【其中考试】江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级(上)期中数学试卷答案与详细解析

江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()
A. B. C.
D.
2. 根据下列条件，能判定△ABC≅△A′B′C′的是（）
A.AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′
B.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=B′C′
C.∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
D.AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长
3. 如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()
A.9cm
B.12cm
C.15cm或12cm
D.15cm
4. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）
A.a2＝1，b2＝2，c2＝3
B.a:b:c＝3:4:5
C.∠A:∠B:∠C＝3:4:5
D.∠A+∠B＝∠C
5. 在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）
A.三边中垂线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
6. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是()
A. B. C. D.
7. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的
顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）
A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
8. 如图，已知△ABC(AB<BC<AC)，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )
A.12
5B.4 C.24
5
D.5
10. 已知：如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO= 30∘；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≅△ADE，还需添加的条件是________．
△ABC是等腰三角形，若有一个角等于80∘，则另两个角度数分别为________．
若直角三角形的三边分别为3，4，x，则x2=________．
如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，若△ACD的周长为
10cm，AC=3cm，则AB=________ cm．
在一个直角三角形中，已知一条直角边是3cm，斜边上的中线为2.5cm，则这个直角三角形的面积为6cm2．
如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2＝70∘，则∠1的度数是________．
如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=________．
三、解答题（共66分）
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的
顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）三角形ABC的面积为________；
（3）以AC为边作与△ABC全等的三角形，则可作出________个三角形与△ABC全等；（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
(1)求证：△DBC≅△ECB；
(2)求证：OB＝OC．
如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘，点D为AB边上的
一点，
（1）试说明：∠EAC=∠B；
（2）若AD=10，BD=24，求DE的长．
如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得
PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP 的数量关系，并说明理由．
我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理
所用的图形：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如
图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．
如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，我国钓鱼岛位于O点，我国渔政船在
点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，
我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去
拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国渔政船行驶的航程BC的长．
探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F．
（1）求证：△BAE≅△CBD；
（2）∠BFE=________∘．
应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中
∠BFE=________∘；图3中∠BFE=________∘．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE=________∘（用含n的代数式表示）．
如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:CD:AD＝1:3:4．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点
A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点
时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：A，不是轴对称图形，故此选项错误；
B，不是轴对称图形，故此选项错误；
C，不是轴对称图形，故此选项错误；
D，是轴对称图形，故此选项正确.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
根据全等三角形的判定（三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS））可得当AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′可判定△ABC≅△A′B′C′，做题时要对选项逐个验证．
【解答】
解：A，满足SSA，不能判定全等；
B，不是一组对应边相等，不能判定全等；
C，满足AAA，不能判定全等；
D，符合SSS，能判定全等．
故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的性质
三角形三边关系
【解析】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
解：当6为腰，3为底时，6−3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3= 15；
当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的逆定理
三角形内角和定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
列表法与树状图法
游戏公平性
线段垂直平分线的性质
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】
∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
6.
【答案】
C
【考点】
剪纸问题
【解析】
严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．
【解答】
解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．
故选C．
7.
【答案】
D
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
作图—复杂作图
【解析】
利用PA+PC=AC，PB+PC=AC得到PA=PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．
【解答】
解：∵点P在AC上，
∴PA+PC=AC，
而PB+PC=AC，
∴PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
三角形的面积
勾股定理
轴对称——最短路线问题
角平分线的性质
【解析】
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出
AB，再运用S△ABC=1
2AB⋅CM=1
2
AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q.
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度. ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．
∵S△ABC=1
2AB⋅CM=1
2
AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BC
AB =6×8
10
=24
5
，
即PC+PQ的最小值为24
5
．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC＝60∘且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明∴△OPA≅△CPE，则AO＝CE，AC＝AE+CE＝AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：连结OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∠BAD=1
2∠BAC=1
2
×120∘=60∘，
∴OB=OC，∠ABC=90∘−∠BAD=30∘.
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30∘，故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180∘，
∴∠APC+∠DCP=150∘.
∵∠APO+∠DCO=30∘，
∴∠OPC+∠OCP=120∘，
∴∠POC=180∘−(∠OPC+∠OCP)=60∘. ∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
故②正确；
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180∘−∠BAC=60∘，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60∘，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60∘.
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60∘，
∴∠APO=∠CPE.
