非平稳讲义随机过程
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
平稳随机过程及其遍历性
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数,自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关,而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时,二维概率密度:
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m,X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强,则 也不会
太大,所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
第十一章 非平稳时间序列分析 《计量经济学》PPT课件
Δyt = δyt-1 + ut 的参数,如图11.2.4所示:
图11.2.4
由图11.2.4可知,ˆ =0.105475, Tδ=9.987092。此结
果也可以由EViews软件中的单位根检验功能(选择 不包含常数项和滞后项数为零)直接给出, 如图11.2.5所示:
第十一章 非平稳时间序列分析 【本章要点】(1)非平稳时间序列基本概念 (2)时间序列的平稳性检验(3)协整的概念以 及误差修正模型(ECM) 本章将只对非平稳时间序列的基本概念、时间序 列的平稳性的单位根检验以及协整理论等进行简 要讲述。
时间序列的非平稳性,是指时间序列的统计规律随 着时间的位移而发生变化,即生成变量时间序列数 据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要 宽平稳的三个条件不全满足,则该时间序列便是非 平稳的。当时间序列是非平稳的时候,如果仍然应 用OLS进行回归,将导致虚假的结果或者称为伪回 归。这是因为其均值函数、方差函数不再是常数, 自协方差函数也不仅仅是时间间隔的函数。
就是带趋势项的随机游走过程。
(二)单位根检验的基本思想
在(11.2.6)式中,若α = 0,则式(11.2.6)可以
写成:
yt = ρyt-1 + ut
(11.2.7)
式(11.2.7)称为一阶自回归过程,记作AR(1),可以
证明当| ρ | <1时是平稳的,否则是非平稳的。
AR(1)过程也可以写成算符形式:
(三)DF检验 (Dickey-Fuller Test) 1.DF检验 DF检验的具体作法是用传统方法计算出的参数的T— 统计量,不与t 分布临界值比较而是改成DF分布临界 值表。
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程,其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合,其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程,其中事件的 发生是相互独立的,且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用,如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性,即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程, 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程:一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合,这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程,但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间,而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移,而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛, 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳:
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类随机过程是一组随机变量的集合,代表了在时间序列上发生的事件或现象。
在数学中,随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题,如股票价格、传染病传播等。
本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。
具体来说,它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$,其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集,每个 $X_t$ 是一个随机变量。
随机过程的每个$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。
