频数直方图 知识讲解

频数直方图——知识讲解
【学习目标】
1. 理解组距、频数、频率、频数统计表的概念；
2. 会制作频数统计表，理解频数统计表的意义和作用；
3. 体会样本和总体的关系，会用样本的频数分布估计总体的频数分布；
4. 掌握画频数直方图的一般步骤，会画频数直方图，理解频数分布直方图的意义和作用. 【要点梳理】
要点一、组距、频数、频率与频数统计表
1．组距：将数据按从小到大适当地分组，并绘制成统计表，其中每一组的后一个边界值与前一个边界值的差叫做组距．
2. 频数：数据分组后落在各小组内的数据个数称为频数．
3. 频率：每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据的频率.
4．频数统计表：把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来，这种反映数据分布情况的统计表叫做频数统计表，也称频数表.
列频数统计表的一般步骤如下：
1.选取组距，确定组数.组数通常取大于最大值-最小值
组距
的最小整数. 当数据在100
个以内时，通常可按照数据的多少分成5～12组.
2.确定各组的边界值.第一组的起始边界值通常取得比最小数据要小一些.为了使数据不落在边界上，边界值可以比实际数据多取一位小数.取定起始边界值后，就可以根据组距写出各组的边界值.
3.列表，填写组别和统计各组频数.
要点诠释：
（1）各组频数总和等于样本容量，各组数据的频率之和等于1；
（2）频数统计表能清楚地反映一组数据的大小分布情况.将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多.
要点二、频数直方图
1．频数直方图
由若干个宽等于组距，面积表示每一组频数的长方形组成的统计图，叫做频数直方图.简称直方图.它直观地呈现了频数的分布特征和变化规律.
2．频数直方图的画法
(1)列出频数表；
(2)画具有相同原点，横、纵两条互相垂直的数轴，分别表示各组别和相应的频数.然后分别以横轴上每一组的两边界点为端点的线段为底边，作高为相应频数的长方形，就得到所求的频数直方图．
3. 频数直方图与条形图的联系与区别
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；频数直方图是特殊的条形统计图.
（2）区别：①由于分组数据具有连续性，频数直方图中各“条形”之间通常是连续排列，中间没有间隙，而条形图中各“条形”是分开排列的，中间有一定的间隙；②条形统计图用横向指标表示考察对象的类别，用纵向指标表示不同对象的数量. 频数直方图横向指标表示考察对象数据的变化范围，用纵向指标表示相应范围内数据的频数.
要点诠释：
（1）频数直方图是条形统计图的一种；
（2）注意直方图与条形图、扇形图、折线图在表示数据方面的优缺点.
【典型例题】
类型一、组距、组数、频数、频率
1. (1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_________．
(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．
【答案】(1)10； (2)10.
【解析】
解：(1)利用频数的定义进行解答；(2)利用组数的计算方法求解．
【总结升华】组数的确定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；
的整数部分+1.
当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值-最小值
组距
举一反三：
【变式】一个样本中有80个数据，最大值是141，最小值是50，取组距为10，则样本可分成（）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
【答案】A.
2. 我校八年级学生在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，则这50个数据在37～40之间的个数是（）
A．1 B．2 C．10 D．5
【思路点拨】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得频数=频率×数据总和．【答案】C.
【解析】解：∵在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，∴这50个数据在37～40之间的个数=50×0.2=10．故选C．
【总结升华】本题考查频率、频数、总数的关系：频率=频数÷数据总和．
举一反三：
【变式】（黄浦区三模）将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，简况如表所示：
组号①②③④⑤⑥⑦⑧
频数14 11 12 13 13 12 10
那么第⑤组的频率为（）
A．14 B．15 C．0.14 D．0.15
【答案】D．
解：根据表格中的数据，得
第⑤组的频数为100﹣（14+11+12+13+13+12+10）=15，
其频率为15：100=0.15．
类型二、频数统计表
3.某中学为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一类），并根据调查结果制作了尚不完整的频数统计表：
类别频数（人数）频率
文学m 0.42
艺术22 0.11
科普66 n
其它28
合计 1
（1）表中m=______,n=______；
（2）在这次抽样调查中，最喜爱阅读哪类读物的学生最多？最喜爱阅读哪类读物的学生最少？
（3）根据以上调查，试估计该校1200名学生中最喜爱阅读科普类读物的学生有多少人？【思路点拨】
（1）由频率统计表可看出艺术类的频数22，频率是0.11，由频率=频数÷数据总数计算，可得到总数；根据频数的总和为200，可求出m的值；
（2）频数统计表中可以直接看出答案；
（3）用样本估计整体：用整体×样本的百分比即可．
【答案与解析】
解：（1）学生总数：22÷0.11=200，
m=200-22-66-28=84，
n=66÷200=0.33，
（2）从频数统计表中可以看出：最喜爱阅读文学类读物的学生最多84人，最喜爱阅读艺术类读物的学生最少22人．
（3）1200×0.33=396（人）．
【总结升华】此题主要考查了读频数统计表的能力，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键．
类型三、频数直方图
4.某地区对八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20个班级的英语期末平均成绩如下(单位：分)：
80 81 83 79 64 76 80 66 70 72
71 68 69 78 67 80 68 72 70 65
试列出频数统计表并绘出频数直方图．
【思路点拨】按照画频数直方图的步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项．
【答案与解析】
解：(1)计算最大值与最小值的差.
