人教版八年级上册数学 第十四章 整式的乘法与因式分解 章末综合测试(含解析)

第十四章整式的乘法与因式分解章末综合测试
一．选择题
1．下列计算正确的是（）
A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．x m•x5＝x5m D．x5•x2＝x10
2．若22m+1+4m＝48，则m的值是（）
A．4B．3C．2D．8
3．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（）
A．1或5B．1C．7或﹣1D．﹣1
4．如图1，从边长为m的正方形中去掉一个边长为n的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成如图2的长方形，上述操作能验证的等式是（）
A．（m+n）2＝m2+2mn+n2B．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2
C．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）D．m2+mn＝m（m+n）
5．下列各式可以利用平方差公式计算的是（）
A．（x+2）（﹣x﹣2）B．（5a+y）（5y﹣a）
C．（﹣x+y）（x﹣y）D．（x+3y）（3y﹣x）
6．下列各项分解因式正确的是（）
A．a2﹣1＝（a﹣1）2B．a2﹣4a+2＝（a﹣2）2
C．﹣b2+a2＝（a+b）（a﹣b）D．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）
7．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）
A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9
8．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．x2+6x+36＝（x+6）2
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
10．已知a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题
11．计算：（x2）3﹣2x2•x4＝．
12．（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）＝．
13．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．
14．计算202020202﹣20202018×20202021＝．
15．如图，边长分别为a，b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝16，ab＝60时阴影部分的面积为．
16．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：22﹣12＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2020的智慧数共有个．
17．下列各式能用乘法公式进行计算的是（填序号）．
①（﹣4x+5y）（﹣4x﹣5y）②（﹣4y﹣5x）（﹣5y+4x）③（5y+4x）（﹣5y﹣4x）④（﹣
4x+5y）（5y+4x）
18．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝．
19．多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式（y﹣1），则m＝．
20．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．三．解答题
21．整式的乘法
（1）（﹣2a）2（a2﹣2a+1）．
（2）（x﹣3y）（x+5y）．
22．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我
们可以得出下列结论：
ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②
利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，
（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；
（2）求（6m﹣4039）2的值．
23．（1）已知a+b＝5，ab＝，求下列各式的值：
①a2+b2；②（a﹣b）2．
（2）若x+y﹣2z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．
24．（1）已知关于x、y的多项式x2+kxy﹣y2+xy+3不含xy项，且满足2a+4b﹣k﹣3＝0，ab﹣2k ＝0，求代数式a2+4b2的值；
（2）已知（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，求代数式（4x2﹣4039）2的值．
25．分解因式
（1）2ax2﹣8a；
（2）x2﹣2xy+y2﹣1；
（3）（x﹣1）（x﹣3）+1；
（4）16x4﹣81y4．
26．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值；
（2）已知二次三项式3x2+4ax+1有一个因式是（x+a），求另一个因式以及a的值．
27．若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．
解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．请运用上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣2）＝5，求（8﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，求长方形EMFD的周长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B、b2+b2＝2b2，故本选项符合题意；
C、x m•x5＝x m+5，故本选项不合题意；
D、x5•x2＝x7，故本选项不合题意；
故选：B．
2．解；∵22m+1+4m＝22m+1+22m＝48，
∴（2+1）×22m＝3×24，
即3×22m＝3×24，
∴2m＝4，
解得m＝2．
故选：C．
3．解：根据题意得：（m﹣3）a＝±2•a•2，
则m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1．
故选：C．
4．解：图1的阴影部分的面积为m2﹣n2，
图2是长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形，其面积为（m+n）（m﹣n），故选：C．
5．解：（x+2）（﹣x﹣2）＝﹣（x+2）2＝﹣（x2+4x+4）＝﹣x2﹣4x﹣4；
（5a+y）（5y﹣a）＝25ay﹣5a2+5y2﹣ay＝24ay﹣5a2+5y2；
（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣x2+2xy﹣y2；
（x+3y）（3y﹣x）＝（3y+x）（3y﹣x）＝9y2﹣x2．
故选：D．
6．解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），所以A选项错误；
B、a2﹣4a+2在实数范围内不能因式分解；
C、﹣b2+a2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以C选项正确；
D、x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），所以D选项错误．
故选：C．
7．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故选：C．
