数学二下2.1
人教版数学二下2.1《除法的初步认识》教案
人教版数学二下2.1《除法的初步认识》教案一、教学目标1.了解除法的基本概念和意义。
2.掌握整除、余数的概念及运用。
3.能够灵活运用竖式除法计算简单问题。
二、教学重点1.理解除法的概念。
2.掌握竖式除法的运算方法。
三、教学难点1.灵活运用竖式除法解决实际问题。
2.确定余数的意义及具体计算方法。
四、教学准备1.教材：人教版数学二下册。
2.板书、黑板。
3.教具：计算器、图表等。
五、教学过程1. 导入通过一个生活实例引导学生认识到除法的重要性，并提出本节课的学习目标。
2. 概念讲解1.引导学生思考，什么是除法？为什么需要除法？2.讲解整除、余数的概念，让学生理解其在数学计算中的作用。
3. 竖式除法演练1.讲解竖式除法计算步骤。
2.给学生多个例题进行练习，引导他们掌握竖式除法的运算方法。
4. 拓展应用1.提出一些生活中的问题，让学生灵活运用竖式除法进行计算。
2.鼓励学生通过解决问题，掌握除法在实际生活中的应用。
5. 总结回顾本节课的学习内容，让学生总结掌握的知识点，强化对除法概念的理解。
六、作业布置1.竖式除法练习题。
（不少于5道）2.小组合作，讨论生活中的实际问题，运用除法解决并写出解题过程。
七、教学反思通过观察学生在课堂上的表现和作业完成情况，了解教学效果，及时调整教学方法和内容，提高教学质量。
以上为本节课的教学安排，希望同学们认真跟随课堂教学，掌握除法的初步认识及应用。
达到相应的教学目标，谢谢！。
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》5-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》5-人教版一、教学目标•知识与技能：能够理解平均分的概念，掌握如何计算平均值。
•过程与方法：通过实际生活中的案例，引导学生认识平均分的应用。
•情感态度价值观：培养学生积极思考、合作交流的意识，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点•教学重点：平均分的定义和计算方法。
•教学难点：引导学生理解平均分的实际意义，培养学生的逻辑思维能力。
三、教学准备•课件：准备教学PPT，包含生动形象的案例和计算方法。
•教具：洋蓝、彩色粉笔、白板、小黑板等。
•材料：复印好相关练习题，用于课堂练习。
•课前准备：确保教室整洁，预备好教学资源。
四、教学过程1. 导入新知识•让学生围绕“平均值”这个概念发表自己的看法，引导学生思考平均分在生活中的实际应用。
2. 学习新知识•通过教师讲解和PPT展示，介绍平均分的定义和计算方法。
讲解完毕后，组织学生进行小组讨论，共同理解概念。
3. 锻炼能力•指导学生在小组内进行平均值计算练习，鼓励学生合作、互助，培养团队精神。
4. 拓展应用•提供一些实际生活中的案例，要求学生运用平均值的知识解决问题，增加学生对概念的实际应用能力。
5. 总结反思•引导学生对当天所学知识进行总结，并展示出一些生活中的其他实例，巩固所学概念。
五、课堂小结今天我们学习了平均分的概念和计算方法，通过实际案例的讲解和练习，帮助学生更好地理解了这一概念。
在未来的学习中，希望同学们能够运用所学知识解决生活中的实际问题。
以上是本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解平均分的概念。
如果还有任何疑问，请随时向老师提出。
祝愿大家学习愉快，取得更好的成绩！。
2024人教版数学小学二年级下册教学课件2.1.6 除法算式各部分的名称
怎样用算式表示分竹笋的情况和结果？
把一些物品按每份几个平均分,求可以分 成几份,可以用除法算式表示。
20 ÷ 4 = 5
… … …
竹笋 的总 数
每份 的个 数
分成 的份 数
认识除法算式各部分的名称。
20 ÷ 4 = 5
… … …
被
除
商
除
数
数
只要是平均分，都可以用除法算 式表示其分的过程。
人教版·数学·二年级·下册
第二单元 表内除法（一）
除法
第2课时
复习导入
你能根据下题列算式吗？ 把28根胡萝卜平均分成4份，每份几根？
求每份是多少，用除法计算。
28÷4＝7（根）
探究新知 5 20个竹笋，每4个放一盘，能放几盘？
