(2021年整理)2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
（1)【2015年湖北，文1，5分】i 为虚数单位,607i =（ ）
（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】A
【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，故选A ．
(2)【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分"题：粮仓开仓
收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
(A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D)1365石
【答案】B
【解析】依题意，这批米内夹谷约为
28
1534169254
⨯=石,故选B ． (3)【2015年湖北，文3，5分】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）
(A)0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- （B)0(0,)x ∃∉+∞,00ln 1x x =- （C ）(0,)x ∀∈+∞,ln 1x x ≠- （D ）(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为()0,x ∀∈+∞,ln 1x x ≠-，故选C ． （4)【2015年湖北，文4，5分】已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关．下列结论中正确的
是（ )
（A ）x 与y 负相关，x 与z 负相关 （B ）x 与y 正相关，x 与z 正相关 （C ）x 与y 正相关，x 与z 负相关 (D)x 与y 负相关,x 与z 正相关 【答案】A
【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y
与z 正相关，不妨设()0z ky b k =+>,则将0.11y x =-+代入即可得到：()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++，所以x 与z 负相关,综上可知，故选A ．
（5）【2015年湖北,文5，5分】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交,则（ ）
（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 (B ）p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件
（C ）p 是q 的充分必要条件 （D)p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A
【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分
条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是
异面直线，即p
不是q 的必要条件，故选A ．
(6）【2015年湖北，文6,5分】函数256
()4||lg 3
x x f x x x -+=-+-的定义域为( ）
(A)(2,3) (B ）(2,4] （C ）(2,3)(3,4] （D ）(1,3)
(3,6]-
【答案】C
【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：40x -≥，25603
x x x -+>-，
解之得22x -≤≤，2x >，3x ≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4](2,3)(3,4]，故选C ． （7）【2015年湖北,文7，5分】设x ∈R ，定义符号函数1,
sgn 0,
01,0
x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，则( ） （A)|||sgn |x x x = （B ）||sgn ||x x x = （C ）||||sgn x x x = （D ）||sgn x x x = 【答案】D
【解析】对于选项A,右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨
=⎩，而左边,0
,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩
，显然不正确；对于选项B,右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0
,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项C ，右边
,0
sgn 0,0,0
x x x x x x x >⎧⎪
===⎨⎪<⎩,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项D ，右边
,0
sgn 0,0,0
x x x x x x x >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然正确，故选D ．
（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1
2
x y +≤"的概率，2p 为事件
“12
xy ≤" 的概率，则（ )
(A ）1212p p << （B ）1212p p << （C ）2112p p << （D)2112
p p << 【答案】B
【解析】由题意知，事件“12
x y +≤"的概率为1111
1222118p ⨯⨯
=
=⨯，事件“12xy ≤"的概率
02S p S =，其中()1102111
11ln 2222S dx x
=⨯+=+⎰,111S =⨯=，所以
()()021
1ln 21121ln 21122
S p S +===+>⨯，故选B ．
(9）【2015年湖北,文9，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时
增加(0)m m >
个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ,则（ ）
（A)对任意的,a b ,12e e > （B)当a b >时，12e e >；当a b <时,12e e < (C ）对任意的,a b ，12e e < (D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
【答案】D
【解析】依题意,2
2211a b b e a +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
,()()2
2
221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，
因为()()()
m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >，0a >，0b >, 当a b >时,01b a <<，01b m a m +<<+,b b m a a m +<+，22
b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；
当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m
a a m +>+，所以2
2
b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，所以12e e >．
所以当a b >时，12e e <,当a b <时,12e e >,故选D ．
(10）【2015年湖北，文10,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，
{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则
A B ⊕中元素的个数为( ）
（A ）77 （B)49 （C ）45 （D ）30 【答案】C
【解析】因为集合(){}22,1,,A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点)，即、
图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即
25个点）：
即图中正方形ABCD 中的整点，集合
12121122{(,)(,),(,)}
A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈
的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．
二、填空题:共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．
答错位置,书写不清，模棱两可均不得分．
（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =，则OA OB ⋅= ．
【答案】9
【解析】因为OA AB ⊥，3OA =,()2
2
239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．
(12)【2015年湖北，文12，5分】若变量,x y 满足约束条件4,
2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +
的最大值是 ．
【答案】10 【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图
所示,然后
根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点()3,1B 取得最大值，即 max 33110z =⨯+=，故应填10．
（13）【2015年湖北，文13，5分】函数2π
()2sin sin()2
f x x x x =+-的零点个数为 ． 【答案】2
【解析】函数()22sin sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数等价于方程22sin sin 02x x x π⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
的根的个数，即函数()2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝
⎭与()2
h x x =的
图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知,函数()g x
与()h x 的图像有2个交点．
(14)【2015年湖北，文14,5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况
进行统计,发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）直方图中的a =_________;
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ)3；（Ⅱ）6000
【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得
0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=，解之
的3a =．于是消费金额在区间[]0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯-⨯+⨯+⨯=，所
以消费金
额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=．
（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正
西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30,则此山的高度CD = m ．
【答案】1006
【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，
所以45ACB ∠=︒，因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC
-
=
︒︒
，即3002BC =m,在Rt BCD ∆中,
因为30CBD ∠=︒，3002BC =,所以tan303002
CD BC ︒=
=
，所以1006CD =m ． (16）【2015年湖北,文16，5分】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y
轴正半轴
交于两点A ，B （B 在A 的上方)，且2AB =．
（Ⅰ)圆C 的标准．．
方程为_________; (Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________． 【答案】（Ⅰ）()()2
2122x y -+-=;（Ⅱ）12--
【解析】(Ⅰ）设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知,点C 的横坐标为1,即
01x =，半
径0r y =．又因为2AB =，所以222011y +=,即02y r ==,所以圆C 的标准方程为
22(1)(2)2x y -+-=．
（Ⅱ）令0x =得：(0,21)B +．设圆C 在点B 处的切线方程为(21)kx y -+=,则圆心C 到其距离为：
