大学物理 简谐运动的合成
大学物理波动部分公式
• 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2 2 ； = 2 2 = 2 2 2 2 ( + )； = 2 2 = 2 2 2 ( + )
• 两个同方向同频率简谐振动的合成
•
=
= 2； =
• ⑤简谐振动的速度： =
2
• ⑥简谐运动的加速度： =
= 2
；=
2
=⥂
1
2
；=
1
= − ( + )
2
2
=
= −2 ( + )
• 单摆作简谐运动：
•
2
运动方程： 2 = −
• 机械振动
• 弹簧振子作简谐运动：
• ①加速度: = = − = −2
•
2
②微分方程: 2
= −2
• ③运动方程: = ( + )
• 或 = ( + ′ ) 其中 ′ = + 2
• ④弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系：
10
0
• 电磁波波速： =
• 声强级： =
电磁震荡与电磁波
2
2
1
+ = 0无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路）
= 0 ( + )
=
1
大学物理 机械振动 框架图和解题方法
第5章 机械振动一、基本要求1．掌握描述简谐运动各物理量的物理意义及相互关系，能根据给定的初始条件建立简谐运动方程；2．掌握旋转矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、时间差；理解简谐运动合成规律； 3．理解振幅、周期、频率、相位等描述机械波的重要物理量。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：理解简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐运动方程。
难点：掌握旋转矢量法在解题中的应用。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===⎪⎩⎪⎨⎧=+''+=-=李萨如图形垂直方向频率整数比椭圆运动垂直方向同频率拍同方向不同频率仍为简谐运动同方向同频率简谐运动的合成总能量弹性势能动能简谐运动的能量复摆单摆弹簧振子典型例子初相相位角频率频率周期振幅基本物理量谐运动微分方程谐运动方程回复力公式简谐运动的定义振动::::212121,,:,,,,,:0:)cos(::2222kA E E E kx E m v E x x t A x kx F p k p k ωϕω(三）容易混淆的概念： 1.初相和相位简谐振动运动方程 简谐振动能量 简谐振动合成速度方程 加速度方程 动能 势能 合振幅合相位初相ϕ反映简谐运动物体在初始时刻的运动状态；相位ϕω+t 反映简谐运动物体在任意时刻的运动状态。
2.角频率和频率角频率（圆频率）ω反映角位置随时间的变化，对于谐振子而言，由劲度系数和质量决定，又称固有频率；频率ν是单位时间内完成全振动的次数，是周期的倒数。
（四）主要内容：1．简谐运动的基本概念：（1） 运动方程：)cos(ϕω+=t A x ，A x m =（2） 速度方程：)sin(ϕωω+-=t A v ，A v m ω= （3） 加速度方程：)cos(2ϕωω+-=t A a ，A a m 2ω= （4） 周期：ωπ2=T（5） 频率：πων21==T （6） 时间差与相位差的关系：ωϕ∆=∆t2.旋转矢量法：在平面上画一矢量A ，初始位置与x 轴正方向的夹角等于初相位ϕ,其尾端固定在坐标原点上，其长度等于振动的振幅A ，并以圆频率ω为角速度绕原点作逆时针匀速转动，则矢量A在x 轴上的投影为：)cos(ϕω+=t A x 。
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理分章节题库-有答案
大学物理力学部分：1．一个质点在做圆周运动时，则有（B ）。
A ．切向加速度一定改变，法向加速度也改变B ．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变C ．切向加速度可能不变，法向加速度不变D ．切向加速度一定改变，法向加速度不变2. 对功的概念有以下几种说法：（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。
下列说法正确的是（C ）。
A ．（1）（2）是正确的B ．（2）（3）是正确的C ．只有（2）是正确的D ．只有（3）是正确的3. 下列情况不可能出现的是（D ）。
A. 物体具有加速度而速度为零B. 物体速率恒定，但速度仍发生改变C. 物体速率恒定，但加速度却在变化D. 物体速度恒定，但速率却在变化4. 如图所示，在边长为a 的四边形顶点上，分别固定着质量为m 的四个质点，以 OZ 为转轴（转轴到四边形近边的距离为a ，且与四边形平面平行），该系统的转动惯量为：（D ）。
A. 4ma 2B. 6ma 2C. 8ma 2D. 10ma 25. 质量为m 的质点在oxy 平面内运动，运动方程为cos()sin()r a t i b t j ωω=+，其中ω、、b a 为常数，则（C ）。
