分别为x =2，x =12，所以{12+2=−12b12×2=c2， 所以b =−5，c =2，f(x)=2x 2−5x +2=2(x −54)2−98， 故f(x)的最小值为−98；(Ⅰ)若f(−2)=f(4)且f(1)=−1，则对称轴x =−b4=1，f(1)=2+b +c =−1， 所以b =−4，c =1，f(x)=2x 2−4x +1 设方程f(x)=0两实根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，x 1x 2=12，所以两根之差的绝对值|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√22−4×12=√2.【解析】(Ⅰ)由已知结合二次不等式与二次方程的关系，方程的根与系数关系即可求解； (Ⅰ)由已知，利用待定系数先求出函数解析式，然后结合二次方程的根与系数关系可求． 本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了待定系数法求解二次函数解析式，方程的根与系数关系，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=x −ax ，a ∈R ，若f(1)=−1.即1−a =−1，解可得a =2， (Ⅰ)f(x)=x −2x，是奇函数，证明：根据题意，f(x)=x −2x ，其定义域为{x|x ≠0}， 且f(−x)=−x +2x =−(x −2x )=−f(x)， 故函数f(x)为奇函数； (Ⅰ)证明：设0<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)=(x 1−x 2)(1+2x 1x 2)，又由0<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，1+2x 1x 2>0，故f(x 1)−f(x 2)<0，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增．【解析】(Ⅰ)根据题意，由函数的解析式可得关于a 的方程，解可得答案； (Ⅰ)根据题意，先分析函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，即可得答案； (Ⅰ)根据题意，利用作差法分析可得结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由图中数据可得，x −甲=15×(77+79+83+86+96)=84，x −乙=15×(79+86+88+90+92)=87， 则x −甲<x −乙，S 甲2=15[(77−84)2+(78−84)2+(83−84)2+(86−84)2+(96−84)2]=46.8， S 乙2=15[(79−87)2+(86−87)2+(88−87)2+(90−87)2+(92−87)2]=20， 则S 甲2>S 乙2； (II)(i)从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则不同的结果为(77,78)，(77,83)，(77,86)，(77,96)，(78,83)，(78,86)，(78,96)，(83,86)，(83,96)，(86,96)，共10个，恰有1人成绩优秀的结果为：(77,86)，(77,96)，(78,86)，(78,96)，(83,86)，(83,96)，共6个， 故恰有1人成绩优秀的概率为P =610=35； (ii)甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86，96，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为86，88，90，92，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则不同的结果为：(86,86)，(86,88)，(86,90)，(86,92)，(96,86)，(96,88)，(96,90)，(96,92)， 甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩不同结果为：(86,86)，(96,86)，(96,88)，(96,90)，(96,92)，共5个，故甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率为58.【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合方差和平均数公式，即可求解；(Ⅰ)(i)结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解；(ii)结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意在f(x)=a⋅2x +b 2x +1中，函数是定义域为R 的奇函数，f(1)=13， ∴{f(0)=a+b 20+1=a+b 2=0f(1)=21⋅a+b21+1=2a+b 3=13，解得{a =1b =−1，此时f(−x)=−f(x)满足题意， ∴f(x)=2x −12x +1=1−22x +1， 设∀x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−(1−22x 2+1)=2(12x 2+1−12x 1+1)=2⋅2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)， 在y =2x 中，函数单调递增，∴2x 1−2x 2<0，∴f(x 1)−f(x 2)=2⋅2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)<0，∴f(x)在R 上单调递增；(Ⅰ)由题意及(Ⅰ)得在f(x)=1−22x +1中，函数是奇函数，f(x)=−f(−x)，f[(m +1)x 2]+f[mx +(m −1)]≥0恒成立，∴f[(m +1)x 2]≥−f[mx +(m −1)]=f[−mx −(m −1)]恒成立，∵函数单调递增，∴(m +1)x 2≥−mx −(m −1)即(m +1)x 2+mx +m −1≥0恒成立，当m +1=0即m =−1时，−x −2≥0，解得：x ≤−2，不恒成立，舍去；当m +1≠0即m ≠−1时，(m +1)x 2+mx +m −1≥0恒成立，在ℎ(x)=(m +1)x 2+mx +m −1中，若ℎ(x)≥0则需开口向上，∴{m +1>0Δ=m 2−4(m +1)(m −1)=−3m 2+4≤0， 解得m ≥2√33，综上，实数m 的取值范围为[2√33,+∞)；(Ⅰ)由题意及(Ⅰ)(Ⅰ)得在f(x)=1−22x +1中，函数单调递增， 对于任意的x 1∈[1,3]，存在x 2∈[1,3]，使log n (x 2+2)≤f(x 1)成立，∴函数在[1,3]单调递增，∴f(x)≥f(1)=1−221+1=13，则存在x 2∈[1,3]，使log n (x 2+3)≤13成立，当0<n <1时，g(x)=log n x 在定义域内单调递减，∴log n (x 2+3)≤log n 4<0，满足题意，当n >1时，g(x)=log n x 在定义域内单调递增，log n (x 2+3)≥log n 4且log n 4≤13=log n n 13，解得：n ≥64，综上，实数n 的取值范围为(0,1)∪[64,+∞).