9-5简谐运动的合成讲解
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简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
大学物理第五版下册 简谐运动的合成课件
简谐运动能量守 恒，振幅不变
6
第九章
振 动
物理学
第五版
（3） 熟记平均动能和平均势能 ）
E
k
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
E
P
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
第九章
振 动
7
物理学
第五版
在实际问题中，经常要遇到一个质点同时参与几种 在实际问题中， 振动的问题。根据运动的叠加原理， 振动的问题。根据运动的叠加原理，此时质点所做的运动 实际上是几种振动的合成。 实际上是几种振动的合成。 的合成问题。 我们仅研究两个同方向的振动的合成问题。
π
点P的相位为 的相位为
ΦP = ω( tP −t0 ) +ϕ = 0
t =0
t =tP
x/m
第九章
振 动
5
物理学
第五版
(3): 根据
ΦP = ω(t P −t0 ) +ϕ = 0
π /3 ω(t P −t 0 ) = ( tP −t0 ) = 3 ω 4. 简谐运动的能量
π
∴ t P =1.6S
（1） 动能 ） （2） 势能 ）
1 2 kA 2 1 1 2 E k = mv = m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 E p = kx = m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 1 2 2 2 E = E k + E p = m ω A = kA 2 2
x = Acos(ωt +ϕ)
9.8 k g = = =10rad / s 式中 ω = ∆l m 0.098
《简谐运动的合成》课件
演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
简谐振动演示09
2 1
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
大学物理第九章振动学基础
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
简谐运动的描述ppt课件
2.2
简谐运动的描述
目录
CONTENTS
1
简谐运动的表达式
2
描述简谐运动的物理量
3
简谐运动的周期性和对称性
4
简谐运动振幅与路程的关系
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近
不断地重复同样的运动。如何描述简谐
运动的这种独特性呢？
知识回顾：
简谐运动的位移图像是一条正弦曲线。
全振动的特点：①位移和速度都会到初状态 ②路程等于4A
②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，
单位：s.
③ 频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz.
周期T与频率f的关系是T＝
知道即可：弹簧振子的周期由哪些因素决定?
周期公式： T 2
m
k
弹簧振子周期（固有周期）和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹
②若△ = 2 − 1＜0，振动2的相位比1落后△ 。
4.同相与反相：
（1）同相：相位差为零
△ = 2( = 0，1，2， … )
（2）反相：相位差为
△ = (2 + 1)( = 0，1，2， … )
A与B同相
A与C反相
A与D异相
相位差90°
＝（ ＋ ）
一、简谐运动的表达式
相位
x A sin(t )
振幅
圆频率
初相位
二、描述简谐运动的物理量
＝（ ＋ ）
1.振幅：（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅
O
振幅
（2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
简谐运动的描述
目录
CONTENTS
1
简谐运动的表达式
2
描述简谐运动的物理量
3
简谐运动的周期性和对称性
4
简谐运动振幅与路程的关系
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近
不断地重复同样的运动。如何描述简谐
运动的这种独特性呢？
知识回顾：
简谐运动的位移图像是一条正弦曲线。
全振动的特点：①位移和速度都会到初状态 ②路程等于4A
②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，
单位：s.
③ 频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz.
周期T与频率f的关系是T＝
知道即可：弹簧振子的周期由哪些因素决定?
