3自由落体运动与竖直上抛运动

3自由落体运动与竖直上抛运动
一周强化
一、一周内容概述
本周我们先复习匀变速直线运动的基本公式，接着我们学习匀变速直线运动的特例——自由落体。

最后拓展学习竖直上运动。

二、重点知识讲解
（一）匀变速直线运动的几个基本公式
1、v t=v0＋at
2、
3、
4、
5、
※对以上公式的应用必须注意以下几点：
（1）公式中的五个物理量，除t外，其它四个量v t、v0、a、s都是矢量，在直线运动中这四个矢量方向都是同一直线上。

若取初速方向为正方向，其它三个量的方向与此相同时取正值，与此相反时取负值，这样可将矢量运算转化为代数运算。

（2）上述公式中只有两个独立方程，选取任两个方程，可推导出其它方程。

五个物理量（v t、v0、a、s、t）中必须已知三个，才能求出另两个。

（3）若物体从静止开始运动，即物体的初速度v0=0，可先将公式简化后再应用。

（4）对匀减速运动，应注意对时间（物体可能在题目中给定的时间内已停止运动）及对解答结果的讨论。

此类题关键在于对物理过程、物理情景的分析，以及对未知量物理意义的理解。

（二）自由落体运动
1、定义
物体只在重力作用下从静止开始的运动叫自由落体运动，运动特点是：
（1）做自由落体运动的物体只受重力作用，但不同物体运动的快慢与重力无关；
（2）自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动。

2、自由落体加速度
在同一地点，一切物体在自由落体运动时的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用字母g表示。

方向总是竖直向下的，在地球上的不同地点，g值略有不同。

但在通常情况下，g的变化不大，一般取g=9.8m/s2,粗略计算时，取g=10m/s2。

3、自由落体运动的规律
自由落体运动是初速度为零，加速度恒为g的匀变速直线运动，即：v0=0,a=g=9.8m/s2。

故自由落体运动的公式有：
例1、把一条铁链自由下垂地悬挂在墙上，放手后让铁链做自由落体运动.已知铁链通过悬点下方3.2m处的一点历时0.5s，求铁链的长度（g=10m/s2）.
解析：对本题发生的过程可画出草图所示，铁链通过悬点下某一点所经历的时间指的是从铁链下端到达该点时算起，到铁链上端离开该点时为止的时间.设铁链下端到达悬点下3.2m的O点时用时间t1，铁链上端到达O点时用时间t2，铁链长度为l，根据自由落体运动规律，有：
由方程（2）得：t2=0.8s 再由t2－t1=0.5s 得t1=0.3s
由方程（1）得：(m)
答案：铁链的长度为2.75(m)
注意：本题要求对物理过程分析清楚.铁链开始下落时，铁链的下端点并末开始通过悬点下方3.2m 的点，而铁链的下端点刚到达悬点下方3.2m点处链条速度不为零，铁链通过该点的过程并非自由落体运动，而是自由落体运动过程中的一部分，自由落体的中间过程，初速不为零，讨论较繁，
经常采用将初速不为零的过程，转化为初速为零的过程研究，这样使问题简化易解.
例2、跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m水平飞行时，运动员离开飞机做自由落体运动，运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5m/s2的平均加速度匀减速下滑，为了运动员的安全，要求运动员落地速度不得大于5m/s，则运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？运动员在空中的最短时间为多少？（取g=10 m/s2）
解答：设运动员展伞时离地高度为h，作自由落体运动的时间为t1，则：（1）运动员展伞时的速度v1=gt1
展伞后运动员作以v1=gt1为初速，a=12.5m/s2的加速度的匀减速运动，末速v2=5m/s.
∴(gt1)2
－v2
2
=2ah （2）
由（1）（2）两式得：
h=99m t1=5s v1=gt1=50m/s.
匀减速运动的时间：
故运动员在空中运动的时间为：t1＋t2=8.6s
运动员着地时相当于从高处自由落下。

（三）竖直上抛运动
1、竖直上抛运动的特点：竖直上抛运动是物体在重力作用下的运动，其初速度v0的方向竖直向上，由于重力加速度的方向始终向下，且数值恒定，故可将竖直上抛运动看成是一个匀变速运动；也可以看成是向上的匀速运动和向下的自由落体运动的合成；还可以将它看成上升阶段是加速度为g的匀减速运动，下降阶段则是自由落体运动。