例如,在股票市场中,$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类随机过程可以按照多个特性进行分类,下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。
离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察,并且在每个时间点上都有一个随机变量,例如掷硬币。
连续时间随机过程是在时间轴上连续观察,并且每个时间点上有一个随机变量,并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程马尔可夫过程顾名思义,是取决于当前状态的一个随机过程。
当前状态是系统的“记忆”,这使得估计下一状态将非常容易。
非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化,例如期望,方差等。
一个例子是一年中某地的降雨量。
非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程平稳过程要求在整个时间轴内随机过程的统计特性都不会随时间变化。
具体来说,需要满足一个随机过程的统计特性(如均值、相关性等)与当前时间和当前位置的时间无关。
非平稳随机过程则是指未满足前述条件的随机过程。
结论本文介绍了随机过程的定义以及常见的分类方法,包括离散时间随机过程和连续时间随机过程、马尔可夫过程和非马尔可夫过程、定常随机过程和非定常随机过程、平稳过程和非平稳过程。
(6)141非平稳时间序列的概念讲解
(14.1.2)
(14.1.2)式表明yt的均值不随时间的变化而变化。
为了求出yt的方差,我们将(14.1.1)式进行一系列的迭代:
yt = yt-1 +来自ut= yt-2 + ut-1+ ut
= yt-3 + ut-2+ ut-1+ ut
= y0+ u1+ u2+…+ ut
y0 ui
§14.1 非平稳时间序列基本概念
时间序列的非平稳性,是指时间序列的统计规律随
着时间的位移而发生变化,即生成变量时间序列数
据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要
宽平稳的三个条件不全满足,则该时间序列便是非
平稳的。当时间序列是非平稳的时候,如果仍然应
用OLS进行回归,将导致虚假的结果或者称为伪回归。
△yt = yt–yt-1 = ut
稳的。
(14.1.5)
(14.1.5)式表明随机游走序列的一阶差分式是平
2.带漂移项的随机游走(random walk with drift)序列 带漂移项的随机游走序列由下式确定: yt = μ+ yt-1 + ut (14.1.6)
式中μ为非零常数,称之为“漂移项”,ut为白噪声序列。
3. 带趋势项的随机游走序列 随机游走序列(14.1.1) 和(14.1.6)是比较简单的 非平稳序列,它们是
yt = μ + β t + yt-1 + ut
(14.1.11)
的特例。 (14.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序
列,容易证明,该时间序列也是非平稳时间序列。
由(14.1.11)有
μ所以被称之为“漂移项”,是因为(14.1.6)的一阶差
第3章 非平稳随机变量(讲稿)
第3章非平稳随机过程从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。
如果把第1章内容称为经典计量经济学,那么将要介绍的内容则应该称为非经典计量经济学。
从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题,这就是虚假回归。
应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的,所以在建立模型时,必须依靠经济理论,同时对参数进行假设检验。
实际上,只有经济理论是不够的。
比如处于调整中的经济变量,哪些是它的外生变量,哪些是它的无关变量,单凭经济理论就很难判别清楚。
所以当研究经济变量参数变化规律时,常常采用另外一种方法,即依靠统计理论的方法,通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。
下面常常用到数据生成系统这个概念。
3.1 单整性单整:若一个随机过程{x t} 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程,则称{x t} 是d阶单整过程。
用x t~ I(d) 表示。
对于平稳过程表示为I(0)。
注意:单整过程是指单整阶数大于零的过程。
对于I(d) 过程x tΦ(L) (1- L) d x t = Θ(L) u t因含有d个单位根,所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验(unit root test)。
若x t~ I(d),y t~ I(c),则z t = (a x t + b y t) ~ I (max[d, c]).∆z t = ∆ (a x t + b y t) = (a x t + b y t) - (a x t -1 + b y t - 1) = (a ∆ x t + b ∆ y t)当c > d时,z t只有差分c次才能平稳。
一般来说,若x t~ I (c),y t~ I (c),则z t = (a x t + b y t) ~ I (c).但也有z t的单整阶数小于c的情形。
当z t的单整阶数小于c时,则称x t与y t存在协整关系。
周荫清随机过程理论 随机过程概述