周期公式： T 2
m
k
弹簧振子周期（固有周期）和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹
②若△ = 2 − 1＜0，振动2的相位比1落后△ 。
4.同相与反相：
（1）同相：相位差为零
△ = 2( = 0，1，2， … )
（2）反相：相位差为
△ = (2 + 1)( = 0，1，2， … )
A与B同相
A与C反相
A与D异相
相位差90°
＝（ ＋ ）
一、简谐运动的表达式
相位
x A sin(t )
振幅
圆频率
初相位
二、描述简谐运动的物理量
＝（ ＋ ）
1.振幅：（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅
O
振幅
（2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
简谐运动的合成和分解
2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A2
A1
A
A A A 2 A1 A2 cos y A1 sin 1 A2 sin 2 tan x A1 cos 1 A2 cos 2
π π 2 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2
2
t
A2
2
2 1 π A A2 A1
A
x
2 π π (2) 由矢量图: 2 T 2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
驱动力
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt
方程的解：
2
x A0 e
t
2 2 cos 0 t 0 A cost
在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
A1
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的 振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第 一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？ 解： A2 A2 A12 2 AA1 cos π 6
简谐运动
准弹性力
系统本身决定的常数
动力学方程：
在水平方向上：
弹簧振子
F kx
由牛顿第二定律
d 2x kx m 2 dt
k 令 2 m
则有
d x 2 x 0 2 dt
二阶齐次常 微分方程
2
一般写成： 或：
x A sin t x A cost
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
波动: 振动在空间的传播
振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化
简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动
9-1简谐振动
一、简谐振动的基本特征
弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
解得
2 2 v v 2 A x0 02 x 2 2
的状态如何就决定了系 统未来的振 但计算A的大小时不一定非用初 始 条件，只要同时告诉某 时刻的x与
幅A的大小。所以A由初始条件决定。
相应的v，又知道，就可以求出A。
3、初相位
初相：
由 t = 0时
x0 A cos v0 A sin
(1)、相位 t 是确定振动状态的物理量
(2) ( t )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos(t ); v A sin(t )
当 t 例：
3
时：
A x , 2
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动
简谐运动详解ppt课件
（3）在平衡位置上方时，弹簧处于压缩状态（也可能拉伸），
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
9-5(新)简谐运动的合成
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成 相互垂直不同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
第九章
振 动
31
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
第九章 振 动
32
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
15
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
（3）2 1 π 2
y
A2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
o
A1
2
2
第九章
振 动
14
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
y
2 1 0或 2 π （ 1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （ 2） A2 y x A1
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
第九章
振 动
25
物理学
第五版
简谐运动的描述课件
详细描述
能量图是用来描述简谐运动时振子的能量随时间变化的 图像。这个图像通常以时间为横坐标，以振子的能量为 纵坐标。在能量图中，我们可以看到振子的能量是如何 随时间变化的，以及在运动过程中能量的转换和损耗。
05
简谐运动的实例分析
单摆的简谐运动
定义
单摆是一种理想的物理模型，由一根固定在一端的轻杆或 细线，另一端悬挂质量块组成。
《简谐运动的描述课件》
2023-10-30
目录
• 简谐运动概述 • 简谐运动的基本概念 • 简谐运动的公式与计算 • 简谐运动的图像描述 • 简谐运动的实例分析 • 简谐运动的总结与展望
01
简谐运动概述
简谐运动的定义
简谐运动的定义
简谐运动是指物体在一定范围内周期性地来回运动，其运动轨迹呈现为正弦 或余弦函数的形状。这种运动是自然界中最简单、最基本的周期性运动之一 。
高阶效应
对于一些高阶的振动系统，除了振幅和频率的变化外，还需要考虑高阶效应的影响。高阶 效应会导致系统的响应呈现出更为复杂的特性。
未来对简谐运动的研究方向与价值
研究方向
未来对简谐运动的研究方向主要包括：研究更为复杂 的振动系统，例如多自由度振动系统和耦合振动系统 ；研究更为精细的振动模型，例如包含更多影响因素 和非线性效应的模型；研究更为高效的求解方法，例 如能够处理大规模数据和复杂情况的数值方法。
加速度与速度
加速度
在简谐运动中，振子的速度会不断变化，因此加速度也会不断变化。加速度是描述速度变化快慢的物 理量。
速度
在简谐运动中，振子的位置不断变化，因此速度也会不断变化。速度是描述物体运动快慢的物理量。
位移与回复力
位移