可以把ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4个竹笋 为一份圈一圈。 就是求20里有几个4。
动手圈一圈。
被 除商 除数 数
… … …
课后作业
1.教材第15页练习三第5题； 2.从课时练中选取。
思维训练
1.在括号里填上合适的数。
+ + + =12
18÷ =
=（ 3 ）
3+3+3+3=12
=（ 6）
18÷3=6
思维训练
2 . 里应该填几？
答案不唯一
27÷ 9 =3 14÷2 =7 72
被除数是27，商是3，除数 可以用27÷3求出。
课堂小结 这节课有什么收获呢？
除法算式：20 ÷ 4 ＝ 5
选自教材第14页做一做第1题
2 说出每个算式中的被除数、除数和商。
被除数 除数 商
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》32-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》32-人教版一、教学目标1.知识与技能：–能够理解平均分的概念。
–能够计算简单的平均值。
2.过程与方法：–通过实际例子，引导学生理解平均分的含义。
–使用具体的计算方法，帮助学生掌握计算平均值的技巧。
3.情感态度与价值观：–培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察和分析能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：–理解平均分的概念。
–掌握计算平均值的方法。
2.教学难点：–理解平均分的抽象概念。
–应用平均值的计算方法解决实际问题。
三、教学准备1.教材：人教版二年级数学下册教材。
2.教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
3.学具：小纸条、小板书、计算器。
4.实物：小球、小玩具等实际物品。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一组小球或小玩具，并让学生猜测每个小球的重量或价格，引出“平均值”的概念。
2. 讲解与示范（15分钟）•解释平均值的概念：将总数除以个数得到的结果。
•示例：有10个小球，重量分别为1克、2克、3克……10克，求这些小球的平均重量是多少？3. 练习与训练（20分钟）让学生自行计算一组数据的平均值，并进行比较、讨论。
4. 拓展应用（10分钟）设计一些实际生活中的问题，让学生应用平均值的知识解决。
5. 总结（5分钟）回顾今天学习的内容，强调平均值的重要性，并布置相关作业。
五、课堂小结今天我们学习了平均值的概念和计算方法，希望同学们能够在日常生活中多加练习，提高对数学的理解和运用能力。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.找出生活中一些实际例子，计算平均值。
本次教学内容结束，谢谢大家的认真听讲！。
二年级下册数学教案-2.1 认识时分丨苏教版 (1)
《认识时分》教案设计教学目标：1、使学生通过对钟面的观察，知道钟面上一共有12个大格、60个小格；认识时间单位时、分，知道1时=60分。
2、使学生在熟悉的活动中，具体感受1分、1时的持续时间，初步建立时、分的时间观念。
3、使学生在认识时、分的过程中，进一步体会数学与生活的联系，感受与同伴合作解决问题的乐趣，增强遵守和爱惜时间的意识。
教材分析：《认识时、分》是苏教版二年级上册第九单元的教学内容。
一年级的学生在上学期已经初步认识了钟面，能认读整时，对时间也有了一定的感性认识。
在此基础上，要求学生进一步认识钟面，认识时间单位时、分等。
这节课是“认识时、分”的第一课时，这节课是“认识时、分”的第一课时，要掌握的知识很多，而时间单位具有抽象性，时间进率具有复杂性，低年级学生掌握这些知识还是有一定的难度。
因此，教材注意通过直观，帮助学生获得感性认识，并注意联系学生的生活实际，便于学生接受。
教学方法：小组探究式学习，教师借助交互式电子白板的进行辅助教学。