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 一维分布
一维概率分布函数 一维概率密度函数
F (x, ti ) P[ X (ti ) x]
f
(x, ti )
F (x, ti x
)
一、随机过程的概念
2、随机过程的概率分布 ✓ 二维分布
二维概率分布函数
F (x1, x2;t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
第2章 随机过程概述
随机过程概述
一、随机过程的概念 二、平稳随机过程 三、时间平稳和各态历经性 四、平稳过程的功率谱密度 五、白噪声过程
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 2、随机过程的概率分布 3、随机过程的数字特征 4、随机过程的基本分类
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
设 E 是{e}一个样本空间,若对每一时刻 ,t 都T有定
二、平稳随机过程
1、严格平稳过程(狭义平稳过程)
✓ n=1时:
f (x,t) f (x,t ) f (x) 与时间t无关
➢ 均值 ➢ 方差
E[ X (t)] xf1(x)dx mX
D[X (t)] E [X (t) mX ]2
(x
mX
)2
f1 ( x)dx
பைடு நூலகம்
2
二、平稳随机过程
数与n
X (t1 的), X (t维2 分 ),布,函X (数tn 相 )同,即
n
Fn (x1, x2, , xn;t1,t2, tn ) Fn (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , tn )
则称 为严格平稳随机过程。
n 1, 2,
严格平稳X条(t)件等价于
第5章非平稳随机过程讲解
5.3.2 第一类线性变换
•Fourier变换属于第一类线性变换,然而在一般函数意义下,不能对随机过 程进行Fourier变换,如果把随机过程同广义函数联系起来,利用广义函数 的Fourier变换,可以发现若干比谱分解定理更有实用价值的结论。 •随机过程的第一类线性变换改变参数空间的属性。例如,对时间序列进行 Fourier变换,可以认为参数由时间域映射到复频域,称时间序列经Fourier 变换后所得到函数为谱函数。当时间序列是一个随机过程时,它所对应的 谱函数是随机谱函数。现有的平稳随机过程理论把研究的视野局限在H空 间,因此无法定义随机过程的Fourier变换。为了克服研究中的困难,在谱 分解定理中引出正交增量过程来与弱平稳过程对应。如果把研究的视野由 H空间扩大到D空间,那么可能解决的问题会更多一些,例如可以直接证明 弱平稳过程谱函数的正交性,还可以找到分离平稳余差过程均值函数的方 法。
5.2.2 ARIMA模型
20世纪70年代Box和Jenkins提出一种研究平稳余差序列的方法, 建立了积分自回归滑动平均模型,记为ARIMA。差分法是这种方 法的基础,通过差分消除序列中的趋势成分和周期成分而得到一 个弱平稳序列。尽管新的弱平稳序列与原来的余差序列并不等价, 但是它们之间有密切的关系,从新序列的统计特性可以推测原来 的余差序列的统计特性。 当序列的均值函数m(t)为多项式时,用简单的差分方法就可以把趋 势成分消除,使序列变成一个弱平稳序列。
5.3* 随机过程的线性变换
5.3.1 基本概念
5.3.2 第一类线性变换
5.3.3 第二类线性变换
5.3.1 基本概念
把随机过程xt(ω),t∈N视为一个二元泛函。一方面它可以看成定义于N而取值 于概率空间(Ω,F,P)的抽象函数;另一方面它可以看成定义于概率空间(Ω,F,P), 取值于广义函数空间D的广义函数。因此研究xt(ω)的线性变换应该从两方面考 虑:一种变换与参数t有关,研究对于函数xt的线性变换;另一种变换以x为基 本元,研究对x的线性变换。 当以t为参考变量时,对xt施以线性变换,有 yλ=L(xt)(5-26) 显然,若xt是以t为参数的随机过程,那么yλ则应该是以λ为参数的随机过程, 这类变换称为随机过程的第一类线性变换。 当以x为变换的基本元时,为了不引起误解,记ξt=xt(ω),于是就变成以ξt为基 本元,研究 ηt=A(ξt)(5-27) 式中,ηt为定义于N取值于概率空间(Ω,F,P)的随机过程。 这就是说,变换A把概率空间(Ω,F,P)变成它自身。称式(5-27)为随机过程的第 二类线性变换。
平稳信号与非平稳信号
平稳(随机)信号与非平稳(随机)信号
(平稳随机过程与非平稳随机过程)
1,通俗讲:因为二者都是随机信号,所以要采用统计的方法对他们进行最初的处理。
通过对统计特征的对比,非平稳随机信号的统计特性(均值、方差等)随着时间变化而变化,而平稳随机信号的统计特性不随时间变化。
2,略带理论讲:平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信号,也就是统计特性不随时间变化而变化。
假设信号表示为X(n),则当其满足:
1. E[X(n)]=μ
2.E[|X(n)|2]<∞
3.r(n1,n2)=E[x(n)x(n+m)]=r(m)
则称信号x(n)为宽平稳(或者广义平稳)信号。
注意:上述三个公式分别表示:
1)平稳信号的均值和时间无关,为常数;
2)自相关函数(方差)和时间的起点无关,只和两点的时间差有关。
3)互协方差函数也和时间的起点无关。
4)一阶矩为常数,二阶矩与信号时间的起始点无关,只和起始时间差有关。
3,非平稳信号:不属于平稳信号范畴的就是了。
简单吧!
