4-2 两个同方向同频率的简谐运动的合成
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
3
物理学
第五版
谐运动分析(三)
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
4
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
谐运动分析(三)
(k 0，1， ) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1， )
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
5
物理学
第五版
谐运动分析(三)
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
x 阻尼振动位移时间曲线
A
Ae t
Aet cost
O
T A
t
( 0)
21
物理学
第五版
三种阻尼的比较
谐运动分析(三)
(a)欠阻尼
2 0
2
(b)过阻尼
2 0
2
(c)临界阻尼
2 0
2
x
b
oc
t
a
22
物理学
第五版
谐运动分析(三)
例 有一单摆在空气（室温为 20C）中来 回摆动. 摆线长l 1.0 m，摆锤是半径r 5.0103 m 的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小 10％所需的时间；（3）能量减小10％所需 的时间；（4）从以上所得结果说明空气的 粘性对单摆周期、振幅和能量的影响.
第4章 习题解答
第4章 习题与答案4-1作简谐振动的物体，每次通过同一位置时，不一定相同的量是 [ ] (A) 位移 ； (B) 速度 ； (C) 加速度； (D) 能量。
[答案：B ]4-2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。
若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 [ ](A) π； (B) π/2； (C) 0； (D) θ [答案：C ]4-3 谐振动的振动曲线如题4-3图所示，则有[ ] （A ）A 超前π/2； （B ）A 落后π/2； （C ）A 超前π； （D ）A 落后π。
[答案：A ]4-4 一个质点作简谐振动，振辐为A ，在起始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为题4-4图 中哪一个? [ ][答案：B ]4-5 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。
第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。
当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点恰在最大负位移处。
则第二个质点的振动方程为 [ ] (A) )π21cos(2++=αωt A x ； (B) )π21cos(2-+=αωt A x ； (C) )π23cos(2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。
[答案：A ]4-6 已知某简谐振动的振动曲线如题4-6图所示。
则此简谐振动的振动方程（SI ）为 [ ](A) 题4-4图题4-3图（A ）220.02cos()33x t =π+π；（B ）220.02cos()33x t =π-π；（C ）420.02cos()33x t =π+π；（D ）420.02cos()33x t =π-π。
[答案：C ]4-7 弹簧振子作简谐振动，先后以相同的速度依次通过A 、B 两点，历时1秒，质点通过B 点后再经过1秒又第二次通过B 点，在这2秒内质点通过的总路程为12cm ，则质点的振动周期和振幅分别为 [ ]（A ）3s 、12cm ； （B ）4s 、6cm ； （C ）4s 、9cm ； （D ）2s 、8cm 。
简谐运动的合成
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究
电子技术与软件工程Electronic Technology & Software Engineering电子技术Electronic Technology 同方向同频率简谐振动合成问题求解方法的研究贾冬梅（中北大学信息商务学院山西省晋中市030600 ）摘要：本文分别运用解析法和旋转矢量法来求解两个同方向同频率简谐振动的合成问题并分析总结了它们冬自的特点.通过对比发 现：运用旋转矢量法比解析法更为直观有效，它可以生免去对物理公式的记忆和复杂的数学计算.但是在一般情形下，运用解析法求解更为有效.对于合振动初相位的确定，运用旋转矢量法比解析法更加直观、有效和便捷.关键词：振动合成；解析法；旋转矢量法；振幅；初相简谐振动是机械振动中最简单、最基本的振动形式，任何复杂 的振动都可以看作是简谐振动的合成旳。
而同方向同频率的简谐振 动的合成又是简谐振动的合成中最简单最重要的形式，它为波干涉 和衍射现象的分析奠定了理论基础，因此研究同方向同频率简谐振 动的合成有着十分重要的意义。
寻求一种高效便捷的求解简谐振动 合振动的振动的方法成为了解决同方向同频率简谐振动的合成的关 键3」。
对于同方向同频率简谐振动的合成问题，大学物理教材中 常使用旋转矢量法和解析法来进行讨论分析‘网。
下面分别运用解 析法和旋转矢量法来求解同方向同频率简谐振动合成问题，分析总 结它们各自的特点，为这类问题的分析和求解提供一些参考和借鉴。
1两个同方向同频率简谐振动的合成设两个简谐振动都沿着x 轴方向振动，平衡位置都为坐标原点， 它们振动的角频率3,振幅分别为A]和A2，初相分别为®和％， 它们的振动方程分别为：x,=A| cos （（ot+（p]） x 2=A 2 cos （（ot+（p 2）求这两个解析振动的合振动。
1. 1解析法由于两个简谐振动都沿着X 轴方向振动，所以这两个简谐振动在任一时刻合振动的位移也应在X 轴方向上，且合振动的位移X 等 于这两个分振动位移的代数和，即：X=X]+x 2将分振动的方程X1和X2代入上式展开整理：x = x }+x 2= A } COS （＜zX + % ） + 厦2 COS （m + 02 ）=4 cos （p 、cos - /1] sin （p } cos cotA 2 cos （p 2 cos cot- A 2s\n （p 2 sin cut=（A, cos （p 、+ A 2 cos %） cos cot sin （p 、4- A 2 sin （p 2） sin cot 令 A cos （p=A] cos （p]+A 2 cos （p 2 A sin （p=A 1 sin （P]+A 2 sin （p 2 得至lj x=A cos （p coscot-A sin （p sin （ot=A cos （（ot+（p ）这一结果表明：两个同方向同频率简谐振动的合振动依旧是一 个简谐振动，且合振动的频率与分振动的频率相同都等于3,合振 动的振幅和初相可以表示为：A = J （/sin 0）2 +（/cos （p ）2=J A ： + / j + 2A t A 2 cos （02 - ％）川 sin 0 _ A x sin ® + A 2 sin （p 2t a n （p =------—-------------------A cos （p A x cos （p 、+ A 2 cos （p 21.2旋转矢量法如图1所示，4和力2分别为两个分振动的旋转矢量，它们以相 同的角速度绕o 点做逆时针转动，t=Os 时它们与x 轴正向的夹角分 别为卩和①。
