2022-2023学年江苏省盐城市盐都区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年江苏省盐城市盐都区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A. x 2−1=0 B. x 2+1
x +3=0 C. x 2+2x +1=0
D. 3x 2+√2x +1=0
2. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.0环，方差分别为
s 甲2=0.63，s 乙2=0.51，s 丙2=0.42，s 丁2=0.48，则四人中成绩最稳定的是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
3. 已知a ，b ，c 为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况
是( )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判断
4. 下列说法正确的是( ) A. 等弧所对的圆心角相等
B. 在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C. 过三点可以画一个圆
D. 平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
5. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得BC =0.8m ，并且AB ⊥BC ，则这个油桶的底面半
径是( )
A. 1.6m
B. 1.2m
C. 0.8m
D. 0.4m
6. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB =24m ，拱高CD =8m ，则拱桥的半径为( )
A. 9m
B. 10m
C. 12m
D. 13m
7. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为( )
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
8. 设M=2a2+2a+1，N=3a2−2a+7，其中a为实数，则M与N的大小关系是( )
A. M≥N
B. M>N
C. N≥M
D. N>M
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是______．
10. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个红球、2个黑球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是______．
11. 浩浩上学期平时成绩为95分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若平时、期中、期末的成绩按2：3：5计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为______分．
12. 若圆锥的母线长为10cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积为______cm2．
13. 若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是______．
14. 如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A=90°，AB=5，AC=12，则阴影部分的周长是______．
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠ADC=115°，则∠P=______°.
16. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)x2−8x+4=0；
(2)2x2−3x−5=0．
18. (本小题9.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k−1=0．
(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1(x2−2)=2x2，求k的值．
19. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0,4)、B(−4,4)、C(−6,2)，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为______；
(2)连接AD、CD，则圆D的半径长为______(结果保留根号).∠ADC的度数为______°；
(3)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长(结果保留根号)
20. (本小题9.0分)
近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对
某周来馆人数进行统计，统计数据如下(单位：人)：
时间周一周二周三周四周五周六周日
人数65055071042065023203100
(1)该周到馆人数的平均数为______人，众数为______人，中位数为______人；
(2)选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数(一个月按30天计)．
21. (本小题9.0分)
九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片(如图，除编号和内容外，其余完全相同)，并将它们背面朝上洗匀
后放在桌面
上．
(1)小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为D的概率为______；
(2)小明从4张卡片中随机抽取1张(不放回)，小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)．
22. (本小题9.0分)
为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
[规律总结]
(1)图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
[问题解决]
(2)是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB 上．
(1)判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AE=8，∠A=30°，求图中由BD、BE、DE⏜围成阴影部分面积．
24. (本小题10.0分)
近年来，区委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．
(1)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？
(2)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
25. (本小题10.0分)
请仅用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且BP⏜=CP⏜.画出△ABC中∠BAC的平分线；
(2)如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．画出△ABC中∠BAC的平分线；
(3)如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，E是弦AB上一点，且DE/ /AC，请画出△ABC的内心I．
26. (本小题10.0分)
定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1≤x2)，则
把分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到的点P(x1,x2)称为该一元二次方程的“友好点”．
(1)若方程为x2−3x+2=0，则该方程的“友好点”P的坐标为______．