4,网上见一个小哥,一定追问“确定信号有非平稳的吗?”把好多人搞到了。
这个不简单啊!。
古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解(时间序列计量经济学:一些基本概念)【圣才出品】
第21章时间序列计量经济学:一些基本概念21.1 复习笔记考点一:随机过程★★★★1.定义一个随机过程就是随机变量按时间编排的集合,也称作时间序列。
如果令Y表示一个随机变量,而且是连续的,那么就记之为Y(t),但若它是离散的,则记之为Y t。
2.平稳随机过程(1)弱平稳性弱平稳过程又称协方差平稳、二阶平稳或广义随机过程,是指一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持常数,并且在任何两时期之间的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后,而不依赖于计算这个协方差的实际时间。
(2)弱平稳性时间序列的性质均值:E(Y t)=μ;方差:var(Y t)=σ2;协方差:γk=E[(Y t-μ)(Y t+k-μ)]。
如果一个时间序列是平稳的,它的均值、方差和(各种滞后的)自协方差都是常数,不随时间变化。
(3)纯随机或白噪音过程若一个随机过程的均值为0,不变方差为σ2,而且不存在序列相关,那就称之为纯随机过程或者白噪音过程。
3.非平稳随机过程经典的例子就是随机游走模型(RWM)。
把随机游走分为两类:不带漂移的随机游走(即不存在常数项或截距项)和带漂移的随机游走(即出现常数项)。
(1)不带漂移的随机游走不带漂移的随机游走,对于Y t,有Y t=Y0+∑u t。
因此,E(Y t)=E(Y0+∑u t)=Y0。
同理,可以证明var(Y t)=tσ2。
上式表明,不带漂移的随机游走模型是一个非平稳的随机过程。
随机游走模型的特征是,随机冲击(即随机误差项)的持久性:Y t等于初始的Y0加上各期随机冲击项之和。
结果是,一个特定的冲击永远也不会消失。
若将方程写成Y t-Y t-1=ΔY t=u t,容易证明,尽管Y t是非平稳的,但其一阶差分却是平稳的。
换言之,一个随机游走时间序列的一阶差分是平稳的。
(2)带漂移的随机游走方程为:Y t=Y t-1+δ+u t,其中δ被称为漂移参数,若将上述方程写成:Y t-Y t-1=ΔY t =δ+u t。
非平稳随机过程的自相关
非平稳随机过程的自相关随机过程是描述随机现象演变的数学模型,而平稳随机过程是指在时间上具有稳定性的随机过程。
然而,并非所有的随机过程都具有平稳性,这就是非平稳随机过程。
非平稳随机过程的自相关是研究非平稳性的重要工具之一。
自相关函数是一种统计量,用于描述一个随机过程在不同时间点上变量之间的相关性。
对于平稳随机过程,自相关函数只与时间的差值有关,而与具体的时间点无关。
然而,对于非平稳随机过程,自相关函数的计算则更加复杂,因为它不仅与时间的差值有关,还与具体的时间点相关。
在非平稳随机过程中,自相关函数的计算需要考虑时间的变化。
一种常用的方法是通过滑动窗口来计算自相关函数。
滑动窗口是指在时间轴上移动一个固定长度的窗口,然后在每个窗口内计算变量的相关性。
这样可以得到随时间变化的自相关函数。
非平稳随机过程的自相关函数通常具有以下特点:1. 随时间变化:自相关函数随着时间的推移而变化,不再保持恒定不变。
这是非平稳性的一个显著特征。
2. 非周期性:与平稳随机过程不同,非平稳随机过程的自相关函数通常不具有周期性。
3. 变化幅度:非平稳随机过程的自相关函数的变化幅度可能随时间而增加或减小。
这反映了随机过程的变化趋势。
非平稳随机过程的自相关函数在实际应用中具有广泛的应用。
例如,在金融领域中,股票价格的波动通常被建模为非平稳随机过程。
通过分析股票价格的自相关函数,可以揭示价格变动的规律和趋势,为投资决策提供依据。
在信号处理和通信领域中,非平稳随机过程的自相关函数也扮演着重要角色。
通过分析信号的自相关函数,可以提取出信号中的特征和信息,用于信号的分析和处理。
非平稳随机过程的自相关函数是研究非平稳性的重要工具。
它能够反映随机过程在不同时间点上的变量之间的相关性,并揭示随机过程的变化趋势和规律。
在实际应用中,对非平稳随机过程的自相关函数的分析可以帮助我们理解和预测随机现象的演变,为决策提供依据。
nsr评价定义-概述说明以及解释
nsr评价定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述NSR(Network Service Reliability)评价是指对网络服务可靠性进行评估和分析的过程。
在今天信息时代,网络服务已经成为人们工作、学习和生活中不可或缺的一部分。
因此,NSR评价对于确保网络服务的稳定运行和提升用户体验至关重要。
本文将从NSR评价的概念、重要性和方法三个方面进行探讨,希望能够为读者提供更深入全面的了解。