简谐运动的合成和分解
2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A2
A1
A
A A A 2 A1 A2 cos y A1 sin 1 A2 sin 2 tan x A1 cos 1 A2 cos 2
π π 2 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2
2
t
A2
2
2 1 π A A2 A1
A
x
2 π π (2) 由矢量图: 2 T 2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
驱动力
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt
方程的解：
2
x A0 e
t
2 2 cos 0 t 0 A cost
在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
A1
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的 振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第 一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？ 解： A2 A2 A12 2 AA1 cos π 6
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
4-2 两个同方向同频率简谐运动的合成
A2 2
A
1
A1
X
10
2
6
例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅
电 子 工 程 学 院 杨 小
π π π 2 1 ( ) 3 6 2 2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A2
x1 (3 10 m) cos(t π 6) 2 x2 (4 10 m) cos(t π 3)
A 2 A1
A A1 A2 合振幅最大。 A1 A2 时,
2 1 (2k 1) k 0,1,2, 电讨论二： A 子 A | A1 A2 | 合振幅最小。 工 A0 当 A1 A2时， 程 学 A2 k 讨论三： 一般情况为 2 1 院
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
A1 sin 1 A2 sin 2 tan 杨 A1 cos 1 A2 cos 2
3
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
讨论一： 2 1 2k
当
k 0,1,2,
2
（ SI）
电 子 工 程 学 院 杨 小
A2
Hale Waihona Puke A1X5
例 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅 为 20cm，与第一个简谐振动的相位差为 1 / 6 若第一个简谐振动的振幅为 10 3cm 17.3cm ，则第 二个简谐振动的振幅为______________ cm ，第一、二 两个简谐振动的相位差 1 2 为____________． 电 子 工 程 学 院 杨 小
杨 小
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
大学物理230道判断题
1、 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷（× ）2、 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们温度，压强都相同。
（√）3、 角速度的方向一定与外力矩的方向相同。
（ × ）4、 一物质系统从外界吸收一定热量，则系统的内能一定增加。
（×）5、 一质点作直线运动，速率为1232-=t ν（SI 制）则加速度大小=a t 6。
（ √ ）6、 质点系总动量的改变与内力无关。
（ √ ）7、 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零。
（√）8、 质点系总动能的改变与内力无关。
（ × ）9、 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零。
（√）10、 将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则铜环中有感应电流，木环中无感应电流。
（√）11、 质点系总动量的改变与内力无关。
（ √ ）12、 质点系总动能的改变与内力无关。
（ × ）13、 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。
（ √ ）14、质点速度大，加速度就一定大。
（×） 15、 在一个具体问题中，一个物体能否成为质点关键不在于物体的大小而在于物理问题与物体的大小形状是否有关。
（√）16、不同的参考系中，物体的运动情况都相同。
（×） 17、在直线运动中，质点的位移大小和路程相等。
（×） 18、 当物体的加速度大于0时，表示运动方向与参考方向相同，当加速度小于0时，表示运动方向与参考方向相反。
（×）19、质点速度大，加速度就一定大。
（×） 20、物体的运动可以看成是几个各自独立的运动的叠加。
（√） 21、两个动能相同的物体，质量大的动量小。
（×） 22、质点速度大，加速度就一定大。
（×） 23、 在一个具体问题中，一个物体能否成为质点关键不在于物体的大小而在于物理问题与物体的大小形状是否有关。
重庆理工大学振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A 其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
高二物理竞赛两个同方向同频率简谐运动的合成PPT(课件)
x2 5 cos(20 t ) cm
由旋转矢量法
4 -5 振动合成
A2 4
AOx