【解析】(Ⅰ)根据奇函数和f(1)=13即可求出a 和b 的值，由定义法即可得出f(x)在R 上单调性； (Ⅰ)根据奇函数和单调递增求出(m +1)x 2+mx +m −1≥0，分类讨论x 2前的系数是否为0，即可求出实数m 的取值范围；(Ⅰ)根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论g(x)=log n x 的单调性即可求出实数n 的取值范围．本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性，属于中档题．。
2022-2023学年北京市石景山区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷1. 设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为( )A. ∀n∈N，n2>2nB. ∃n∈N，n2≤2nC. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n2. 不等式2x−1≥1的解集为( )A. (−∞,1]∪[3,+∞)B. [1,3]C. (−∞,1)∪[3,+∞)D. (1,3]3. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A. 118B. 19C. 16D. 1124. 在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0)，g(x)=log a x的图象可能是( )A. B.C. D.5. 已知a、b、c都是实数，则“a<b”是“ac2<bc2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 若a>b>0，0<c<1，则( )A. log a c<log b cB. log c a<log c bC. a c<b cD. c a>c b7. 已知函数f(x)=2x−x−1，则f(x)的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38. 甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是( )A. 甲的10次成绩的极差为4B. 甲的10次成绩的75%分位数为8C. 甲和乙的20次成绩的平均数为8D. 乙比甲的成绩更稳定9. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.110. 设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)具有性质P，那么下列函数：①f(x)={1xx≠00x=0；②f(x)=x3；③f(x)=|x2−1|；④f(x)=x2.不具有性质P的函数为( )A. ①B. ②C. ③D. ④11. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为______.12. 函数y=x12+log2(1−x)的定义域为______.13. 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，其中自习时间的范围是[17.5,30]，并制成了频率分布直方图，如图所示，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为______.14. 设函数f(x)={1−x,x≤a2x,x>a，若f(1)=2f(0)，则实数a可以为______.(只需写出满足题意的一个数值即可)15. 设P为非空实数集且满足：对任意给定的x，y∈P(x,y可以相同)，都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集．有以下结论：①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1，P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P.其中正确结论的序号是______.16. 已知全集U=R，若集合A={x|−2≤x≤4}，B={x|x−m≤0}.(1)若m=3，求∁U B，A∪B；(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围．17. 下列是一道利用基本不等式求最值的习题：已知a>0，b>0，且a+b=1，求y=1a +2b的最小值．小明和小华两位同学都巧妙地用了“a+b=1”，但结果并不相同．小明的解法：由于a+b=1，所以y=1a +2b+1−1=1a+2b+a+b−1=a+1a+b+2b−1，而a+1a ≥2√a⋅1a=2，b+2b≥2√b⋅2b=2√2.那么y≥2+2√2−1=1+2√2.则最小值为1+2√2.小华的解法：由于a+b=1，所以y=1a +2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2ab，而3+ba+2ab≥3+2√ba ⋅2ab=3+2√2.则最小值为3+2√2.(Ⅰ)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？(Ⅰ)请说明你判断的理由．18. 某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量(单位：克)，分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图(如图).(1)根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；(2)若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a 克，b克，求|a−b|<4的概率．19. 已知函数f(x)=log21+axx−1(a为常数)是奇函数．