北京化工大学 数学分析 2013-2016年硕士研究生考研真题

北京化工大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试《数学分析》试题答案注意事项1. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分.2. 答题时可不抄题，但必须写清题号.3. 答题必须用蓝、黑墨水笔或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分.一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.请选出正确的选项，并把所选项前的字母写在答题纸上相应题号后.）1、(A)；2、（C ）；3、(A) ；4、(C)；5、(D) ；6、（A)；7、(B) ；8、(A)；9、(B) ； 10、(D).二、计算题（本题共5小题，每小题10分，满分50分，请把正确答案填写在答题纸上相应题号后.） 11、【解】交换积分次序得223300(,)(,)limlim 1x xu xx x x dt f t u dudu f t u dtxe++-→→-=-⎰⎰⎰⎰2020(,)lim3x x f t x dt x +→=-⎰ 220(,)lim 3x x f c x x+→=-，20c x ≤≤ 11(0,0)33f =-=. 12、【解】z z z x u v ∂∂∂=+∂∂∂， (2)z z za y u v∂∂∂=⋅-+∂∂∂，22222222z z z z zx u u v v u v∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂， 2222222(2)(2)z z z z za a x y u u v v u v ∂∂∂∂∂=⋅-++⋅-+∂∂∂∂∂∂∂∂，222222222[(2)][(2)]z z z z za a a y u u v v u v ∂∂∂∂∂=-⋅-++⋅-+∂∂∂∂∂∂∂.将以上三个二阶偏导数代入等式2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂得2222(105)(6)0z z a a a u v v∂∂+++-=∂∂∂. 由题设知260a a +-=，但10503a a +≠⇒=.13、【解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dx n n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n --=． 所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．又(0)1f =，所以121(1)12n n n π-∞=-=∑． 14、【解】11(1)ln(1),(1,1)n nn x x x n -∞=-+=∈-∑，则 1221(1)()ln(1)n n n x f x x x n -+∞=-=+=∑.于是nx 项系数 11(1)(1)22n n n a n n ----==--. 从而有()11()(0)(1)(1)!(0)!22n n n n f n f n n n ----=⇒=--. 15、【解】 记Ω为曲面S 所围成的闭区域，由高斯公式得22()()[()()()]0,xSxxf x dydz xyf x dzdx zedxdyxf x f x xf x e dV Ω--'=±+--=⎰⎰⎰⎰⎰（±对应于曲面 S 的外侧或内侧），因为曲面S 是任意的，因此Ω也是任意的，由于对于任意的积分区域Ω，有2[()()()]0xxf x f x xf x e dV Ω'+--=⎰⎰⎰， 所以有22()()()011()(1)()0).x x xf x f x xf x e f x f x e x x x '+--='+-=>即（ 由一阶线性方程的通解公式得11(1)(1)21()[(]().xdxdx x x xx ef x ee e dx C e C x x--⎰⎰=⋅+=+⎰ 由条件0lim ()1x f x +→=， 即00lim ()1,lim ()01x x xx x e e C e C C x ++→→+=+==-得，从而，因此 ()(1)x xe f x e x=-.三、应用题（本题共3小题，每小题12分，满分24分，请把正确答案填写在答题纸上相应题号后.）16、【解】设所求体积为V ，由对称性可知，2d d d V x y z Ω=⎰⎰⎰2cos 222d d R r r z πθπθ-=⎰⎰()2cos 32cos 2222202222d 4d 3R R r R r θππθππθθ--==--⎰⎰⎰()()333322021632sin 1d sin 1d 33R R πππθθθθ-=--=--⎰⎰316433R π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 17、【解】设为(,,),M x y z 为曲面2222221x y z a b c++=上第一卦限上的任一点，则射线段OM 的方程为,,(01),X xt Y yt Z zt t ===≤≤ 因此F沿射线OM 所作的功为1203.OMW YZdX ZXdY XYdZ xyzt dt xyz =++==⎰⎰令 222222(,,)(1),x y z F x y z xyz a b c λ=+++-则由 22222222220,20,20,10,xy z x F yz a y F xz b z F xy c x y z a b c λλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪++-=⎩得,,.333x a y b z c ===由问题得实际意义知，点(,,)333a b c即为所求点，且max .9W abc = 四、证明题（本题共36分，请把正确答案填写在答题纸上相应题号后.）18、【证明】对任意正数ε，取1L εδ=+，当12,x x I ∈且12x x δ-<时，由利普希茨条件有()()12121f x f x L x x L L εε-≤-≤⋅<+.