江苏省南京市溧水高中2016年高考数学三模试卷 含解析

2016年江苏省南京市溧水高中高考数学三模试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知集合A={1，2｝,B=｛0，1｝，则集合A∪B的所有子集的个数为个．
2．已知a,b为实数，设复数z=a+bi满足=2﹣i（i是虚数单位）,则a﹣b= ．
3．运行下面的一个流程图，则输出的S值是．
4．从长度分别为2，3,4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．
5．已知等比数列｛a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1,则
a1= ．
6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1﹣BCO的体积为．
7．已知椭圆的焦距为2,则实数t= ．
8．已知α、β∈（0，），若cos（α+β)=，sin（α﹣β）=﹣，则cos2α=．
9．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，﹣1）并且与曲线y=f(x）相切，则直线l被圆(x﹣2）2+y2=4截得的弦长为．10．设椭圆C的两个焦点为F1、F2,过点F1的直线与椭圆C交于点M,N，若｜MF2｜=|F1F2｜，且|MF1|=2，|NF1｜=1，则椭圆C的离心率为．
11．平行四边形ABCD中，||=6，｜|=4，若点M，N满足：=3，=2，则= ．
12．已知函数f（x）=，若方程f（x)=﹣2x
有且只有一个实数根,则实数m的取值范围为．13．已知函数f（x)=mx+2，g（x）=x2+2x+m，若存在整数a，b，使得a≤f（x)﹣g（x）≤b的解集恰好是［a,b],则a﹣b的值
为．．
14．若x，y为实数,且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值
为．
二、解答题（本大题共6小题,共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a ﹣c），=（cosB,cosC），且∥
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos(ωx﹣）+sinωx(ω＞0）,且f(x）的最小正周期为π，求f(x)在区间［0,］上的最大值和最小值．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP,M、N分别为AC、PD的中点．求证：
（1）MN∥平面ABP;
（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．
17．某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析,若加工订单的金额为x万美元,可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10,20］,试问美元贬值
指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知
)．
18．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0)，点P为圆O上任意一点(不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．（1）当直线PA的斜率为2时,
①若点A的坐标为（﹣,﹣）,求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．
19．已知直线x﹣y﹣1=0为函数f（x）=log a x+b在点（1，f（1)）处的一条切线．
（1)求a，b的值；
（2）若函数y=f（x）的图象C1与函数g（x）=mx+(n＞0)的图象C2交于P（x1，y1)，Q(x2，y2）两点,其中x1＜x2,过PQ的中点R作x 轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为k1,C2在点N处的切线的斜率为k2，求证：k1＜k2．
20．已知数列｛x n}和｛y n}的通项公式分别为和
．
（1）当a=3，b=5时,
①试问：x2，x4分别是数列｛y n}中的第几项?
②记，若c k是{y n}中的第m项（k，m∈N+）,试问:c k+1是数列｛y n}中的第几项？请说明理由；
(2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈｛1，2｝，使得数列｛x n｝和｛y n｝有公共项？若存在,求出b的值及相应的公共项组成的数列｛z n}，若不存在,请说明理由．
附加题
21．（选修4﹣2：矩阵与变换）
已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在
极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为ρ=2sinθ．
(Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3,)，求|PA｜+|PB｜．
23．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为,乙的命中率为P2,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”;
（1)若,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组"的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．
24．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂
直,AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．
（1)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P 的位置．
2016年江苏省南京市溧水高中高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知集合A={1，2｝,B={0,1｝，则集合A∪B的所有子集的个数为8 个．