(Ⅰ)求a的值与函数f(x)的定义域；(Ⅰ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)+log2(x−1)>m恒成立．求实数m的取值范围．20. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方．根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为35，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的．(1)求比赛恰进行两局就结束的概率；(2)求这场比赛甲获胜的概率．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题的否定是：∀n ∈N ，n 2≤2n ， 故选：C.根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】D【解析】解：因为不等式2x−1≥1可变形为x−3x−1≤0， 即{(x −3)(x −1)≤0x −1≠0，解得1<x ≤3， 所以不等式2x−1≥1的解集为(1,3]. 故选：D.先将不等式进行化简变形，然后等价转化，求解即可．本题考查了不等式的求解，主要考查了分式不等式的解法，属于基础题，3.【答案】B【解析】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是436=19， 故选：B.本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N 与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n ，再由公式nN求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式nN 是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4.【答案】D【解析】解：当0<a<1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a>1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：无满足要求的答案，故选：D.结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0<a<1时和当a>1时两种情况，讨论函数f(x)= x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．5.【答案】B【解析】解：由a<b，不一定有ac2<bc2，若c2=0；反之，由ac2<bc2，一定有c2>0，可得a<b.∴“a<b”是“ac2<bc2”的必要非充分条件．故选：B.取c2=0判定不充分，再由不等式的性质判断必要性．本题考查充分必要条件的判定及应用，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵a>b>0，0<c<1，∴log c a<log c b，故B正确；∴当a>b>1时，0>log a c>log b c，故A错误；a c>b c，故C错误；c a<c b，故D错误；故选：B.根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．7.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2x−x−1的零点为方程2x=x+1的根，函数y=2x与函数y=x+1的图象如下：所以函数y=2x与函数y=x+1有两个交点，所以方程2x=x+1有两个实数根，所以函数f(x)有两个零点，故选：C.函数f(x)=2x−x−1的零点为方程2x=x+1的根，作出函数y=2x与函数y=x+1的图象，即可得出答案．本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：甲的10次成绩的极差为10−6=4，即A正确；甲的10次成绩按从小到大顺序排列为6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，由10×75%=7.5知，75%分位数为9，即B错误；甲的10次成绩的平均数为110×(8+6+7+7+8+10+10+9+7+8)=8，方差为110×[(8−8)2+(6−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=1.6，所以甲、乙两人成绩的平均数相等，甲的方差比乙的方差大，所以甲和乙的20次成绩的平均数为8，乙比甲的成绩更稳定，即C，D均正确．故选：B.根据平均数、方差、百分位数的计算方法，即可得解．本题考查用样本估计总体，熟练掌握平均数、方差、百分位数的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设太阳的星等是m1=−26.7，天狼星的星等是m2=−1.45，由题意可得：−1.45−(−26.7)=52lg E1 E2，∴lg E1E2=50.55=10.1，则E1E2=1010.1.故选：A.把已知数据代入m2−m1=52lg E1E2，化简后利用对数的运算性质求解．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．10.【答案】D【解析】解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：(1)中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图(2)③如图，y=1与f(x)的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，即(x1+x22)2=x12+x222得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D.根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键，属于中档题．11.【答案】12【解析】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是2184=14，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×14=12人，故答案为：12.根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．12.