在简谐运动中，振子的位置会不断变化， 这种变化称为位移。位移是描述物体位置 变化的物理量。
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
谐振动的合成
简谐振动的合成
当一个物体同时参与几个谐振动时，就需 考虑振动的合成问题。
本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果， 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础。 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果， 可以给出重要的实际应用。
一、 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A
x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
o
A1
A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
xN A0 cos[t (N 1) ]
1） 2kπ
讨
论
(k 0,1,2, )
2）N 2k 'π
(k' kN, k' 1,2, )
个N矢量依次相接构成
i A4
A3
x x1 x2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x x
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
1 2 0
(2 1)t (2 1) 2π ( 2 1)t
A
A2 1
A2 2
y
A1
cos(t
1
2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
x2 A12
y2 A22
2 x A1
y A2
cos(2
1
)
sin2 ( 2
1 )
(4) 2
1
当一个物体同时参与几个谐振动时，就需 考虑振动的合成问题。
本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果， 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础。 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果， 可以给出重要的实际应用。
一、 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A
x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
o
A1
A2
A3
A4
A5
x
A Ai NA0
xN A0 cos[t (N 1) ]
1） 2kπ
讨
论
(k 0,1,2, )
2）N 2k 'π
(k' kN, k' 1,2, )
个N矢量依次相接构成
i A4
A3
x x1 x2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
A
1
A1
x1
2 1
x x
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
1 2 0
(2 1)t (2 1) 2π ( 2 1)t
A
A2 1
A2 2
y
A1
cos(t
1
2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
x2 A12
y2 A22
2 x A1
y A2
cos(2
1
)
sin2 ( 2
1 )
(4) 2
1
简谐运动的描述课件
3
能量-时间图像
简谐运动的动能和势能都随时间周期性变化，能量图像呈余弦曲线。
简谐运动的实例
1
弹簧简谐振动
拉长或压缩一根弹簧，当松手时它就能够做简谐振动。
2
摆锤简谐运动
精密的摆锤可以做甚至可以完全描述地球自转等自然现象的简谐运动。
3
机械波简谐运动
机械波，如声波、水波等，可以在介质内传递能量，表现出简谐运动。
实际应用
简谐运动是很多实际问题的基础，例如：
1 交流电
在电路中，简谐振荡产生的正弦电流和正弦电压，让电力输送变得更加高效。
2 地震波
地震波产生的振动是整体的简谐运动。
3 其他物理现象中的简谐运动
包括建筑物、天体、量子场等物理现象。
总结
定义、特点、公式
数学图像与实例
实际应用
简谐运动作为物理学中的重要概念，有着广泛的应用。进一步地研究简谐运动有助于更好地理解能量、波、声 学、光学、电学和量子物理学等重要学科。
简谐运动的描述课件
本课程旨在介绍简谐运动的定义、特点、公式、数学图像、实例和实际应用， 并探讨其在物理学中的重要性和展望。
什么是简谐运动？
定义
一种周期性运动，物体以定常振幅、定常频率沿着一条直线或平面来回振动。
特点
周期性、振幅相等、相位相同。
简谐运动的公式
位移公式
x=Acos(ωt+φ)
速度公式
v=-Aωsin(ωt+φ)
加速度公式
a=-Aω²cos(ωt+φ)
质点简谐动的微分方程
d²x/dt²+ω²x=0
数学图像
1
正弦曲线与余弦曲线
简谐运动的位移公式可以用正弦或余弦函数表示。两者的图像均为周期性波浪线。
大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
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x (2 A1 cos 2π
2 1
2
第九章
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分
振 动
合振动频率
13
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
x
A1 A2 A3
2π 3
N 3
求： x1
x2 x3
第九章
N 2π A 0
x x1 x2 x3 0
振 动
11
物理学
第五版
* 三
9-5 简谐运动的合成 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
(k 0 ， 1 ， )
相互削弱
7
A A 1 A 2
第九章
振 动
物理学
第五版
9-5
2
简谐运动的合成
例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅
x1 (3 10 m) cos(t π 6) 2 x2 (4 10 m) cos(t π 3)
π π π 2 1 ( ) 3 6 2
讨论
2 1 2 2
x
x
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第九章 振 动
2
A
A2
1
t
物理学
第五版
9-5
2 1 2 2
简谐运动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
振 动
t
3
A
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
1）相位差
2k π
A A1 A2
第九章 振 动
O A6
A1
A2
x
10
A0
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 已知如下的三个简谐振动，求合振动.