故()f x 在I上一致连续.19、【证明】（1）将格林公式()C DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰中Q 换成P ，P 换成Q -，得()C DP Qdxdy Pdy Qdx x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰，由第一、二类曲线积分的关系得[cos ,cos ,]CCPdy Qdx P j Q i ds ττ-=<>-<>⎰⎰，其中τ是C 的单位切向量且沿C 的方向，注意,,,,,j n i i n j ττπ<>=<><>=-<>，于是，[cos ,cos ,](cos cos )CCCPdy Qdx P n i Q n j ds P Q ds αβ-=<>+<>=+⎰⎰⎰.（2）由方向导数计算公式得(cos cos )CC u u uvds v ds n x yαβ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰,再由格林公式的另一种形式得2222[()()]()()CDDDu u uvds v v dxdy n x x y y u u u v u vv dxdy dxdy x y x x y y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰再移项即得证.（3）因(,)0C u x y =，要证(,)0,((,))u x y x y D ≡∈，只须证0((,))u u x y D x y∂∂==∈∂∂，在（2）中取(,)(,)v x y u x y =，得 222222([(()]C D Du u u u u u dxdy u ds dxdy x y n x y ∂∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 2222[()()]0(()0((,))0((,))(,)0((,)).Du u u udxdy x y D x y x yu u x y D u x y x y D x y∂∂∂∂⇒+=⇒+=∈∂∂∂∂∂∂⇒==∈⇒=∈∂∂⎰⎰20、【证】 由于1111|||()()||()|||n n n n n n u u f u f u f u u ξ+--'-=-=-112|||()()|n n n n h u u h f u f u ---≤-=- 212|()|||n n h f u u ξ--'=-21210||||n n n h u u h u u --≤-≤- ， 而级数1n n h ∞=∑收敛，则级数11()n n n u u ∞+=-∑绝对收敛.北京化工大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试《数学分析》试题注意事项1. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分.2. 答题时可不抄题，但必须写清题号.3. 答题必须用蓝、黑墨水笔或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分.一、选择题（本题共3小题，每小题4分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.请选出正确的选项，并把所选项前的字母写在答题纸上相应题号后.）1、设][x 表示不超过x 的最大整数，则0=x 是xx ex f ][)(-=的( )间断点.(A) 跳跃; (B) 可去; (C) 无穷; (D) 振荡.2、 设)(x y y =满足方程044=+'+''y y y 及初始条件.4)0(,2)0(-='=y y 则广义积分⎰∞+0)(dx x y ( )(A) 发散； (B) 等于1； (C) 等于1-； (D) 等于3. 3、 设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 （ ） 成立．(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =;(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =; (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =;(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =.二、填空题（本题共3小题，每小题4分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.请选出正确的选项，并把所选项前的字母写在答题纸上相应题号后.） 4、设⎰+=L y y x x I d d e2，其中L 是椭圆1422=+y x ，则I = .5、若∑∞=>0)0(2n n n a x a 的收敛域为),(+∞-∞，则a .6、写出函数1,0,()1,0x f x x ππ--<<⎧=⎨≤≤⎩在[,]ππ-上的傅里叶级数的和函数.三、（20分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()130lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求()0f 、()0f '、()0f ''；（2）()1lim 1.xx f x x →⎛⎫+⎪⎝⎭四、（10分）设),(θr 为极坐标,),(θr u u =具有二阶连续偏导数,并满足0≡∂∂θu,求22xu ∂∂+022=∂∂y u .五、（15分）求函数u ax by cz =++在沿球面2222x y z R ++=上点(,,)P x y z 处的法线方向n 上的方向导数u∂∂n，并确定该球面上哪点使得该方向导数取得最大值. 六、（20分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与面xOy 垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分2x y zI S ∑-=，其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分. 七、（10分）设函数()f x 连续，且()1f x dx a =⎰，令()()211t t t dx f x y dy ϕ=+-⎰⎰，求()1ϕ'．八、（10分）找出0f >，使其满足： （1）f 连续可微，且()112f =； （2）右半平面内沿任一分段光滑闭曲线L ，积分()()ln 0xL y ye f x dx f x dy x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰. 