大学物理习题解答8第八章振动与波动 (1)

第八章 振动与波动

本章提要

1. 简谐振动

· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程

()cos x A t ωϕ=+

其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+ϕ）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位ϕ 称为初相位。

· 简谐振动速度方程

d ()

d sin x v A t t

ωωϕ=

=-+

· 简谐振动加速度方程

2

2

2d ()d cos x a A t t

ωωϕ=

=-+

· 简谐振动可用旋转矢量法表示。

2. 简谐振动的能量

· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为

2

12k E m v

=

· 弹簧的势能为

2

12p E kx

=

· 振子总能量为

P

2

2

2

2

2

211()+()22

1=2

sin cos k E E E m A t kA t kA

ωωϕωϕ=+=++

3. 阻尼振动

· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。

· 阻尼振动的动力学方程为

2

2

2d d 20d d x x x t

t

β

ω++=

其中，γ是阻尼系数，2m

γ

β=

。

（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。

4. 受迫振动

· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为

2

2

P 2d d 2d d cos x x F x t t

t

m

β

ωω++=

其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。

· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。

5. 简谐振动的合成与分解

（1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为

111()cos x A t ωϕ=+ 222()cos x A t ωϕ=+

合振动方程可表示为

()cos x A t ωϕ=+

其中，A 和ϕ 分别为合振动的振幅与初相位

A =

11221122

sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=

+

（2） 二维同频率的简谐振动的合成

若一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，且此两个简谐振动分别在x 轴和y 轴上进行，运动方程分别为

11()cos x A t ωϕ=+ 22()cos y A t ωϕ=+

其合振动方程为

222

21212

2

1

2

12

2()()cos sin x

y

xy A A A A ϕϕϕϕ+

-

-=-

该为一个椭圆方程，椭圆形状由振幅A 1、A 2及相位差21()ϕϕ-决定。

（3） 二维不同频率的简谐振动的合成

如果两个相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，合运动的轨迹也是稳定的闭合曲线，这样合成振动的轨迹图形称为李萨如图形。

6. 简谐波

· 若波源作简谐振动，那么当这种振动在介质中传播时，介质中的各点也作与此频率相同的简谐振动，这样形成的波动称为简谐波。

· 简谐波的波动方程

()

cos x y A t u ω=-

或

2(

)

cos t x

y A T πλ

=-

或

2()cos x

y A t πνλ

=-

7. 简谐波的能量密度

· 单位体积的介质中波的能量称能量密度，用w 表示，其描述了介质中各处能量的分布情况

222sin E

x w A t V u ρω∆∆⎛

⎫=

=- ⎪⎝⎭

· 平均能量密度表示一个周期内能量密度的平均值

0222

2

2

1d 1d 12

sin T T w w t

T x A t t T u A

ρωρω=⎛

⎫=-

⎪⎝

⎭

=⎰⎰

· 波动的能流密度

22

12

I w u u A ρω=⋅=

8. 多普勒效应

· 当观察者或波源相对于传播的介质运动时，观察者接受到的波的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。

（1） 波源静止，观察者相对于介质运动 观察者接收到的频率为

0011v u v u u vT

v ννλ

++⎛

⎫=

=

=+ ⎪⎝

⎭

（2） 观察者静止，波源相对于介质运动

观察者接收到的频率为

11

s s s

v

v

v v u T

vT u T

v u ννλλ=

=

=

=

---

（3） 波源和观察者同时相对于介质运动 观察者接收到的频率为

01s s

v u v u u T

v u ννλ++=

=

--

思考题

8-1 什么是简谐振动？下列运动哪个是简谐振动？（1）拍皮球时球的运动；（2）人的脉搏运动；（3）一个小球在球形碗底部的微小摆动。

答：简谐振动是物体在回复力（弹性力或准弹性力）作用下的运动。在运动过程中，平衡位置两侧的回复力方向不同；运动轨迹是正弦曲线 （1） 该现象好象是往复运动，实际上由于在运动过程中重力的方向始终不变，因而不是简谐振动

（2） 运动轨迹不是正弦曲线，不是简谐振动。

（3） 一个小球在球形碗底部的微小摆动时，重力的切向分力起着回复力的作