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
{
PA=PE，∠APO=∠EPC，OP=CP，
∴△OPA≅△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，
故③正确；
过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60∘，AD⊥BC，∴CH=CD，
∴S△ABC=1
2
AB⋅CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC
=1
2
AP⋅CH+
1
2
OA⋅CD
=1
2
AP⋅CH+
1
2
OA⋅CH
=1
2
CH⋅(AP+OA)
=1
CH⋅AC，
2
∴S△ABC＝S四边形AOCP，
故④正确．
故选D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
【答案】
∠B＝∠D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
50∘，50∘或80∘，20∘
【考点】
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
25或7
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：设第三边为x，
(1)若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42=x2，所以x2=25；
(2)若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2=42，所以x2=7；
故答案为25或7；
【答案】
7
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，由于△ACD的周长为10cm，于是得到AD+ BD+CD=AB+AC=10cm，即可得到结论．
【解答】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ACD的周长为10cm，
∴AD+BD+CD=AB+AC=10cm，
∴AB=7cm，
故答案为：7．
【答案】
7
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得该直角三角形的斜边长为
5cm．根据勾股定理来求另一条直角边，即可求出面积．
【解答】
∵一个直角三角形斜边上的中线长为2.5cm，
∴斜边长为7×2.5＝5(cm)．
∵一条直角边长为3cm，
∴根据勾股定理知，另一条直角边的长为：，
∴直角三角形的面积＝×3×6＝6(cm2)．
【答案】
55∘
【考点】
平行线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
15
【考点】
平面展开-最短路径问题
勾股定理
【解析】
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解答】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连结A′C交EH于P，连结AP，
则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C.
×18cm=9cm，A′Q=12cm−4cm+4cm=12cm，
∵CQ=1
2
在Rt△A′QC中，
由勾股定理得：A′C=√122+92=15(cm)，
故答案为：15.
【答案】
21
【考点】
全等三角形的性质与判定
角平分线的性质
勾股定理
【解析】
在AB上截取AD′＝AD，作CE⊥AB，由“SAS”可证△ADC≅△AD′C，可得D′A＝DA＝9，D′C＝DC＝10，由等腰三角形的性质可得D′E＝BE，由勾股定理可求BE的长，即可求AB的长．
【解答】
解：如图，在AB上截取AD′=AD，作CE⊥AB交AB于点E.
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AC=AC，AD=AD′，
∴△ADC≅△AD′C(SAS)，
∴AD′=AD=9，CD′=CD=10.
∵BC=CD=10，
∴CD′=BC.
∵CE⊥AB，
∴D′E=BE．
设D′E=BE=x．
在Rt△CEB中，CE2=CB2−BE2=102−x2，
在Rt△CEA中，CE2=AC2−AE2=172−(9+x)2，
∴102−x2=172−(9+x)2，
解得x=6，
∴D′E=BE=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21.
故答案为：21.
三、解答题（共66分）
【答案】
3；
3
3
（4）如图，P点即为所求．
【考点】
作图-轴对称变换
全等三角形的判定
轴对称——最短路线问题
【解析】
（1）分别作各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；（3）根据勾股定理找出图形即可；
（4）连接B′C交直线l于点P，则P点即为所求．
【解答】
解：（1）如图，△AB′C′即为所求；
（2）S△ABC=2×4−1
2×2×1−1
2
×1×4−1
2
×2×2=8−1−2−2=3．
（3）如图，△AB1C，△AB2C，△AB3C即为所求．
（4）如图，P点即为所求．
【答案】
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中
{
BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，
∴△DBC≅△ECB(SAS).
(2)由(1)知△DBC≅△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的判定
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC
【解答】
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中
{
BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，
∴△DBC≅△ECB(SAS).
(2)由(1)知△DBC≅△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
【答案】
解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90∘，∴∠ACB−∠ACD=∠ECD−∠ACD，∴∠ECA=∠DCB，
∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，∴EC=DC，AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
{
CD=CE
∠ACE=∠BCD
CB=CA
，
∴△ACE≅△BCD，
∴∠EAC=∠B．
（2）∵△ACE≅△BCD，
∴AE=BD=24，
∵∠EAC=∠B=45∘
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=90∘，
∴在Rt△ADE中，DE2=EA2+AD2，∴DE2=102+242，
∴DE=26．
【考点】
全等三角形的性质
等腰直角三角形
【解析】
（1）由于△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，CD=CE，CB=CA，∠B=∠CAB= 45∘，∠ACB=∠ECD=90∘，于是∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，根据等式性质可得∠ACE=∠BCD，利用SAS可证△ACE≅△BCD，利用全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据△ACE≅△BCD，于是∠EAC=∠B=45∘，AE=BD=24，易求∠EAD= 90∘，再利用勾股定理可求DE=26．
【解答】
解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACB−∠ACD=∠ECD−∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，
∴EC=DC，AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
{
CD=CE
∠ACE=∠BCD
CB=CA
，
∴△ACE≅△BCD，
∴∠EAC=∠B．
（2）∵△ACE≅△BCD，
∴AE=BD=24，
∵∠EAC=∠B=45∘
