有理数的分类
有理数的分类
（1）按一定速度传播问题：
应
用
（2）平均变化率问题： （3）边的宽度问题： （4）匀变速运动问题：
a a1 x a
v0 0 v 2
1 x
2
„=总数（a 为原产值，x 为增长率）
v
匀变速时间=行驶路程÷平均速度 匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间 速度×时间=路程
添括号法则
（2） 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
整式的乘法
同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
a
m
a a
n
mn
（m、n 都是正整数）
mn m a a （m、n 都是正整数）
n
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方
y a x bx c
y ax x1x x2
x
b 2a
a 0 开口向下
对称轴左侧,y 随 x 的增大而增 大 对称轴右侧，y 随 x 的增大而减 小 函数有最大值。
是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
2
（1）直接开方法： 一元二次方 程的解法 形如
p
2
或
mxn p
2
的形式， 可得 x
p 或 mx n p ）
4）开方
（2）配方法：1）移项（常数项移到等号右边）
2）二次项系数化成 1
3）配方（等号左右两边同加一次项系数一半的平方）
1 a b
有理数知识点总结
有理数知识点总结有理数的定义包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。
1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。
“分类”的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准2.非负数：正数与零的统称。
3.相反数：(1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.(2)求相反数的公式: a的相反数为-a.(3)性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。
4.数轴：(1)定义(“三要素”):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。
5.绝对值：(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。
(2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
①符号"││”是“非负数”的标志;②数a的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号。
有理数的乘方1.乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫乘方,其中,n为自然数，乘方的结果叫幂.一般地,a·a·...·a(n个a)记作an,其中a叫底数,n叫指数,读作a的n次方或a的n次罪。
指数为1时,可省略不写，底数是分数或负数的应添括号.应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中,前者底数是-3,后者底数为3;前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等,是互为相反数.注意(1)任何数的偶次幂都是非负数.(2)-1的偶次幂得1,-1的奇次幂为-1.(3)1的任何欢幂都得1,0的任何次幂都为0.2.科学记数法一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法叫科学记数法.用科学记数法表示一个大于10的数时,10的指数(即n的值)比原数的整数位数少1.如原数有6位整数,n=5.被表示的数若是负数时,用科学记数法表示一个数,不能改变被表示数的大小，并按记数的要求书写,不要遗漏了负号.3.有效数字经四舍五人的近似数,从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止,所有的数字,都叫这个近似数的有效数字.4.精确度精确度是近似数的精确程度，一般表现为两种形式:(1)精确到某一位一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位，如近似数0.576精确到千分位，或称精确到0.001.(2)保留若干个有效数字一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字,如近似数0.324是保留三位有效数字.注意：给定一个近似数,要确定其精确度,主要是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置所决定的.5.有理数的混合运算规则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号内，计算过程中，灵活运用运算律.有理数运算法则加法法则1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;3.一个数同0相加,仍得这个数.减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数.运用此法则时注意“两变”：一是减法变为加法;二是减数变为其相反数总结①.有理数的加减法可统一成加法.②.因为有理数加减法可统一成加法,所以在加减运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便.但要注意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.乘法的法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0.几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.除法的法则：0没有倒数,乘积为1的两个数互为倒数.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不为0的数,都得0.(分母≠0).利用除法法则可以化简分数.在有理数混合运算中：1.先乘方,再乘除,最后加减;2.同级运算从左到右按顺序运算;3.若有括号,先小再中最后大,依次计算.常见考法绝对值、相反数、数轴的概念难度不大，但极易混淆。
初中七年级数学有理数的分类
有理数定义及分类定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
概况：有理数为整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数性质：在数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数的计算法则1）、有理数加法法则1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。
如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、1.1+1.1=2.22.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。
如-1+2=+|2-1|=1 、2+(-3)=-|3-2|=-1 、-3.2+3.2=03.一个数同0相加，仍得这个数。
3.14+0=3.14注意：注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。
从而确定用那一条法则。
在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
数学有理数的分类与特性解析
有理数的四则混合运算
有理数的分类 有理数分为正数、负数和零，这是数学的基本概念。 有理数的特性 有理数具有加减乘除等四则运算能力，这是它的主要特性。 四则混合运算 通过实例分析四则混合运算，可以更深入理解有理数的性质和应用。
