2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第29讲 复数的概念与运算

B．(3，＋∞) D．(5，＋∞)
x－5<0 【解析】由题意可知， ⇒3<x<5. 3－x<0
2 5.若 ＝a＋bi(i 为虚数单位，a，b∈R)，则 a＋b＝ 1－i
2 .
【解析】由已知得 1＋i＝a＋bi，所以 a＝1，b＝1， 所以 a＋b＝2.
一
复数的概念及运算
m2＋m 【例 1】设 m∈R，z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m m＋2 －3)i，若 z1＋z2 为虚数，求 m 的取值范围．
【点评】先进行加法运算 z1＋z2，因为 z1＋z2 是虚数，利用 虚部不为零解之，同时，要注意实数中含有分母，一定要 使分母不为零．
素材1
计算： 2＋2i4 (1) 5； 1－ 3 －2 3＋i 2 2012 (2) ＋( ) . 1－i 1＋2 3i
161＋i4 【解析】(1)原式＝ 1－ 3i41－ 3i 16· 2 2i ＝ －2－2 3i21－ 3i －16 ＝ 1＋ 3i×4 －4 ＝ ＝－1＋ 3i. 1＋ 3i i1＋2 3i 2 2 1006 (2)原式＝ ＋[( )] 1－i 1＋2 3i 2 1006 ＝i＋( ) ＝i＋i1006 －2i ＝i＋i2· 4)251＝i－1. (i
【点评】涉及复数方程有实根问题一般利用复数相等的充要条 件进行转化求解．
素材2
已知集合 M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若 M∩N＝{3}，求实数 m 的值．
【解析】因为 M∩N＝{3}，所以 3∈M 且－1∉M， 所以 m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3 或 m＝3， 所以 m2－5m－6＝0 且 m≠－1 或 m＝3. 解得 m＝6 或 m＝3.
7．复数的代数形式的四则运算： 若a、b、c、d R，则： + bi c + di ⑥ ________ ； a
a + bi c + di ⑦ ________________ ；
a bi a bi c di ⑧ ________________ ； 2 2 c di c d 其中c、d 不同时为0.
2 9 故当 x＝ 8 ，|z＋ 2|有最大值2.
【点评】 此题若令 z＝x＋yi， 问题的条件和结论都是较复杂的 式子，不好处理，从复数的加、减法的几何意义去理解，则 是一道简单的几何问题．
素材3
若复数 z 满足|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
【解析】方法 1：一般的，满足|z－z0|＝r 的复数 z 对应 的点的轨迹是以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆． 因为圆|z＋2－2i|＝1 的圆心为 C(－2,2)，半径 r＝1，而|z －2－2i|表示圆上的点到定点 A(2,2)的距离，故其最小值为 |CA|－r＝4－1＝3. 方法 2：因为|z－2－2i|＝|z＋2－2i－4| ≥||z＋2－2i|－4|＝3， 故|z－2－2i|min＝3.
有实根，求实数 k 的值．
【解析】令 x＝m 是方程的实根， 则 m2＋(k＋2i)m＋2＋ki＝0， 即(m2＋km＋2)＋(2m＋k)i＝0. 由复数相等的充要条件知，
m＝ 2 m＝－ 2 m2＋km＋2＝0 ⇒ 或 . 2m＋k＝0 k＝－2 2 k＝2 2
所以方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， 的几何意义及应用
【例 3】设复数 z 满足|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2，求|z＋ 2| 的最大值．
【解析】 由|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2的几何意义知 z 对应点 x2 y2 在椭圆 2 ＋18＝1 上． 所以|z＋ 2|＝ x＋ 22＋y2 ＝ x＋ 22＋18－9x2 ＝ －8x2＋2 2x＋20 ＝ 2 2 81 －8x－ 8 ＋ 4 .