【考点】子集与真子集．
【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B=｛0，1，2｝，由此能求出集合A∪B的子集个数．
【解答】解:∵A={1，2｝，B=｛0,1}，
∴集合A∪B={0,1，2｝,
∴集合A∪B的子集个数为23=8．
故答案是：8．
2．已知a,b为实数，设复数z=a+bi满足=2﹣i(i是虚数单位），则a﹣b= ﹣．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把z=a+bi代入=2﹣i，然后变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由z=a+bi，且=2﹣i，
得,即，∴a=﹣,
则a﹣b=﹣．
故答案为：．
3．运行下面的一个流程图，则输出的S值是35 ．
【考点】循环结构．
【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解:经过第一次循环得到结果为n=3，s=3，此时满足判断框的条件
经过第二次循环得到结果为n=5，s=3+5，此时满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为n=7,s=3+5+7，此时满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为n=9，s=3+5+7+9，此时满足判断框的条件，
经过第四次循环得到结果为n=11，s=3+5+7+9+11，此时不满足判断框的条件，
执行输出s,即输出s=3+5+7+9+11=35
故答案为：35
4．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率
∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5;2，4，5；3，4，5共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2,3,4;2,4，5；3，4，5共3种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．
故答案为：
5．已知等比数列｛a n}的公比为正数,且a3•a9=2a52,a2=1,则a1= ．【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据题意和等比数列的通项公式,列出关于q的方程，先求出q，再求出a1的值．
【解答】解：由题意设等比数列｛a n｝的公比为q，且q＞0，
因为且a3•a9=2a52，a2=1，所以q•q7=2（q3)2，
化简得q2=2，即q=，
由a2=a1q=1得，a1==，
故答案为：．
6．如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1﹣BCO的体积为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】三棱锥B1﹣BCO的体积，转化为三棱锥O﹣BCB1的体积,求出O到侧面的距离即可．
【解答】解：三棱锥B1﹣BCO的体积,转化为三棱锥O﹣BCB1的体积，
V==
故答案为：
7．已知椭圆的焦距为2,则实数t= 2，3，6 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】当t2＞5t＞0时，a2=t2，b2=5t，由c2=t2﹣5t;当0＜t2＜5t，a2=5t，b2=t2，由c2=a2﹣b2=5t﹣t2,解方程可求
【解答】解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t
此时c2=t2﹣5t=6
解可得，t=6或t=﹣1（舍)
当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2
此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6
解可得，t=2或t=3
综上可得，t=2或t=3或t=6
故答案为：2，3,6
8．已知α、β∈（0，），若cos（α+β)=,sin（α﹣β）=﹣，则cos2α=．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin（α+β）=,cos（α﹣β）=，再由cos2α=cos［（α+β）+（α﹣β)]，利用两角和的余弦公式求出结果．
【解答】解：∵α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α﹣β)=﹣，∴sin（α+β）=，cos（α﹣β）=，
故cos2α=cos[(α+β）+（α﹣β）]=cos(α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β)sin(α﹣β）=，
故答案为．
9．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点(0，﹣1）并且与曲线y=f （x)相切,则直线l被圆（x﹣2）2+y2=4截得的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用导数的几何意义求出直线l的方程，计算圆心到直线的距离和圆的半径，利用垂径定理得出弦长．
【解答】解:设直线l的方程为y=kx﹣1,直线l与f（x）的图象切点为（x0,y0），
则,解得．
∴直线l的方程为：y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
圆（x﹣2)2+y2=4的圆心为(2，0）,半径r=2．
∴圆心到直线l的距离d==．
∴直线l被圆（x﹣2）2+y2=4截得的弦长为2=．
故答案为：．
10．设椭圆C的两个焦点为F1、F2,过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若｜MF2|=｜F1F2｜，且｜MF1｜=2，｜NF1|=1,则椭圆C的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0）．直线MN的方程为：my=x+c，M（x1，y1)，N（x2，y2）．2+2c=2a，=，直线方程