设计理念：数学《标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验的基础之上，教师应激发学生学习数学的积极性、向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法…...”因此我根据教学内容的特点及低年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、想象、思考、交流等内容的教学流程。
并且充分利用现代化教学手段---交互式电子白板提高教学效率。
以此使学生获取知识，给学生独立操作、探索规律、合作交流的机会。
教学重点：认识时间单位时、分及进率，建立1时和1分的时间观念。
教学难点：时针、分针是怎样计时的，理解时与分的关系。
教学准备：课件、小闹钟教学过程：一、猜谜语（课件出示）1.我有一个好朋友，嘀嗒嘀嗒不停走，叫我学习和休息，真是我的好帮手。
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》23-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》23-人教版一、教学目标：1.能够理解平均分的概念。
2.能够计算简单的平均值。
3.能够在日常生活中应用平均分的概念。
二、教学重点：1.平均分的概念理解。
2.计算简单的平均值。
三、教学难点：1.理解平均分的概念。
2.将平均值应用到实际问题中。
四、教学准备：1.教材：《人教版》二年级数学下册。
2.教具：小黑板、教学PPT、学生课本、笔、纸。
五、教学过程：第一步：导入新知识（10分钟）教师出示一堆不同重量的水果，并介绍今天的主题是平均分。
请学生思考，如何将这些水果进行平均分配。
第二步：引出新知识（10分钟）教师向学生解释平均分的概念，即把一定数量的东西平均地分给若干人或东西。
第三步：实例讲解（20分钟）1.教师通过具体例子向学生介绍如何计算平均值。
2.学生们一起做练习，计算不同物品的平均值。
第四步：巩固训练（15分钟）教师布置练习题，让学生自行计算平均值。
第五步：拓展应用（15分钟）教师提出一个实际问题，例如：几名学生共有20支铅笔，如果平均分，每人可以得到多少支铅笔？第六步：课堂小结（5分钟）教师带领学生回顾今天的学习内容，强调平均分的重要性。
六、课后作业1.完成课堂练习题目。
2.思考如何应用平均分的概念到日常生活中。
七、教学反思在教学中，我发现一些学生对平均分的概念理解仍有困难，需要更多的实例帮助他们理解。
下节课我会增加更多实际问题让学生练习。
以上是本节课的教学内容，希望学生们能够掌握平均分的概念，并能灵活运用到实际生活中。
苏教版数学二年级下册试题2.1认识时、分同步练习(含答案)
苏教版数学二年级下册试题2.1认识时、分同步练习（含答案）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（）时整，时针和分针完全重合。
A．3 B．6 C．9 D．122．小红、小兰和小军做一样的作业，小红用了1小时，小军用了70分钟，小兰用了50分钟。
则( )。
A．小红做得最快B．小军做得最快C．小兰做得最快D．他们做得一样快3．小强早晨步行上学，大约需要多少时间？（）A．15小时B．15分C．15秒4．分钟走30分钟，走了（）个大格。
A．6 B．30 C．5二、填空题5．分针走一圈经过（）小时，时针走过（）大格。
6．钟面上有（）个大格，一个大格中有（）个小格。
时针走一大格，分针走一圈，所以1时=（）分。
7．一节课是（）分钟,课间休息（）分钟,再过（）分钟正好是1小时。
8．我会认时间（照样子用两种方式表示）。
时时时时时时时时三、判断题9．时针和分钟都指着12时是12时整。
（）10．2小时=20分｡（）11．分针走一圈的时间是1小时。
（）12．读一篇200字的文章大约要用1小时。
（）四、连线题13．小明快乐的周末（填一填，连一连）。
7:00起床 10:00学习吃午饭捉迷藏睡觉五、作图题14．我会画出分针或时针。
六、解答题15．圈出正确的答案。