在信息爆炸的时代,网络服务的可靠性对于个人和企业的发展具有至关重要的意义。
因此,不断完善和改进NSR 评价的方法和工具也是当前网络技术领域的重要课题之一。
在接下来的正文中,我们将进一步探讨NSR评价的相关内容,希望读者能够从中受益。
1.2 文章结构本文主要分为三个主要部分:引言、正文和结论。
在引言部分中,将介绍NSR评价的概念、目的以及文章整体的结构安排。
在正文部分,将详细介绍NSR评价的概念、重要性以及方法。
最后,在结论部分将总结NSR评价的关键要点,探讨未来NSR评价的发展方向,并提出结论和建议。
每个部分都将重点讨论与NSR评价相关的内容,以及为读者提供清晰的信息和观点。
整篇文章将致力于探讨NSR评价的定义和价值,帮助读者更好地了解这一概念,并为未来的研究和实践提供指导。
1.3 目的本文的目的是探讨和阐述NSR评价的定义、重要性和方法,帮助读者更好地了解NSR评价在研究和实践中的应用。
通过对NSR评价的概念和意义进行深入分析,可以帮助读者认识到NSR评价对于保障资源环境的可持续利用和管理具有重要的意义。
同时,本文也将介绍一些NSR评价的具体方法和步骤,希望能够为相关研究和实践提供一些参考和启示。
最终的目的是为了促进NSR评价的发展和应用,为实现资源保护、环境可持续和社会经济发展之间的平衡提供理论和实践支持。
2.正文2.1 NSR评价的概念NSR指的是“Non-Stationary Random”,即非平稳随机过程。
非平稳随机过程
0
1200 1000 800 600 400 200 0 -3.75 -2.50 -1.25 0.00 1.25 2.50 3.75 Series: DF Sample 1 10000 Observations 10000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -0.403611 -0.482977 3.710184 -4.059540 0.996819 0.250905 3.109055 109.8776 0.000000
150
200
250
300
随机游走过程:xt = xt -1 + ut ,ut 是白噪声过程。 E(xt) = E(xt -1 + ut = ut + ut-1 + xt -2) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + …)=0 Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + … ) =
图示
T = 50、100、500、1000条件下随机游走过程对应的自相关函数图 (rho1000=(1-(@trend(0)/1000))^.5)
1.0
0.9
0.8 RHO50 RHO100 0.7 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 RHO500 RHO1000
AR(1)过程自相关系数1与方差的关系
(2)随机趋势过程
yt = + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) 其中称作位移项(漂移项)。由上式知,E(y1)= (过程初始值的 期望)。将(4.2) 式作如下迭代变换, yt = + yt-1 + ut = + ( + yt-2 + ut-1) + ut = … = t +y0 + yt由确定性时间趋势项 t和y0 +组成。可以把y0 +看作随机的截距项。 在不存在任何冲击ut的情况下,截距项为y0。而每个冲击ut都表现为 截距的移动。每个冲击ut对截距项的影响都是持久的,导致序列的条 件均值发生变化,所以称这样的过程为随机趋势过程( stochastic trend process ),或有漂移项的非平稳过程( non-stationary process with drift),有漂移项的随机游走过程(random walk with drift)见 下图,虽然总趋势不变,但随机游走过程围绕趋势项上下游动。由 上式还可以看出,是确定性时间趋势项的系数(原序列yt的增长速 度)。为正时,趋势向上;为负时,趋势向下。
第8章 非平稳性
(8.1)
8
另一方面,假如 1,我们得到一个趋势平稳序列
(1 B)Yt 0 1t ( 1)Yt 1 Zt
(8.2)
为了实施这个检验,我们得检察方程(8.2)中 Yt 1 的系数 ( 1) 以检验它是否 等于零。在零假设 H : 1 成立的时候,方程(8.2)简化为(8.1)。 如果从不同的方面来观察方程(8.2),我们把它改写为
L
此定理的证明可参见 Billingsley(1999)。在 8.5 节,我们要讨论怎样利用 本定理的一个离散形式去模拟布朗运动的样本轨道。就式(8.6)而言,注意在假 设 H : 1 的条件下, Yt i 1 Z i 。因此,直接利用定理 8.1,立即得到