【答案】[0,1)【解析】解：∵y=x 12+log2(1−x)，∴{x≥01−x>0，∴0≤x<1，∴定义域为[0,1),故答案为：[0,1).根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了函数定义域的求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．13.【答案】140【解析】解：由题意得，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×(0.16+0.08+0.04)×2.5=140人； 故答案为：140.结合频率分布直方图，利用样本估计总体即可． 本题考查了样本估计总体的应用，属于基础题．14.【答案】−1(答案不唯一)【解析】解：根据题意，函数f(x)={1−x,x ≤a2x ,x >a ，当a <0时，f(x)=2x ，(x >a)有f(1)=21=2，f(0)=20=1，满足f(1)=2f(0)， 故区间(−∞,0)上的实数都符合题意， 则实数a 可以为−1， 故答案为：−1(答案不唯一).根据题意，由函数的解析式分析可得：当a <0时，满足f(1)=2f(0)，故区间(−∞,0)上的实数都符合题意，由此可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】②④【解析】解：P 为非空实数集满足：对任意给定的x 、∈P(x 、y 可以相同)，都有x +y ∈P ，x −y ∈P ，xy ∈P ，则称P 为幸运集．对于①，由于−2−2=−4∉A ，故集合P ={−2,−1,0,1,2}不为幸运集，故①错误；对于②，设x ，y ∈A ，则x =2k 1，y =2k 2，且k 1，k 2∈Z ，故x +y =2(k 1+k 2)∈A ，x −y =2(k 1−k 2)∈A ，xy =4k 1k 2∈A ，故集合p ={x|x =2n,n ∈Z}为幸运集，故②正确；对于③，若集合P 1、P 2为幸运集，设P 1={x|x =k2,k ∈Z}，P 2={x|x =k 3,k ∈Z}为幸运集，但是P 1∪P 2不为幸运集，故③错误；对于④，若集合P 为幸运集，取x =y ，x −y =0∈P ，则一定有0∈P ，故④正确． 故答案为：②④．直接利用幸运集的定义和赋值法判定①②③④四个结论．本题考查集合的新定义，注意运用赋值法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)∵m =3，∴B ={x|x ≤3}，∵U =R ，∴∁U B ={x|x >3}，∵A ={x|−2≤x ≤4}，∴A ∪B ={x|x ≤4}. (2)∵A ∩B =A ，∴A ⊆B ，∵A={x|−2≤x≤4}，B={x|x≤m}，∴m≥4，∴实数m的取值范围是[4,+∞).【解析】(1)m=3，求出集合B，由此能求出∁U B，A∪B.(2)由A∩B=A，得A⊆B，由此能求出实数m的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)小华的解法正确，小明的解法错误．(Ⅰ)小明的解法中，a+1a ≥2√a⋅1a=2，等号成立时a=1；b+2b≥2√b⋅2b=2√2，等号成立时b=√2，那么取得最小值1+2√2时，a+b=1+√2，这与条件a+b=1是相矛盾的，所以小明的解法错误；小华的解法中，ba +2ab≥2√2，等号成立的条件为b2=2a2，即b=√2a，再由已知条件a+b=1，即可解得满足条件的a，b的值，所以小华的解法正确．【解析】(Ⅰ)根据基本不等式的应用条件，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可，可判断小华的解法正确，小明的解法错误．(Ⅰ)小明的解法中，两次应用基本不等式，等号成立条件不满足题意，故小明的解法错误；小华的解法符号基本不等式的应用条件，是正确的．本题主要考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可，属于基础题．18.【答案】解：(1)甲厂质量的平均数108+111+112+114+116+1236=114，甲的中位数是112+1142=113，乙厂产品质量的平均数是108+109+112+114+115+1266=114，乙的中位数是112+1142=113.(2)从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有n=15个，分别为：{108,111}，{108,112}，{108,114}，{108,116}，{108,123}，{111,112}，{111,114}，{111,116}，{111,123}，{112,114}，{112,116}，{112,123}，{114,116}，{114,123}，{116,123}，设“|a−b|<4”为事件为A，由事件A共有5个结果：{108,111}，{111,112}，{111,114}，{112,114}，{114,116}，∴|a−b|<4的概率P(A)=515=13.【解析】(1)把甲、乙两组数据分别从小到大排序，即可计算得甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数；(2)列举出甲厂6件样品中随机抽取两件的所有可能的抽取结果，然后结合题意分析计算即可．本题考查平均数和中位数的求法以及古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵知函数f(x)=log21+axx−1是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴log21−ax−x−1=−log21+axx−1，即log2ax−1x+1=log2x−11+ax，∴a=1.令1+xx−1>0，解得：x<−1或x>1.∴函数的定义域为：{x|x<−1或x>1}；(Ⅰ)f(x)+log2(x−1)=log2(1+x)，当x>1时，x+1>2，∴log2(1+x)>log22=1，∵x∈(1,+∞)，f(x)+log2(x−1)>m恒成立，∴m≤1，m的取值范围是(−∞,1].【解析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案；(Ⅰ)化简f(x)+log2(x−1)为log2(1+x)，由x的范围求其值域得答案．本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.【答案】解：(1)比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能，事件A1：甲胜乙，事件A2：乙胜甲．P(A1)=35×35=925，P(A2)=25×25=425，P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1325.(2)这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件B1：比赛两局结束且甲获胜；事件B2：比赛三局结束且甲获胜．P(B1)=925，P(B2)=35×25×35+25×35×35=36125，∴P(B)=P(B1+B2)=925+36 125=81125.【解析】(1)比赛两局就结束即甲连胜两局或乙连胜两局，分别求概率即可；(2)分别比赛两局结束和比赛三局结束，分别求概率即可．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题．。
