2016-2017年江西省南昌实验中学初三上学期期末数学试卷及答案

2016-2017学年江西省南昌实验中学初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题共有6个小题，每小题3分，共18分）每个小题只有一个正确选项1．（3分）如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣42．（3分）若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7B．7C．3D．﹣33．（3分）若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）4．（3分）下列各组图形有可能不相似的是（）A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形5．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2=1C．a﹣b+c＞0D．当m≠1时，a+b＞am2+bm二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）“某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖．”该命题是命题．（填“真”或“假”）8．（3分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．9．（3分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为．10．（3分）某校在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要元．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（﹣4，0），C（0，6），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的对应点B′的坐标是．12．（3分）PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是．三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：3x2﹣5x+2=0．14．（6分）抛物线的图象如图，求这条抛物线的解析式．（结果化成一般式）15．（6分）如图，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4，（1）请证明△ABC∽△ADE．（2）求AD的长．16．（6分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=4，求AC和BC的长．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．四、解答题（本大题4小题，每小题8分，共32分）18．（8分）宏欣机械厂生产某种型号鼓风机，一月份至六月份的产量如下：月份一二三四五六5051485052 49产量（单位：台）（1）求上半年鼓风机月产量的平均数、中位数；（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七月，八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？19．（8分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．（1）下列事件是不可能事件的是A．选购乙品牌的D型号；B．既选购甲品牌也选购乙品牌；C．选购甲品牌的A型号和乙品牌的D型号；D．只选购甲品牌的A型号．（2）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；（3）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．21．（8分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．五、（本大题共10分）22．（10分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AC=8cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图①，连接OA，则∠OAC的度数为°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，当直线AC与⊙O第一次相切时，求移动时间t1．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）六、（本大题12分）23．（12分）如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，F n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a=﹣1时，①求P1、P2及图象F1的顶点坐标；②点H（2015，﹣2）是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象F n的顶点T n的横坐标为201，请求出图象对应的解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）设图象F m、F m+1的顶点分别为T m、T m+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试在图中先标出Q点所在的位置，再探究：当a为何值时，以O、T m、T m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？且直接写出此时n的值．2016-2017学年江西省南昌实验中学初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有6个小题，每小题3分，共18分）每个小题只有一个正确选项1．（3分）如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x=2代入方程x2=c可得c=4，故选：C．2．（3分）若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7B．7C．3D．﹣3【分析】根据根与系数的关系求出m+n和mn的值，再代入求出即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=﹣2，∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．故选：B．3．（3分）若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．4．（3分）下列各组图形有可能不相似的是（）A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形【分析】分别利用等腰三角形的判定方法，结合内角度数以及等腰三角形的性质判断即可．【解答】解：A、各有一个角是50°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为40°，此三角形必相似，故此选项不合题意；C、各有一个角是50°的两个直角三角形，再利用两直角，即可得出，此三角形必相似，故此选项不合题意；D、两个等腰直角三角形，两角对应相等，此三角形必相似，故此选项不合题意；故选：A．5．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．6．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2=1C．a﹣b+c＞0D．当m≠1时，a+b＞am2+bm【分析】根据二次函数的图象开口向下推出a＜0，根据二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上推出c＞0，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出﹣=1，求出b=﹣2a＞0；即可判断A；根据对称点求得对称轴为x==1，即可求得x1+x2=2，即可判断B；当x=﹣1时，得出y=a﹣b+c＜0，即可判断C；根据抛物线的最大值y=a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），即可判断D．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故A错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，∴对称轴为x==1，∴x1+x2=2，故B错误；∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标＜3，∴与x轴的另一个交点的横坐标＞﹣1，当x=﹣1时，得出y=a﹣b+c＜0，故C错误；∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，开口向下，∴函数的最大值y=a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），∴a+b＞am2+bm，故D正确；故选：CD．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）“某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖．”该命题是假命题．（填“真”或“假”）【分析】根据概率的意义进行判断即可．【解答】解：“某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖．”∴该命题是假命题，故答案为：假．8．（3分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．【分析】根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．【解答】解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．故答案为：（7，3）．9．（3分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为．【分析】连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC 中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解．【解答】解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，在Rt△BCE中，BE==2，∴sinα===．故答案为：．10．（3分）某校在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要150a元．【分析】先做△ABC的高AD，求出∠ABD=30°，再得出AD=AB，再根据S△=•BC•AD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米a元，即可得ABC出答案．【解答】解：做△ABC的高AD，∵∠ABC=150°，∴∠ABD=30°，∴AD=AB=×20=10（m），=•BC•AD=×30×10=150（m2），∴S△ABC∵这种草皮每平方米a元，∴购买这种草皮至少要150a元，故答案为；150a．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（﹣4，0），C（0，6），如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的对应点B′的坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案．