（1）作竖直上抛运动的物体上升的最大高度。

（2）竖直上抛运动的上升阶段与下降阶段（回到抛出点的过程）具有对称性。

a．在上升阶段所用的时间和下降回到抛出点所用的时间相等，且可得
b．质点经过抛出点以上的每一点时，无论是上升还是下降，它们的速度大小是相等的，方向相反。

c．从A→B与从B→A所需时间相等
d．当运动时间t>t2即时，物体在抛出点之下，位移为负值。

（3）公式（竖直向上即v0方向为正）
例3、有一气球以5m/s的速度由地面匀速竖直上升，经过30s后，气球上悬挂重物的绳子断开，求物体从绳子断开到落地所用的时间和物体落地时速度大小。

（g=10m/s2）
解法一：绳子断开时，重物离地的高度为h1, h1=v·t1=5×30=150(m)
重物在绳断开后由于具有气球上升时的速度，所以重物具有向上的初速度v1，具有竖直向下的重力加速度g，物体在作竖直上抛运动。

重物能上升的最大高度为h2,
重物上升过程所用的时间为
重物从最高点作自由落体运动回到地面，落地速度为v t，下落的时间为t2，则有：
重物从绳断开到落地所用时间为t, t=t1＋t2=6(s).
解法二：
重物在绳子断开后具有气球上升时的速度，所以重物具有向上的初速度v,具有竖直向下的重力加速度g,物体作竖直上抛运动，当物体的位移为h=vt0=5×30=150(m)时，物体落地，设落地速度为v t（以向下为正方向）.
由位移与平均速度的关系，有：
注明：
若以向上为正，则g=－10m/s2，且v t为负，55m/s只是其大小，为避免出错，所以v t为正，则v=－5m/s.
解法三：
重物在绳子断开后离地的高度为h=vt0，重物具有向上的初速度v，竖直向下的加速度g，物体作竖直上抛运动，当它落地时，它的位移为－h，有：
重物落地的速度为v t，则v t=v－gt=5－10×6=－55(m/s)
负值说明速度方向向下。

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一、选择题
1.对于不同物体从静止由同一高度的下落运动下列说法正确的是（）
A．m越大，落到地面的速度越大 B．m越小，落到地面的速度越大
C．m越大，落到地面所需的时间越短
D．不计空气阻力时，物体所需的时间与落地速度的大小与质量的大小无关
2.做自由落体运动的物体1s内、2s内、3s内位移之比是（）
A．1∶2∶3B．2∶4∶6 C．1∶4∶9D．1∶3∶5
3.关于自由落体运动，下列说法正确的是（）
A．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度和的一半
B．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度和的一半
C．在任何相等时间内速度变化相同
D．在任何相等时间内位移变化相同
4.长为5m的竖直杆下端距离一竖直隧道口为5m，若这个隧道长也为5m，让这根杆自由落体，它通过隧道的时间为（）
A．B．C．D．
5.甲乙两物体做自由落体运动，已知甲物重是乙物重的2倍，而甲距地面的高度是乙距地面高度的1/2.对此，下面说法中正确的是（）
A．甲物体的加速度是乙物体加速度的2倍 B．甲物体的落地速度是乙物体的落地速度的1/2
C．甲物体下落的时间是乙物体下落的时间的D．甲乙两物体的末速度相等
6.一个物体做自由落体运动，物体的下落速度v跟时间t的关系可以用图线表示为下图中的（）
A． B．C． D．
7、一个物体从H高处自由落下，其时间达到落地时间的一半时，下落的高度为（）
A．H B．H C．H D．H
8、一个物体从高处下落，经过3s落到地面，在下落的最后1s内的位移是（不计空气阻力，取g=10m/s2）（）
A．5m B．15m C．25m D．45m
9、某人在高层楼的阳台外侧以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处所经历的时间为（不计空气阻力，g=10m/s2）（）
A．1s B．2s C．3s D．
10、一物体作竖直上抛运动，从抛出的时刻算起，上升到最大高度一半的时间为t1，速度减为抛出速度的一半的时间为t2，则t1与t2的关系应为（）
A．t1>t2 B．t1<t2 C．t1=t2 D．条件不足，无法判断
11、物体以初速度v0作竖直上抛运动，下列说法中正确的是（）
A．竖直上抛运动是竖直向上的匀减速运动和自由落体运动的合运动
B．当时，物体一定向下运动 C．当时，物体一定向上运动
D．当时，物体一定上升到最高点
12、某一物体被竖直上抛，空气阻力不计，当它经过离抛出点上方0.4m时，速度大小为3m/s。