(1)(2)(3)参考答案1．D2．C3．B4．A5．1 16．12 5 607．45 10 5 8．9:00，3:00，12:00，6:00 9，3，12，6；7:00，5:00，1:00，3:007，5，1，39．√10．×11．√12．×13．12:00；下午4:00；晚上9:00 14．15．（1）圈第一片叶子（2）圈第三片叶子（3）圈第二片叶子一、培优题易错题1．用数字7、8、6可以摆出多少个不同的三位数？请你一一列举出来，并从中选出两个数组成减法算式。
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》-人教版 (2)
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》-人教版 (2)一、教学目标1.知识与能力：掌握“平均分”的概念，能够熟练运用“平均分”的计算方法。
2.过程与方法：培养学生的观察、分类、比较和综合分析能力。
3.情感态度价值观：在实际生活中能够灵活运用“平均分”的概念，培养合作意识。
二、教学重点与难点重点1.掌握“平均分”的概念。
2.能够正确运用“平均分”的计算方法。
难点1.理解“平均分”概念的具体应用。
2.在实际情境中解决问题的能力。
三、教学准备1.教材：《人教版》二年级数学下册。
2.资源：黑板、彩色粉笔、教学课件、学生练习册等。
3.教学方法：示范教学法、讨论引导法等。
4.学生准备：学生需提前阅读教材相关内容并完成预习任务。
四、教学过程第一步：导入通过展示一段实际生活中的情景，引导学生认识“平均分”的重要性，如购物时平均分摊费用等。
第二步：新课讲解1.讲解“平均分”的概念及计算方法。
2.进行示范演练，让学生掌握“平均分”的计算过程。
第三步：课堂练习提供一定数量的题目让学生进行练习，包括简单的计算题和应用题，引导学生灵活运用“平均分”的概念。
第四步：讲解扩展引导学生将“平均分”的概念扩展到实际生活中的更多情境，如班级活动经费的平均分配等。
第五步：作业布置布置相关作业，巩固学生对“平均分”的掌握程度，并引导学生在日常生活中多加实践。
五、教学反思通过教学内容的布置，学生能够掌握“平均分”的基本概念与应用方法，但在实际教学中需要更多关注学生对题目的理解程度，提高学生运用知识解决问题的能力。
六、板书设计二年级数学下册教案《2.1.1平均分》-人教版（2）- 教学目标- 知识与能力- 过程与方法- 情感态度价值观- 教学重点与难点- 重点- 难点- 教学准备- 教材- 资源- 教学方法- 学生准备- 教学过程- 导入- 新课讲解- 课堂练习- 讲解扩展- 作业布置- 教学反思- 板书设计以上为教案内容，希望能够对您的教学工作有所帮助。
二年级数学下册教案《2.1.1 认识平均分》81-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1 认识平均分》81-人教版一、教学目标1.了解平均分的概念，能够简单地解释平均分的含义。
2.能够通过展示实物和图片，感受平均分的实际意义。
3.能够运用简单的数学运算，计算给定数据的平均数。
二、教学重点和难点•教学重点：平均分的概念和计算方法。
•教学难点：如何让学生理解平均分的含义，以及如何引导他们进行简单的计算。
三、教学准备1.教材：《人教版》二年级数学下册。
2.教具：实物示例、图片示例、平均分计算题目。
3.教学环境：教室黑板、幻灯投影仪。
四、教学过程1. 导入（5分钟）老师向学生展示一张装满水果的图片，问学生，如果这些水果要平均分给5个人吃，每个人应该分到多少水果。
2. 认识平均分（10分钟）老师引导学生讨论平均分的概念，通过实物和图片示例，让学生感受平均分的含义。
3. 计算平均分（15分钟）教师出示几道简单的平均分计算题目，引导学生一起进行计算，并讨论解题方法。
4. 拓展练习（10分钟）学生独立完成几道拓展练习题，巩固对平均分的理解和计算能力。
5. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调平均分的重要性，并鼓励学生在日常生活中尝试计算平均数。
五、课堂作业完成课后练习册上与平均分相关的题目。
六、板书设计•平均分的概念•平均分的计算方法七、教学反思本节课通过实物和图片示例，辅以简单的计算题目，帮助学生初步理解平均分的概念和计算方法。
但在教学过程中，应该注意引导学生多角度思考问题，培养其动手实践和逻辑推理能力。
以上便是本节课的教案内容，希望对您有所帮助。
