人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质优秀课件
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求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上
∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
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角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
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M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
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课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
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3.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点 C，ED⊥OB 于点D.
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思考
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：12 .3 角 平 分线的 性质（ 共16张 PPT）
如图，要在S区建一个
贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
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1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
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4.如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
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角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
∴ CD = CM，CE = CM.
M
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，
∴ AB=AD+BE.
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场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角
o
平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
SD C
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∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
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再见
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上
∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
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角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
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M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
P2
P1 P3
l3
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P4
l2
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3.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点 C，ED⊥OB 于点D.
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思考
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：12 .3 角 平 分线的 性质（ 共16张 PPT）
如图，要在S区建一个
贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
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4.如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
∴ CD = CM，CE = CM.
M
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，
∴ AB=AD+BE.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角
o
平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
SD C
人 教 版 八 年 级上册 数学课 件：12 .3 角 平 分线的 性质（ 共16张 PPT）
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
再见
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上