当它经过抛出点之下0.4m时，速度大小为（）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．无法计算
B 卷
二、综合题
13．为了测量一高楼的高度，有人设计了如下实验：在一根长为l的绳两端各拴一重球，一人站在楼顶上，手执绳的上端使小球与楼顶平齐并无初速释放，使其自由下落，另一个人在楼下测量两球落地的时间差△t，即可根据l、△t、g得出楼的高度（不计空气阻力）．从原理上讲，这个方案是否正确？若测得l=10m，△t=0.4s，g=10m/s2，试估算楼的高度．
14．原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有下列数据：人原地上跳的“加速距离”d1=0.50m，“竖直高度”h1=1.0m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2 = 0.00080m，“竖直高度”h2=0.10m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50m，则人上跳的“竖直高度”是多少？
15、屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗户的上、下沿，如图所示，问：
（1）此屋檐离地面多高？
（2）滴水的时间间隔是多少？（g取10 m/s2）
解析
一、选择题DC(AC)BC DBC(ACD)B BC
提示：
1、自由落体的时间只与高度、重力加速度有关，根据可知运动的时间都是相等的。

2、做的是初速度为零的匀加速度直线运动，所以
3、匀变速直线运动都满足，中间位置的瞬时速度.
所以A正确，B错。

而根据可知C正确，任意时间t内的位移，与记时时的初速度有有关，所以D错。

4、取杆最下端的A点为研究对象，那么当A运动到隧道口需要的时间，接着取杆最上端的B点为研究对象，那么当B运动到隧道底需要的时间
，那么在隧道中的时间.
5、根据自由落体的规律判断.
6、得到v-t图象是D.
7、提示：设落地时间为t，则有，那么
9、提示：石块的初速度为v0=20m/s
则上升最大高度，
则石块可能在抛出点上方15m处（此情况下又分为在上升过程中和下降过程中），也可能在抛出点下方15m处，对前一种，有15=20t－5t2，得t1=1s（上升中），t2=3s（下降中），对后一种，
－15=20t－5t2，t=(2＋)s
12、物体经过抛出点以上0.4m和抛出点以下的0.4m处相对抛出点是对称的，可以认为物体从
抛出点以上0.4处具有向下的速度v0=3m/s，以重力加速度g作匀加速运动到达抛出点以下0.4m
处的速度为vt, vt2-v02=2gh, .
13．解：从原理上讲，这个方案是正确的．
根据自由落体运动的规律，有
联立消去t解得
代入数据得h=36.45m．
14．解：用a表示跳蚤起跳的加速，v表示离地时的速度，则对加速过程和离地后上升过程分别有：
v2=2ad2v2=2gh2
若假想人具有和跳蚤相同的加速a，令V表示在这种假想下人离地时的速度，H表示与此相应的竖直高度，则对加速过程和离地后上升过程分别有V2=2ad1V2=2gH
由以上各式可得：
代入数值得：H=63m．15. 可以将这5滴水运动等效地视为一滴水下落，并对这一滴水的运动全过程分成4个相等的时间间隔，如图中相邻的两滴水间的距离分别对应着各个相等时间间隔内的位移，它们满足比例关系：1∶3∶5∶7.设相邻水滴之间的距离自上而下依次为：x、3x、5x、7x，则窗户高为5x，依题意有
5x=1 则x=0.2 m
屋檐高度h=x＋3x＋5x＋7x=16x=3.2 m
由h=gt2得：t=s=0.8 s.
所以滴水的时间间隔为：Δt==0.2 s.
高考解析
例、某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2，5s内物体的（）A．路程为65m B．位移大小为25m，方向向上
C．速度改变量的大小为10m/s D．平均速度大小为13m/s，方向向上
答案：AB解析：物体的初速度v0=30m/s，g=10m/s2，其上升时间，上升高度
;下降时间t2=5s－t1=2s，下降高度.末速度v=gt2=20m/s，向下。

故5s内的路程h=h1＋h2=65m;位移H=h1－h2=25m，向上；速度改变量△v=v－v0=(－
20－30)m/s=－50m/s.负号表示向下；综上可知只有A、B正确。

课外拓展
一石块A从80m高的地方自由下落，同时在地面正对着这石块，用40m/s的速度竖直向上抛出另一石块B，问（g=10m/s2）
（1）石块A相对B做什么性质的运动？（2）经多长时间两石块相遇？（3）相遇时离地面有多高？解：①以B为参照物
故A相对B作匀速直线运动。

②A石块落地所需的时间
B石块上升到最高点所需时间
∴不可能出现第二次相遇的情况。

由即
③。