九、（15分）设,)11(,27,2,11210n n a na a a a +-==-==+)2(≥n （1）证明：当1<x 时，幂级数∑∞=0n nn xa 收敛；（2）求该幂级数的和函数)(x S十、（10分）设函数()f x 可导，且()201kf x x'<≤+，,x R k ∈为任意常数，取定数0x R ∈，令()1n n x f x -=，证明数列{}n x 收敛．十一、（10分）设(),x f x y '与(),y f x y '在凸区域D 上有界，则(),f x y 在D 上一致连续.十二、（6分）设()f x 为[],ππ-上可积函数，若()f x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，证明下列巴赛伐（Parseval ）等式：()()22220112n n n a f x dx a b πππ∞-==++∑⎰， 其中()0,,n n a a b n Z +∈是()f x 的傅里叶系数.北京化工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试《数学分析》试题注意事项1. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分.2. 答题时可不抄题，但必须写清题号.3. 答题必须用蓝、黑墨水笔或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分.一、填空题（每小题4分，满分20分）1.)lim n n n →∞−=______________________.2.设函数)(x y y =由1=−y xe y 所确定，则220x d y dx ==____________.3.函数arctan x 的幂级数展开式为_____________________________ .4.积分1()bpa dx x a −∫，当p 满足__________时，收敛；当p 满足__________时，发散.5.构造一个函数_____________________， 使它在[]0,1中的无理点上连续，有理点不连续.二、单项选择题（每小题4分，满分20分）6.设)(x f 在R +上有界且可导，则下列正确的是( )（A）当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞′=； （B）当lim ()x f x →+∞′存在时，必有lim ()0x f x →+∞′=； （C）当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→′=；（D）当0lim ()x f x +→′存在时，必有0lim ()0x f x +→′=. 7. 设)(x f 有连续导数,0)0(=f , 0)0(≠′f , =)(x F 220()()d xx t f t t −∫,且当0→x 时,)(x F ′与k x 为同阶无穷小,则k 等于( )(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.8. 已知函数(),f x y 在点()0,0的某个邻域内连续，且()()20220,lim 1x y f x y xy x y →→−=+，则下列正确的是( )(A)点()0,0不是(),f x y 的极值点；(B)点()0,0是(),f x y 的极大值点；(C)点()0,0是(),f x y 的极小值点；(D)根据所给条件无法判断点()0,0是否为(),f x y 的极值点.9. 设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=∫∫( )． (A)()2220d d x x y y +∫； (B)()2220d d x f x y y +∫； (C)()2220d d y f x y x +∫； (D)()22201d d y f x y x +∫. 10. 设n n n x a ∑∞=1在2=x 处条件收敛，则n n n x n a )1(10−+∑∞=在25=x 处( )．（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）必发散； （D）敛散性由{}n a 确定.三、计算题（每小题12分，共计60分）11.设)(x f 连续,且1)(lim 0=→x x f x ,求极限)1ln(cot 1020)(1lim x xx dt t x f +→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∫. 12. 设函数(),u f x y =具有两阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简20u x y∂=∂∂. 13.将()[](),f x x x ππ=∈−展开成傅里叶级数，并求()21121n n ∞=+∑，()2112n n ∞=∑与()1211.n n n −∞=−∑14. 过点()()1,0,00,1,1A B 的直线L 绕z 轴旋转一周得到曲面Σ，Σ和平面0,2z z ==围成Ω.（I）求Σ的方程；（II ）求Ω的形心坐标.15. 计算曲面积分()3/2222xdydz ydzdx zdxdy I x y z Σ++=++∫∫w ，其中Σ是曲面222224x y z ++=的外侧．四、应用题（每小题13分，共计26分）16. 设质点在力场()2,(,)k F x y y x r=−作用下沿曲线 L :cos 2y x π=由(0,)2A π移动到(,0),2B π求力场所作的功W ，其中r =17. 一个高为l 的柱体形储油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为32b 时，计算油的质量.（长度单位为m ,质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ.）五、证明题（每小题12分，共计24分）18.设),3,2()(2""=+++=n x x x x f nn , 证明：（I) 方程1)(=x f n 在),0[+∞内有唯一实根n x ；（II）求极限n n x ∞→lim . 19. 设（1）()f x 在()0,+∞上单调增加；（2）()lim x f x A →∞=； （3）在()0,+∞上()0f x ′′<.证明：（I）级数()()11n f n f n ∞=+−⎡⎤⎣⎦∑收敛；（II）级数()1n f n ∞=′∑收敛.。