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高一上期末数学试卷(带答案)一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．12 B．20 C．30 D．402．集合M={x|0＜x＜3，且x∈N}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．83．用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，则学生甲不被抽到的概率为（）A．B．C．1 D．04．函数y=a x（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a=（）A．2 B．4 C．6 D．85．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log28⊗（）﹣2=（）A．B．1 C．D．26．篮球运动员乙在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则他在这几场比赛中得分的中位数为（）A．26 B．27 C．26.5 D．27.57．下面程序执行后输出的结果为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，F为AD上靠近D的三等分点，若向正方形内随机投掷一个点，则该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．9．函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．若log a＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围为（）A．（，1）B．（，+∞）C．（0，）∪（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．612．一个样本由a，3，5，b构成，且a，b是方程x2﹣8x+5=0的两根，则这个样本的方差为（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．执行如图的程序语句后输出的j=______．14．已知b1是[0，1]上的均匀随机数，b=（b1﹣0.5）*6，则b是区间______上的均匀随机数．15．98和63的最大公约数为______．16．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为______．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．执行如图所示的程序框图，当输入n=100时，试写出其输出S的数学式子（不要求写出运算结果）．18．同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子．（Ⅰ）求向上点数之和是5的概率；（Ⅱ）求向上点数之和是3的倍数的概率．19．如果在一次实验中，测得数对（x，y）的四组数值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，5），D（4，6）．（Ⅰ）试求y与x之间的回归直线方程；（Ⅱ）用回归直线方程预测x=5时的y值．（，）20．如图，△OAB是边长为2的正三角形，当一条垂直于底边OA（垂足不与O，A重合）的直线x=t从左至右移动时，直线l把三角形分成两部分，记直线l左边部分的面积y．（Ⅰ）写出函数y=f（t）的解析式；（Ⅱ）写出函数y=f（t）的定义域和值域．21．设0≤x≤2，求函数y=9x﹣2×3x+3的最大值，并求取得最大值时x的值．22．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；分组频数频率[50，60） 4 0.08[60，70）8 0.16[70，80）10 0.20[80，90）16 0.32[90，100]______ ______合计______ ______（Ⅱ）根据频率分布直方图计算学生成绩的平均值．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．12 B．20 C．30 D．40【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔k等于个体总数除以样本容量，运算求得结果．【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，结合题意可得分段的间隔k==30，故选C．2．集合M={x|0＜x＜3，且x∈N}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，易得集合M中有2个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．【解答】解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个，故选：C．3．用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，则学生甲不被抽到的概率为（）A．B．C．1 D．0【考点】简单随机抽样．【分析】用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，学生甲被抽到的概率为，即可求出学生甲不被抽到的概率．【解答】解：用简单随机抽样法从某班56人中随机抽取1人，学生甲被抽到的概率为，∴学生甲不被抽到的概率为1﹣=，故选：B．4．函数y=a x（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】指数函数的图象与性质．