北京版小学数学二下 2.1混合运算表格式 教案
混合运算
53－24＋38＝67（人）
53－24＋3815÷3×5
＝29＋38＝5×5
＝67（人）＝25
3×4＋77＋4×3
＝12＋7＝7＋12
＝19（人）＝19（人）
3、小结规律
师：观察黑板上的两道综合算式，在我们刚刚完成的只有加减法的混合运算中我们是从左往右算的，在只有乘除法的综合算式里我们也是从左往右算的，那么有哪位同学可以试试总结一下规律吗？（总结完黑板展示后同桌互说）
4、例二
刚刚我们在图书馆，现在我们来到了跷跷板乐园，观察一下你们能得到哪些数学信息呢？那你们知道跷跷板乐园一共有多少位小朋友吗？想一想该如何列式，草稿本完成。
能正确计算混合运算。
教学过程：
一、复习导入
二、新授
1、观察探究同级运算的运算顺序
师出示主题图，问1、图中的小朋友在干什么2、你从图中获得了哪些信息3、那怎么列算式呢（生说师板书）
53-24+38（请生说说这个算式表示什么意思）
师：在我们之前的学习是直接在算式的后面写上得数，但是为了能够清楚知道先算什么再算什么，能够写出我们的运算结果，所以我们今天就要来学习一个新的书写格式：脱式计算。我们一起来认识这个新的书写格式，好吗？
生列式师板书并询问学生算式所表示的意思。（除了可以这样写还可以怎么写呢）将算式对比，突出为什么要先算乘法。
5、小结规律
观察这两道算式，想一想我们都是先算什么，再算什么的（请生说）那有没有同学试着总结一下呢（总结完了黑板展示同桌互说）
三、巩固练习
现在我们来检测一下我们的学习情况，出示练习
四、课堂总结
通过我们今天这节课的学习，你们学会了什么。
2、学习脱式计算的书写格式
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》22-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1平均分》22-人教版
一、教学目标
1.知识目标：能够理解平均分的概念；能够计算平均分。
2.能力目标：培养学生的分析和计算能力，提高学生的数学思维逻辑能
力。
3.情感态度目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习和团队合
作的精神。
二、教学重难点
1.教学重点：掌握平均分的概念；熟练计算平均分。
2.教学难点：理解平均分的本质，将平均分概念运用到实际问题中。
三、教学准备
1.教案PPT
2.学生练习册
3.计算器
4.小黑板和彩色粉笔
四、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过举例子引出平均分的概念，让学生了解平均分是什么。
2. 讲解平均分（15分钟）
通过PPT讲解平均分的定义和计算方法，让学生明白平均分的计算方式。
3. 练习（20分钟）
让学生完成练习册上的相关题目，巩固所学内容。
4. 拓展（10分钟）
让学生通过生活中的例子，思考平均分的应用，并在小组讨论中分享自己的想法。
5. 总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并强调学生在课下需要进一步巩固。
五、课堂作业
完成练习册上的作业，并写一篇关于平均分的小故事。
六、教学反思
通过本节课的教学，发现学生对平均分的概念理解相对比较零散，需要在后续课程中加强归纳总结，让学生树立正确的数学思维。
以上就是本节课的教学内容，希望能够帮助学生更好地理解平均分的概念和计算方法。
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》 人教版
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》人教版
一、教学目标
1.了解什么是平均数。
2.能够计算简单的平均数。
3.培养学生合作意识和数学思维。
二、教学重点
1.掌握平均数的概念。
2.理解计算平均数的方法。
三、教学难点
1.能够灵活运用平均数的概念。
2.能够独立计算平均数。
四、教学准备
1.教师准备课件、教案。
2.学生需要准备纸笔、课本。
五、教学过程
1. 导入
教师可以通过举例子引入平均数的概念，引发学生思考。
比如：大家班上一共有10个学生，平均每个学生有几本书?