与椭圆方程联立化为:（b2m2+a2)y2﹣2b2mcy﹣b4=0,利用根与系数的关系及其y1=﹣2y2,化简解出a，c，即可得出．
【解答】解：设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0)．直线MN的方程为：my=x+c，M（x1，y1）,N（x2,y2）．
2+2c=2a，=，
联立，化为：（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4=0,
∴y1+y2=，y1y2=,y1=﹣2y2，
化为：8m2c2=b2m2+a2，与=，b2=a2﹣c2，2+2c=2a联立解得：a=,c=．
∴=．
故答案为：．
11．平行四边形ABCD中，｜|=6，｜|=4，若点M,N满足:=3，=2，则= 9 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】用,表示出,，在进行计算．
【解答】解:∵=3，=2，
∴，,==．
∴==，==﹣．
∴=（)•（﹣）=﹣=36﹣=9．
故答案为：9．
12．已知函数f（x)=,若方程f（x）=﹣2x有且只有一个
实数根，则实数m的取值范围为m≥﹣1 ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意,x≤0时,f(x）≤1+m，x＞0时,f(x）＞4+m．根据方程f(x）=﹣2x有且只有一个实数根，可得不等式，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解:由题意，x≤0时，m＜f(x）≤1+m，x＞0时，f（x）＞4+m（当且仅当x=时，f（x)=4+m）．
x=时，﹣2x=﹣2．
∵方程f（x）=﹣2x有且只有一个实数根，
∴1+m≥0，且4+m≥﹣2，
∴m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
13．已知函数f（x）=mx+2，g（x)=x2+2x+m,若存在整数a，b，使得a≤f(x）﹣g（x）≤b的解集恰好是［a，b］，则a﹣b的值为．﹣2 ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b］．则f（a）=a,f（b）=a，a≤f（）≤b，由f（a）=f(b)=a，解出整数a,b，再代入不等式检验即可．
【解答】解：设G（x）=f（x)﹣g（x）﹣1=﹣x2+(m﹣2）x+2﹣m．则由题意可得a≤﹣x2+（m﹣2)x+2﹣m≤b
（2)假设存在整数a，b,使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．
则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，
即有﹣a2+（m﹣2）a+2﹣m=a①,﹣b2+(m﹣2）b+2﹣m=a②，
a≤≤b ③．
①﹣②可得a+b=m﹣2，代入①得﹣a2+a（a+b）﹣(a+b)=a，
再化简得（a﹣1)（b﹣2）=2，因为a、b均为整数,所以a=2，b=4或a=﹣1,b=1．
当a=2，b=4时，③即2≤≤4成立;当a=﹣1，b=1时，③即﹣1≤≤1成立．
故存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是［a,b]，且a=2，b=4或a=﹣1，b=1，
故a﹣b=﹣2,
故答案为：﹣2．
14．若x,y为实数，且x2+2xy﹣y2=7,则x2+y2的最小值为．【考点】基本不等式．
【分析】设x2+y2=r2，则x=rcosa，y=rsinα,利用三角换元得到sin(2a+）=，根据三角形函数的性质即可求出．
【解答】解：x2+2xy﹣y2=7，
设x2+y2=r2,
则x=rcosa，y=rsinα，
∴（rcosα)2+2r2sinαcosα﹣（rsinα）2=7，
即r2（cos2α+sin2α）=7，
∴r2sin（2α+）=7，
∴r2sin（2α+）=，
∴sin(2a+）=
∴r2≤，
故则x2+y2的最小值为，
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a﹣c），=（cosB，cosC)，且∥
（1）求角B的大小;
(2）设f(x）=cos(ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f(x）在区间［0，]上的最大值和最小值．
【考点】平行向量与共线向量；三角函数的周期性及其求法；正弦定理；三角函数的最值．
【分析】（1）要求B角的大小，要先确定B的一个三角函数值，再确定B的取值范围
（2）要求三角函数的最值，要先将其转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质解答．
【解答】解：（1)由m∥n,得bcosC=(2a﹣c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又B+C=π﹣A,
∴sinA=2sinAcosB．
又sinA≠0,∴．
又B∈（0,π)，∴．
(2）
由已知，∴ω=2。

当
因此，当时，；
当,
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．求证:
（1)MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1)连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M，容易得到MN∥BP，由线面平行的判定定理可证；
(2）从充分性和必要性两个方面进行证明，利用面面垂直的性质以及判定定理证明．
【解答】证明：(1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M,…
又点N是PD的中点，则MN∥BP,…
MN⊄平面ABP，BP⊂平面ABP,
∴MN∥平面ABP…
（2）充分性:由“BP⊥PC．”⇒“平面ABP⊥平面APC”
∵AB⊥BP,AB⊥BC，BP⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BP∩BC=B ∴AB⊥平面PBC，…
PC⊂平面PBC∴AB⊥PC，….。