【分析】讨论0＜a＜1与a＞1时，函数y=a x在[0，1]上的单调性，求出函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值，由此求出a的值．【解答】解：①当0＜a＜1时，函数y=a x在[0，1]上为单调减函数，∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a；又函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，∴1+a=3，解得a=2（舍去）；②当a＞1时，函数y=a x在[0，1]上为单调增函数，∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1；又函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3，∴1+a=3，解得a=2；综上，a=2．故选：A．5．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log28⊗（）﹣2=（）A．B．1 C．D．2【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，∵（log28）⊗（）﹣2=3⊗4，此时a=3＜b=4∴y==1故选：B．6．篮球运动员乙在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则他在这几场比赛中得分的中位数为（）A．26 B．27 C．26.5 D．27.5【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据中位数的定义判断即可．【解答】解：由茎叶图得，这组数据为：13，14，16，23，26，27，28，33，38，39，故中位数是：=26.5，故选：C．7．下面程序执行后输出的结果为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】伪代码；程序框图．【分析】根据程序框图，分析并按照顺序进行执行，当执行结束，输出n的值．【解答】解：程序执行如下：s=5 n=4s=9 n=3s=12 n=2s=14 n=1s=15 n=0此时跳出循环并输出n=0．故选：A．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，F为AD上靠近D的三等分点，若向正方形内随机投掷一个点，则该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设正方形ABCD的边长为a，求出正方形ABCD的面积与△AEF、△BEC和△CDF的面积，即可得出△CEF的面积，从而求出对应的概率．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，则正方形ABCD的面积为a2，=×a•a=a2，又△AEF的面积为S△AEF=×a•a=a2，△BEC的面积为S△BEC=×a•a=a2，△CDF的面积为S△CDF=a2﹣a2﹣a2﹣a2=a2；∴△CEF的面积为S△CEF∴向正方形ABCD内随机投掷一个质点，它落在△CEF内的概率为P=．故选：D．9．函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答．【解答】解：函数y=|log2x|﹣2﹣x的零点个数，是方程|log2x|﹣2﹣x=0的实数根的个数，即|log2x|=2﹣x，令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x=，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有2个交点，∴方程|log2x|﹣2x=0解的个数为2个，故选：C．10．若log a＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围为（）A．（，1）B．（，+∞）C．（0，）∪（1，+∞）D．（0，）∪（，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即log a＜1=log a a，分类讨论，求得它的解集．【解答】解：对于不等式log a＜1=log a a，当a＞1时，由于log a＜0，故不等式成立．当0＜a＜1时，由log a＜1=log a a，可得＞a，综合可得，0＜a＜．综上可得，a∈（0，）∪（1，+∞），故选：C．11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】分别计算n=1，2，3，…时的S的值，直到满足S不大于37时，进而即可得出结论．【解答】解：由S=0，n=0得出S=0+20+1=2，n=1；由S=2，n=1得出S=2+21+1=5，n=2；由S=5，n=2得出S=5+22+1=10，n=3；由S=10，n=3得出S=10+23+1=19，n=4；由S=19，n=4得出S=19+24+1=36＜37，n=5；由S=36，n=5得出S=36+25+1＞37，∴当S=36时为满足条件时输出的结果，应终止循环，因此判定输入的整数i的最大值为5．故选C．12．一个样本由a，3，5，b构成，且a，b是方程x2﹣8x+5=0的两根，则这个样本的方差为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出a，b的值，求出这个样本的平均数，代入方差公式，求出方差的值即可．【解答】解：已知方程x2﹣8x+5=0，解方程得x1=4+，x2=4﹣；∵a、b是方程x2﹣8x+5=0的两个根，∴此样本是4+，4﹣，3，5，平均数是：（4++4﹣+3+5）=4，故方差是： [++（3﹣4）2+（5﹣4）2]=6，故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．执行如图的程序语句后输出的j=1．【考点】赋值语句．【分析】横扫程序的运行过程，分析每一步后变量i，j的值，可得答案．【解答】解：执行j=﹣2后，j=﹣2，执行i=5后，i=5，j=﹣2，执行i=i+j后，i=3，j=﹣2，执行j=i+j后，i=3，j=1，故输出的j值为：1，故答案为：114．已知b1是[0，1]上的均匀随机数，b=（b1﹣0.5）*6，则b是区间[﹣3，3] 上的均匀随机数．【考点】随机数的含义与应用．【分析】根据所给的b1是[0，1]上的均匀随机数，依次写出b1﹣是[﹣，]上的均匀随机数和b=（b1﹣0.5）*6是[﹣3，3]上的均匀随机数，得到结果．【解答】解：∵b1是[0，1]上的均匀随机数，∴b1﹣是[﹣，]上的均匀随机数，∴b=（b1﹣0.5）*6是[﹣3，3]上的均匀随机数，故答案为：[﹣3，3]15．