2. 学习新知识
教师向学生介绍什么是平均数，如何计算平均数，示范计算几组简单的例题。
3. 合作学习
让学生分组合作，在小组内共同解决平均数相关的问题，培养学生的合作精神和团队意识。
4. 拓展练习
让学生在课堂上进行一些拓展练习，巩固所学知识。
5. 练习活动
教师布置作业，让学生在家里继续练习计算平均数，巩固所学知识。
六、课堂小结
本节课主要学习了平均数的概念和计算方法，通过课堂训练和练习，相信大家已经掌握了这一知识点。
七、作业
完成课后练习题，进一步巩固平均数的计算方法。
以上就是本节课的教学内容，希望同学们能够认真学习，掌握好平均数的知识点。
如果有不明白的地方，一定要及时向老师请教哦！。
2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习2.1 坐标平面上的直线解析版
专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】 ：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标， 然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在， 设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <， 令x =0，y =2-k ； 令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=， 即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（ ） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k， 所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限 所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直， 所以所求直线的斜率为1-， 因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直， 设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____． 【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ， 则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=． 【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________． 【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-， 则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--， 线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程； 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-， 即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=， 且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-， 在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果． （2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=． 所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（ ） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程． 【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5， 故直线l 的点向式方程为45=23x y ---． 故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（ ） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断． 【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称． 故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________． 【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =， 所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____． 【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈， 所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________． 【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+， 所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π， 同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π， 所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-， 故方向向量的横纵坐标之比为1-， 故d 可以是()1,1-， 故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________． 【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】 ：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”， 即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出． 