A. 质点所受合力方向保持不变B. 质点所受到的合力始终背离原点C. 质点所受到的合力始终指向原点D. 无法确定质点所受合力的方向6. 对质点系中的内力以下说法正确的是（D ）。
A. 任何性质的内力均会引起质点系机械能的改变B. 内力不引起质点系总动能的改变C. 内力成对出现、大小相等，故内力对质点系不作功D. 内力不引起质点系总动量的改变7. 飞轮作匀变速转动时，其边缘上的一点（D ）。
A. 不具有向心加速度B. 不具有切向加速度C. 其加速度是个恒矢量D. 加速度随时间不断变化8. 一人手握哑铃坐在无摩擦的转台上，以一定的角速度转动。
大学物理第九章振动学基础
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
大学物理第五章5-4 一维简谐运动的合成 拍现象
O
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
(1) 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos( t π) x2 A2 cos( t π )
x
x
O
2
A1
O
A A1 A2 2
T
t
A2
第五章 机械振动
A
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 方法二 旋转矢量合成法
物理学教程 （第二版）
(2 1 )t (2 1 )
1 A1
2t 2
A2 2
A
2 1
1t 1
2 1
x
O
2 2
x2
x1
x
1 2 0
2 π ( 2 1 )t
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 二 多个同方向同频率简谐运动的合成
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
A A 3
x x1 x2 xn
简明大学物理重点知识总结
五 机械振动知识点： 1、 简谐运动微分方程：0222=+x dtx d ω ,弹簧振子F=-kx,m k=ω, 单摆lg =ω 振动方程：()φω+=t A x cos振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。
πγπω22==T。
周期T, 频率γ。
ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：A=22020ωv x +,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：初始条件：t=0 1） 由得 2）由得 3）由0=x 00<v 0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0sin >ϕAx =000=v ϕcos A A =1cos =ϕAx -=000=v ϕcos A A =-1cos -=ϕ0=ϕ2/πϕ=πϕ=得 4）由得3简谐振动的相位：ωt+φ:1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态； 相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态； （φ取[-π→π]或[0→2π]）4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)加速度：a=)cos(2ϕωω+-t A简谐振动的能量：E=E K +E P = 221kA ,作简谐运动的系统机械能守恒4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：1）两个同向同频率的简谐振动的合成：X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ） 合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）其中 A=()12212221cos 2φφ-++A A A A ,tan 22112211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=。
相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A2极小若0=x 00>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0sin <ϕ)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v )(cos 2121222p ϕω+==t kA kx E 2/3πϕ=121,ϕϕ=>A A2） 两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：x=A 1cos （1φω+t ） ,y=A 2cos （2φω+t ）其轨迹方程为： 如果) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆πϕϕπ2)212<-<其合振动的轨迹为逆时针的椭圆相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。
