第五章 正弦稳态电路

图5-1是正弦电流波形图。
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
图5-１ 正弦电流波形 电工基础
第一节
正弦量的基本概念
正弦电流的瞬时值表达式为
i(t ) I m sin(t i )

i 称为正弦量的三要素。Im 、 式中3个常量 I m 、
称为最大值，ω称为角频率，i 称为初相位。这三个要
电工基础
第四节 电感元件伏安关系的相量形式
一、电感元件及其伏安关系
电感元件的电压与电流取关联参考方向下， 关系式为
+ uL -
iL L
diL uL L dt
二、电感元件伏安关系的相量形式
正弦交流电路中，电感元件的电压与电流同频率；相位上电压比 电流超前 2 ；有效值的关系为 U L I L L I L X L
流的大小无关。
5. 单一的电阻、电感、电容元件可看成复导纳的一种 特例。
电工基础
第八节
R、L、C并联电路及复导纳
2.导纳三角形
导纳Y表示为极坐标形式时，
B Y G jB G B tg Y Y G
可见正弦交流电流就是复数的虚部 ，而

2 Ie
式中

j( t i )
2 Ie e
j i
jt
I e jt
I I
正弦量的相量表示法
复数 I Ie j 的模对应的是正弦交流电流i的有效值I，
幅角对应的是正弦交流电流的初相位。它反映了正弦量的
两个重要的要素.而同频率的正弦量之间角频率是不必加 以区分的，所以可用一个复数表示一个正弦量，它们是 一一对应的.
则相位差
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
(t u ) (t i ) u i
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
当 =0 时， 称u与i同相，如图５－２ａ所示； 当 0 时，称u在相位上超前i相位角 ，或称i 滞后u相位角 ，如图５－２ｂ所示； 当 =90º 时， 称u与i正交，如图５－２ｃ所示；
1.复阻抗及相量形式的欧姆定律
Z
图５－１8 R、L、C串联电路及复阻抗模型
& U & U & U & IR & jX I& & U R L C L jX C I [ R j( X X )I& ( R jX )I&
L C
Z ( R jX ) — 复阻抗 & ZI& 得 U Z I& —相量形式的欧姆定律 设

