(课件1)2.2二次函数的图象与性质
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2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合 题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
2.2 二次函数的图象(1)课件1
例1、已知二次函数 、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图 的图 像经过点(-2,-3). 像经过点 的值， (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式 的值 并写出这个二次函数的解析式. (2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开 说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、
口方向和图像的位置. 口方向和图像的位置
y = x2
列表
画出下列函数的图象。 画出下列函数的图象。
描点 连线
1 2 (1) y = x 2 (2) y = 2x2 2 2 (3) y = − x 3
y = −x 2 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ... ... ...
Байду номын сангаас
-3 4.5 -1.5 4.5
义务教育课程标准实验教科书 浙教版九年级上册
回顾知识: 回顾知识:
一、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）的图象是什么？ 一次函数 （ ）的图象是什么？ 图象是一条直线. 图象是一条直线
k 0）的图象是什么？ 二、反比例函数 y = （k ≠ 0）的图象是什么？ x
图象是双曲线. 图象是双曲线
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 二次函数 （ ） 其图象又是什么呢？ 其图象又是什么呢？
2 y = − x2 在x轴的 （2）抛物线 ） 轴的 3
除顶点外）， ），在对称轴的 下 方（除顶点外），在对称轴的
左侧， 随着 随着x的 在对称轴的右侧， 随着 随着x的 左侧，y随着 的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着 的 增大而减小 ，当x=0时，函数 的值最大，最大值是 的值最大， 时 函数y的值最大 0 ，
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象与性质课件 (新版
K12课件
16
K12课件
12
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
解：(1)图略．把点(2，n)代入 y＝－x2 中，得 n＝－22， ∴n＝－4.把点(2，－4)代入 y＝3x＋m 中， 得－4＝3×2＋m，∴m＝－10. (2)由题意，得yy＝＝－3xx－2，10，解得xy＝ ＝2－，4或xy＝ ＝－ －52， 5. ∴抛物线 y＝－x2 与直线 y＝3x＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
K12课件
4
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( D ) A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称， 又关于原点对称 C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 D．点A(－3，9)既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达 式所组成的方程组的解的个数．
K12课件
13
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
素养提升
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0， B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)， 则△A2018B2017B2018的腰长等于__2_0_1_8___2 __．
[解析] ∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称 性可知，点B的横坐标为3.当x＝3时，y＝x2＝32＝9， ∴直线AB的表达式为y＝9.
K12课件
图K－9－2
10
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
2.2 第1课时 y=±x2的图象与性质
则称y是x的二次函数.
y=ax2
y=x2 y=-x2
第1课时 y＝±x2的图象与性质
探究新知
► 活动1 知识准备 画函数图象的三个步骤： ①__列__表__； ②__描__点___； ③__连__线___．
第1课时 y＝±x2的图象与性质
探究新知
► 活动1 画一画
请你画出二次函数 y=x2 的图象.
1.列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y…94 1014 9…
探究新知
2.描点：
y
y=x2
3.连线：
x
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
第1课时 y＝±x2的图象与性质
探究新知
► 活动2 议一议
(1)你能描述图象 的形状吗?与同伴 进行交流.
y
y=x2
x
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
不同点：开口方向不同；
函数值随自变量增大的变化趋 势不同； 最值不同。
联系：它们的图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
课堂小结
今天我学习了_____________
作业： 习题2.2
1、2
第1课时 y＝±x2的图象与性质
综合应用
若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线 y＝－x2 上，则下列
第1课时 y＝±x2的图象与性质
探究新知
► 活动2 议一议
(1)你能描述图象 的形状吗?与同伴 进行交流.
根据你以往学习 函数图象性质的经验，说 说二次函数y=x2的图象有哪 些性质，并与同伴交流.
y
y=x2
x
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
探究新知
课件1二次函数的图像和性质
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
知识要点
抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c 的图象叫做抛物线 y ax2 bx c。
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
y= 2x2
y=x2
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x
-10
y=－2x2 y=x2
a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的 大小决定抛物线开口的大小，|a|越大开 口越小
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第1课时)
对 称 取 点
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
抛物线
轴对称图形
开口方向
性
质
重点关注4
个 方 面
对 称 轴
顶点坐标
增 减 性
二次函数的图象与性质
第1课时
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.