t
1 n Y (t) W (t) 。相应地,可以证明式(8.6)的分母
ˆ
特别地,
n
t 1 t t 1 n 2 t 1 t 1
YY Y
ˆ n( 1)
(1 n) t 1 Yt 1Zt
n
(1 n)
2
2 t 1 t 1
n
(8.6)
Y
为了研究方程(8.6)中检验统计量的性质,我们需要考虑其分子和分母的渐 进性质。对于分母,我们依靠泛函中心极限定理的一种简单形式(不变原理):
1 1 n 1 Yt 1Z t [W 2 (1) 1] W (t )dW (t ) 0 L 2 n t 1
ˆ 其中最后一步是根据 Ito 法则,例如,可参见 ksendal (1998)。总之, 我们推导出了如下定理。
12
定理 8.2 设 Yt 满足(8.5)且 1 0 。那么,在假设 H : 1 下,
证明随机游走过程是非平稳序列
证明随机游走过程是非平稳序列随机游走是一种常用的随机过程模型,用于描述物理、金融、生物等领域中的随机现象。
在随机游走中,一个“游走者”根据一定的规则在一个空间中随机移动。
随机游走过程的非平稳性是指其统计特性在时间上发生了变化,即随机游走的性质不随时间保持恒定。
我们来了解一下随机游走的基本概念和特性。
在一个一维空间中,假设游走者从原点出发,每一步可以向左或向右移动一个单位距离,且每一步的移动方向是随机的且相互独立的。
游走者在每一步上的移动概率相同,可以用p表示向右移动的概率,用1-p表示向左移动的概率。
我们可以用一个数轴来表示游走者的位置,初始位置为0。
随着游走的进行,游走者的位置会随机地在数轴上移动。
随机游走的非平稳性可以从两个方面进行证明。
首先,我们可以从理论上分析随机游走的平均位置和平均步长。
在一个一维空间中,游走者的平均位置是指游走者在多次游走过程中最终停留的位置的平均值。
根据数学推导,可以得出在无穷次游走后,游走者的平均位置为0,即游走的期望位置是稳定的。
然而,游走者的平均步长是指游走者在每一步上的平均移动距离。
根据概率论的知识,可以得出游走者的平均步长为2p-1,即游走的期望步长是与概率p有关的。
由此可见,随机游走的平均步长与概率p相关,因此随机游走过程是非平稳序列。
我们可以通过模拟实验来验证随机游走的非平稳性。
我们可以使用计算机程序模拟随机游走的过程,并观察游走者的位置随时间的变化。
在模拟实验中,我们可以设定不同的概率p值,并记录游走者的位置。
通过对多次模拟实验的结果进行统计分析,我们可以得到游走者位置的概率分布和平均位置。
通过观察实验结果,我们会发现游走者的位置随时间的变化并不呈现出稳定的趋势,而是出现了明显的波动。
这说明随机游走过程是非平稳序列。
总结起来,随机游走过程是一种非平稳序列。
其非平稳性可以从理论推导和模拟实验两个方面进行证明。
理论上,随机游走的平均位置是稳定的,但平均步长与概率p相关,因此随机游走的期望步长是不稳定的。
随机过程讲义(中科院-孙应飞)
是常数, A ~ U [ 0, 1] 。试求: (1)画出 X (t ) 的样本函数; (2)确定过程的状态 空间; (3)求 t = 0, π / 4ω , 3π / 4ω , π / ω , π / 2ω 时 X (t k ) 的密度函数。 例 4:质点在直线上的随机游动,令 X n 为质点在 n 时刻时所处的位置,试 考察其样本函数和状态空间。 例 5:考察某“服务站”在 [0, t ] 时间内到达的“顾客”数,记为 N (t ) ,则
{N (t ), t ≥ 0} 是一随机过程,试考察其样本函数和状态空间。若记 S n 为第 n 个
“顾客”到达的时刻,则 {S n , n = 1,2,L} 为一随机序列,我们自然要关心
{S n , n = 1,2,L} 的情况以及它与随机过程 {N (t ), t ≥ 0} 的关系, 这时要将两个随
为随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的有限维特征函数族。 数字特征之间的关系:
C X ( s, t ) = ˆ E{[ X ( s ) − µ X ( s )][ X (t ) − µ X (t )]} = E{ X ( s ) X (t )} − µ X ( s ) ⋅ µ X (t ) = R X ( s, t ) − µ X ( s ) ⋅ µ X (t )
µ X (t ) = ˆ m(t ) = E{ X (t )}
(b) 方差函数:随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的方差函数定义为: (假设存在)
2 σX (t ) = ˆ D X (t ) = E{[ X (t ) − µ X (t )]2 }
( c)
(自)协方差函数:随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的(自)协方差函数定