04
有理数的大小比较
正负有理数的大小比较
有理数的正负性 有理数分为正有理数和负有理数，正数大于零，负数小于零。 绝对值与大小关系 正数和零的绝对值越大，数值越大。 负数的大小比较 负数的大小比较与其绝对值有关，绝对值越大，数值越小。
负有理数特性
• 所有负有理数的绝对值都小于0，例如-3、 -5等，且在数轴上位于0左侧。
整数和分数的有理数
有理数的整数特性 整数是有理数的一种，包括正整数、零和负整数，具有明显的数学特性，如加减乘除等运算规则。 分数有理数的多样性 分数有理数包含正数和负数，且分子和分母可以是任何大于零的整数。这种多样性使其在解决实际问题中有着广泛的应用。
有理数的分类 有理数可分为正有理数、负有理数和零，如2017年美国人均收入52000美元为正，-10美元为负。 有理数的性质 有理数的运算遵循交换律、结合律等性质，例如3+4=4+3，（3+4）*5=3*5+4*5。 有理数在生活中的应用 在财务管理中，借贷双方使用正负有理数表示金额的增减；在物理学中，速度是距离除以时间的有理数。 有理数的实际意义 气温变化、股市波动等生活中的实际问题都可以用有理数来表示和分析，如2018年美国平均气温15.6度。
有理数在数学问题中的应用
有理数的分类
有理数 正整数 负整数
零 分数
有理数的特性解析
有理数 四则运算 基本特性
封闭性 重要特性
有理数 实际生活问题
教案有理数的分类
教案有理数的分类一、教学目标1. 让学生理解有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义及它们之间的关系。
2. 培养学生运用有理数的概念、性质和分类解决实际问题的能力。
3. 通过对有理数的分类，培养学生逻辑思维能力和归纳总结能力。
二、教学内容1. 有理数的分类2. 正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义及性质三、教学重点与难点1. 教学重点：有理数的分类，正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义及性质。
2. 教学难点：有理数的分类及它们之间的关系。
四、教学方法1. 采用讲授法、问答法、案例分析法、小组讨论法等相结合的教学方法。
2. 利用多媒体课件、实物模型、例题等教学资源，直观展示有理数的分类及性质。
3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高分析问题和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课教师通过生活实例或故事引入有理数的分类，激发学生兴趣。
2. 讲授新课1) 讲解有理数的分类：整数、分数；2) 讲解正数、负数、正有理数、负有理数、非负数的定义及性质；3) 通过举例让学生理解有理数之间的关系。
3. 课堂练习1) 让学生完成教材中的相关练习题；2) 教师挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
4. 小组讨论1) 教师提出讨论题目，让学生分组进行讨论；2) 各小组派代表分享讨论成果，教师进行点评。
5. 总结与拓展1) 教师带领学生总结本节课所学内容；2) 提出拓展问题，引导学生思考。
6. 布置作业教师根据本节课所学内容，布置适量作业，巩固学生所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况、小组讨论表现等，了解学生的学习态度和兴趣。
2. 练习题评价：对学生在课堂练习和课后作业中的表现进行评价，了解学生对有理数分类的理解和掌握程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的合作意识和沟通能力，以及对有理数分类的深入理解。
有理数相关知识点
有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a >⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a =. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6. 乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.。
有理数的定义和分类
10、π是有理数。
6
LOGO
有理数的定义及分类
LOGO
有 理 数
Hale Waihona Puke 整 数分 数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3… 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
2
LOGO
有理数的另一种分类：
有 理 数
正有理数
0 负有理数
正整数 正分数 负整数
负分数
3
LOGO 1、下列各数中:
练习：
7， -9.24， -301， 31.25， 0， -18， 1/3, 3.1415926……，2009，-0.14287，67%，π
正数有（ 整数有（ 正整数有（ 正分数有（
）， ）， ）， ），
负数有（ 有理数有（ 负整数有（ 负分数有（
） ） ） ）
4
LOGO 2、判断。 1、负整数和负分数统称负有理数。 2、正整数、0、负整数统称为整数。
3、正有理数与负有理数组成全体有理数。
4、3.14是小数，也是分数。
5、0既不是正数，也不是负数，也不是整数。
5
LOGO 6、正整数与负整数统称为整数。 7、既是分数，也是负数，也是有理数。
8、0是最小的有理数。
有理数与无理数分类
有理数与无理数分类数学中的数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数，而无理数则是不可用有限或无限循环小数形式表示的数。
有理数和无理数在数学中有着不同的性质和特点。
本文将对有理数和无理数进行分类和讨论。
一、有理数的分类有理数可以分为整数和分数两种。
1. 整数整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数。
2. 分数分数由分子和分母组成，分子是整数，而分母是正整数。
分数可以表示为两个整数的比值。
分数又可以分为真分数和假分数。
- 真分数：分子小于分母的分数。
例如，1/2、3/4都是真分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
例如，5/4、7/4都是假分数。
二、无理数的分类无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
1. 无限不循环小数无限不循环小数是无理数的一种形式，不能表示为两个整数的比例形式。
无限不循环小数的小数部分是无限长度的，且没有循环模式。
例如，圆周率π和自然对数的底数e都是无限不循环小数。
2. 无限循环小数无限循环小数是无理数的另一种形式，同样不能表示为两个整数的比例形式。
无限循环小数的小数部分是有限长度的，且有一个或多个循环模式。
例如，1/3和22/7都是无限循环小数。
三、有理数与无理数的性质比较有理数和无理数在数学运算、大小比较和表示形式等方面有着不同的性质。
1. 数学运算：有理数之间的四则运算（加法、减法、乘法、除法）仍然是有理数，两个有理数之间的运算结果也是有理数。
例如，1/2 + 3/4 = 5/4，结果是一个有理数。
而无理数与有理数之间的运算结果通常是无理数。
例如，√2 + 1/2是一个无理数。
2. 大小比较：有理数之间可以通过大小关系进行比较。
例如，2/3 < 4/5，即2/3小于4/5。
而无理数之间的大小比较相对复杂，需要借助数学方法进行推导。
一般来说，无理数之间无法直接通过大小关系进行比较。
1.2.1有理数的分类
探究活动
摩托车厂本周计划每天生产250辆摩托车,由于 工人实行轮休,每天上班的人数不一定相等,实际 每天生产量(与计划量相比)的增长值如下表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
根据上面的记录,问:哪几天生产的摩托车比 计划量多?星期几生产的摩托车最多，是多少辆? 星期几生产的摩托车最少，是多少辆?
