9-5简谐运动的合成讲解

（ 1） 3 π / 2 （ 2） （ 3）
x
A/2 O -A
π
π/2
t
（ 4） 0
第九章
振 动
5
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振 动，求合振动的振幅和初相位。
x1 (4 10 m) cos(2s t π 6) 2 1 x2 (3 10 m) cos(2s t 5 π 6)
2t 2
A 2 2

A
2 1
1t 1
A
1 A1
o
x2
第九章
x1
振 动
x
x
A12 A22 2 A1 A2 cos
1 2 0
2π ( 2 1 )t
15
( 2 1 )t ( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
第九章 振 动
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
1
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1， 2,) 1）相位差 2 1 2k π (k 0 ，
第九章
振 动
19
物理学
第五版
第九章
振 动
20
物理学
第五版
第九章
振 动
21
物理学
第五版
第九章
振 动
22
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 *9-7 电磁振荡
第九章 振 动
23
第九章 振 动
O A6
A1

A2
x
10
A0
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9-5
简谐运动的合成
例 已知如下的三个简谐振动，求合振动.
x1 A1 cost
2π x2 A2 cos( t ) 3 4π x3 A3 cos( t ) 3
已知
2π 3
A2
2π 3
A3
O
A1
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
2 1 2π T π 2
Amin 0
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
振 动
14
2 1
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成wk.baidu.com
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
(k 0 ， 1 ， )
相互削弱
7
A A 1 A 2
第九章
振 动
物理学
第五版
9-5
2
简谐运动的合成
例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅
x1 (3 10 m) cos(t π 6) 2 x2 (4 10 m) cos(t π 3)
π π π 2 1 ( ) 3 6 2
2
2
2
1
0
A
1
A 1
π
A2
x
x (110 m) cos(2s t π 6)
第九章 振 动
π A 110 m 1 6 2 1
6
物理学
第五版
例
9-5 简谐运动的合成 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π ), 3 x2 0.03cos( 10t )
x2 x1
1 A1
A
x
x
2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
x1 x2 cost A 第九章 振 动

1 2
2
16
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 将频率为348 Hz的标准音叉振动与 一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3 Hz，若在待测频率音叉的一端加上一小物块， 拍频数将减少，则待测音叉的固有频率为 351Hz． ________ 解 2 1 3 设 1 348Hz 则 v2 345 Hz 或v2 351Hz 由题意得 v2 351Hz
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
第九章
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分
振 动
合振动频率
13
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
-vm
第九章
振 动
18
物理学
第五版
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm /(m s1 )
π 5π or 6 6
- vm 2

π 6
v/ (m s )
-1
t=0
o

5π 6
-0.5vm
o
t/s
-vm
vm /(m s 1 )
第九章 振 动
17
物理学
第五版
例 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速
度-时间关系曲线如图所示，求运动的初相位．
解：由简谐振动运动 方程
x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
-0.5vm
v/ (m s )
-1
o
t/s
则（1） （ 2）
2kπ π / 3 x1 x2 为最大时， 为______________ 2kπ 4π / 3 x1 x2 为最小时， 为_____________
(k 0 ， 1 ， )
相互加强
因：相位差 2k π
A A1 A2
相位差 (2k 1) π
2 1 2 2
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A2 2 2 A A1 A2
5 10 m
第九章
2
0
2
A
x
8
1
振 动
A 1
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
* 二
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
讨论
2 1 2 2
x
x
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第九章 振 动
2
A
A2
1
t
物理学
第五版
9-5
2 1 2 2
简谐运动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
第九章 振 动
12
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos2π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
振 动
t
3
A
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A

A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
1）相位差
2k π
A A1 A2
x
A1 A2 A3
2π 3
N 3
求： x1
x2 x3
第九章
N 2π A 0
x x1 x2 x3 0
振 动
11
物理学
第五版
* 三
9-5 简谐运动的合成 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.

A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
一
两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0

A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1

x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A
A12 A22 2 A1 A2 cos
(2 1 )t
振幅 A A 1 cos ) 1 2(
2
A2
t)
( 2 1 )t

2 A1 cos(
拍频
2 1
2
o
2 1
1t 2t
9-5
简谐运动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5

A4 A
i

3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
2）相位差
1， ) (2k 1) π (k 0 ，
3）一般情况
A A1 A2
第九章 振 动
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4
物理学
第五版
课堂例题
9-5
简谐运动的合成
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为