大学物理简谐运动

4
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振幅
为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t 1.0s时，物体所处的位置和所受的力；
x/m
物理学教程 （第二版）
解 （1） k 0.72N m1 6.0s1
m
0.02kg
A
x02
v02
2
x0
0.05m
tan v0 0 x0
0 或π
oAx
由旋转矢量图可知 0
x Acos(t ) 0.05cos6.0t m
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m处停下后再释
放，求简谐运动方程；
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 A 处时的速度； 2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有
向右的初速度 v0 0.30m s，1求其运动方程.
x/m
o 0.05
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
2π
T
当 t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为 原点旋转矢 A 量 的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
x, v
简谐运动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
4 常数 A和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
物理学教程 （第二版）
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
图
物理学教程 （第二版）
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化
所需的时间.
(t2 ) (t1 )
x Acos(t1 ) x Acos(t2 )
物理学教程 （第二版）
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
k A2
A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
π
3
v0 0
π
3
A
π3
0.08 0.04 o 0.04
x/m
0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
m 0.01kg
0.08 0.04 o
x/m
0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
Ek ,m a x
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2
A2
2.0103 J
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
T 0.314s
Ek,max 2.0103J
（3）总能量；
E Ek,max 2.0103 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？
Ek Ep 时，
t 1.0s 代入上式得
x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
（2）由起始位置运动到 x 0.04m处所需要的最短时
间.
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要的
物理学教程 （第二版）
A
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 O轴x负方向）
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
Ep 1.0103J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
4-3 两5 –个1 简同谐方运动向简同谐频运动率的简振幅谐周运期动频的率和合相成位
物理学教程 （第二版）
Fra Baidu bibliotek
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
物理学教程 （第二版）
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
t
T
A
v vt 图
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
物理学教程 （第二版）
1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学描述
d2x dt 2
2x
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
➢ 简谐运动的特征 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
（由振动系统本身性质决定）
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解 A 0.08m
2π π s1
T2
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
A 0.08m
2π π s1
T2
t 0, x 0.04m 代入 x Acos(t )
0.04 0.08cos
2π
T
t t 时
A
t
以 o为 原点旋转矢 A 量 的端点
x 在 轴上的
o
x x0 x
x Acos(t )
投影点的运 动为简谐运 动.
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
x Acos(t )
旋转 矢量A的
x 端点在
轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
物理学教程 （第二版）
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具
有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
解
A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π
A＇
44
因为 v0 0，由旋转矢量图可知
＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
物理学教程 （第二版）
2 振幅
A xmax
3 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
ox
物理学教程 （第二版）
x
F kx ma x Acos(t )
令 2 k m
积分常数，根据初始条件确定
a 2 x v dx A sin(t )
a 与 x 方向相反
dt
d2x dt 2
2x
0
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
t
t2
t1
x
A
a
b
Ab
A2
t
x
o
A
v
π
A
t π 3 T 1 T
0
A 2
Aa
A
3
2π 6
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调 上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
y vm t π
t an
0 a
2 A
x
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
t 最短时间为
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
解法二
物理学教程 （第二版）
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
2
t 0.667s
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
图
x A
x x Acos(t ) π
A
4
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
第8章 简谐振动和简谐波 5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
运动形式: 直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等.
周期和非周期振动
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
谐振子: 作简谐运动的物体.
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
一 简谐运动 弹簧振子的振动
物理学教程 （第二版）
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
Fm
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同步
π 反相
超前
为其它 落后
x
x
x
o
o
o
t
t
t
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
系数 k 0.72N m，1 物体的质量 m 20g .
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
4-3 两5 –个1 简同谐方运动向简同谐频运动率的简振幅谐周运期动频的率和合相成位
物理学教程 （第二版）
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
8 简5谐– 1运简动谐运旋动 简转谐矢运动量的振简幅谐周期运频动率能和相量位
➢ 简谐运动的判断（满足其中一条即可）
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0102 m 作简谐运
动，其最大加速度为 4.0m s2，求：
（1）振动的周期；
解:
amax A 2
amax 20s1
A
T 2π 0.314s
（2）通过平衡位置的动能；
物理学教程 （第二版）
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2, )
xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