新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结《推理与证明》知识归纳总结
第一部分合情推理
学习目标:
了解合情推理的含义(易混点）
理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点）
了解合情推理在数学发展中的作用(难点)
一、知识归纳：
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
归纳推理:
1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
2．归纳推理的一般步骤:
第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质;
第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）.
思考探究：
1．归纳推理的结论一定正确吗?
2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳
推理?
题型1 用归纳推理发现规律
1、观察
<
<
；….对于任意正实数,a b ,
≤成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a
２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂
巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢,第二个图
有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以
()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__．
【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式
［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f
133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f
总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理
1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.类比推理的一般步骤：
第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想．
思考探究:
1．类比推理的结论能作为定理应用吗?
2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?
(２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?
题型2 用类比推理猜想新的命题
[例]已知正三角形内切圆的半径是高的
13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4
1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比
(2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等
差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
合情推理
１．定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理．简言之,合情推理就是合乎情理的推理.
2.推理的过程：
→
→ 思考探究：
1.归纳推理与类比推理有何区别与联系？
1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多,越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。

类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

第二部分演绎推理学习目标:
理解演绎推理的含义（重点）
掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单推理(重点、难点）
合情推理与演绎推理之间的区别与联系
一、知识归纳:
演绎推理的含义:
1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理又叫逻辑推理．
2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理.
思考探究：
演绎推理的结论一定正确吗?
演绎推理的模式
１.演绎推理的模式采用“三段论”:
(１)大前提——已知的一般原理（M 是P ）;
(2)小前提——所研究的特殊情况(S 是Ｍ);
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S 是P ）
.
２.从集合的角度看演绎推理:
（１）大前提:x ∈M 且ｘ具有性质P;
（2）小前提：y ∈S 且S M
(３)结论:ｙ具有性质P .
演绎推理与合情推理
合情推理与演绎推理的关系：
(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特说的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理．(2）从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
第三部分直接证明与间接证明
学习目标：
1、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

２、了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。

知识归纳：
三种证明方法:
综合法、分析法、反证法
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去,
最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤:
(1) 假设命题的结论不成立；
(2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (３) 断言假设不成立
(４) 肯定原命题的结论成立
用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为：(1)反设;(2）归谬；(3）结论。

重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
考点1 综合法
在锐角三角形ABC 中，求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
[解析]ABC ? 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π
π
,
x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2
sin(sin =->∴π
同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴
考点２分析法
已知0>>b a ，求证b a b a -<
- [解析］要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-
即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <
,即证a b < 显然a b <成立，因此b a b a -<-成立
总结:注意分析法的“格式”是“要证---只需证－--”,而不是“因为－－-所以---” 考点3 反证法已知)1(1
2)(>+-+=a x x a x f x ,证明方程0)(=x f 没有负数根【解题思路】“正难则反”,选择反证法，因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾[解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<="">
=x x a x 112010000<+--<?<
10<<="" 矛盾，="" ，这与00
总结:否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多
第四部分数学归纳法
学习目标：
1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单的
数学命题
３.能通过“归纳-猜想－证明”处理问题。

知识归纳：
数学归纳法的定义:
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤:
(１)证明当n=n 0时命题成立;
（２）假设当n=k(k ∈N +，且k ≥n 0）时命题成立,证明ｎ=k ＋１时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法.
1.数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎(递推关系）
2．数学归纳法步骤:
（１）（递推奠基):当ｎ取第一个值n 0结论正确；
（2）(递推归纳）：假设当n =k (k ∈Ｎ*，且ｋ≥n ０)时结论正确；（归纳假
设)
证明当ｎ＝k +1时结论也正确。

(归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从ｎ0开始的所有正整数n 都正确。

[例1 ］已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n ＝k(2≥k 且为偶数）时命题为真,,则还需证明( )
Ａ.n=k ＋1时命题成立 B. n=k ＋２时命题成立
C. n=2k ＋2时命题成立 D ．ｎ=２(k+2）时命题成立
[解析] 因n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立，因ｋ的下一个偶数是k+2,故选B 总结:用数学归纳法证明时,要注意观察几个方面:(1）ｎ的范围以及递推的起点(2)观察首末两项的次数(或其它），确定ｎ=k 时命题的形式)(k f （３）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中,左边要加（乘)上的式子
例2、用数学归纳法证明不等式2)1(2
1)1(3221+<+++?+?n n n [解析](1）当n=1时，左=√2，右=2，不等式成立
(2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(2
1)1(3221+<+++?+
k k k 则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212++++<++++++?+?k k k k k k k 02
)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2
1)2)(1()1(3221++<++++++?+?∴k k k k k ∴当n ＝k+1时, 不等式也成立
综合(１)(2）,等式对所有正整数都成立
总结:（1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行;
(2）归纳递推是证明的难点,应看准“目标”进行变形；
（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法,如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。