人教A版高中数学必修五3
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•第2课时 基本不等式的应用
1．运用不等式求一些最值问题．
用a＋b≥2 ab求最小值；用ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2求最大值．
2．若p，k为常数，a，b是正实数，则
(1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值
；
(2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值
.
• 3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： • (1)要求各数均为正数； • (2)要求“和”或“积”为定值； • (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“
迁移变式 2 求函数 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值． 解：y＝x2＋2x22＋－22x2－3＝x2＋22－x2＋2x22＋2＋1＝(x2＋2)＋x2＋1 2－2. 令 x2＋2＝t，则 y＝t＋1t －2，t≥2. 易证 y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数， 因此 y＝t＋1t －2≥12. 所以 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值为12.
• [例4] 如图1所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
• (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面积最大？
• (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
1b的最小值为
()
A．8
B．4
C．1
1 D.4
解析：∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项， ∴( 3)2＝3a·3b. 即 3＝3a＋b，∴a＋b＝1. 此时1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当 a ＝b＝12时取等号)，故选 B. 答案：B
[例 2] 求 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 的最小值． [分析] 如果把 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 写成x2＋x23＋＋31＋1＝ x2＋3 ＋ x21＋3＋1≥2＋1＝3，求得 f(x)的最小值为 3，则所得结 果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程
5．已知x≥52，求f(x)＝x2－x－4x2＋5的最小值． 解：∵x≥52，∴x－2>0，∴f(x)＝x2－x－4x2＋5＝x－x－222＋1 ＝(x－2)＋x－1 2≥2.当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3时，等 号成立．故当x＝3时，ymin＝2.
[例 1] (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值； (3)若 x≠0，求 f(x)＝1x2＋3x的最小值．
x2＋3＝ x21＋3无解，所以等号不成立．正确的处理方法 是利用函数单调性求最值．
[解] f(x)＝ xx2＋2＋43＋1＝x2＋x23＋＋31＋1＝ x2＋3＋ x21＋3＋1. 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)， 则原函数变为 y＝t＋1t ＋1，在区间[ 3，＋∞)上是增函数， 所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以，当 t＝ 3， 即 x＝0 时，f(x)＝ x24＋3＋1 取得最小值433＋1.
(3)∵x≠0，且1x2与 3x 同号，又由基本不等式 ab≤a＋2 b(a， b∈R＋)知： f(x)＝1x2＋3x＝1x2＋|3x|≥2 1|x2|·3|x|＝12. 当且仅当1x2＝|3x|，即|x|2＝4，即 x＝±2 时，f(x)取最小值 12.
迁移变式 1 设 a>0，b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a＋
[解] (1)∵x>0，由基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)知： f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12. 当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时，f(x)取最小值 12.
(2)∵x<0，∴－x>0，由基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋) 知： －f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12， 即 f(x)≤－12. 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，f(x)取最大值－12.
3．已知x，y是正数，且xy＝4，则
y＋ x
x 取得最小值 y
时，x的值是
()
A．1
B．2
C．2 2
D. 2
答案：B
• 4．不等式y＝x(1－3x)(0<x< )的最大值是________．
解析：∵0<x<
1Fra Baidu bibliotek3
，∴1－3x>0，∴x(1－3x)＝
1 3
(3x)(1－3x)≤
1 3
[3x＋21－3x]2＝13×14＝112.
• [例3] 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为 ________．
[解] 由 ab＝a＋b＋3 求出 b，将 ab 转化为关于 a 的函数，再求 范围． 由已知，得 b(a－1)＝a＋3，由于 a，b 都是正数，所以 a>1，且 b＝aa＋ －31.于是 ab＝a·aa＋ －31＝[(a－1)＋1]·aa－＋13＝a＋3＋aa－＋13＝a－ 1＋a－4 1＋5≥2 a－1·a－4 1＋5＝9. 当且仅当 a－1＝a－4 1(a>1)，即 a＝3 时，等号成立，此时 b＝3. 所以 ab 的取值范围为[9，＋∞)．
• [点评] 本例的求解建立在函数思想上，通过已知的等式，将两个 变元转化为一个变元．利用均值不等式，求函数的值域，是解决这 类问题常用的方法．
• 迁移变式3 已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝5，若lgx＋lgy≤lgk恒成 立，则k的最小值是________．
解析：因为 x，y∈(0，＋∞)，所以 xy≤(x＋2 y)2，所以 lgx＋lgy ＝lg(xy)≤lg(x＋2 y)2＝lg245.当且仅当 x＝y＝52时取得等号，所以 kmin＝245.
”．
二定、三相等
一正、
• 1．若x>4，则函数y＝x＋
()
• A．有最大值－6
B．有最小值6
• C．有最大值2
D．没有最小值
解析：y＝x－4＋x－1 4＋4≥2 x－4·x－1 4＋4＝6. 答案：B
2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为
()
A．6
B．4 2
C．2 2
D．8
解析：2a＋2b≥2 2a＋b＝2 23＝4 2. 答案：B
1．运用不等式求一些最值问题．
用a＋b≥2 ab求最小值；用ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2求最大值．
2．若p，k为常数，a，b是正实数，则
(1)若a·b＝k，当且仅当a＝b时，a＋b有最小值
；
(2)若a＋b＝p，当且仅当a＝b时，a·b有最大值
.
