大学物理经典系列之简谐振动

最大
A
A
简谐振动定义
弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。
（1）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或 正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。
x = A cos(ωt + φ) （2）动力学定义：物体仅受下式的合力作用的振动 称为简谐振动。
F=-kx （3）简谐振动的运动微分方程
d2x / dt2+ ω2 x = 0
2
x
0
即简谐振动 的微分方程
m
m 该微分方程的通解
a2x xAcots()简 运谐 动振 学动 方的 程
d2x 2x
dt 2
A, 为求解时的积分常量，由初始条件决定。
k m
是由谐振子本身的性质决定的， 称为振动系统的固有角频率。
简谐振动的振动方程 A
A
简谐振动的速度
A
A
简谐振动的加速度
A
A
最大
最大
（1）按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。 （2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。 （3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。 （4）按振动位移分： 角振动、线振动。 （5）按系统参数特征分： 线性、非线性振动。
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。
求（1） 初位相。
（2）t =0.5s 时, 物体的位置、速度、加速度。
解：（1）由旋转矢量图看
t 0
1? 2 ?
3
3
1 12
0 2 x(cm)
（2）t =0.5s 时
xAcos(2T t)12cos(22 053)
10.4(cm )
v A s in (t)18.9(s1)
2 周期和频率
（1） 周期
x xt图
A
o
Tt
T
完成一次振动需时间-----振动的周期。A
2
x(t)x(tT) A co t ) s A ( co ( t T s ) [ ]
T2
T 2
对弹簧振子： k
m
（2）频率
T 2π m k
对单摆
T 2 2 l
g
每秒内振动的次数称为频率ν，单位：赫兹（HZ）
例三 弹簧振子
m = 5×10 -3 kg k = 2×10 -4 N·m -1
t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m·s -1
完成下述简谐振动方程
k m
0.2 (rad ·s –1)
x0 v0
2 (m)
已知 x0 = 0 v0
相应的旋转矢量图为 v0
2
0.2
(SI)
讨论 ➢ 相位差：表示两个振动状态相位之差 .
由牛顿第二定律
mat mg
d2
ml
mg
dt2
令 2 g l
d2
dt2
2
0
T 2 2
l g
单摆运动学方程： mcots()
以弹簧振子为例
Fkx xAco st() vAsin(t)
E k1 2m v21 2m 2A 2si2(n t)
Ep1 2k2 x1 2k2 A co 2( st)
总机械能
解 （1） amaxA2
a max 20s1
A
T 2π 0.314s
（2） Ek,ma x1 2m vm 2 a x1 2m 2A22.0103J
（3） E Ek,max2.0103J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103J
由
Ep
1kx21m2x2
22
x2
2Ep
m 2
0.51 04m2
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2co2st
2
t Ek
1m2A2sin2t
2
例 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数 k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置 上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩 檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去 力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物 体的运动方程。
方法二，用旋转矢量法
由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻 的振幅矢量图如图所示。由图可知，
(1) 3
(2)
tb
2
ta 0
(3)
ta
3
T
2
T 6
/2 /2/3 5
tb
2/T
T 12
［例］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的x—t振动曲线，已知
振幅A、周期T、且t=0 时 x ，A 求：
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
xA co t1s () xA co 来自t2s ()tt2
t1
x
A
ab
tb
A2
t
x
o
A
v
π
A 0 A ta A
2
t π 3T1T
3
2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
t+ t = 0
A
x
o
: 初相位 t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )0
A
A
11
t 物x 体 在A 负c o 向s (位t移 极) 大处, 速度为零. 下个时刻要向 x 轴的正方向运动.
: 初相位
t=t
t+
t=0
A
x t+ ：相位
o
x = A cos ( t﹢ ) A
A
A
11
大学物理经典系列之简谐振动
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
如：机械振动、电磁振动、分子振动、原子振动……。
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等.
机械振动的特点：
（1）有平衡点。 （2）且具有重复性。即具有周期性振动。
机械振动的分类：
a A 2co s(t)103(cm s2)
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
t=0
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
= 2 / T = (rad /s )
0.04
SI
2
A
v0
=/2
A 从 t = 0 作反时针旋转时，
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，
即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致。
一 弹簧振子的振动
弹簧振子
若弹簧本身的质量和摩 擦力忽略不计，即只有 弹性恢复力作用下的质 点的模型称为弹簧振子
平衡位置
物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置。
l0 k
m
A o
x
A
自然长度 l0 平衡位置(原点）
x0 F0
A
F
o
m
x
A
x
任意位置
a
Fk xmad2 x
k x 令 2 k dt 2
1 T
角频率 2 2
T
周期和频率仅与振动系统 本身的物理性质有关
3 相位
xAcots()
相位 ：
是界定振子在时刻 的运动状态的物理量
运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于
A
A
x xt图
A
o
Tt
T
X A
2
初相 ：是
时，振子的相位。( 取 [ π π或][0 2 π)
所谓
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。
: 初相位
t+ t = 0
t=t
o
A
x t+ ：相位
x = A cos ( t﹢ )A
A
A
11
循环往复
A旋x 转 一A 周c ，o s 投(影t点 作一)次全振
动，所需时间为谐振周期。
T
2
t
o
: 初相位
t=0
A
x t+ ：相位
A
A
11
矢量 画法小结
t = t 旋转矢量的模 A 振幅
讨论: 竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？
例二 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧
振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
平衡点
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
合外力
动力学方程
微分方程
的解：
振动方程 A
均与水平弹簧振子结果相同
x 1 A 1cot s1 )( x 2 A 2co t s2 )(
(t 2 ) (t 1 ) 21
0同步
x
π反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
t
to
t
［例］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的x—t振动曲线，已知
振幅A、周期T、且t=0 时 x ，A 求：
(1)该振动的初相位；
2
(2)a、b两点的相位； (3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?
A
0
且
，则 在第四象限，故取 = / 3
将 A = 0.12 m，T = 2 s , = 2 / T = rad ·s -1 ,