A A12 A22 5 2 cm
A1
5
4
x 5 2 cos (20 t 5 ) cm
4
11
物理学
第五版
4 -5 振动合成
两个简谐运动方向相同，频率相同，振
3
x A co t s ( ) n n 当木块位于平衡位置下方时，x>0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
n
A 例2 已知两谐振动的曲线(如图),它们是同频率的谐振动,求它们的合振动方程。
1、图示，木块上放置一质量为 m 的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在
2
x x x x 1 2 （b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
两振动步调反0 向,
1
12
2
（2）若另有一简谐运动
xAco t s() 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
例3、两个同方向、同频率简谐运动方程分别为
当 一
N两≥个0同时方，向砝同码2 频不率脱简离谐木运块动2 的合成
2
合位移 xx1x2
（SI）求：合成谐振动方程
（b）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）
0.4 （4）推广到 多个同方向同频率简谐运动的合成
（2）若另有一简谐运动
则合振幅为
则合振幅为
6
A2
x
0.12 x 0 .5 co 3 t s0 .1 ( 2 )
3
14
物理学
x 第五版 1
0.4cos3t()
3
11简谐运动习题详解
间。
平衡位置如图所示
解：t = 0时，质点位移为0.06m， 而且向正方向运动，旋转矢 量的初始位置如图所示，从 而得
Δ π π 5π
23 6
Δ ω Δt
Δt Δ 5π 5 s
ω 6π 6
§11-2 简根谐据运胡动克的定律动：力学特征
1. 弹簧振子—理想模型
F kx
简谐运动的微分方程
解：1. 设简谐振动表达式为 x = A cos(t + )
已知： A = 0.12m , T = 2s ，所以 2 (rad / s)
T
初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 > 0
0.06 0.12cos
3
v0 Asin 0 sin 0
x 0.12cos( t )
ν：频率 单位时间内往复振动的次数；
T：周期 往复振动一次的时间。
周期、频率与角频率 关系：
T 1 2π
2、振动曲线
3、简谐运动的速度与 加速度
v
vm
cos(
t
π 2
)
vm A
a am cos( t π ) am A 2
x Acos(t )
x
T
A
O
t
v dx A sin( t )
解： 已知 6.0rad s1
t=0时， x0=0.04m=A v0=0
(1) x A cos ( t )
x0 A cos
cos x0 1
A
0
x 0.04 cos 6.0t m
(2) 由(1)中结果
0.02 0.04 cos 6.0t
cos 6.0t 1 2
v dx 0.24 sin 6.0t dt
42两个同方向同频率简谐运动合成
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
根据余弦定理
A A12 A22 2A1A2 cos
A12 A22 2A1A2 cos
A12 A22 2A1A2 cos
0
A2
A1
A
2x2 1
x2
A1 x1
x
x
2 1
A A12 A22 2A1A2 cos2 1
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
相互加强
2）相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
本节练习 1 （D） 2. 两个分振动的圆频率相同，所以，合振动
旋转矢量的大小为常量，合振动的圆频率 也和分振动的圆频率相同。
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
x (A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
Acos
Asin
Acos A1 cos1 A2 cos2
Asin A1 sin 1 A2 sin 2
A2 cos2 A12 cos2 1 A22 cos2 2 2A1 A2 cos1 cos2 A2 sin 2 A12 sin 2 1 A22 sin 2 2 2A1 A2 sin 1 sin 2
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
A A1 A2
合成的振幅最大
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
1
xx
o
A1
A2
简谐振动的合成
动振幅周期变化的现象叫拍。
解：③拍现象
A (t) 不论 调 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，
因此拍的圆频率为：
因此：
拍 20 10
调（拍）
20 10
2 20 10
2 拍
2
拍频为： 调（拍） 2 1
合成图像如下图：
x1 t
x2
t
x
t
程序演示：
MATLAB 程序：
t=[0:0.001:10]; %给出时间轴上 10s,分 10000 个点
%输入两组信号的振幅、频率以及初相
A1=input('振幅 1=');W1=input('频率 1=');a1=input('初相 1=');
A2=input('振幅 2=');W2=input('频率 2=');a2=input('初相 2=');
y1=A1*cos(W1*t+a1);
y2=A2*cos(W2*t+a2); %生成两个正弦波
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amin 振动减弱
两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个
分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如
下图。
x
x2
o
x
t
x1
分析：同方向不同频率简谐振动的合成 x1 Acos10t , x2 Acos20t
A2 A1
A
x
此时 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) A1 A2 Amax 振动加强
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
谐振动分析(三)两个同方向同频率简谐运动的合成共36页文档
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