【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=， 当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直， 所以()3210a a +-=，解得：25a =， 故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1， 设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=， 若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意 故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角． 【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =， 因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行； 当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值： 【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ． 经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解． 【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】 ：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。
二年级下册数学教案-2.1 有余数的除法｜冀教版
教师巡视
汇报、点评：
为什么用除法计算？
每个数各表示什么？
为什么商和余数的单位不同？
评析、对比
动作演示
课前我们摆小棒的过程，你们能用算式表示出来吗？
师：这节课你有什么收获？（认识了一个新朋友——余数，知道了它表示什么？）
动手操作
汇报：
我们用11根小棒摆了2个正方形，剩下3根；
抽象有余数除法算式的意义，帮助学生建模。
重点在除法两种意义的对比
进一步加深学生对有余数除法的印象，帮助建模。
课后反思
学生尝试写得数
有代表性的板演
质疑、辨析中完善
生：7÷2=3多1
生：7÷2=3
生：7÷2=3余1
生：7÷2=3.5（点5表示半盘）
生：7÷2=3……1
学生齐读算式
相同：都是分草莓，每份数相同，都分了3盘，都是平均分
不同：总数不同，一个正好分完，一个有余数，算式也不同，单位不同
学生动作表示两个算式的意思
“有余数的除法”教学设计
学科：数学
教师：黄景威
课题：有余数的除法
教学目标：
1、通过分草莓的活动，使学生理解有余数除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养观察、分析、比较的能力。
2、渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。
教学重点：理解余数及有余数除法的含义。
教学难点：余数表示的含义以及单位名称的区别。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、操作初步感知分物有剩余的情况，引出课题，提大问题。
二、初步感知有余数除法的含义。
1、复习表内除法的含义。
二年级下册数学一课一练-2.1东南西北_北师大版(含答案)
二年级下册数学一课一练-2.1东南西北一、单选题（共5题；共10分）1.树叶向北摆动，说明起的是（）A. 东风B. 南风C. 西风D. 北风2.小倩和小敏面对面坐着，小倩面朝东南方向，那么小敏面朝（）方向．A. 东南B. 西北C. 东北3.地图上黑龙江省位于我国的（）方向．A. 东北B. 西南C. 西北4.小方家在学校的东南方向，学校在小方家的( )方向。
A. 东北B. 西北C. 西南5.太阳( )是东升西落。
A. 一定B. 不一定C. 不会二、判断题（共5题；共10分）6.树的年轮较密的部分向着南面，较疏的部分向着北面．（判断对错）7.如果医院在超市的东方，则超市在医院的西方．8.太阳升起的地方是西方．9.和西北相对的方向是东南。
（判断对错）10.小红面向东北方向．背朝东南方向．（判断对错）三、填空题（共10题；共49分）11.张丽面向南站立，当她向右转之后，她的左面是________ ，右面是________ 。
A．北B．西C．南12.早晨，当你面对太阳时，你的后面是________面，你的左面是________面，你的右面是________面。
13.坐1路车去动物园游玩。
从阳光广场出发向________行驶________站到电影院，再向________行驶________站到图书馆，再向________行驶________站到少年宫，再向________行驶________站到邮局，从邮局再向________行驶________站到________，再向________行驶________站到动物园。
14.想一想，填一填。
（1）公园的东面是________和________。
（2）小明家在________的西南方向，在________的东南方向。
（3） ________和________在游乐场的西北方向。
（4）小岩放学后，先向________方向走到广场，再向________走到小明家，和小明玩了一会儿后，才向________走回家。
二年级数学下册教案《2.1.2除法》15-人教版
二年级数学下册教案《2.1.2 除法》15-人教版一、教学背景本节课学习内容为二年级下册数学教材的第2单元第1课时第2部分，即《2.1.2 除法》内容。
本单元主要围绕基础的除法概念展开教学，旨在帮助学生掌握除法的基本概念、运算方法及应用，为其打下扎实的数学基础。
二、教学目标1.知识与技能：掌握除法的基本概念；学习除法的运算方法；能够解决简单的除法问题。
2.过程与方法：培养学生独立思考和动手操作的能力；激发学生对数学的兴趣；注重培养学生的合作与交流能力。
3.情感态度与价值观：培养学生认真学习数学、勇于探究数学问题的态度；培养学生合作、互助、尊重他人的价值观。