【点评】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时 含有虚数单位“i”此看作一类同类项，不含 i 的看作另一类 同类项，分别合并即可，要充分利用 i 的周期性，i4n＝1， i4n 1＝i，i4n 2＝－1，i4n 3＝－i(n∈N*)．
＋ ＋ ＋
二
复数相等及应用
【例 2】 已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0
1.如果复数(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i 是纯虚数，则实数 m 的值为 ( A．0 C．0 或 3 ) B．2 D．2 或 3
m2－5m＋6≠0 【解析】 由题意 2 ，m＝0. m －3m＝0
故选 A.
2.已知复数 z1＝2＋i， 2＝1－i， z＝z1z2 在复平面上对应 z 则 点位于( ) B．第二象限 D．第四象限
备选例题
在复数集 C 内解一元二次方程 x2－4x＋5＝0.
【解析】 由于 Δ＝b2－4ac＝16－20＝－4<0， 4± 4i 所以 x＝ 2 ＝2± i.
【点评】实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方 程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二 次方程总有解．当 Δ<0 时，实系数的一元二次方程有成对共 轭虚数根．
纯虚数 虚数a + bi (b 0) 非纯虚数
3．复数相等的充要条件： a + bi = c + di ① ____________________________ . 4．复数的模： + bi ② __________ ③ __________ . a 5．共轭复数：a + bi与a - bi互为④ __________ .显然， 任一实数的共轭复数是它自己． 6．复数的代数形式的几何意义复数z = a + bi (a，b R ) 可用复平面内的点Z (a，b)以及⑤ __________________ 表示，且三者之间为一一对应关系． 规定：相等的向量表示同一个复数
A．第一象限 C．第三象限
【解析】z＝(2＋i)(1－i)＝2－i＋1＝3－i， 所以 z 在第四象限，故选 D.
1＋2i2 3.复数 的值是( 3－4i A．－1 C．－i
) B．1 D．i
1＋2i2 1＋4i－4 【解析】 ＝ ＝－1， 3－4i 3－4i 故选 A.
4.若复数 z＝(x－5)＋(3－x)i 在复平面内对应的点位于 第三象限，则实数 x 的取值范围是( A．(－∞，5) C．(3,5) )
1．理解复数的有关概念，以及复数相等的充要 条件． 2．会进行复数的代数形式的四则运算．
3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、
减法的几何意义．
1．复数的代数形式：z = a + bi (a，b R )，其中 i 1，a为实部，b为虚部．
2
2．复数的分类： 实数 复数a + bi 虚数 b 0 ； b 0 a 0 a 0 .
8．复平面内两点间的距离：复平面内两点Z1、Z 2 对应 的复数分别为z1、z2，则 Z1Z 2 ⑨ ________ ⑩ ________ ， 其中O为原点． 9．复数的加、减法的几何意义：复数的加、减运算 满足向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)．
【要点指南】 a c 2 2 ① ；② a b ；③ OZ ；④共轭复数； b d ⑤以原点为起点，点Z (a，b)为终点的向量； ⑥(a c) (b d )i；⑦ ac bd ad bc i； ac bd bc ad ⑧ 2 2 i；⑨ | OZ 2 OZ1 | ；10 z2 z1 2 2 c d c d
1．设 z=a+bi(a， b∈R)，利用复数相等的充要条 件转化为实数问题是求解复数常用的方法． 2．实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是 实数． 3．复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数 运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数 和形的结合，取得事半功倍的效果．
方法 3：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，因此有|x＋2＋(y－2)i|＝1， 即(x＋2)2＋(y－2)2＝1. 又|z－2－2i|＝ x－22＋y－22 ＝ x－22＋1－x＋22 ＝ 1－8x， 而|x＋2|＝ 1－y－22≤1，即－3≤x≤－1， 所以当 x＝－1 时，|z－2－2i|取得最小值 3.
m2＋m 【解析】因为 z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， m＋2 m2－m－4 所以 z1＋z2＝ ＋(m2－2m－15)i. m＋2 因为 z1＋z2 是虚数，所以 m2－2m－15≠0，且 m≠－2， 所以 m≠5，m≠－3，且 m≠－2(m∈R)， 故 m 的取值范围为{m|m≠5，m≠－3 且 m≠－2，m∈R}．