整数
分
分数 有限小数
小数 无限小数
数 形 无限循环小数 式
无限不循环小数
有理数
2.101001000100001…
有理数还可以分为： 正有理数
有理数 数
___0___ 负有理数
_正__整__数_ 正__分__数__
负__整__数__ _负__分__数_
无限不循环小数 正数和正有理数有什么区别呢？
_整__数___ ___0___
有理数
_分__数___
负__整__数__ _正__分__数_ _负__分__数_
我们怎么区分 整数和分数呢?
有没有有理数 以外的数呢？ 如果有，请举 一例。
有理数分类的几点注意：
1、如
15 3
,
200％,
9 3
等能约分成整数的数
不能 (填“能”或“不能”)算做分数；
注意：正数和正有理数是不同的.例如： 就是
正数，但不是正有理数；
不同的数：
1、正整数 2、负整数 3、自然数 4、 正数 5、 负数 6、非负数 7、非正数 8、非负整数 9、非正整数 10、有理数
如：1、2、3，… 如：-1、-2、-3，… 0和正整数 大于0的数 小于0的数 0和正数 0和负数 0和正整数 0和负整数 能写成分数形式的数
有理数的分类
练习
2，下列说法正确的是 （ D ） A.非负有理数就是正有理数 B. 0仅表示没有，是有理数 C.正整数和负整数统称为整数 D.整数和分数统称为有理数
例3，最小的正整数是______，最大的负整数 1 是_____,所有大于-4的负整数有_________， -1,-2,-3 -1 不大于3的非负整数有____________。 0,1,2,3
（4） 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等 ( （5） 互为相反数的两个数的绝对值相等 (
) )
1．比较下列各组数的大小： (1)－1和－5 (2)－ 和－2．7
练习一:
1.绝对值等于6的数有 绝对值是0的数是 0 。 2.比较大小：│－5│ │-0.05│ │-3│ │－8│ 0； 1；
3、下列说法正确的是（ D ） A：任何一个数的相反数都与这个数 本身不同. B：除零以外的数都有它的相反数， 零没有相反数. C：数轴上原点两旁的两个点所表示 的数互为相反数. D：任何一个数都有相反数.
4、如果数轴上的两点A、B所表示的 数互为相反数，点A在原点的左侧， 并且A、B之间的距离为10，那么点B 所表示的数是（ 5 ）
练习一:
1.绝对值等于6的数有 绝对值是0的数是 0 。 2.比较大小：│－5│ │-0.05│ │-3│ │－8│ 0； 1；
-6 和 +6
3. 判断（对的打“√”，错的打“×”） ：
（1）一个有理数的绝对值一定是正数。 （2）－1.4<0，则│－1.4│<0。 （3） │－32︱的相反数是32 ( ( ( ) ) )
______ 0
负有理数 ______
正整数 ______
正分数 ______
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数的分类
图象经过一、二、三象限 增大而增大
图象经过一、二、四象限
y随x的 增大而减小
b 0
图象经过一、三、四象限
b 0
图象经过二、三、四象限
y k x
双曲线的两支分别位于 第一、三象限
y随x的 增大而减小
双曲线的两支分别位于 第二、四象限
y随x的 增大而增大
解析式
顶点坐标
对称轴
性质
x y a x2 y a 2
正 比 例 函 形如 y = k x （k 是常数，k 0）的函数，叫正比例函数，K 叫做比例系数
数
一次函数 形如 y = k x + b （k、b 是常数，k 0）的函数，叫做一次函数。
( ) 反 比 例 函
数
形如 y = k y = kx x
（ 为常数， ≠0 ）的函数称为反比例函
2
匀变速时间=行驶路程÷平均速度
匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间
速度×时间=路程
二次根式
定义
形如 a a 0 的式子叫做二次根式。“ ”称为二次根号。
性质
1、
a 2 aa 0
2、
a2
a
aa aa
0 0
3、 3 a a
最简二次根 式 加减
加法 有 理 数 减法 的 运 法 则 乘法
除法
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，
并用较大的的绝对值减去较小的绝对值。 3、互为相反数的两个数相加得 0。 4、一个数同 0 相加，仍得这个数。 减去一个数，等于加上这个数的相反数
n n
【数学知识点】有理数的概念和分类
【数学知识点】有理数的概念和分类整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数为整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数有两种分类，分别是正有理数，包括正整数和正分数；负有理数，包括负整数和负分数合。
1、正有理数指的是数学术语，除了负数、0、无理数的数字，正有理数能精确地表示为两个整数之比。
2、负有理数就是小于零并能用小数表示的数。
如-3.123，-1...。
3、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
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实数、有理数、无理数的分类
第 1 页 共 3 页 实数、有理数、无理数的分类
实数可以分成两类：有理数和无理数。
实数也可以按照符号正负分成三类：正实数、负实数、0.