三、教学重点与难点教学重点：掌握除法的基本概念，学习除法的运算方法。
教学难点：解决简单的除法问题，培养学生对除法问题的理解和应用能力。
四、教学准备1.教学课件：准备教学课件，以图形化展示除法概念及运算过程。
2.教学工具：准备教学板书、算术题练习、教学挂图等。
3.学生材料：每位学生需要准备铅笔、橡皮、教材及练习册。
五、教学过程1. 导入环节老师通过一个生动有趣的故事或问题导入，激发学生的学习兴趣。
2. 复习回顾老师带领学生回顾前几节课学习的内容，巩固基础知识。
3. 新知讲解1.引导学生认识除法的概念及符号，示范除法的基本运算方法。
2.讲解除法应用的场景及相关例题，让学生理解除法的实际意义。
4. 分组讨论将学生分成小组，让他们合作解决一些除法问题，培养学生集体合作及解决问题的能力。
5. 练习巩固让学生进行书面练习，巩固所学的除法知识和技能。
6. 总结提升老师对本节课的内容进行总结，指导学生注意重点难点，并提出下节课预习内容。
六、课后作业1.完成练习册上的相关练习题。
2.思考并总结本节课学习内容。
七、教学反思本节课以教师示范为主，学生合作为辅助，较好地实现了知识的传授和合作能力的培养。
但在教学过程中，也发现学生对除法概念的理解有一定困难，需要在接下来的教学中加强相关讲解和实践操作。
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》25-人教版
二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》25-人教版一、教学目标1.认识平均数的概念，初步理解平均数的计算方法。
2.能够应用所学知识，解决简单的平均数问题。
3.培养学生合作学习的意识和团队合作能力。
二、教学重点1.平均数的概念。
2.平均数的计算方法。
三、教学难点1.理解平均数的概念。
2.运用所学知识解决实际问题。
四、教学准备1.课件：包含平均数的定义和计算方法的PPT。
2.教辅材料：足够数量的练习题和讲解视频。
3.板书：书写清晰的定义和计算公式。
五、教学过程1. 导入•讲师向学生提问：“你们都知道什么是平均数吗？能举个例子吗？”•学生回答后，引出本节课要学习的内容。
2. 讲解•通过PPT介绍平均数的定义和计算方法，重点讲解平均数的概念和计算公式。
3. 实例演练•讲师给学生提供几道简单的例题，让学生尝试计算平均数并分享答案。
•学生可以相互讨论、合作解题，鼓励团队合作。
4. 练习•分发练习题，让学生独立完成，并相互交流讨论，查漏补缺。
5. 拓展•提出一些复杂一点的问题，让学生思考如何应用平均数的概念解决问题。
6. 总结•讲师总结本节课的重点内容，强调平均数的重要性和实际应用价值。
六、教学反思本节课围绕平均数展开讲解，通过例题演练和练习，让学生初步掌握了平均数的概念和计算方法。
在今后的教学中，可以结合实际生活情境，引导学生更深入地理解和应用平均数的知识。
以上为二年级数学下册教案《2.1.1 平均分》25-人教版的内容，希望对教师们的教学工作有所帮助。
二年级下册数学试题-2.1 认识时分 小练习-苏教版
认识时分小练习姓名一、填一填。
1.钟面上有（）个大格，有（）个小格，有（）小格。
时针走一大格是（）时，分针走一大格是（）分。
2.时针走1大格是（），分针走1大格是（）。
3.时针从12起走到2，走了（）小时；从12起走到6，走了（）小时；时针从4起走到6，走了（）小时；从3起走到8，走了（）小时。
4.分针从12起走到5，走了（）分；从12起走到9，走了（）分；分针从2起走到5，走了（）分；从1起走到6，走了（）分。
5.一节课（）分钟，课间休息（）分钟，再加上（）分钟，就是1小时。
6．时针从6走到11是（）时，分针从6走到11是（）分；时针从12走到3是（）时，分针从12走到3是（）分。
7．分针从3走到9是（）分，时针从5走到8是（）时，时针从12走到12是（）时，分针从12走到12是（）分。
8.小明早上7点上学，中午11点放学，小明上午在校（）小时。
9.时针从一个数字走到下一个数字，分针正好走（）小格，是（）分。
10．如果现在时针指向4，那么分针走5圈后，时针指向（）；如果时针从2走到8，那么分针要转（）圈。
11.小朋友每天中午11点开始，先听20分钟的故事，再看30分钟的课外书，再练（）分钟的字就正好是1小时，这时是（）时。
12．一节课的时间是40分钟，下课休息10分钟，再过（）分钟就是1小时。
13.小丽晚上7时开始，先学10分钟的英语，然后弹30分钟的电子琴，再听（）分钟的音乐，正好过了1小时，这时是（）时。
二、先在钟面上拨一拨，再填一填。
1、明明晚上6时吃晚饭。
20分后，明明开始做作业，做了35分作业，再休息（）分，明明就可以看“新闻联播”了。
2、星期天，强强早晨7时起床，穿好衣服，洗漱共用了25分，他吃早饭用了10分，然后就去姑姑家玩，7时55分到姑姑家。
强强从家到姑姑家用了（）分。
三、按要求画出缺少的时针或分针。
（别忘了，分针要比时针长哦！）8时12时2时9时四、解决问题。
1．妈妈每天到工厂上班，步行要用35分钟，骑自行车要用7分钟，步行比骑自行车多花几分钟？2．一个同学唱《布老虎》歌曲要用3分钟，8同学合唱这首歌要用（）分钟。
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5
6 7
8
床长 2( 米)
大米宽 黄瓜长 2( 毫米) 2( 分米)
我会变：
2分米=（ ）厘米
70毫米=（ 7 ）厘米
8 6 5 7 3 4 3 米=（ 30 ）分米
5厘米=（ 50 ）毫米 60分米=（ 6 ）米
我会改：
2009年4月20日 星期三 天气：晴 今天早晨，我从 2 2 米 长的床上爬起来， 分米 来到了卫生间，拿起了 15厘米 毫米 长的牙刷刷牙。 15
毫米和分米的认识
岱庙办事处灌庄小学
5毫米有 多长？
直尺上一小格的长度就是 1毫米。
0
1厘米
2
3
4
5
6
7
8
9
1厘米=10毫米
变大，变成 1分米长。
1分米 1分米 1分米
0 1厘米 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1分米 =10厘米
我会用：
在（ ）里填上合适的长度单位。
3 4
分米 米 高 吃了早饭，我快速跑到学校，坐在 44
的椅子上，从铅笔盒里拿出
3 4
5
6 起笔记。
再 见！