电感元件伏安关系的相量形式为
U L I L j L I L jX L
元件相量模型如下图a所示。
电工基础
g
g
g
第四节 电感元件伏安关系的相量形式
图５－11 电感元件的电压、电流波形图及相量图
电工基础
第四节 电感元件伏安关系的相量形式
三、电感元件的储能
从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电感的能量即被线圈
电工基础
第七节
关于复阻抗
R、L、C串联电路及复阻抗
Z ( R jX )
：
1.实部 R 为电阻，虚部 X =X L X C 为电抗 ，其值有正、
X = arctan 是复阻 负之分 ， Z R X 是复阻抗的模， R
2 2
抗的幅角，称为阻抗角，有正、负之分。 2. 复阻抗Z的单位仍与电阻的单位相同。 3. Z不是代表正弦量的复数，它不是相量。 4. 线性电路中，Z仅由电路的参数及电源的频率决定， 与电压、电流的大小无关。 5. 单一的电阻、电感、电容元件可看成复阻抗的一种 特例。
其中某一正弦量由负向正变化通过零值的瞬间作为计时起点，
则这个正弦量的初相就是零，称这个正弦量为参考正弦量。 一个电路只能选择一个计时起点，只能有一个参考正弦量。
电工基础
第一节
2. 相位差
正弦量的基本概念
表示，
同频率正弦量的相位之差称相位差 ，用 相位差也等于初相差。 如有两个同频率正弦电压与电流为
所吸收并储存的磁场能量为：
WL pL d
t0 t
1 2 1 2 LiL (t ) LiL ( t0 ) 2 2
若 iL (t0） 0 ，即在初始时刻电感中没有电流，也就没有 储能。则电感在ｔ时刻储存的磁场能量为
WL 1 2 LiL (t ) 2
电工基础
第五节 电容元件伏安关系的相量形式
的最大值，又称幅值或振幅。
有时把 (2Im ) 称为正弦量的峰—峰值 。
为了确切的反映交流电在能量转换方面的实
际效果，采用有效值的概念。
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
2.有效值：一个交流电流i与一个直流电流I分别通过同
一个电阻R，如果在相同时间T内产生的热量相等，则
这个交流电流的有效值就等于直流电流I，即两者的热 效应相同。定义式为：
当 =180º 时，称u与i反相，如图５－２ｄ所示；
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
图５－２ 不同相位差的u和i波形 电工基础
第二节
一、复数
正弦量的相量表示法
工程中通常采用复数表示正弦量，把对正弦量 的各种运算转化为复数的代数运算，从而大大简化
正弦交流电路的分析计算过程，这种方法称为相量
法。
复数和复数运算是相量法的数学基础，需掌握
复数的相关概念。
电工基础
第二节
正弦量的相量表示法
图５－３ 复数的矢量表示
电工基础
第二节
正弦量的相量表示法
二.用复数表示正弦量
如有一正弦交流电流为
i(t ) I m sin(t i )
另有一复数为
2Ie j( t i ) 2I cos( t i ) jIsin( t i )
赫兹 ( H Z )。
我国电力标准频率为50Hz，称之为工频。
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
ω、T、f 三个量从不同的侧面反映正弦量 变化的快慢，知道其中一个就可求出其他两个。 关系式如下：
2 T 2 f
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
二、幅值和有效值 1.最大值( Im ) ：正弦量在变化过程中所能达到
R I jX I U R U X
端电压 U 由两个分量组成， U X U L U C U R 称为有功分量；
g g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
称为无功分量；显然，U 、 UR、 U X 构成一直角三角形，
称为电压三角形，与阻抗三角形是相似三角形。
电工基础
g
g
g
第七节
R、L、C串联电路及复阻抗
电工基础
第三节 电阻元件伏安关系的相量形式
正弦交流电路中，电阻元件的电压与电流同频率；同相
位；有效值的关系符合欧姆定律。
电阻元件伏安关系的相量形式为
&I &R U R R
其相量模型如右图下所示。
交流电路中的电阻元件
电工基础
第三节 电阻元件伏安关系的相量形式
图５－8 电阻元件中电压与电流的波形图和相量图
电工基础
第七节
R、L、C串联电路及复阻抗
2.阻抗三角形
当将阻抗Z表示为极坐标形式时，有
Z R jX R X tg
2 2 1
X Z R
可知， R, X , Z 构成一个直角三角形，称为阻抗三 角形。
电工基础
第七节
R、L、C串联电路及复阻抗
三、电压三角形
因 U I Z I ( R jX )
图５-20 RLC串联电路的阻抗三角形和电压三角形
电工基础
第七节
R、L、C串联电路及复阻抗
图５-20 RLC串联电路的相量图
a)感性电路 b)容性电路 c)组性电路（谐振）
电工基础
第八节
1.复导纳
R、L、C并联电路及复导纳
一、复导纳和导纳三角形
5-11 、R、L、C并联电路及复导纳模型
I I G I L I C GU jBL U jBC U G j( BC BL )U ( G jB )U
正弦稳态电路
无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
第十节
第十一节 第十二节 第十三节 第十四节 第十五节
正弦稳态电路的分析计算
正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率 二端网络的功率 功率因数的提高及有功功率的测量 串联电路的谐振 并联电路的谐振
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
正弦量是大小和方向都随时间按正弦规律变 化的物理量。正弦量可用数学表达式表示，称 瞬时值表达式，也称解析式； 表示瞬时值随时间变化的图形称波形图。
电工基础
第二节
正弦量的相量表示法
图５－４ 旋转向量与正弦波的对应关系
电工基础
第二节
正弦量的相量表示法
用复数来表示正弦交流量的方法：
复数的模对应于正弦交流量的有效值；复数的幅角 对应于正弦交流量的初相位。以后把这个能表示正弦 交流量特征的复数称为相量。
I 称为电流相量 ； U 称为电压相量