谐振动分析(三)两个同方向同频率简 谐运动的合成
6
、
露
凝
无
游
氛
，天Βιβλιοθήκη 高风景澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
大学物理判断题
4．作曲线运动的质点的速度和位置矢量垂直。
答：错5．物体的速率在减小，其加速度必在减小。
答：错6．物体的加速度在减小，其速率必在减小。
答：错7．圆周运动中的质点的加速度一定和速度的方向垂直。
答：错8．作曲线运动的物体，必有切向加速度。
答：错9．作曲线运动的物体必有法向加速度。
答：对10．质点作直线运动，平均速度公式20v v v 一定成立。
答：错 11．质点沿直线运动，其位置矢量的方向一定不变。
答：错12．瞬时速度就是很短时间内的平均速度。
答：错13．位移是位置矢量的增量。
答：对14导体不存在时，在变化的磁场周围不存在感生电场。
答案：错。
15两个彼此无关的闭合回路，其中之一的磁通量发生了Wb 5.7的改变，另一发生了Wb 2.7的改变，前者的感应电动势一定大于后者。
答案：错。
16电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
答案：错。
17在国际单位制中，磁通量单位用高斯。
答案：错。
18电动势用正、负来表示方向，它是矢量。
答案：错。
19感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。
答案：对。
20td d 的单位为伏特。
答案：对。
21矩形线圈在载流无限长直导线激发的磁场中平动，矩形线圈和载流长直导线共面，如图I矩形线圈的运动方向和电流流动方向平行。
如果电流I 不变，线圈中不会产生感应电动势。
答：对。
22线圈在无限载流长直导线激发的磁场中平动，线圈和载流长直导线共面，如图Iv矩形线圈的运动方向和电流流动方向垂直。
如果电流I 不变，线圈中产生的感应电流顺时针方向流动。
答案：对。
23 感生电动势在导体中产生，要求导体构成回路。
答案：错。
24 制作低频变压器铁芯时，总是把铁芯做成片状，片与片之间涂导电材料。
答案：错。
25 均匀磁场B 和线圈的O O 轴垂直。
线圈绕O O 轴旋转时，不会产生感应电动势。
答案：错。
26线圈处于均匀磁场中，均匀磁场与线圈平面垂直。
该线圈保持周长不变，当它由圆形变为椭圆形过程中，线圈中不产生感应电动势。
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4 –2 两个同方向同频率振动的合成
讨论
1）相位差
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
A A1 A2
合成的振幅最大
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
3）一般情况
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
本节练习 1 （D） 2. 两个分振动的圆频率相同，所以，合振动 旋转矢量的大小为常量，合振动的圆频率 也和分振动的圆频率相同。
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
作业
习题 4-4
A2
2
0
A
x2
x A cos(t )
x x1 x2
x2
1
x1
A1
x
x
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
4 –2 两个同方向同频率振动的合成 根据余弦定理
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
两个同方向同频率简谐运动的合成 x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
A1 cos( t 1 ) A1 cos t cos 1 A1 sin t sin 1 A2 cos( t 2 ) A2 cos t cos 2 A2 sin t sin 2
x
x
2
o 2
A2
A1
o
T
t
A
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
1）相位差
2k π
A A1 A2
2）相位差
1， ) (2k 1) π (k 0 ，
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
tan
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
结论：合振动仍是简谐振动
x A cos( t )
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
用旋转矢量表示
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
1
x
o A
1
x
o
T
A
A2
t
x ( A1 A2 ) cos( t 1 )
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
A cos A sin x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
4 –2 两个同方向同频率振动的合成
2 A2 cos 2 A12 cos 2 1 A2 cos 2 2 2 A1 A2 cos 1 cos 2 2 A2 sin 2 A12 sin 2 1 A2 sin 2 2 2 A1 A2 sin 1 sin 2
2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2
A
2 1
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2 2 2
A2
2
0
A1
A A 2 A1 A2 cos
A
x
x
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
x2
2 1
A A A 2 A1 A2 cos 2 1
2）相位差 2 1 (2k 1)π
(k 0 ， 1, )
A A1 A2
合成的振幅最小
合成的振动的初相和振幅大的分振动的初相相同
Hale Waihona Puke –2 两个同方向同频率振动的合成
2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
x1 A1 cost t π) x2 A2 cos( t π ) x ( A2 A1 ) cos(
x ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t A sin A cos A cos A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A1 sin 1 A2 sin 2