x1 A1 cost
2π x2 A2 cos( t ) 3 4π x3 A3 cos( t ) 3
已知
2π 3
A2
2π 3
A3
O
A1
2
2
2
1
0
A
1
A 1
π
A2
x
x (110 m) cos(2s t π 6)
第九章 振 动
π A 110 m 1 6 2 1
6
物理学
第五版
例
9-5 简谐运动的合成 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π ), 3 x2 0.03cos( 10t )
2 1 2 2
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A2 2 2 A A1 A2
5 10 m
第九章
2
0
2
A
x
8
1
振 动
A 1
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
* 二
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
第九章 振 动
17
物理学
第五版
例 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速
度-时间关系曲线如图所示，求运动的初相位．
解：由简谐振动运动 方程
x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
-0.5vm
v/ (m s )
-1
o
t/s
2）相位差
1， ) (2k 1) π (k 0 ，
3）一般情况
A A1 A2
第九章 振 动
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4
物理学
第五版
课堂例题
9-5
简谐运动的合成
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
一
两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0
A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x2 x1
1 A1
A
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
x1 x2 cost A 第九章 振 动
1 2
2
16
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 将频率为348 Hz的标准音叉振动与 一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3 Hz，若在待测频率音叉的一端加上一小物块， 拍频数将减少，则待测音叉的固有频率为 351Hz． ________ 解 2 1 3 设 1 348Hz 则 v2 345 Hz 或v2 351Hz 由题意得 v2 351Hz
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
2 1 2π T π 2
Amin 0
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
振 动
14
2 1
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
第九章 振 动
12
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos2π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
9-5
简谐运动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
-vm
第九章
振 动
18
物理学
第五版
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm /(m s1 )
π 5π or 6 6
- vm 2
π 6
v/ (m s )
-1
t=0
o
5π 6
-0.5vm
o
t/s
-vm
vm /(m s 1 )
则（1） （ 2）
2kπ π / 3 x1 x2 为最大时， 为______________ 2kπ 4π / 3 x1 x2 为最小时， 为_____________
(k 0 ， 1 ， )
相互加强
因：相位差 2k π
A A1 A2
相位差 (2k 1) π
第九章
振 动
19
物理学
第五版
第九章
振 动
20
物理学
第五版
第九章
振 动
21
物理学
第五版
第九章
振 动
22
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 *9-7 电磁振荡
第九章 振 动
23
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2 1
2
第九章
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分
振 动
合振动频率
13
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
x
A1 A2 A3
2π 3
N 3
求： x1
x2 x3
第九章
N 2π A 0
x x1 x2 x3 0
振 动
11
物理学
第五版
* 三
9-5 简谐运动的合成 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
(k 0 ， 1 ， )
相互削弱
7
A A 1 A 2
第九章
振 动
物理学
第五版
9-5
2
简谐运动的合成
例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅
x1 (3 10 m) cos(t π 6) 2 x2 (4 10 m) cos(t π 3)
π π π 2 1 ( ) 3 6 2
讨论
2 1 2 2
x
x
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第九章 振 动
2
A
A2
1
t
物理学
第五版
9-5
2 1 2 2
简谐运动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
振 动
t
3
A
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
1）相位差
2k π
A A1 A2
第九章 振 动
O A6
A1
A2
x
10
A0
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第五版
9-5
简谐运动的合成
例 已知如下的三个简谐振动，求合振动.
x1 A1 cost
2π x2 A2 cos( t ) 3 4π x3 A3 cos( t ) 3
已知
2π 3
A2
2π 3
A3
O
A1
2
2
2
1
0
A
1
A 1
π
A2
x
x (110 m) cos(2s t π 6)
第九章 振 动
π A 110 m 1 6 2 1
6
物理学
第五版
例
9-5 简谐运动的合成 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π ), 3 x2 0.03cos( 10t )
2 1 2 2
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A2 2 2 A A1 A2
5 10 m
第九章
2
0
2
A
x
8
1
振 动
A 1
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
* 二
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
第九章 振 动
17
物理学
第五版
例 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速
度-时间关系曲线如图所示，求运动的初相位．
解：由简谐振动运动 方程
x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
-0.5vm
v/ (m s )
-1
o
t/s
2）相位差
1， ) (2k 1) π (k 0 ，
3）一般情况
A A1 A2
第九章 振 动
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4
物理学
第五版
课堂例题
9-5
简谐运动的合成
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
一
两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0
A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1
x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x2 x1
1 A1
A
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
x1 x2 cost A 第九章 振 动
1 2
2
16
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 将频率为348 Hz的标准音叉振动与 一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3 Hz，若在待测频率音叉的一端加上一小物块， 拍频数将减少，则待测音叉的固有频率为 351Hz． ________ 解 2 1 3 设 1 348Hz 则 v2 345 Hz 或v2 351Hz 由题意得 v2 351Hz
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
2 1 2π T π 2
Amin 0
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
振 动
14
2 1
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
第九章 振 动
12
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos2π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
9-5
简谐运动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
-vm
第九章
振 动
18
物理学
第五版
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm /(m s1 )
π 5π or 6 6
- vm 2
π 6
v/ (m s )
-1
t=0
o
5π 6
-0.5vm
o
t/s
-vm
vm /(m s 1 )
则（1） （ 2）
2kπ π / 3 x1 x2 为最大时， 为______________ 2kπ 4π / 3 x1 x2 为最小时， 为_____________
(k 0 ， 1 ， )
相互加强
因：相位差 2k π
A A1 A2
相位差 (2k 1) π
第九章
振 动
19
物理学
第五版
第九章
振 动
20
物理学
第五版
第九章
振 动
21
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第五版
第九章
振 动
22
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 *9-7 电磁振荡
第九章 振 动
23
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2