（3）连线.
导入新知
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
（1）一次函数的图象是 一条直线
（2)反比例函数的图象是双曲线 .
出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图
象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状?
它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
0
1
2
3
···
··· 9
0
1
4
9
···
4
1
新知讲解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面
中描点(x, y).
9
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得
到y = x2的图象.
3
-3
O
3
x
新知讲解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c> 0 时,向上平移c个单位长度得到；
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
高中数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件
说明
开口向上,a 越小,开口越
大,a 越大,开口越小
决定抛物
a
a>0
线的开口
方向与开
口大小,影
响单调性
在 -∞,-
b
2a
b
2a
上单调递减,在
, + ∞ 上单调递增
开口向下,|a|越小,开口越
大,|a|越大,开口越小
a<0
在 -∞,-
12/8/2021
第十二页，共四十三页。
b
2a
b
2a
上单调递增,在
, + ∞ 上单调递减
ax2+bx+c=0(a≠0)的关系(guān xì):二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于
方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交
点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.
12/8/2021
第五页，共四十三页。
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
x=− ;
2
1 +2
x=
;
2
③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或
f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).
(2)利用对称性,结合开口方向,可以(kěyǐ)比较二次函数函数值的大小.
利用配方法化为 y= x +
的位置
b
2
2a
12/8/2021
第十四页，共四十三页。
+
《二次函数的性质与图象》必修1数学精品课件
1 2
(x2＋8x＋16
－16－6)＝－12[(x2＋8x＋42)－22]＝－12(x＋4)2＋11.
因此，抛物线y＝－
1 2
x2－4x＋3的对称轴是直线x＝－
4，顶点坐标是(－4,11)．
下面再来研究二次函数的最值问题． 对于 y＝－21(x＋4)2＋11，当 x 取任意实数时，(x＋4)2≥0. ∴－12(x＋4)2≤0，也就是－12(x＋4)2 的最大值为 0. ∴－12(x＋4)2＋11 有最大值，最大值为 11. ∴二次函数 y＝－21x2－4x＋3 的最大值是 11. (实质上，a＝－12<0，抛物线开口向下，顶点位置最高， 所以当 x＝－4 时，二次函数有最大值 11，即顶点的纵坐标)
解法三：利用二次函数的顶点式． 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)． ∴抛物线对称轴为x＝2＋(2－1)＝12. ∴m＝12.
又根据题意，函数有最大值为n＝8. ∴y＝f(x)＝a(x－21)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1， 解之得a＝－4. ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
评析：求二次函数的解析式的关键是待 定系数法．由题目条件，合理地选择二次函 数解析式的表达形式，最简地求出解析式是 关键之关键．
变式训练 1 已知二次函数f(x)同时满足 条件：
(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根的立方和等于17，求f(x) 的解析式．
c＝7.
∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用二次函数的两根式． 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1， 又函数有最大值ymax＝8， 即4a(－2a4－a 1)－a2＝8， 解之得a＝－4，或a＝0(舍去)． ∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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关系式 ．
【答案】y=x2-2x（答案不唯一）
3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一 动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间 为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面 积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）
s
s
s
s
O
A
t
O
B
t
O
C
t
O
D
t
【答案】选D.
o
x
y=－x2
议一议
说说二次函数y=-x2的图象 有哪些性质,与同伴交流.
o
y
x
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0. （3）当x<0时，y随x的增大而增 大；当x>0时，y随x的增大而减小. （4）当x=0时，y最大值=0.
y=－x2
（5）图象关于y轴对称.
【跟踪训练】
1.抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 y轴 .在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增
3 9
… …
2.描点
y 10 8
y=x2
3.连线
6
4
2
-4 -3-2 -1 O 1 23 4 x
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y （1）图象与x轴交于原点(0，0). （2）y≥0. （3）当x<0时，y随x的增大而减小， 当x>0时，y随x的增大而增大. （4）当 x= 0时，y最小值= 0. o x
4．（哈尔滨·中考）在抛物线
上的一个点是（ A.（4，4） C.（2，0） 【答案】选C. ）
y x2 4
B.（1，－4） D.（0，4）
【规律方法】 1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方
向是由a的符号决定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上，
图象是关于y轴对称的轴对称图形. 2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的
2.2 二次函数的图象与性质 第1课时
1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过
程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象
认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与
y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图
最低（高）点.