振动学基础-大学物理
2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,
大学物理(下)知识点总结
大学物理（下）1简谐运动：1.1定义：物体运动位移（或角度）符合余弦函数规律，即:；1.2特征：回复力；=令;1.3简谐运动：=1.4描述简谐运动的物理量：I振幅A：物体离开平衡位置时的最大位移；II频率：是单位时间震动所做的次数（周期和频率仅与系统本身的弹性系数和质量有关）；III相位：称为初相，相位决定物体的运动状态1.5常数A和的确定：I解析法:当已知t=0时x和v;II旋转矢量法（重点）：运用参考圆半径的旋转表示；2单摆和复摆2.1复摆：任意形状的物体挂在光滑水平轴上作微小()的摆动。
I回复力矩;(是物体的转动惯量)II方程：;2.2单摆：单摆只是复摆的特殊情况所以推导方法相同，单摆的惯性矩3求简谐运动周期的方法(1) 建立坐标，取平衡位置为坐标原点；(2) 求振动物体在任一位置所受合力(或合力矩)；(3) 根据牛顿第二定律(或转动定律)求出加速度与位移的关系式2a x ω=-4 简谐运动的能量：4.1 简谐运动的动能： ; 4.2 简谐运动的势能： ; 4.3 简谐运动的总能量： ;(说明：①简谐运动强度的标志是A ②振动动能和势能图像的周期为谐振动周期的一半) 5 简谐振动的合成5.1 解析法：①和振幅 ②5.2 旋转矢量法：①和振幅 ②由几何关系求出初相6 波6.1 定义：振动在空间的传播过程;分为横波 纵波；6.2 波传播时的特点：①沿波传播的方向各质点相位依次落后②各质点对应的相位以波速向后传播；6.3 描述波的物理量：I 波长（λ）:相位相差2π的两质点之间的距离，反应了波的空间周期性；II 周期（T ）：波前进一个波长所需要的时间（常用求解周期的方法 ）； III 频率（ν）：单位时间内通过某点周期的个数； IV 波速（u ）：振动在空间中传播的速度；6.4 波的几何描述I 波线：波的传播方向；II 波面：相同相位的点连成的曲面。
特例—波前（面）6.5 平面简谐波的波动方程I 波方程常见形式一：（波沿x 轴正方向运动，若波沿X 轴反方向运动则把“-”改为“+”） II 波方程常见形式二： π ； III 平面简谐波的速度:; IV 平面简谐波的加速度：V 讨论：i 当x 一定时:某一特定质点---表示在x 处质点的振动方程； ii 当t 一定时: ---表示各点在t 时刻离开平衡位置的位移；iii 当x 和t 都变时：方程表示各个质点在所有位置和时间离开平衡位置时的位移6.6 波的能量I 波的动能等于势能，且在平衡位置时动能和势能最大 II 波的任何一个体积元都在不断地吸收和放出能量，由于是个开放的系统，能量并不守恒；6.7 波的能量密度w （描述能量的空间分布）：单位体积中的平均能量密度2212w A ρω=; 6.8 能流P ：单位时间内通过某面积S 的能量；平均能流 ;6.9 能流密度I （描述波能量的强弱）：通过垂直于波传播方向的平均能流。
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
W大学物理公式总结
b
a
Edl q0 (Va Vb )
磁通量： B dB
4
0 Idl sin
r
2
（ 0 = 4 10 T m / A ，称为真空磁导率）
-7
长度为 L 的直导线，通有电流 I，则在距导线距离为 a 的 P 点处的 磁场为： B
0 I （cos 1 cos 2）， 当 导 线 无 限 长 时 ， 4a
a
（ f 为透镜焦距）
每条明纹或暗纹的线宽度： x f
a暗Leabharlann 纹的位置：xk 第k级f k a f 明条纹的位置：xk (2k 1) a 2
光栅常熟：d=a+b， (a 是透光部分的宽度，b 是不透光部分的宽度）
sin
k (主极大) ，当 sin 1 时，k 取最大值，可算出最大 d
记示压强示数=实际压强—大气压强 通过雷诺数判断层流或湍流，Re>2000（湍流） ，Re<2000（层流） 理想气体状态方程： PV 压强与平均平动能（
m RT 【R=8.31J/(K·mol)】 M
m 0v 2 2 ）温度的关系： P n , p nkT ，其中 n 为单位体积内 2 3
dV
r2
dq dq dq ，电荷面密度 ，电荷体密度 ） dl dS dV
真空中的高斯定理：在真空中的静电场内，通过任一封闭曲面 S 的电通量等于该封闭曲面 内所有电荷量的代数和除以 0 ，与封闭曲面外的电荷无关。 电通量 e
EdS
S
q
0
（ q q1 q2 q3 ... qn ）
大学物理 振动和波动
ox 0
x
为半径作圆周（参考圆）
c
3、过 x 0 点作o x 轴的垂线，与圆交点为 b 、c
4、从o到 b、c 分别作矢量
5、
v0
v0
0
0
，下方矢量为旋转矢量
，上方矢量为旋转矢量
（
t
t
）
0
20
o 画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过 x 0 作垂线
到交点画矢量，若 v0 0 ，在下 方; 反之在上方.