(2)若关于x的一元二次方程x2−(5m+1)x+5m=0的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的“友好点”P始终在函数y=kx+2k+3的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
27. (本小题10.0分)
【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN.若点P在折线段MQN上，MP=PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．
【理解应用】
(1)如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO= 30°，则PB=______；
【定理证明】
(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线段ABC是圆的一条折弦)，BC>
⏜的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；
AB，点M是ABC
【变式探究】
(3)如图4，若点M是AC⏜的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，则AD=______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该方程是一元二次方程，故此选项不符合题意； B .该方程是分式方程，故本选项符合题意；
C .该方程是是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D 、该方程是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B ．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】C
【解析】解：∵s 甲2=0.63，s 乙2=0.51，s 丙2=0.42，s 丁2
=0.48， ∴s 丙2<s 丁2<s 乙2<s 甲2，
∴四人中成绩最稳定的是丙， 故选：C ．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3.【答案】C
【解析】解：∵点P(a,c)在第二象限， ∴a <0，c >0， ∴ac <0，
∴方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2−4ac >0， ∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．
故选：C．
先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0，则判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
4.【答案】A
【解析】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；
B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；
C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；
D、平分弦(非直径)的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．
故选：A．
根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．
本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：设油桶所在的圆心为O，连接OA，OC，
∵AB、BC与⊙O相切于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
又∵AB⊥BC，OA=OC，
∴四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=0.8m，
故选：C．
根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可．
本题考查切线的性质，正方形的判定和性质，理解和掌握切线的性质是正确求解的前提．
6.【答案】D
【解析】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r m，
如图，连接OA、OD．
则O、D、C三点共线，OD=(r−8)m，
∵CD是拱高，
∴OC⊥AB，
AB=12(m)，
∴AD=1
2
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得：r2=122+(r−8)2，
解得：r=13，
即拱桥的半径为13m，
故选：D．
设圆心是O，半径为r米，连接OA、OD.根据垂径定理得AD=12m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7.【答案】A
【解析】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°
=10，
36∘
故选：A．
根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵N−M=3a2−2a+7−(2a2+2a+1)
=3a2−2a+7−2a2−2a−1
=a2−4a+6
=a2−4a+4+2
=(a−2)2+2>0，
∴N>M，
故选D．
用作差法解答．
本题考查了实数大小比较，通过作差，比较二者大小．
9.【答案】相离
【解析】解：∵圆半径r=3，圆心到直线的距离d=4．
故r=3<d=4，
∴直线与圆的位置关系是相离．
故答案为：相离．
欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
10.【答案】3
5
【解析】解：∵袋子中装有5个小球，其中3个红球、2个黑球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是3
．
5
．
故答案为：3
5
用红球的个数除以球的总数即可求得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
11.【答案】94
=94(分)．
【解析】解：小明上学期学期成绩是：95×2+90×3+96×5
2+3+5
故答案是：94．
根据加权平均数的计算公式计算可得．
本题考查了加权平均数的求法，要注意乘以各自的权，直接相加除以3是错误的求法．
12.【答案】60π
【解析】解：依题意知母线长=10cm，底面半径r=6cm，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×10×6=60πcm2．
故答案为：60π．
利用圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6，
故答案为：6．
将a代入x2+2x−3=0，即可得出a2+2a=3，再把a2+2a=3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：∵∠A=90°，AB=5，AC=12，
∴BC=√AC2+AB2=13，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE=r，
则AE=AF=r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD=BF=5−r，CD=CE=12−r，
∴5−r+12−r=13，
∴r=2，
∴阴影部分(即四边形AEOF)的周长是2×4=8．
故阴影部分的周长是：8．
故答案为：8．
利用勾股定理求出BC=13，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE=AE=AF=r，利用切线长定理得到BD=BF=5−r，CD=CE=12−r，所以5−r+12−r=13，然后求出r后可计算出阴影部分(即四边形AEOF)的周长．
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．
15.【答案】40