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标与对称轴. ２.位置与开口方向.
o
３.增减性与最值.
y=x2
（5）图象关于y轴对称.
揭示新知
函数y=x2的图象是一 条抛物线，它的开口向上，
y
y=x2
且关于y轴对称.
对称轴与抛物线的交 点是抛物线的顶点，它是
o
x
图象的最低点.
做一做
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作 出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与 同伴进行交流. y y o y=x2 x
,当x）给出下列四个函数： ①
；③ y x 当x 0 时y随x的增大而减小的函数有（
2
y x ；② y x
B.2个
1 ；④ y . x
）
A.1
C.3个
D.4个
【答案】选C.
2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数
大；在 对称轴的左
侧,y随着x的增大而减小,当 0
x= 0
时,函数y的值最小,最小值是
,抛
物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外). 2 2 2.抛物线 y x 在x轴的 下 方(除顶点外),在 3 对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的
右侧,y随着x的
最大,最大值是
增大而减小 0 ,当x
象间的联系.
1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？ （1）列表. （2）描点. （3）连线.
请你画出二次函数 y=x2 的图象. 1.列表： x y
… …
－3 9
－2 －1 4 1
0 0
1 1
2 4
【答案】y=x2-2x（答案不唯一）
3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一 动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间 为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面 积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）
s
s
s
s
O
A
t
O
B
t
O
C
t
O
D
t
【答案】选D.
o
x
y=－x2
议一议
说说二次函数y=-x2的图象 有哪些性质,与同伴交流.
o
y
x
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0. （3）当x<0时，y随x的增大而增 大；当x>0时，y随x的增大而减小. （4）当x=0时，y最大值=0.
y=－x2
（5）图象关于y轴对称.
【跟踪训练】
1.抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 y轴 .在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增
3 9
… …
2.描点
y 10 8
y=x2
3.连线
6
4
2
-4 -3-2 -1 O 1 23 4 x
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y （1）图象与x轴交于原点(0，0). （2）y≥0. （3）当x<0时，y随x的增大而减小， 当x>0时，y随x的增大而增大. （4）当 x= 0时，y最小值= 0. o x
4．（哈尔滨·中考）在抛物线
上的一个点是（ A.（4，4） C.（2，0） 【答案】选C. ）
y x2 4
B.（1，－4） D.（0，4）
【规律方法】 1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方
向是由a的符号决定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上，
图象是关于y轴对称的轴对称图形. 2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的
2.2 二次函数的图象与性质 第1课时
1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过
程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象
认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与
y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图
最低（高）点.
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标与对称轴. ２.位置与开口方向.
o
３.增减性与最值.
y=x2
（5）图象关于y轴对称.
揭示新知
函数y=x2的图象是一 条抛物线，它的开口向上，
y
y=x2
且关于y轴对称.
对称轴与抛物线的交 点是抛物线的顶点，它是
o
x
图象的最低点.
做一做
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作 出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与 同伴进行交流. y y o y=x2 x
,当x）给出下列四个函数： ①
；③ y x 当x 0 时y随x的增大而减小的函数有（
2
y x ；② y x
B.2个
1 ；④ y . x
）
A.1
C.3个
D.4个
【答案】选C.
2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数
大；在 对称轴的左
侧,y随着x的增大而减小,当 0
x= 0
时,函数y的值最小,最小值是
,抛
物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外). 2 2 2.抛物线 y x 在x轴的 下 方(除顶点外),在 3 对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的
右侧,y随着x的
最大,最大值是
增大而减小 0 ,当x
象间的联系.
1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？ （1）列表. （2）描点. （3）连线.
请你画出二次函数 y=x2 的图象. 1.列表： x y
… …
－3 9
－2 －1 4 1
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