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=90∘，
∴在Rt△ADE中，DE2=EA2+AD2，
∴DE2=102+242，
∴DE=26．
【答案】
解：（1）如图，OC即为所求；
（2）如图，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180∘．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
{PE2=PD
PM=PN，
∴△E2PM≅△DPN(HL)，
∴∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作
弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，
∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180∘，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180∘，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180∘．
【考点】
作图—基本作图
【解析】
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，利用HL证明△E2PM≅△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根据平角的定义即可求解．
【解答】
解：（1）如图，OC即为所求；
（2）如图，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180∘．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
{PE2=PD
PM=PN，
∴△E2PM≅△DPN(HL)，
∴∠OE2P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作
弧，交OA于另一点E1，连接PE1，
则此点E1也符合条件PD=PE1，
∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180∘，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180∘，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180∘．
【答案】
解：∵Rt△ACB≅Rt△BDE，
∴∠CAB=∠DBE．
∵∠CAB+∠ABC=90∘，
∴∠ABC+∠DBE=90∘．
∴∠ABE=180∘−90o=90o．
∴△ABE是一个等腰直角三角形，S△ABE=1
2
c2．
又∵S梯形ACDE=1
2
(a+b)2，
S梯形ACDE=S△ABC+S△BDE+S△ABE=ab+1
2
c2．
∴1
2(a+b)2=ab+1
2
c2，
即a2+b2=c2．
由此验证勾股定理．
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】
解：∵Rt△ACB≅Rt△BDE，
∴∠CAB=∠DBE．
∵∠CAB+∠ABC=90∘，
∴∠ABC+∠DBE=90∘．
∴∠ABE=180∘−90o=90o．
∴△ABE是一个等腰直角三角形，S△ABE=1
2
c2．
又∵S梯形ACDE=1
2
(a+b)2，
S梯形ACDE=S△ABC+S△BDE+S△ABE=ab+1
2
c2．
∴1
2(a+b)2=ab+1
2
c2，
即a2+b2=c2．
由此验证勾股定理．
【答案】
我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点
与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．
（2）利用第（1）题中的BC=AC设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形BOC 中，BC=x海里、OC=(45−x)海里，利用勾股定理列出方程152+(45−x)2=x2，解得即可．
【解答】
解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）设BC为x海里，则CA也为x海里，
∵∠O=90∘，
∴在Rt△OBC中，BO2+OC2=BC2，
即：152+(45−x)2=x2，
解得：x=25，
答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．
【答案】
120；
应用：图2中，根据SAS易证△CBD≅△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180∘−90∘=90∘，
∴∠BFE=90∘，
图3中，根据SAS易证△CBD≅△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180∘−108∘=72∘，
∴∠BFE=72∘，
故答案为90∘；72∘．
拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE的度数为正n边形的外
角度数，
即∠BFE=(360
n
)∘，
故答案为：(360
n
)∘
120,90,72,=(360
n
)
【考点】
四边形综合题
全等三角形的性质
等边三角形的判定方法
多边形内角与外角
【解析】
探究：（1）根据△BCA是等边三角形，得出BC=AB，∠ACB=∠ABC=60∘，进而得到∠BCD=∠ABE=120∘，从而得到△CBD≅△BAE(SAS)；
（2）利用全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形的内角和定理，即可得出∠BFE=∠BCD，进而得解；
应用：利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=AB，∠BCD=∠ABE，从而判断出△CBD≅△BAE(SAS)；再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用全等三
角形的性质得到对应角相等，再利用三角形的内角和定理，即可得出∠BFE=∠BCD，进而得解；
拓展：利用相同的方法可得出全等三角形，再利用全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形的内角和，即可得出∠BFE的度数为正n边形的外角度数．
【解答】
探究：（1）解：∵△BCA是等边三角形，
∴BC=AB，∠ACB=∠ABC=60∘，
∴∠BCD=∠ABE=120∘，
在△CBD和△BAE中，
{
BC=AB
∠BCD=∠ABE
CD=BE
，
∴△CBD≅△BAE(SAS)；
（2）解：∵△CBD≅△BAE，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠DBC，
∴∠BFE=∠BCD，
又∵∠BCD=180∘−60∘=120∘，
∴∠BFE=120∘，
【答案】
设BD＝x，AD＝4x，
在Rt△ACD，∵AC2＝CD8+AD2，
∴AC2＝(2x)2+(4x)5，
∴AC＝5x，
∵AB＝BD+AD＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
S△ABC＝×5x×4x＝30cm2，而x>0，
∴x＝7cm，
则BD＝2cm，AD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN // BC时，AM＝AN，
∴t＝6，
当DN // BC时，AD＝AN，
故若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8．
②当点M在BD上，即6≤t<2时，但DM≠DE，当t＝2时，点M运动到点D，
当点M在DA上，即7<t≤10时，有3种可能．如果DE＝DM，则t−2＝5，
∴t＝7；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t−2，如图，
∵DE＝AE，EF⊥AD，
∴AF＝DF＝8，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2−AF6，
∴EF＝＝3，
∵BM＝t，BF＝7，
∴MF＝t−6，
在Rt△EMF中，∵EF2+MF2＝EM2，
∴33+(t−6)2＝(t−8)2，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为3或10或．【考点】
三角形综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答。