3
一、简谐振动(Simple Harmonic Vibration)
1. 特征
k FN
★ 动力学特征
m
x
o x
F合外力（矩）kx
p 运动物体相 对平衡位置 的位移或角
位移
合外力（矩）
坐标原点必须在平 衡位置的运动物体
（广义弹性力） 的广义坐标
（准弹性力）
平动：（线）坐标
转动：角坐标 4
★ 微分方程特征
结论：夹角 t0
② 写运动方程
xA co s(t )
A
x02
v0
2
夹角 t0
21
例2 两个物体作同方向、
同频率、同振幅的 谐振动，在振动过 程中，每当第一个 物体经过位移为 A / 2 的位置向平衡位 置运动时，第二个物体也经过此位置， 但向远离平衡位置的方向运动，试利用 旋转矢量法求它们的相位差。
旋转角速度 固有圆频率
t
A t 0
A
t
o
x
满足上述四个条件的矢量称为旋转矢量
17
结论：
◆ 相位 t
大学物理简谐运动的合成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
大学物理《普通物理学简明教程》振动、波动和光学习题精解
振动、波动和光学习题精解第10章 机械振动10.1 要求1 了解 简谐振动的能量；2 理解 旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；3 掌握 简谐振动的各物理量（ϕω,,A ）及各量间的关系、简谐振动的基本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方程、同方向和同频率简谐振动的合成。
10.2 内容摘要1 简谐振动运动学方程)cos(ϕω+=t A x特征量：振幅A ：决定振动的范围和能量；角频率ω：决定振动重复的快慢，频率ωπνπων21,2===T 周期； 初相ϕ：决定起始的时刻的位置和速度。
2 振动的位相 （ϕω+t ）简谐振动在t 时刻的位相；3 简谐振动动力学方程0222=+x dt x d ω 弹性力：kx F -=，Km T m K πω2,==； 4、简谐振动的能量 2222121)(21kA kx dt dx m E E E k p =+=+= 5、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。
稳态的受迫振动的频率等于驱动力的频率。
当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。
6、同方向、同频率简谐振动的合成 )cos(111ϕω+=t A x ， )cos(222ϕω+=t A x)cos(21ϕω+=+=t A x x x其中， A =)cos(212212221ϕϕ-++A A A A ， 22112211cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++= 相位差12ϕϕϕ-=∆起了相当重要的作用（1） 两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：同向时 （ 3,2,1,0,2=±=∆k k πϕ），合振动最大，为两者振幅之和； 反向时 合振动最小[ 3,2,1,0,)12(=+±=∆k k πφ]，为两者振幅之差；（2） 两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为两个谐振的频率之差。
大学物理-简谐振动讲义
t
A
a v
o·
t=0
x· x
v Asin(t )
Acos( t )
2
Av cos( t v )
a 2 Acos( t ) Aa cos( t a )
简谐振动旋转矢量表示法的应用
应用: 可以方便地确定初相位φ和相位
x0 0 x0 0 v0 0 v0 0
b a
a4 b3
F
(dF dr
) r r0
x
a4 b3
x
kx
其中
k
a4 b3
，为等效劲度系数.
➢ 结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.
周期为：
T 2
m 2π k
b3 a4
m
角频率为：
a4 b3m
例题 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。
已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的 振动为简谐振动，并计算周期。
x
A
= 2
O
t
-A
❖ 相位差
x1 A1 cos(1t 1) x2 A2 cos(2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1) 2 1 （当2 1时）
k1
m1
k2 m2
x1
O
x2
若 2 1 2kπ
若 2 1 (2k 1)π
A1 x
x1
A2
o
x2
T
A1 x
A2
x1
x0 0 x0 0
x
v0 0 v0 0
M1 φ1
P φ2
M
2
[例1] 已知某质点作简谐运动, 振动曲线如图. 试根据图中数据
写出振动表达式.