一、常见的有理数类型
（一）有理数的分类法“1”：按有理数的类型来分。
常见的有理数类型有如下几种。
1.整数：所有的整数都是有理数。
2.小数：小数里的有限小数、无限循环小数都是有理数。
3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。
即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。
而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。
【注】本文中的“分数”指的都是分子、分母（分母不为0）都是整数的分数。
值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见
有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。
如：因为2=
，4=-
和都是有理数。
（二）有理数的分类法“2”：按符号正负来分。
把“有理数的分类法一”里面的有理数按正负来分的话，有理数又能分为三类：正有理数、负有理数和0.
二、常见的无理数类型
（一）无理数的分类法一、常见的无理数类型有如下几种。
1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e 等。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
【注】一般来说，两个有理数的和、差、积、商仍是有理数。
两个无理数的和、差、积、商既可能是有理数，也可能是无理数。
（1）两个无理数的和、差、积、商为有理数：（2-e ）+e 、e-e
、e/e 。
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有理数的分类
1、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为整数；＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为分数；
＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为有理数；
＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非负数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非正数；
＿＿＿＿和＿＿＿＿统称为非正整数；＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿统称为非负整数；
有限小数和无限循环小数可看作＿＿＿＿＿；无限不循环小数称为＿＿＿＿＿＿。
2、知识点练习： 1、把下列各数填入相应的大括号里： 16,0.618, 3.14,260,2009,,0.010********
----， ,0,0.3π 正分数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝；有理数集合｛ …｝ 无理数集合｛ …｝
2、把下列各数分别填入相应的大括号内：
13147,3.5, 3.1415,,0,,0.03,3,10,0.23,1722
π----- 自然数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝； 正分数集合｛ …｝；非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝；
2．把下列各数填在相应的大括号里。
1 ，-0.20，513，325，10，0， -3
1,0.618，-2007， -2 整数集合{ ……} 负整数集合{ ……} 正分数集合{ ……} 负分数集合{ ……}
3、将下列各数，按要求分别填在所属的数的集合内。
9
1,27,2013,,3.0,1,14.3%,20,5.5,0,317,29,23----+-π； （1）正整数集合{ 。
} （2）负整数集合{ 。
}
（3）正分数集合{ 。
}（4）负分数集合{ 。
}
（5）负数集合{ 。
}（6）正有理数集合{ 。
}
（7）自然数集合{ 。
}
4、将下列各数分别填入相应的集合内：
17
2,100,78.9,2012,3,0,08.0,7.5,311,2---- （1）正数集合：{ 。
}（2）负分数集合：{ 。
}
（3）整数集合：{ 。
}（4）偶数集合：{ 。
}
5.把下列各数填在相应的大括号内（5分）2
1-，0.81，-3，41，-3.1,-4，171，0，3.14, 正数集合 { …} 非正数集合{ …} 正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 有理数集合{ …}
6、将下列各数，按要求分别填在所属的数的集合内。
9
1,27,2013,,3.0,1,14.3%,20,5.5,0,317,29,23----+-π； （1）正整数集合{ 。
} （2）负整数集合{ 。
}
（3）正分数集合{ 。
} （4）负分数集合{ 。
}
（5）负有理数集合{ 。
} （6）正有理数集合{ 。
}
（7）自然数集合{ 。
}
7．把下列各数填在相应的大括号里。
1 ，-0.20，513，325，10，0， -3
1,0.618，-2007， -2 整数集合{ ……} 负整数集合{ ……} 正分数集合{ ……} 负分数集合{ ……}。