【解析】解：如图，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴点O在AB上，
∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC=115°，
∴∠OBC+∠ADC=∠OBC+115°=180°，
∴∠OBC=180°−115°=65°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∴∠POC=180°−65°−65°=50°，
∴∠P=90°−∠POC=40°，
故答案为：40．
连接OC，根据切线的性质求出∠OCP=90°，然后说明圆心O在AB上，再由圆内接四边形对角互补求出∠OBC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠POC的度数，再由直角三角形的两个锐角互余求出∠P的度数．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，
解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．
16.【答案】8
【解析】解：如图所示，作N关于AB的对称点N′，则GN=GN′，取DC中点F，连接DM，FM，GN′．
∵M在以DE为直径的圆上，
∴DM⊥EC，
∴△DMC为直角三角形，
∵F为Rt△DMC斜边的中点，
∴MF=1
2DC=1
2
AB=5，
此时当MF，MG，GN′三边共线时，有MF+MG+GN′长度的最小值等于FN′，∵F，N分别是DC，CB的中点，
∴FC=1
2DC=5，BN′=BN=1
2
BC=4，
∴CN′=BC+BN′=12，
∴FN′=√FC2+N′C2=√52+122=13，
∴MF+MG+GN′长度的最小值为13，
∵MF=5，GN=GN′，
∴GM+GN的最小值为13−5=8．
故答案为：8．
找出M点的运动轨迹，同时通过作点N关于AB的对称点N′的方式可以将GN进行转换．
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，本题的重难点在于找出M点的运动轨迹，有一定难度．
17.【答案】解；(1)x2−8x+4=0，
x2−8x=−4，
x2−8x+16=12，
(x−4)2=12，
x−4=±2√3，
所以x1=4+2√3，x2=4−2√3；
(2)2x2−3x−5=0，
(2x−5)(x+1)=0，
2x−5=0或x+1=0，
，x2=−1．
所以x1=5
2
【解析】(1)先利用配方法得到(x−4)2=12，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先利用因式分解法把方程转化为2x−5=0或x+1=0，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18.【答案】(1)证明：
∵△=(2k)2−4(k−1)
=4k2−4k+4
=(2k−1)2+3，
∵(2k−1)2≥0，
∴Δ>0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：根据根与系数的关系得x1+x2=−2k，x1x2=k−1，
∵x1(x2−2)=2x2，
∴2(x1+x2)−x1x2=0，
∴2×(−2k)−(k−1)=0，
∴k=1
．
5
【解析】(1)先计算判别式的值，再进行配方法得到△=(2k−1)2+3，则根据非负数的性质可判断Δ>0，然后根据判别式的意义得到结论；
(2)利用根与系数的关系得x1+x2=−2k，x1x2=k−1，再利用2(x1+x2)−x1x2=0得到
2×(−2k)−(k−1)=0，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+ x2=−b
，x1x2=c a.也考查了根的判别式．
a
19.【答案】(−2,0)2√590
【解析】解：(1)分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)；
(2)圆D的半径长=√22+42=2√5，
AC=√22+62=2√10，
AD2+CD2=20+20=40，
AC2=40，
则AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
故答案为：2√5；90；
(3)设圆锥的底面圆的半径长为r，
，
则2πr=90π×2√5
180
．
解得，r=√5
2
(1)根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
(2)利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
(3)利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
20.【答案】1200650650
【解析】解：(1)平均数为：650+550+710+420+650+2320+3100
7
=1200(人)，
这组数据中，650出现的次数最多，一共出现2次，因此这组数据的众数是650人，
将这7天的来馆的人数从小到大排列处在中间位置的一个数是650，因此中位数是650人，
故答案为：1200，650，650；
(2)1200×30=36000(人)，
答：该校一个月的到馆人数大约有36000人．
(1)根据平均数、众数、中位数的定义和计算方法进行计算即可；
(2)根据这7天来馆人数的平均数估计每一天的来馆人数，再进行计算即可．
本题考查平均数、中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握平均数的计算方法是正确解答的前提．
21.【答案】1
4
【解析】解：(1)小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为D的概率为1
4
，
故答案为：1
4
；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率是6
12=1
2
．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
22.【答案】1620n2(4n+4)
【解析】解：(1)根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，即：12−8= 4、16−12=4、20−16=4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为8+4(n−1)=4n+4，灰色瓷砖的块数等于n2；
∴图4中灰砖有16快，白砖有4×(4+1)=20，
故答案为：16；20；n2；(4n+4)；
(2)存在，理由如下：根据题意得：n2−(4n+4)=1，
解得：n=−1(舍去)或n=5．
(1)根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，即：12−8=4、16−12=4、20−16=4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为8+4(n−1)=4n+4，灰色瓷砖的块数等于n2；
(2)根据白砖数恰好比灰砖数少1列出方程求解即可．
本题主要考查根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出变化规律的能力，关键在于将图形数字化，即将图形转化为各个图形中白色瓷砖的变化规律，这样可方便求解．
23.【答案】解：(1)直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°−90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线；
(2)解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∵AE=8，∠A=30°，
∴DE=1
2
AE=4，∠AED=60°，
∵OD=OE，
∴△DOE是等边三角形，
∴∠ODE=60°，OD=OE=DE=4，
∵∠ODB=90°，
∴∠EDB=30°，
∴∠B=∠DEO−∠EDB=60°−30°=30°，∴OB=2OD=8，
由勾股定理得：DB=√82−42=4√3，
∴阴影部分的面积S=S
△ODB −S
扇形DOE
=1
2
×4×4√3−60⋅π×4
2
360
=4√3−2
3
π.