83－64＝19．(2)决定组距与组数.
若取组距为4，则有19
4
≈5，所以组数为5．
(3)列频数统计表.
(4)画频数直方图.
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数统计表及所画的频数直方图也不一样.在统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
【高清课堂：数据的描述369923 例1】
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图.已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
【答案】B.
5. （安徽模拟）我校为了迎接体育中考，了解学生的体育成绩，从全校500名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下：
成绩段频数频率
160≤x＜170 5 0.1
170≤x＜180 10 a
180≤x＜190 b 0.14
190≤x＜200 16 c
200≤x＜210 12 0.24
表（1）
根据图表解决下列问题：
（1）本次共抽取了名学生进行体育测试，表（1）中，a=，b=c=；（2）补全图（2），所抽取学生成绩中中位数在哪个分数段；
（3）“跳绳”数在180以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？
【思路点拨】
（1）根据第一组的频数是5，对应的频率是0.1据此即可求得总人数；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数500乘以对应的比例即可求解．
【答案与解析】
解：（1）抽测的人数是：5÷0.1=50（人），
a==0.2，b=50×0.14=7，c==0.32．
故答案是：50，0.2，7，0.32．
（2）所抽取学生成绩中中位数在190～200分数段；
（3）全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分的人数是×500=350（人）．
答：全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分的人数是350人．
【总结升华】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
举一反三：
【变式】随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
（1）请你把表中的数据填写完整；
（2）补全频数直方图；
（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？
【答案】
解：（1）36÷200=0.18，
200×0.39=78，
200-10-36-78-20=56，
56÷200=0.28；
（2）如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）．
答：违章车辆有76辆．
【巩固练习】
一、选择题
1.为了绘出一批数据的频数直方图，首先计算出这批数据的变动范围是指数据的( ).
A．最大值 B．最小值 C．最大值与最小值的差 D．个数
2．（太和县校级月考）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在16≤x＜32这个范围的频率为（）
棉花纤维长度x频数
0≤x＜8 1
8≤x＜16 2
16≤x＜24 8
24≤x＜32 6
32≤x＜40 3
A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2
3．已知一组数据有80个，其中最大值为140，最小值为40，取组距为10，则可分成( ).
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
4．某班50名学生期末考试数学成绩的频数直方图如图所示，对图中提供的信息做出如下判断：
①成绩在50～60分段的人数与90～100分段的人数相等；
②从左到右数，第4小组的频率是0.03；
③成绩在80分以上的学生有20人；
④及格率为90%．
其中正确的判断有( ).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．在样本频数直方图中，有11个小长方形．若中间的小长方形的面积等于其他10个小长
方形面积之和的1
4
，且样本容量为160个，则中间的一组的频数为( ).
A．0.2 B．32 C．0.25 D．40
6. 某学校随机抽取了同龄的60名学生，对其身高进行测量，测量数据（均为整数）进行整理后绘成频率分布直方图（如下图），图中自左向右各小组数据的频率依次为：0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，0.183，0.167，0.050．则身高在15
7.5以上的学生有（）
A．18人 B．24人 C．39人 D．42人
7．有40个数据，其中最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是( ). A．4 B．5 C．6 D．7
8．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是( ).