又PC⊥BP,AB，BP是面ABP内两条相交直线
∴PC⊥平面ABP，PC⊂平面APC,…
∴平面ABP⊥平面APC; …。

必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”
过B作BH⊥AP于H,
∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩APC=AP，BH⊂平面ABP∴BH⊥平面APC,…．
由上已证AB⊥PC，
所以PC⊥平面ABP，PC⊥PB．…．
17．某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务,按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元,可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数,且0＜m＜1)，从而实际所得的加工费为万美元．
（1)若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加,该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
(2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈［10，20],试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损?（已知
）．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．
【分析】（1）根据知，，可得函数解析式，利用导数大于0，即可得到结论；
（2）设企业加工生产不出现亏损,则当x∈[10,20］时，都有
，即10ln（2x+1）﹣（20m+1）x≥0,求出左边对应函数的最小值，即可确定贬值指数m的范围．
【解答】解：（1）由已知，
,∴
∴
由f’(x）＞0⇒199﹣2x＞0，解得0＜x＜99。

5
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加而增加．
（2)依题意，设企业加工生产不出现亏损,则当x∈［10，20］时，都有，
即10ln（2x+1）﹣（20m+1）x≥0，
设g（x)=10ln（2x+1）﹣（20m+1）x,则
令g（x)=0，则
∵
∴g（x）在［10,20］上是减函数
所以，g(x)min=g（20)=10ln41﹣20（20m+1）≥0,∴m≤，又m＞0，
所以，m∈（0,］时，该企业加工生产不会亏损．
18．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）,点P为圆O上任意一点(不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．(1）当直线PA的斜率为2时，
①若点A的坐标为（﹣，﹣），求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值;
(2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）①求出r2=2，直线PA的方程，代入x2+y2=2,可得5x2﹣4x﹣1=0，即可求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB,设点P的坐标为(2，t），由垂径定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22），因为点P(2，t）在圆O上，所以22+t2=r2，即可求r的值；
（2)当点P在圆O上移动时，求出A，B的坐标，即可证明直线OP 与AB的斜率之积为定值．
【解答】解：（1)①点A的坐标为（﹣，﹣），代入可得r2=2
直线PA的方程为y+=2(x+），即y=2x﹣1，
代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，∴点P的坐标为（1，1）;
②因为直线PA与直线PB的倾斜角互补且直线PA的斜率为2，所以直线PB的斜率为﹣2．
设点P的坐标为（2，t)，则直线PA的方程为：2x﹣y﹣4+t=0，直线PB的方程为：2x+y﹣t﹣4=0．
圆心（0，0）到直线PA，PB的距离分别为d1=,d2=
因为PA=2PB,所以由垂径定理得:4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22）
所以4（）2﹣（）2=3r2，
又因为点P(2，t）在圆O上，所以22+t2=r2（2），联立（1）（2）解得r=或；
（2）由题意知:直线PA，PB的斜率均存在．
设点P的坐标为（x0，y0），直线OP的斜率为k OP=
直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y﹣y0=k(x﹣x0），
联立直线PA与圆O方程x2+y2=r2，消去y得：
（1+k2）x2+2k（y0﹣kx0)x+(y0﹣kx0）2﹣r2=0，
因为点P在圆O上，即x02+y02=r2，
所以（y0﹣kx0）2﹣r2=（k2﹣1）x02﹣2kx0y0，
由韦达定理得：x A=，故点A坐标为（，),
用“﹣k“代替“k“得:点B的坐标为（,）∴k AB==
∴k AB k OP=1．
综上，当点P在圆O上移动时,直线OP与AB的斜率之积为定值1
19．已知直线x﹣y﹣1=0为函数f(x）=log a x+b在点（1，f(1））处的一条切线．
（1）求a，b的值；
（2)若函数y=f(x）的图象C1与函数g（x）=mx+（n＞0）的图象C2交于P（x1，y1），Q（x2，y2)两点，其中x1＜x2,过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为k1,C2在点N处的切线的斜率为k2，求证：k1＜k2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出f（x）的导数,可得切线的斜率和切点,由已知切线的方程，即可得到a,b的值；
（2）求出PQ的中点坐标，分别求出f（x），g（x)的导数，可得斜
率k1,k2，化简整理,法一：令r(t）=lnt﹣,t=＞1，求
出r（t）的导数，判断单调性，即可得证；法二：令m（t）=（t+1）