d =
解之得1k =．
即圆C 在点B
处的切线方程为x 1)y =+，于是令
0y =
可得x 1=,即圆C 在点B 处的切线在x
轴上的截距为1-
（17）【2015年湖北，文17，5分】a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为
()g a ． 当a =_________时，()g a 的值最小．
【答案】2 【解析】解法一：
因为函数()2f x x ax =-，所以分以下几种情况进行讨论：①当0a ≤时,函数
()22f x x ax x ax =-=-
在区间[]0,1上单调递增，所以()()max 1f x g a a ==-
；②当02a <≤时，此时
2
22224a a a a f a ⎛⎫⎛⎫
=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，()11f a =-,而()()2
2212044a a a ---=-<,所以()()max 1f x g a a ==-
;③当2a >时，()()2
max
4
a f x g a ==．综上可知，
(
)21224
a a g a a a ⎧-≤⎪=⎨>⎪
⎩，所以()g a
在(2⎤-∞-⎦上单调递减,
在(
2,⎤+∞⎦上单调递增,所以(
)()max 2g a g =
，所以当2a =时，()g a 的值最小． 解法二：
①0a ≤，()()11g a f a ==-；②01a <≤，(
)()(
)()
2
21241102a a f a g a f a a ⎧⎛⎫=<≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=-<<⎪⎩
；
③12a <<，()2
24
a a
g a f ⎛⎫==
⎪⎝⎭；④2a ≥，()()11g a f a ==-；
综上所述，当2a =时，()g a
取到最小值3-
三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
(18)【2015年湖北,文18，12分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2
ωϕ><在
某一个周期
．．．．．．．．．．．()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π
6
个单位长度，得到()y g x =的图象． 求()
y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．
解：（Ⅰ）根据表中已知数据,解得π
5,2,6
A ωϕ===-． 数据补全如下表:
x ωϕ+ 0
π2 π 3π
2
2π
x π12 π3 7π12 5π
6
13
π12
sin()A x ωϕ+
0 5
5-
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6
f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)6
6
6
g x x x =+-=+．
因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z ． 令π2π6x k +=，解得ππ
212
k x =-，k ∈Z ．
即()y g x =图象的对称中心为ππ
0212
k -（，）
，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π
(,0)12
-
． （19）【2015年湖北，文19，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的
公比为q ．已知
11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解:（Ⅰ）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，故1
212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()1
12799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩
． （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故121
2
n n n c --=，
于是234
1357921122222n n n T --=+++++ ① 234511357921
2222222
n n n T -=+++++ ②
由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故1
23
62n
n n T -+=-． (20）【2015年湖北，文20，13分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与
底面垂直的
四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，
在阳马P ABCD -
中,侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =,点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ． （Ⅰ)证明：DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直
角(只需写出结论);若不是,请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求
1
2
V V 的值． 解：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥,而PD CD D =，
所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =,点E 是PC 的
中点，
所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ．
由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形,
即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠
（Ⅱ)由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133
ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；
由（Ⅰ)知，DE 是鳖臑D BCE -的高, BC CE ⊥，所以21136
BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅． 在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC
的中点，所以DE CE =， 于是 121
23 4.16
BC CD PD V CD PD
V CE DE
BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅
(21）【2015年湖北,文21，14分】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数，()g x 是
偶函数,()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数．
(Ⅰ）求()f x ,()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； (Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明:当0x >时,()
()(1)()(1)f x ag x a bg x b x
+-<
<+-． 解：（Ⅰ）由()f x ， ()g x 的奇偶性及()()e x
f x
g x +=, ① ()()e .x f x g x --+= ②
联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-,1
()(e e )2
x x g x -=+．当0x >时,e 1x >，0e 1x -<<,故()0.f x >
③
又由基本不等式，有1
()(e e )12
x x g x -=+=，即() 1.g x > ④
（Ⅱ）由（Ⅰ)得 2111e 1
()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤
2111e 1
()(e )(e )(e e )()2e 2e 2
x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥
当0x >时，()
()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦
()
()(1)f x bg x b x
<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧
设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，
由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，
（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，
即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立．
(2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，
即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立．
综合⑦⑧，得 ()
()(1)()(1)f x ag x a bg x b x
+-<<+-．
(22）【2015年湖北，文22，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆
ON
可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且
1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
(Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交
于
,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：
△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值;若
不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，
2MD DN =，且||||1DN ON ==，
所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22
002200()1,
1.
x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩
且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动
时，点N
也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42
x y x y ==-，
代入220
1x y +=,可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22
1.164
x y +=
（Ⅱ)（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1
4482
OPQ S ∆=⨯⨯=．
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1
:()2l y kx m k =+≠±，由22
,416,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个
公共点,
所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨
-=⎩
可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m
Q k k -++．
由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =
+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得
22
111222||||||||222121214OPQ
P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，22
2241281441
OPQ
k m S k k ∆+==--． 当2
1
4
k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;
当2
104
k ≤<时,222
4128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<,则20141k <-≤，22214k ≥-，所以2
2
8(1)814OPQ
S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8．
综合（1)（2）可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最
小值8．。