《概率论与数理统计》概率论2-3

0.001
z 3.090
z
0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282
如X~B(n,p)，n充分大，p不是很小时，X近似服 从N(np,npq),则
P{ X np }
1
t2
e 2 dt ( ) ( )
npq
2
正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可 以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
表中给的是 x >0 时, Φ(x)的值.
1. 均匀分布
若 随机变量 X的概率密度为：
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b)
1.X的分布函数为：
0,
xa
F ( x)
PX
x
x a
b
a
,
a xb
1
xb
F(x)
1
Oa b x
2.对x1, x2 (a, b), x1 x2有
2π
x 1
x t2
e 2 dt , x
2π
性质 :
1 x 0 (当x 时，(x) 0）;
2
x dx 1
x2
e 2 dx 1 ;
2
（３） x x ，因此， x 为偶函数，
图形关于ｙ轴对称, x轴为曲线的水平渐近线；
当x＝0时，有最大值 0 1 ;
例3：某元件寿命（小时）服从 2000 的指数分 布，某报警系统内装有４个這樣的元件，已知， 他们独立工作，且若要系统正常工作，至少需要 不少于３个元件正常工作，求该系统能正常工作 1000小时的概率。
3. 正态分布 (Normal Distribution)
若连续型随机变量 X 的概率密度为
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
面积为1
3o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x)dx
x1
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
F
( x2
)
F
(
x1 )
(
x2
)
(
x1
)
通常，若某个数量指标X是很多随机因素的和， 而每个因素所起的作用均匀微小，则X为服从 正态分布的随机变量。如：大量生产某产品， 当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件 都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素， 则产品的质量指标近似服从正态分布；
注意：正态分布也是许多概率分布的极限分布。
当x→ ∞时，f(x) → 0.
(6)在x = 处曲线有拐点. 曲线以Ox 轴为
渐近线.
正态分布 N (, 2 ) 的概率密度曲线图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
正态分布 N (, 2 )的分布函数
设 X~ N (, 2 ) , X 的分布函数是
F x 1
4o 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
积分的几何意义：概率值 P{ x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
为曲线y=f(x)与x轴及２直线x=x1和x=x2所围的平面图形 的面积
f (x)
o x1 x2
x
对 f(x)的进一步理解:
若 x 是 f(x) 的连续点，则
2
当 x 1 时，曲线上对应拐点；
( x)
( x)
4 0 1 ,x 1x.
2
引理 若 X ~ N , 2 , 则 Z X ~ N 0,1 .
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正 态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
因此我们有
(1)F (x)
P{ X
x
}
x
;
(2)P{x1 X x2}
f x lim F x x F x
x0
x
P x X x x
lim
x0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间( x, x x]上的概率与区间长度 x 之比的极
限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线
密度。
若不计高阶无穷小，有
P{x X x x} f (x)x
e dt x
(t μ)2 2σ2
,
x
2πσ
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和 σ不同时，是不同的正态分布。
一种最重要的正态分布标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布，
记作 N (0,1)其密度函数和分布函数常用(x)
和( x) 表示：
φ x
1
x2
e2
, x
P{x1
X
x2}
F (x2 )
F (x1)
x2 x1 ba
即均匀分布随机变量落入(a, b)的任意子区间的
概率与子区间的长度成正比，而与子区间位置无关。
均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某
一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车
站的时间，即乘客的候车时间等.
机变量， 且X~N (d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于 0足条件
P {X >z }=, 0<<1, 则称点 z 为标准正态分布的上 分位点. 由 (x) 的对称性知 z1 z
x
2
3 曲线 f x 关于 轴对称；
P μ h X μ P μ X μ h h 0
4 函数 f x在 (, μ] 上单调增加,在 [μ,) 上
单调减少,在 x μ取得最大值；这表明对于同样长度 的区间, 当区间离 μ 越远, X 落在这个区间上的概率越 小.
5 f (x) 以 x 轴为渐近线
将上述结论推广到一般的正态分布,
X : N (, 2 ) 时， Y X ~N(0,1)
P(| X | 1) 0.6826
P(| X | 2) 0.9544
P(| X | 3) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
区间内. 这在统计学上称作“3 准则” .
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和σ
的正态分布或高斯分布. 记作
X : N(, 2)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
性质 :
1 f x 0 ;
2
f x dx 1;
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
§2.3 连续型随机变量及其分布函数
2.3.1 定义与基本概念
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区 间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机 变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给 出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函 数”的方式.
下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述 方法.
连续型随机变量及其概率密度的定义
对于随机变量 X 的分布函数F(x), 如果存在非负
可积函数 f (x) , x , ,使得对任意实数 x ,
有
F
x
x
f
t dt
P
X
x
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
概率密度的性质
3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
P(|X|≤1)=2Φ(1)-1=0.6826 P(|X| ≤ 2)=2Φ(2)-1=0.9544
P(|X| ≤ 3)=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.26%.
当 x < 0 时 , (x) 1 (x)
若 X～N(0,1),
P(a X b) (b) (a)
若 X ~ N(, 2 ), 则 Y X ~N(0,1)
P(a X b) P(a Y b )
(b ) (a )
例4 设X~N(0,1),求P{1<X<2}. 例5 设X~N(2.3,4), 求P{2<X<4}. 例6 设X~N(0,1)，求x，使得P{|X|>x}<0.1.
（２）
f ( x)dx
1
x
e dx
1
0
（３）Ｘ的分布函数为
F ( x)
PX
x
1
e
x
,
x0
0,
其它
( 0)
f (x)的图形:
f(x) 3
=1/3
2
1
=1
=2
O
1
2
3
x
4. 如X 服从指数分布, 则任给x0, △x>0, 有 P{X> x0+△x | X > x0}=P{X > △x} 该性质称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.
例2 设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在 900~1100. 求R的概率密度及R落在 950~1050的概率.
2 . 指数分布
若 随机变量 X具有概率密度
1 x
f
x
e θ
θ,
x
0,
0 , x 0,
其中 θ 0 为常数, 则称 X 服从参数为θ 的指数分布。
性质：（１）f(x) ≥0；
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b)
例1 设随机变量X具有概率密度
kx, 0x3,
f
(x)
2
x, 2
0,
3 x4, 其它.
(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F ( x);
(3)求P{1 X 7}. 2
2.3.2 几种常见的连续型随机变量
表示随机变量 X 取值于 (x, x x] 的概率近似等
于 f (x)x . f (x)x 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量理论中所起的
作用相类似.
f (x)
oa
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度， 并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度 曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
3
2
68.26%
95.44%
99.74%
2 3
看一个应用正态分布的例子:
例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰 头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～ N(170,62),问车门高度应如何确定?
例8 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.
调节器整定在d°C，液体的温度X (以°C计)是一个随
请注意:
(1) 连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均 为0. 即
PX a 0 .
这是因为
0 PX a Pa x X a F a F a x
当 x 0 时, 得到
PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=Ω
(2) 对连续型随机变量X , 有