指数与指数幂的运算教案

2.1.1指数与指数幂的运算(2课时)第一课时根式 教学目标： 1. 理解n 次方根、根式、分数指数幕的概念；2. 正确运用根式运算性质和有理指数幕的运算性质；3培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点： 根式的概念、分数指数幕的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幕概念的理解 教学方法：学导式教学过程:(I )复习回顾 引例：填空(II )讲授新课(1) a n =a_a\IKnN)；a 0=1 (a= 0); -Q a 1 * n (a 0, n ∙ N ) am n m n⑵ a a a (m,n ∈ Z);(a m )n =a mn (m,n ∈ Z); (ab)n =a n b n (n ∈ Z) (3) 9 = (4) (-.a)2 (a -0)； ∖a 2 =1■引入:(1)填空(1), (2)复习了整数指数幕的概念和运算性质(其中：因为a"÷a n可看作a m a』,所以a「a n =a m』可以归入性质a m∙a^a mn;又因为(-)n可看作bna m a』，所以(a)n =a n可以归入性质(ab)n =a nb n(n∈Z)),这是为下面学习分b b数指数幕的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幕，先要学习n次根式(n ∙ N* )的概念。

(2)填空(3)，(4)复习了平方根、立方根这两个概念。

如:2 2=> 2, -2叫4的平方根22=4，（-2）2=423=8 = 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 =■-2叫-8的立方根25=32 =⅛ 2叫32的5次方根… 2n=a n 2叫a的n次方根分析：若22=4,则2叫4的平方根；若23=8, 2叫做8的立方根；若25=32 ,则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a,则2叫a的n次方根。

由此，可有：2.n次方根的定义：(板书)般地，如果χn=a ,那么X叫做a的n次方根(n th root),其中n 1 ,且n N问题1: n次方根的定义给出了，X如何用a表示呢？X =n a是否正确？分析过程：例1•根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。

(要求完整地叙述求解过程)解：因为33=27,所以3是27的3次方根；因为(-2)5=-32,所以-2是-32的5 次方根；因为(a2)3 =a6,所以a2是a6的3次方根。

结论1:当n为奇数时(跟立方根一样)，有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数，任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a的n次方根可表示为X = l⅛a O从而有：27 = 3 ,、.. -32--2 , 3∙. a6 = a2例2 .根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。

解：因为24=16 , (-2)4=16 ,所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81 ,所以-81没有4次方根。

结论2：当n为偶数时(跟平方根一样)，有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。

此时正数a的n次方根可表示为：—■ a(a - 0)其中n''a表示a的正的n次方根，-l V a表示a的负的n次方根。

例3.根据n次方根的概念，分别求出O的3次方根，O的4次方根。

解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有O n=O,所以0的3次方根，0的4 次方根均为0o 结论3：0的n次方根是0,记作VO=O,即Va当a=0时也有意义这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质:3 n次方根的性质：（板书）Va, n = 2 k + 1 n —X =」L （k^N*）其中J a叫根式，n叫根指数，a叫被±√a, n =2k开方数。

注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4■根式运算性质：（板书）①（：a）n = a ,即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求3（-2）3，525，434，.（-3）2由所得结果，可有：（板书）②存= A'n为奇数；J a |, n为偶数性质的推导如下：性质①推导过程: 当n 为奇数时，X =Qa,由Xn = a 得(Q'a)" =a当n 为偶数时，X= n a,由Xn= a 得(：a)" = a综上所述，可知：(2'a)n =a性质②推导过程：当n 为奇数时，由n 次方根定义得：a = n a n当n 为偶数时，由n 次方根定义得：a = _n a n则 Ial=In an ^n a n注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握(III )例题讲解注意：根指数n 为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数 n 为偶数的运算(III )课堂练习：求下列各式的值(1)V∑32 (2)√Γ34 (3)J(√2 一√3)2(4)J 5_2氏 (IV )课时小结综上所述：(n a)n:a, n 为奇数 Ja |，n 为偶数通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