• 3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： • (1)要求各数均为正数； • (2)要求“和”或“积”为定值； • (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“
迁移变式 2 求函数 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值． 解：y＝x2＋2x22＋－22x2－3＝x2＋22－x2＋2x22＋2＋1＝(x2＋2)＋x2＋1 2－2. 令 x2＋2＝t，则 y＝t＋1t －2，t≥2. 易证 y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数， 因此 y＝t＋1t －2≥12. 所以 y＝x4＋x22＋x22＋1的最小值为12.
• [例4] 如图1所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
• (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面积最大？
• (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
1b的最小值为
()
A．8
B．4
C．1
1 D.4
解析：∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项， ∴( 3)2＝3a·3b. 即 3＝3a＋b，∴a＋b＝1. 此时1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋(ba＋ab)≥2＋2＝4(当且仅当 a ＝b＝12时取等号)，故选 B. 答案：B
[例 2] 求 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 的最小值． [分析] 如果把 f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 写成x2＋x23＋＋31＋1＝ x2＋3 ＋ x21＋3＋1≥2＋1＝3，求得 f(x)的最小值为 3，则所得结 果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实上方程
5．已知x≥52，求f(x)＝x2－x－4x2＋5的最小值． 解：∵x≥52，∴x－2>0，∴f(x)＝x2－x－4x2＋5＝x－x－222＋1 ＝(x－2)＋x－1 2≥2.当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3时，等 号成立．故当x＝3时，ymin＝2.
[例 1] (1)若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值； (2)若 x<0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值； (3)若 x≠0，求 f(x)＝1x2＋3x的最小值．
x2＋3＝ x21＋3无解，所以等号不成立．正确的处理方法 是利用函数单调性求最值．
[解] f(x)＝ xx2＋2＋43＋1＝x2＋x23＋＋31＋1＝ x2＋3＋ x21＋3＋1. 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)， 则原函数变为 y＝t＋1t ＋1，在区间[ 3，＋∞)上是增函数， 所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以，当 t＝ 3， 即 x＝0 时，f(x)＝ x24＋3＋1 取得最小值433＋1.
(3)∵x≠0，且1x2与 3x 同号，又由基本不等式 ab≤a＋2 b(a， b∈R＋)知： f(x)＝1x2＋3x＝1x2＋|3x|≥2 1|x2|·3|x|＝12. 当且仅当1x2＝|3x|，即|x|2＝4，即 x＝±2 时，f(x)取最小值 12.
迁移变式 1 设 a>0，b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a＋
[解] (1)∵x>0，由基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)知： f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝2 36＝12. 当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时，f(x)取最小值 12.
(2)∵x<0，∴－x>0，由基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋) 知： －f(x)＝－12x＋(－3x)≥2 －12x·－3x＝12， 即 f(x)≤－12. 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，f(x)取最大值－12.
3．已知x，y是正数，且xy＝4，则
y＋ x
x 取得最小值 y
时，x的值是
()
A．1
B．2
C．2 2
D. 2
答案：B
• 4．不等式y＝x(1－3x)(0<x< )的最大值是________．
解析：∵0<x<
1Fra Baidu bibliotek3
，∴1－3x>0，∴x(1－3x)＝
1 3
(3x)(1－3x)≤
1 3
[3x＋21－3x]2＝13×14＝112.
• [例3] 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为 ________．
[解] 由 ab＝a＋b＋3 求出 b，将 ab 转化为关于 a 的函数，再求 范围． 由已知，得 b(a－1)＝a＋3，由于 a，b 都是正数，所以 a>1，且 b＝aa＋ －31.于是 ab＝a·aa＋ －31＝[(a－1)＋1]·aa－＋13＝a＋3＋aa－＋13＝a－ 1＋a－4 1＋5≥2 a－1·a－4 1＋5＝9. 当且仅当 a－1＝a－4 1(a>1)，即 a＝3 时，等号成立，此时 b＝3. 所以 ab 的取值范围为[9，＋∞)．
• [点评] 本例的求解建立在函数思想上，通过已知的等式，将两个 变元转化为一个变元．利用均值不等式，求函数的值域，是解决这 类问题常用的方法．
• 迁移变式3 已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝5，若lgx＋lgy≤lgk恒成 立，则k的最小值是________．
解析：因为 x，y∈(0，＋∞)，所以 xy≤(x＋2 y)2，所以 lgx＋lgy ＝lg(xy)≤lg(x＋2 y)2＝lg245.当且仅当 x＝y＝52时取得等号，所以 kmin＝245.
”．
二定、三相等
一正、
• 1．若x>4，则函数y＝x＋
()
• A．有最大值－6
B．有最小值6
• C．有最大值2
D．没有最小值
解析：y＝x－4＋x－1 4＋4≥2 x－4·x－1 4＋4＝6. 答案：B
2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为
()
A．6
B．4 2
C．2 2
D．8
解析：2a＋2b≥2 2a＋b＝2 23＝4 2. 答案：B