【解析】(1)连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C，由余角的性质求出∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°，求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；
(2)分别求出扇形DOE和△ODB的面积，即可求出答案．
本题考查了切线的判定，直线与圆的位置关系，扇形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)设每千克“阳光玫瑰”售价降低x元，则每千克的销售利润为(40−x−20)元，日销售量为(200+20x)千克，
根据题意得：(40−x−20)(200+20x)=(40−20)×200，
整理得：x2−10x=0，
解得：x1=0(不符合题意，舍去)，x2=10．
答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元．
(2)设该商品需要打y折销售，
根据题意得：50×y
10
≤40−10，
解得：y≤6，
∴y的最大值为6．
答：该商品至少需打六折销售．
【解析】(1)设每千克“阳光玫瑰”售价降低x元，则每千克的销售利润为(40−x−20)元，日销售量为(200+20x)千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设该商品需要打y折销售，利用售价=标价×折扣率，结合销售价格不超过(1)中的售价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)连接AP，
∵BP⏜=AP⏜，
∴∠BAP=∠CAP，
∴AP是∠BAC的角平分线；
(2)连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴BE⏜=CE⏜，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE是∠BAC的平分线；
(3)连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点J，
∵D是BC的中点，DE//AC，
∴E是AB的中点，
由(2)可知，CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，
∴J点是△ABC的内心．
【解析】(1)连接AP，根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可知AP是∠BAC的平分线；
(2)连接OD并延长与圆交于点E，连接AE，根据垂径定理可得BE⏜=CE⏜，再由同弧或等弧所对的圆周角相等即可知AE是∠BAC的平分线；
(3)连接OD并延长与圆交于点G，连接OE并延长与圆交于点F，连接CF、AG相交于点J，由(2)可知CF是∠ACB的平分线，AG是∠BAC的平分线，即J点即为所求点．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内心的定义是解题的关键．
26.【答案】(1,2)
【解析】解：(1)解方程x2−3x+2=0得，
x1=1，x2=2，
∴该方程的“友好点”P的坐标为(1,2)，
故答案为：(1,2)；
(2)x2−(5m+1)x+5m=0的解为x=1或x=5m，
当5m ≥1时，m ≥15
，
此时M(1,5m)，
由题意可得1=5m ，
解得m =15
； 当0≤5m ≤1时，0≤m ≤15，
此时M(5m,1)，
∴5m =1，
∴m =15；
当5m <0时，M(5m,1)，
此时1=−5m ，
解得m =−15
； 综上所述：m 的值为15或−15；
(3)存在b ，c 满足条件，理由如下：
∵y =kx +2k +3=k(x +2)+3，
∴直线经过定点(−2,3)，
∴方程x 2+bx +c =0的衍生点为P(−2,3)，
∴b =−1，c =−6．
(1)解方程x 2−3x +2=0后，根据定义即可求P 点坐标；
(2)求出方程的解为x =1或x =5m ，再分情况讨论：当5m ≥1时，此时P(1,5m)；当0≤5m ≤1时，此时P(5m,1)，当5m <0时，P(5m,1)；再由题意分别求出m 的值即可；
(3)由直线经过定点(−2,3)，则方程x 2+bx +c =0的衍生点P 为(−2,6)，即可求b =−1，
c =−6． 本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P 为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
27.【答案】3 7√2或√2
【解析】(1)解：∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点，
∴PA ⊥AO ，
∵∠APO=30°，AO=2，
∴PO=4，
∴PO+AO=6，
∵B是折线段POA的中点，
∴PB=3，
故答案为：3；
(2)证明：在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，
⏜的中点，
∵点M是ABC
∴MA=MC，
∵∠A=∠C，
∴△MAB≌△MCG(SAS)，
∴MB=MG，
∵MD⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG=CD，
∴D是折弦ABC的中点；
(3)解：BD=AB+CD，理由如下：
在BD上截取BG=AB，连接MC、MA、MB、MG，
∵点M是AC⏜的中点，
∴AM=CM，
∵∠ABM=∠MBG，
∴△MAB≌△MGB(SAS)，
∴MA=MG，
∴MC=MG，
∵DM⊥BC，
∴CD=DG，
∴AB+CD=BG+DG=BD；
(4)解：∵BC是⊙O的直径，
∵AB=8，BC=10，
∴AC=6，
当D点在BC⏜上时，如图5，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
过D点作DG⊥AB交于点G，
∴BG+AC=AG，
∴AG=1
×(6+8)=7，
2
∴AD=7√2；
当D点在AB⏜上时，如图6，∠BAD=45°，
过点D作DH⊥AB交于H点，
∵AH+AC=AB，
(8−6)=1，
∴AH=1
2
∴AD=√2；
综上所述：AD的长为7√2或√2，
故答案为：7√2或√2．
(1)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出PO=4，再由所给的定义求出PB的长即可；
(2)在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，可证明△MAB≌△MCG(SAS)，得到MB=MG，再由垂径定理得到BD=DG，则有AB+BD=CG+DG=CD，即可证明D是折弦ABC的中点；
(3)仿照(2)的方法，在BD上截取BG=AB，连接MC、MA、MB、MG，证明△MAB≌△MGB(SAS)，可得到AB+CD=BG+DG=BD；
(4)分两种情况讨论：当D点在BC⏜上时，过D点作DG⊥AB交于点G，由BG+AC=AG，求出AG=
1
×(6+8)=7，再由勾股定理求出AD=7√2；当D点在AB⏜上时，如图6，∠BAD=45°，过点D作2
DH⊥AB交于H点，由AH+AC=AB，求出AH=1
(8−6)=1，再由勾股定理求出AD=√2．
2
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．。