复数的几何意义 完整版课件

(2)若对应点位于 y 轴负半轴上， 则kk22－ －35kk－ －46＝ <00，， 解得 k＝4. (3)若对应点位于第四象限角平分线上，又第四象限角平分线的方 程为 y＝－x(x>0)， ∴kk22－ －53kk－ －64＝ >0－，k2－3k－4， 解得 k＝5.
题型二 复数的模的求法
【例 2】 求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－12－ 2i 的模，并比较它们的 模的大小．
2．复数的几何意义 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平
面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数
集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数 z＝
a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)．
设复平面内的点 Z 表示复数 z＝a＋bi，连结 OZ，显然向量O→Z是
复数的几何意义包含两种情况：
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用 这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用 这一点，可把复数问题转化为向量问题．
【变式 1】 实数 k 为何值时，复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点位于：(1)x 轴正半轴上；(2)y 轴负半轴上；(3)第四 象限角平分线上． 解 ∵k 为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6 为实数， ∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点 Z 为(k2－3k－4， k2－5k－6)． (1)若对应点位于 x 轴正半轴上， 则kk22－－35kk－－46＝>00，， 解得 k＝6.
解 法一 由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则 AC 的中点 E2，32， 由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x，y)
则xy＋＋22 10＝ ＝232， ，
∴xy＝＝33，. 即 D(3,3)，
∵D 点对应复数为 3＋3i.
法二 由已知：O→A＝(0,1)，O→B＝(1,0)，O→C＝(4,2)． ∴B→A＝(－1,1)，B→C＝(3,2)，∴B→D＝B→A＋B→C＝(2,3)， ∴O→D＝O→B＋B→D＝(3,3)， 即点 D 对应复数为 3＋3i. 法三 设 D(x，y)，由B→A＝C→D， ∴(－1,1)＝(x－4，y－2)， ∴xy＝＝33，， 即 D(3,3)．
[正解] 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为 a2－b2－5 a2＋b2＋6＋2abi＝0 ⇒a2－b2－5 a2＋b2＋6＝0，
2ab＝0 ⇒ab＝ ＝±02， 或ab＝ ＝±03， 或ab＝ ＝0±，1， 即 x＝±2 或 x＝±3 或 x＝±i. 故方程在复数集上的解共有 6 个．
由点 Z 唯一确定；反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量O→Z
唯一确定．因此，复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是
一一对应的(实数 0 与零向量对应)，即复数 z＝a＋bi
平
面向量O→Z.
用点 Z(a，b)表示复数称为复数的几何形式，用向量O→Z表示复数称 为复数的向量形式． 为方便起见，我们常把复数 z＝a＋bi 说成点 Z 或说成向量O→Z，并 且规定，相等的向量表示同一个复数．
误区警示 因对复数的模理解不到位而 导致错误
【示例】 试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数． [错解] 将方程变为|x|2－5|x|＋6＝0⇒|x|＝2或|x|＝3⇒ x＝±2或x＝±3，故共有4个． 这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法， 注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写 成|x|2.
(1)|z|＝2； (2)|z|≤3. 利用模的意义或转化为实数 x、y 应满足的条件．
[规范解答] 法一 (1)∵复数 z 的模等于 2，这表明向量O→Z的 长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于 2，因此满足条件|z|＝2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆．(6 分)
(2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为半径 的圆及其内部．(12 分) 法二 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4， ∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆． (6 分) (2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9. ∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部．
解 (1)A→O＝－O→A，而O→A对应的复数为 3＋2i， ∴A→O表示的复数为－3－2i； ∵B→C＝A→O.∴B→C表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)设 P(x，y)，∵|C→A|＝|5－2i|＝ 52＋－22＝ 29， |O→P|＝ x2＋y2，由|O→P|＝|C→A|，得 x2＋y2＝29，即点 P 的轨迹方程 为 x2＋y2＝29.
【变式 2】 在复平面内画出下列各复数对应的向量，并求出各复
数的模．
1，－12＋
23i，－12－
3 2 i.
解 在复平面内找出各复数对应向量．
显然复数
1，－12＋
23i，－12－
3 2i
对应向量分别为O→A，O→B，
O→C.各复数的模为：
|1|＝1，－12＋ 23i＝－12－ 23i＝1.
题型三 复数的模的几何意义 【例 3】 设 z∈C，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
题型一 复数的几何意义 【例 1】 在复平面上，复数 i,1,4＋2i 的对应的点分别是 A，B，
C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数． [思路探索] 法一 复数―→点的坐标―→中点坐标公式―→D 点 坐标―→D 对应复数， 法二 复数―→向量―→向量运算―→O→D―→D 对应复数．
是向量O→Z的模．
(2)模相等的两个复数相等吗？ 提示 模相等的两个复数未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但显 然 i≠－i.
名师点睛
1．复平面上的点的坐标与复数的关系
(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚 部．
(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对 应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如 原点表示实数0.
3．巧用复数的几何意义解题 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的 点与原点 O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z|是表示复数 z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量O→Z的模，即|z|＝|O→Z|. (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2，则|PQ| ＝|z2－z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．
[思路探索] 先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．
解 ∵z1＝6＋8ห้องสมุดไป่ตู้，z2＝－12－ 2i，
∴|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
－122＋－ 22＝32.
∵10>32，∴|z1|>|z2|.
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用 模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫
做
，x轴叫做
、y轴叫做
．显然实轴上的点都表示
实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复平面
实轴
虚轴
2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b)及以原点为起 点，点 Z(a，b)为终点的向量O→Z是一一对应的，如图所示．
|z|是表示复数 z 的点 Z 与坐标原点间的距离．也就是向 量O→Z的模，即|z|＝|O→Z|.
【课标要求】
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之 间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 【核心扫描】
1．复数模的概念及求法是考查的热点． 2．常与方程、解析几何结合命题，题型以选择、填空为主．
自学导引
1．复平面的定义
(12 分)
【题后反思】 法一 根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形
状．
法二 利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的 一种重要思想方法．
【变式 3】 如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1)A→O表示的复数，B→C表示的复数； (2)C→A所表示的复数； (3)设 P 为复平面上一点且满足|O→P|＝|C→A|，求 P 点的轨迹方程．
想一想：平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？
提示 复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起 点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．
3．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2.
想一想：(1)复平面内|z|的意义是什么？ 提示 在复平面内，|z|表示复数 z 的点 Z 到原点的距离，也就