98和63的最大公约数为7．【考点】用辗转相除计算最大公约数．【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将98和63代入易得到答案．【解答】解：98=63×1+35，63=35×1+28，35=28×1+7，28=7×4，故98和63的最大公约数为7，故答案为：716．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得成绩为[80，90）的学生有4人，成绩为[90，100]的学生有2人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩为[80，90）的学生有：0.010×10×40=4人，成绩为[90，100]的学生有：0.005×10×40=2人，∴从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，基本事件总数n==15，这两人分别来自两个不同分数段内，包含的基本事件个数m==8，∴这两人分别来自两个不同分数段内的频率为：．故答案为：．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．执行如图所示的程序框图，当输入n=100时，试写出其输出S的数学式子（不要求写出运算结果）．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=101＞100，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：第一次执行：S=0+12，i=2；第二次执行：S=12+22，i=3；第三次执行：S=12+22+32，i=4；……当i=100时，满足i≤n，S=12+22+32+…+1002，i=101；i=101不满足条件，退出循环，输出S．所以，S=12+22+32+…+1002．…18．同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子．（Ⅰ）求向上点数之和是5的概率；（Ⅱ）求向上点数之和是3的倍数的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）先求出基本事件个数，再用列举法能求出向上点数之和是5包含的基本事件个数，由此能求出向上点数之和是5的概率．（Ⅱ）利用列举法求出向上点数之和是3的倍数的基本事件个数，由此能求出向上点数之和是3的倍数的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子，∴基本事件个数n=6×6=36，向上点数之和是5包含的基本事件有（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0），个数m=6，∴向上点数之和是5的概率P1==．…（Ⅱ）向上点数之和是3的倍数的基本事件有：（0，3），（3，0），（0，6），（6，0），（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（6，6），∴向上点数之和是3的倍数的概率P2==．…19．如果在一次实验中，测得数对（x，y）的四组数值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，5），D（4，6）．（Ⅰ）试求y与x之间的回归直线方程；（Ⅱ）用回归直线方程预测x=5时的y值．（，）【考点】线性回归方程．【分析】（1）求出代入回归系数公式求出a，b；（2）把x=5代入回归方程求出y即可．【解答】解：（Ⅰ）==2.5，==4，=1×2+2×3+3×5+4×6=47，=12+22+32+42=30．∴b==1.4，a=4﹣1.4×2.5=0.5．y与x之间的回归直线方程为=1.4x+0.5．（Ⅱ）将x=5 代入回归直线方程，得=7.5，∴y的预测值为7.5．20．如图，△OAB是边长为2的正三角形，当一条垂直于底边OA（垂足不与O，A重合）的直线x=t从左至右移动时，直线l把三角形分成两部分，记直线l左边部分的面积y．（Ⅰ）写出函数y=f（t）的解析式；（Ⅱ）写出函数y=f（t）的定义域和值域．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）结合图形，便可看出分0＜t≤1和1＜t＜2两种情况来求直线x=t的左边图形的面积，然后用分段函数写出y=f（t）的解析式即可；（Ⅱ）可求出OAB的面积，根据题意即可写出函数y=f（t）的定义域和值域．【解答】解：（Ⅰ）（1）当0＜t≤1时，；（2）当1＜t＜2时，；∴；（Ⅱ）y=f（x）的定义域为（0，2）；，∴由问题的实际知，y=f（x）的值域为（0，）．21．设0≤x≤2，求函数y=9x﹣2×3x+3的最大值，并求取得最大值时x的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】可设3x=t，t∈[1，9]，即有y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，对称轴为t=1，运用单调性即可得到所求最大值及x的值．【解答】解：函数y=9x﹣2×3x+3=（3x）2﹣2×3x+3，令3x=t，由0≤x≤2知t∈[1，9]，则y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，对称轴为t=1，所以，y在[1，9]上是单调递增函数，当t=9，即x=2时取到最大值，最大值为y=66．所以，函数y=9x﹣2×3x+3的最大值为66，此时x的值为2．22．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；分组频数频率[50，60） 4 0.08[60，70）8 0.16[70，80）10 0.20[80，90）16 0.32[90，100]120.24合计501（Ⅱ）根据频率分布直方图计算学生成绩的平均值．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ），先求出样本数，再求出相对应的频率，即可补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据平均数的定义即可求出答案，【解答】解：（Ⅰ）抽取学生总数=，50﹣（4+8+10+16）=12，，所以，在区间[90，100]的频数为12，频率为0.24；合计的频数为50，频率为1.00．补全的频率分布直方图如下：．（Ⅱ）平均值为55×0.08+65×0.16+75×0.20+85×0.32+95×0.24=79.8．所以，学生成绩的平均值大约79.8．2016年9月30日。