【解答】解：∵矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（﹣4，0），C（0，6），∴可得：B（﹣4，6），∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，∴点B的对应点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．12．（3分）PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是．【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=r．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（r）2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，故答案为：．三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：3x2﹣5x+2=0．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（3x﹣2）（x﹣1）=0，3x﹣2=0或x﹣1=0，所以x1=，x2=1．14．（6分）抛物线的图象如图，求这条抛物线的解析式．（结果化成一般式）【分析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把点（3，0）代入解析式即可解答．【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=﹣1所以此函数的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4故这条抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．15．（6分）如图，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4，（1）请证明△ABC∽△ADE．（2）求AD的长．【分析】（1）由∠1=∠3，推出∠1+∠2=∠3+∠2，即∠BAC=∠DAE，由∠B=∠D，即可根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△BAC∽△DAE．（2）∵△BAC∽△DAE，∴=，∵AB=DE=5，BC=4，∴=，∴AD=．16．（6分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=4，求AC和BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中通过解直角三角形即可求出AD、BD的长度，在Rt△ACD中通过解直角三角形即可的AC、CD的长度，再根据BC=BD+CD即可求出BC的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=4，∴AD=BD=AB•sin∠B=4×=4．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，AD=4，∴AC===8，CD===4，∴BC=BD+CD=4+4．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．【分析】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．【解答】解：如图：（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求．四、解答题（本大题4小题，每小题8分，共32分）18．（8分）宏欣机械厂生产某种型号鼓风机，一月份至六月份的产量如下：月份一二三四五六5051485052 49产量（单位：台）（1）求上半年鼓风机月产量的平均数、中位数；（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七月，八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？【分析】（1）只要运用求平均数公式：，即可求出上半年的月产量的平均数；求中位数时，可将所有数据从小到大进行排列，然后求出第三和第四位的平均数即可得出本组数据的中位数；（2）本题为平均增长率问题．一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．据此可列出方程进行求解．【解答】解：（1）上半年鼓风机月产量的平均数为50（台），中位数为50（台）（2）设七月、八月鼓风机生产量平均每月的增长率为x依题意，得：50（1+x）2=72整理，得：（1+x）2=1.44解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍）答：七月、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是20%．19．（8分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．（1）下列事件是不可能事件的是DA．选购乙品牌的D型号；B．既选购甲品牌也选购乙品牌；C．选购甲品牌的A型号和乙品牌的D型号；D．只选购甲品牌的A型号．（2）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；（3）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？【分析】（1）根据不可能事件和随机随机的定义进行判断；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数；（3）找出A型器材被选中的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）只选购甲品牌的A型号为不可能事件．故答案为D；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数；（3）A型器材被选中的结果数为2，所以A型器材被选中的概率==．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE 与OD垂直，即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE 求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．21．（8分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【分析】（1）先利用反比例函数解析式y=﹣求出b=4，得到A点坐标为（﹣2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式为y=x+5；（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，则直线y=x+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，然后消去y得到关于x的一元二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣=x+5﹣m，整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．五、（本大题共10分）22．（10分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AC=8cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD 沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．（1）如图①，连接OA，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，当直线AC与⊙O第一次相切时，求移动时间t1．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）【分析】（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先求出∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）由（2）得出∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，求出∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F 中，O2F=2，求出A2F=，由OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵四边形ABCD是矩形，AC=8cm，∴∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD=4cm，CD=AB，∴AB==4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；即圆心O移动的距离为2+6；（3）当直线AC与⊙O第一次相切时，移动时间为t1，如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣．六、（本大题12分）23．（12分）如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，F n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a=﹣1时，①求P1、P2及图象F1的顶点坐标；②点H（2015，﹣2）是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象F n的顶点T n的横坐标为201，请求出图象对应的解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）设图象F m、F m+1的顶点分别为T m、T m+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试在图中先标出Q点所在的位置，再探究：当a为何值时，以O、T m、T m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？且直接写出此时n的值．【分析】（1）①a=﹣1代入抛物线的解析式，然后令y=可求得对应的x的值，从而可得到p1的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点P2的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点F1的坐标②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和﹣1即可得出结论；（2）设OQ中点为O′，则线段T n T n+1经过O′，再根据图形平移的性质即可得出结论．【解答】解：（1）①当a=﹣1时，y=ax2+2ax=﹣x2﹣2x．令﹣x2﹣2x=0，解得：x=0或x=﹣2．∴点P1的坐标为（﹣2，0）．由平移的性质可知P2的坐标为（2，0）．∵y=﹣x2﹣2x=（x+1）2+1，∴图象F1的顶点坐标为：（﹣1，1）；②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和﹣1，∴点H（2015，﹣2），不在该“波浪抛物线”上，∵图象F n的顶点T n的横坐标为201，201÷4=50…1，故其图象与F2，F4…形状相同，则图象F n对应的解析式为：y=（x﹣201）2﹣1，其自变量x的取值范围为：200≤x≤202．（2）设OQ中点为O′，则线段T n T n+1经过O′，由题意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T n，+1∴当T n T n+1=OQ=12时，四边形OT n T n+1Q为矩形，∴O′T n=6，+1∵F1对应的解析式为y=a（x+1）2﹣a，∴F1的顶点坐标为（﹣1，﹣a），的纵坐标为﹣a，∴由平移的性质可知，点T n+1∴由勾股定理得（﹣a）2+（﹣1）2=62，∴a=±，∵a＜0，∴a=﹣，故此时n的值为4．。