(V)课后作业1、书面作业：822、预习作业：a预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：(1) 根式与分数指数幕有何关系?(2) 整数指数幕运算性质推广后有何变化?第二课时分数指数幂教学目标：（一）教学知识点1. 分数指数幕的概念.2. 有理指数幕的运算性质.（二）能力训练要求1. 理解分数指数幕的概念.2. 掌握有理指数幕的运算性质.3. 会对根式、分数指数幕进行互化（三）德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教学重点：1. 分数指数幕的概念.2. 分数指数幕的运算性质教学难点：对分数指数幕概念的理解.1. 在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2. 在学生掌握了有理指数幕的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程：（I）.复习回顾［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幕的运算性质，并学习了根式的运算性质.整数指数幕运算性质(1) a m ∙ a n =a m+n (m n ∈ Z) (2) ( a m )n =a m n (mn ∈ Z) (3) ( a ∙ b ) n =a n ∙ b n ( n ∈ Z)［师］对于整数指数幕运算性质⑵，当a > 0, m n 是分数时也成立.(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a >0，mn 是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2),为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幕的意义作准备.)数n 的一致性.接下来，我们来看几个例子 例子：当a >0时10① 5 a 10 =5 (a 2)5 = a 2 = a 5____ _____________ 12② 3 a 12 =3 (a 4)3 =a 4 =a 3__ I 2 2③3 a 2 (a 3)3= a 3 ［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的 整数指数幕运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幕的意义(∏).讲授新课根式运算性质"a, n 为奇数 I a L n 为偶数［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数 a n 的幕指数n 与根式的根指1. 正数的正分数指数幕的意义ma n=Va m( a>0, Vm n∈N,且n> 1)［师］大家要注意两点，一是分数指数幕是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幕可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幕和O的分数指数幕作如下规定2. 规定(板书)(1) a n=亠(a>0, mn∈N,且n> 1) a n(2)0的正分数指数幕等于0.(3)0的负分数指数幕无意义.［师］规定了分数指数幕的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数当a>0时，整数指数幕的运算性质，对于有理指数幕也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3. 有理指数幕的运算性质(板书)r S r+s(1) a ∙a=a ( a>0, r, s∈Qr S r(2) ( a) =a ∙S ( a>0, r, s ∈C)r r r(3) ( a ∙b) =a ∙b ( a>0, b>0, r ∈C)［师］说明：若a >0, P 是一个无理数，则a P 表示一个确定的实数，上述有理 指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用，有关概念和证明在本书从略 .这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.4. 例题讲解3例 2 求值：83,1OoY(I)J 3 /16'一4 分析：此题主要运用有理指数幕的运算性质273∖ a 2 八 a a (式中 a >0)1a 2 ［师］为使大家进一步熟悉分数指数幕的意义与有理指数幕的运算性质， 我们来 做一下练习题.In.课堂练习，(81)解: 83 = (23)3100 2 √102)^2.102(-I) -10j 10 （扩 =(2 冷」=23 (JS)=26 =645 a° Va 2 a 3'111 一 aa (a a 2) =(a 2)2 3 =a 4解:课本P 51练习1. 用根式的形式表示下列各式（a >0 ）1332a 5, a 4, a ^5, a ^31解: a 5=5a3a 4 =4 a 3 a-5d 」Va 32一 I^33_21a a3： 2■- a2. 用分数指数幕表示下列各式:__________ 3⑸ p6 q5(P>O)⑹Jl mI __ 2解: (1) VX 2 = x 3__________ 34(a b)3=(a b)4__________ 23(m _ n)2二(m _ n)31 ___________ 1■ (m _n)4=(m_n)2=(m —n)(1) 3X 2(2) 4(a b)3(a+b>O)(3) 3(m -n)2(4) I (m - n)4(m>n)1 6 55(5) . p 6q 5(p-O) = (P 65 2q ):3=Pq =P q31 5m3(6)——:mm~2 2 m = m3.求下列各式的值：3 2 3 3(1) 252; (2)273; (3)（与5 --；(4) (-) 249 4273=(33)≡ = 3 3= 32=9(5) 81392；(6) 2 3 31.5 612解：(1) 252W52 3 '3=125(3) 36 2 6 2 2(49)2W )]26 3 =(-)3632167 343(25)^[(f)2] 42L 3P"5 Q 5 3(?)珂罗35)4812321253 1251-4X l ^2- 331--443Z /^26)2I-3332 -) 32 1 42 13X 13云(3 X 2,2 );1S31- 3632- 31 1 1 1 1 1 11 1 1 312 32 332 33623 = (22 323)(323336)1 11 -2=a 3 4 =a 12__________ 23(a ^ b) - (a ^ b)3(4)4(a b)3=(a b)4(5) 紅ab 2+a 2b =(ab 2+a 2b)31 J 十13 332 3 6= 2 3 = 6要求: 学生板演练习，做完后老师讲评•(W) .课时小结[师] 通过本节学习，要求大家理解分数指数幕的意义， 掌握分数指数幕与 根式的互化，熟练运用有理指数幕的运算性质（V ）.课后作业（一） 1.课本P 53练习题2.用分数指数幕表示下列分式（其中各式字母均为正数）(2) Iaa a(3)3(a - b)(4) 4 (a b)3(5) Vab^a 2b(6) 4(a 3b 3)2解:.a . a .'a =[a (a a 2)2]27=a 2a 4a 8=a 2 4 8肓2 1(6) 4(a ‘—b 3)2= (a 3b 3)刁=(a 3b 3)"3. 求下列各式的值:I132(I) 22；(2) (49)_2；(3) 10000_4； (4) (Ih34. 用计算器求值（保留4位有效数字）12 141 3(1) 53; (2) 3213; (3) 73^ ； (4) 675; (5) 8 32; (6) 25 • 8；1_ 46.88 (3) 73 ^2 _ 0.117041 3(4) 675_ 28.90 (5) 8 3? _ 2.881 (6) 8^4_ 0.08735解：（1） 2 1√112)22 1=11 2=11(2)1(罷（7） 2（；）8」100003(104)卞= 10 — 0.001125 -(I F)353 -25 3退宀[(1)3]39 251解: (1) 532 _ 1.710 (2) 321'板书设计分数指数幕1.正分数指数幕意义 3. 有理指数幕性质mn n m *a a (a> 0,m, n ∈N, n>l) (1)(2) ( a r) S= a2.规定 4.m⑴a^n(a > 0, r , S ∈Q)(3) (a ∙b) r=a'∙ a r(a>0, b>0, r∈ Q) 例题[例1](a>0, m , n ∈N , n>l),(2)0的正分数指数幕等于0,[例2] 5. 学生练习(3)0的负分数指数幕无意义。