高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第一章 集合 1.2

学习目标 1.理解子集、真子集、全集、补集的概念.2.能用符号和Venn图，数轴表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集．

知识点一子集

思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？

答案所有的白马都是马，马不一定是白马．

梳理

知识点二真子集

思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？

答案用真子集．

梳理

A B或

B A

(1)对于集合A，B，C，若A B且B C，则A C；(2)

对于集合A，B，若A⊆B且A≠B，则A B；(3)若A≠∅，

则∅A

知识点三全集、补集

思考自然数集N中，除了正整数还有谁？整数集Z中呢？

答案N中除了正整数还有0，Z中除了正整数还有负整数和0.

梳理(1)全集

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.

(2)补集

类型一判断集合间的关系

命题角度1概念间的包含关系

例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为________．

答案Q M N P

解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．

反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．跟踪训练1我们知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为________．

答案N Z Q R

命题角度2数集间的包含关系

例2设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为________．

答案A B

解析∵0<2，∴0∈B.

又∵1<2，∴1∈B.又A≠B，

∴A B.

反思与感悟判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察．

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．

跟踪训练2已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则A与B的关系为________．

答案A B

解析由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A B.

类型二求集合的子集

例3(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；

(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．

解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．

(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．

反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．

跟踪训练3适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是________．

答案15

解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．

类型三求补集

例4(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A＝________.

答案{x|0<x≤2}

解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁U A＝{x|0<x≤2}．

(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.

解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．

(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．

解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．

反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图(有限集)、数轴(数集)、坐标系(点集)来求解．

跟踪训练4(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.

答案{3,4,5}

(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.

答案{x|x2－x－2<0}

(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.

答案{(x，y)|xy≤0}

1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为________．

答案P T

2．下列关系错误的是________．

①∅⊆∅；②A⊆A；③∅⊆A；④∅∈A.

答案④

3．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．

答案{(1,2)}，{(－3,4)}

解析{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．

4．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．

答案[6，＋∞)

5．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于________．

答案{3,5,6}

1．对子集、真子集有关概念的理解

(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B 的常用方法．

(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

2．集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

3．补集是相对于全集而言的，有限集求补集一般借助Venn图，连续的数集求补集常用数轴，求时注意端点取舍．