大学物理教程课件讲义周期震动
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
大学物理知识点
然后用高斯定理公式：
E dS
1
S
0
i
qi ；可将全部或部分高斯面上的电场强度提到积分
号外面来，计算出高斯面上的电场强度 E 。
B
利用电势的定义式： U A
5
（2）波的相干条件：1)频率相同；2)振动方向相同；3)相位差恒定。 （3）干涉加强和减弱的条件：两相干波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强
或减弱的条件由两波在该处的相位差
2
1
2π
(r2
r1)
决定。
相位差与波程差之间的关系： 2 x
当相位差满足 的偶数倍，即： 2k 时，振幅最大， AMAX A1 A2 ；
3.磁通量 积分四步走: 建立坐标系，取面积元，写出元磁通量，积分。
m
s dm
B dS
s
4.真空中恒定磁场的高斯定理（恒定磁场是无源场）
表达式：m
B dS 0
s
(因为磁感应线是闭合曲线,从闭合曲面一侧穿入,必从另一侧穿出.)
物理意义：表明稳恒磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量（磁感应强度沿任意闭合曲面的面
B
电势差： U AB
E dl
A
B
电势能： WA q0
E dl
A
（设 B 点电势能为零，则此式可求 A 点的电势能）
B
AAB q0
E dl
A
WA WB
第 11 章 恒定磁场：
毕奥萨伐尔定律的应用、简单形状载流导线磁场 B、对称性磁场 B 分布、磁通量、磁场高斯
大学物理(工科) 4—1 简谐运动、旋转矢量简谐运动的合成
2
tan1( v0 ) 注意: 确定 的象限 x0
二、简谐运动的描述
x Acos(t )
1.解析法(由振动表达式)
A, T, , x, v, a
2.曲线法(由振动曲线)
x
x Acos(t )
A
►确定振幅A；
o
►确定周期T，ω；
►确定φ
-A
T
t
•根据图像判断速度的正负用斜率 •利用初始条件确定几个φ，再利用速度正负判断保留φ
3、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
4、理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐 运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函 数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密 度概念.
匀速直线运动
直线运动
匀变速直线运动
学
变速直线运动
过 的
变加速直线运动
运
动 形
平抛运动
式
抛体运动
例4.2: 已知一简谐振动的曲线如图所示，写出振动方程。
x （cm）5
6
2
3
p
O 1
t（s）
解: 已知振动方程表达式为：x Acos(t )，v Asin(t )
► 定振幅: A=0.06m
►定初相
x0 0.06cos 0.03
cos 0.5
利用斜率判断0时刻速度方向 0 0
晶格点阵
§4—1 简谐运动、旋转矢量、简谐运动的能量
一、简谐运动动力学 1.模型
2.定义 ►受力：F=-kx
►动力学微分方程：
d2 dt
x
2
2
x
0
令 2 k
m
►运动方程： x(t)=Acos( t + )
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tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
第五章 机械振动
5 – 4论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
2. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这两个 简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
（1） 3π / 2
x
（2） π
A/2
O
（3） π / 2
t
-A （4）0
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
* 二 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
x1 A1 cos1t A1 cos 2π 1t
x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
相位差
2 1
1）相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
2）相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
x1 A1 cost
x2 A2 cos(t π )
x (A2 A1) cos(t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
物理学教程 （第二版）
3. 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动
x1 (4 102 m) cos(2s1t π 6) x2 (3102 m) cos(2s1t 5 π 6)
合振动的振幅为： ___A____1___1__0__2__m___；
π
初相位为：_____________6_________。
第五章 机械振动
xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
1. 有两个振动:x1 = A1cost, x2 = A2sint,且A2< A1. 则合成振动的振幅为
(A) A1 + A2 (B) A1－A2 (C) A12 A22 (D) A12 A22
物理学教程 （第二版）
x
(2 A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A
2 A1
cos 2π
2
1
2
t
Amax 2 A1 Amin 0
2π 2 1 T π
2
T 1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
x x1 x2
物理学教程 （第二版）
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
x x1 x2 A1 cos 2π 1t A2 cos 2π 2t
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
4. 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π 3),
x2 0.03 cos(10t )
则（1） x1 x2 为最大时， 为___2_k_π____π__/_3__
（2） x1 x2 为最小时， 为__2_k_π____4_π__/_3_