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3
二、填空题
9．已知样本容量是40，在样本的频数直方图中各小矩形的高之比依次为3:2:4:1，则第二小组的频数为________，第四小组的频数为________．
10．一个样本有20个数据：35，31，33，35.37，39，35，38，40，39，36，34，35，37，36，32，34，35，36，34．在列频数统计表时，如果组距为2，那么应分成________组，36在第________组中．
11．为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成A，B，C，D，E，F六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若E组的频数为48，那么被调查的观众总人数为__________.
12.某单位职工的年龄(取正整数)的频数直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空．
(1)该单位职工共有________人；
(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是________．
13. （杨浦区二模）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了
调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．
14．某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩(成绩均为整数)整理后，列出表格：
分组50～59分60～69分70～79分80～89分90～99分
频率0.04 0.04 0.16 0.34 0.42
(1)本次测试90分以上的人数有________人；(包括90分)
(2)本次测试这50名学生成绩的及格率是________；(60分以上为及格，包括60分)
(3)这个年级此学科的学习情况如何？请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上
________．
A．好 B．一般 C．不好
三、解答题
15．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组绘成了频数直方图，如图(图中数据含最低值不含最高值)．其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28．
(1)第4组的频数是多少？
(2)第5组的频率是多少？
(3)哪一组的频数最大？
(4)请补全频数直方图．
16．（建湖县校级月考）八（1）班同学为了解2015年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，
月均用水量x（t）频数（户）频率
0＜x≤5 6 0.12
5＜x≤10 m 0.24
10＜x≤15 16 0.32
15＜x≤20 10 0.20
20＜x≤25 4 n
60≤x＜70 2 0.04
请解答以下问题：
（1）填空：m=，n=，并把频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10t的家庭大约有多少户？
17．今年起，兰州市将体育考试正式成为中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数直方图．根据下图所示，解答下列问题：
(1)“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数直方图；
(2)2011年兰州市市区的初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市
区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人?
(3)请根据以上结论谈谈你的看法．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】频数直方图是按照数据从小到大的顺序排列，包括所有的数据，即数据的变化范围是指数据的最大值和最小值的差．
2. 【答案】B；
3. 【答案】A；
【解析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距进行计算，注意小数部分要进位．
4. 【答案】B；
【解析】正确的是①③④．
5. 【答案】B；
【解析】根据在频数直方图中，某一组相应的小长方形的面积与直方图中所有小矩形面积的比值即这小组的频率，求得中间一个长方形对应的频率后，再由频数、频
率、总数的关系求解．
6. 【答案】D；
【解析】解：根据题意身高157.5以上的频率为：1-（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.7，因抽取了60名学生，则身高在157.5以上的学生有：60×0.7=42；故答案为D．7. 【答案】B；
【解析】3515
5
4
-
=.
8. 【答案】D；
【解析】根据频率＝
频数
数据总数
计算.
二、填空题
9．【答案】8，4；
【解析】频数直方图中，各个长方形的高之比依次为3：2：4：1，则指各组频数之比为3：2：4：1，据此即可求出第二小组的频数第四小组的频数.
10.【答案】5；3.
11.【答案】200；
【解析】解：∵E组的频率为：1-0.04-0.08-0.16-0.36-0.12=0.24，
又∵E组的频数为48，
∴被调查的观众总人数为：48÷0.24=200．
故答案为200．
12.【答案】 (1)50 (2)58％；
【解析】正确读图是解题的关键．
13.【答案】0.05．
【解析】由题意可得组距为2，则8﹣10小时对应的频率为：0.075×2=0.15，所以0﹣2小时对应的频率为：1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.15=0.1，
所以
01
005
2
.
m.
==．
14.【答案】(1)21 ；(2)96％；(3)A.
【解析】（1）0.42×50＝21．（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是优秀率和及格率都很高．
三、解答题
15.【解析】
解：(1)第4组的频数是0.28×50＝14．
(2)第5组频率为1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16．
(3)170～180这一组频数最大．
（4）补全如图：
16.【解析】
解：（1）6÷0.12=50，
所以m=50×0.24=12，n==0.08，
如图，
故答案为12，0.08；
（2）1000×（0.32+0.2+0.04+0.08）=640（户），
答：该小区月均用水量超过10t的家庭大约有640户．17. 【解析】
解：(1)
3
72012020400
4
⨯--=；
(2)
3
2.4 1.8
4
⨯=(万人)；
所以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有1.8万人．(3)要重视体育锻炼；要抽时间参加体育锻炼等等．(符合题意即可).。