8．解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；
②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；
⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
9．解：A、是整式的乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、x2+12x+36＝（x+6）2，x2+6x+36≠（x+6）2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
10．解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011、b＝2012x+2012、c＝2012x+2013时，
原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选：D．
二．填空题
11．解：（x2）3﹣2x2•x4
＝x6﹣2x6
＝﹣x6，
故答案为：﹣x6．
12．解：（6a3b2﹣14a2b2+8a2b）÷（﹣2a2b）
＝6a3b2÷（﹣2a2b）﹣14a2b2÷（﹣2a2b）+8a2b÷（﹣2a2b）＝﹣3ab+7b﹣4．
故答案为：﹣3ab+7b﹣4．
13．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
＝12+2×2
＝1+4
＝5，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab
＝5+2×2
＝9，
所以a+b＝±3．
故答案为：±3．
14．解：原式＝202020202﹣（20202020﹣2）×（20202020+1）＝202020202﹣（202020202+20202020﹣40404040﹣2）
＝202020202﹣202020202﹣20202020+40404040+2
＝20202022，
故答案为：20202022．
15．解：根据题意得：S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
把a+b＝16，ab＝60代入得：S阴影部分＝38．
故图中阴影部分的面积为38．
故答案为38．
16．解：∵（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴所有的奇数都是智慧数，
∵2020÷2＝1010，
∴不大于2020的智慧数共有1010个．
故答案为：1010．
17．解：①（﹣4x+5y）（﹣4x﹣5y）＝（4x﹣5y）（4x+5y）；
②（﹣4y﹣5x）（﹣5y+4x）＝﹣（5x+4y）（4x﹣5y）；
③（5y+4x）（﹣5y﹣4x）＝﹣（4x+5y）（4x+5y）＝﹣（4x+5y）2，
④（﹣4x+5y）（5y+4x）＝﹣（4x﹣5y）（4x+5y）．
故答案为①③④．
18．解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2
＝（m﹣1）2﹣n2
＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．
故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．
19．解：∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y﹣1），∵当y＝1时多项式的值为0，
即1+2+m＝0，
解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
20．解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
三．解答题
21．解：（1）原式＝4a2（a2﹣2a+1）
＝44﹣8a3+4a2；
（2）原式＝x2﹣3xy+5xy﹣15y2
＝x2+2xy﹣15y2．
22．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，
∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，
∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；
（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2
＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）
＝x2+y2﹣2xy
＝5+4
＝9．
23．解：（1）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25+＝；
②（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25+1＝26；
（2）∵x+y﹣2z+1＝0，
∴2x+3y﹣4z＝﹣2，
∴9x•27y÷81z＝（32）x•（33）y÷（34）z＝32x•33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣2＝
24．解：（1）根据题意，k＝﹣1，2a+4b＝2，a+2b＝1，
又∵ab﹣2k＝0，
∴ab＝2k＝﹣2，
a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝1+8＝9．
（2）设2x2﹣2019＝m，2x2﹣2020＝n．
∴原式（2x2﹣2019）2+（2020﹣2x2）2＝4，即为m2+n2＝4，
求代数式（4x2﹣4039）2的值即为求（m+n）2．
又∵m﹣n＝1，
∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝4﹣2mn＝1．
∴2mn＝3．
因此，（m+n）2＝m2+n2+2mn＝4+3＝7．
25．解：（1）原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；
（3）原式＝x2﹣4x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；
（4）原式＝（2x）4﹣（3y）4＝（4x2+9y2）（4x2﹣9y2）＝（4x2+9y2）（2x+3y）（2x﹣3y）．
26．解：（1）设另一个因式是（x+b），则
（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，
解得：，
则另一个因式是：x+4，k＝20．
（2）设另一个因式是（3x+m），则
（x+a）（3x+m）＝3x2+（m+3a）x+am＝3x2+4ax+1，
则，
解得，或，
另一个因式是3x﹣1或3x+1，
故另一个因式是3x+1，a＝1或3x﹣1，a＝﹣1．
27．解：（1）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝5，a+b＝6，
∴（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣10＝26．
（2）∵AE＝1，CF＝3
∴DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∵长方形EMFD的面积是35，
∴DE•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝35，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝35，a﹣b＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+140＝144，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝12，
∴长方形EMFD的周长＝2DE+2DF＝2（a+b）＝24．。