相量是正弦量的一个表示符号，而不是等于正弦量。
电容元件伏安关系的相量形式为 元件相量模型如下图a所示。
电工基础
第五节 电容元件伏安关系的相量形式
图５－１4 电容元件的电压、电流波形图及相量图
电工基础
第五节 电容元件伏安关系的相量形式 第五节 电容元件伏安关系的相量形式
三、电容元件的储能
从ｔ０到ｔ时间内，外部输入电容的能量即被电容 所吸收并储存的电场能量为：
第五章
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
正弦稳态电路
正弦量的基本概念 正弦量的相量表示法 电阻元件伏安关系的相量形式 电感元件伏安关系的相量形式 电容元件伏安关系的相量形式
第六节
第七节 第八节
基尔霍夫定理的相量形式
R、L、C串联电路及复阻抗 R、L、C并联电路及复导纳
电工基础
第五章
第九节
到其相量形式为
I 0 即：

正弦电路中任一节点的所有电流相量的代数和等于零。
2. 基尔霍夫电压定律用于正弦交流电路中时，可得
到其相量形式为 U 0 即：

正弦电路中任一回路所有电压相量的代数和等于零。
注意：式中各项都是相量，而不是有效值。
电工基础
第七节
R、L、C串联电路及复阻抗
一、复阻抗和阻抗三角形
一、电容元件及其伏安关系
+ iC
电容元件的电压与电流取关联参考方向下， 关系式为
ic c
duc dt
uC
C
-
二、电容元件伏安关系的相量形式
正弦交流电路中，电容元件的电压与电流同频率；相位上电压比 电流滞后 2

1 ；有效值的关系为 U c I c I c X c c
g 1 U c I c ( j ) I c ( jX c ) c g g
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
三、初相、参考正弦量和相位差
1. 相位、初相位、参考正弦量
a) 正弦量表达式中的（ωt+i）称正弦量的相位（角）； b) 当t=0时,（ωt+i）= i ，称初相位i 简称初相；其大小与 计时起点 有关 ； c)当电路中有多个相同频率正弦量同时存在时，可根据需要选择
g g
g
g
g
g
g
g
g
设
得
Y = ( G jB ) I Y U Y Y
g g
复导纳
—欧姆定律相量形式
电工基础
第八节
关于复导纳
R、L、C并联电路及复导纳
Y = ( G jB ) ：
Y 是复导纳的模，Y是 1. 实部G为等效电导，虚部B为等效电纳。
复导纳的幅角，称为导纳角。 2. 复导纳Y的单位仍与电导的单位相同。 3. Y不是代表正弦量的复数，它不是相量。 4. 线性电路中，Y仅由电路的参数及电源的频率决定，与电压、电
t 1 2 1 2 WC pC d CuC (t ) CuC ( t0 ) t0 2 2
0 ，即在初始时刻电容电压为零，也就没有 若 uC (t0）
储能。则电容在ｔ时刻储存的磁场能量为
WC 1 2 CuC (t ) 2
电工基础
第六节 基尔霍夫定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律用于正弦交流电路中时，可得
素是各个正弦量间进行区别和比较的依据。
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
一、角频率、频率和周期
1.角频率ω：反映正弦量变化的快慢，是单位时间内
正弦量增长的电角度，单位为弧度/秒 (rad / s)。 2.周期T：是正弦量变化一次所需的时间，单位为秒 ( s )。 3.频率f ：是正弦量在一秒内重复的次数，单位为
T o

i 2 Rdt I 2 RT 1 T
I
有效值也称方均根值

T
0
i 2 dt
电工基础
第一节
正弦量的基本概念
1 2
正弦电流（电压）的有效值为其最大值的 即：
倍。
1 I I m 0.707 I m 2
1 U U m 0.707U m 2
或
I m 2I
或 U m 2U
工程上一般所说的交流电的大小都指的是其有效值。