lnt﹣2（t﹣1），t=＞1，求出m（t）的导数，判断单调性，可得证
明．
【解答】解：(1）直线x﹣y﹣1=0的斜率为1,且过（1，0）点，
又函数f（x）=log a x+b的导数为f′（x）=,
检验=1，log a1+b=0,
解得a=e，b=0；
（2)证明：PQ的中点为（，)，f（x）=lnx,f′（x)=，
可得k1==，
g（x）=mx+的导数为g′（x）=m﹣，
即有k2=m﹣，
由x1＞x2＞0,可得（）2＞x1x2，
即有k2＞m﹣，
则(x2﹣x1)k2＞m（x2﹣x1）﹣
=mx2+﹣（mx1+)=y2﹣y1=lnx2﹣lnx1=ln,
又（x2﹣x1)k1==，
法一：令r(t）=lnt﹣，t=＞1,则r′（t）=﹣
=，
因为t＞1时,r′（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增，
故r（t）＞r（1）=0，则k2＞k1．
法二：令m（t）=（t+1)lnt﹣2（t﹣1）,t=＞1，则m′(t）=lnt+﹣1，
因为（lnt+）′=﹣=，所以t＞1时，(lnt+）′＞0，故lnt+在［1，+∞）上单调递增，从而lnt+﹣1＞0，即r′（t)，于是m(t）在［1，+∞）上单调递增，故m（t）＞m（1）=0，
即（t+1）lnt＞2（t﹣1），即lnt＞，
则k2＞k1．
20．已知数列｛x n｝和｛y n}的通项公式分别为和．（1)当a=3，b=5时，
①试问:x2,x4分别是数列{y n｝中的第几项？
②记，若c k是｛y n}中的第m项（k，m∈N+）,试问：c k+1是数列{y n}中的第几项?请说明理由；
(2)对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2｝，使得数列{x n｝和{y n｝有公共项?若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列｛z n}，若不存在，请说明理由．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）由条件可得，y n=4n+5．①令x2=9=y m=4m+5，得m=1，令x4=81=y k=4k+5,得k=19，由此能得到x2，x4分别是数列{y n｝中的第几项．②由题意知,,由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k=4m+5,由此得到c k+1是数列｛y n}中的第9m+10项．
(2)设在｛1，2｝上存在实数b使得数列{x n}和｛y n}有公共项，所以,因自然数a≥2，s，t为正整数，故a s﹣b能被a+1整除．由此入手能够推导出存在b∈{1，2},使得数列{x n｝和｛y n｝有公共项．
【解答】解:（1）由条件可得，y n=4n+5．
①令x2=9=y m=4m+5，得m=1,故x2是数列{y n}中的第1项．
令x4=81=y k=4k+5，得k=19，故x4是数列{y n｝中的第19项．…
②由题意知，，由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k=4m+5,那么,
因9m+10∈N＊，所以c k+1是数列{y n}中的第9m+10
项．…
（2）设在{1，2｝上存在实数b使得数列{x n}和｛y n｝有公共项,
即存在正整数s,t使a s=（a+1）t+b，∴，
因自然数a≥2，s，t为正整数，∴a s﹣b能被a+1整除．
①当s=1时，．
②当s=2n（n∈N*)时，
当b=1时,=(a﹣1）［1+a2+a4…+a2n﹣2］∈N*，即a s﹣b能被a+1整除．
此时数列｛x n｝和｛y n｝有公共项组成的数列{z n｝，通项公式为(n∈N*）．
显然,当b=2时，，即a s﹣b不能被a+1整除．③当s=2n+1（n∈N*）时，,
若a＞2,则,又a与a+1互质,故此时．
若a=2，要，则要b=2，此时，
由②知,a2n﹣1能被a+1整除，故,即a s﹣b能被a+1整除．
当且仅当b=a=2时，a S﹣b能被a+1整除．
此时数列｛x n}和｛y n}有公共项组成的数列{z n｝，通项公式为(n∈N＊）．
综上所述，存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n｝有公共项组成的数列｛z n｝，
且当b=1时，数列（n∈N＊)；当b=a=2时，数列（n∈N ＊)．…
附加题
21．（选修4﹣2：矩阵与变换）
已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．
【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．
【分析】利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A5β．
【解答】解：依题意:Aα1=﹣α1，…
即=﹣,
∴，∴…
A的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1)λ﹣2=λ2﹣λ﹣2=0,
则λ=﹣1或λ=2．
λ=2时，特征方程，属于特征值λ=2的一个特征向量为,
∵=﹣2+3，
∴A5β=﹣2×（﹣1）5+3×25=．
22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数）．在
极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,)，求|PA｜+|PB|．
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I)由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．
（II)把直线l的参数方程(t为参数）代入⊙C的方程得到关
于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得｜PA｜+｜PB|=｜t1｜+｜t2｜即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．
（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得
=0,化为．
∴．（t1t2=4＞0）．
根据参数的意义可得｜PA|+｜PB｜=｜t1｜+|t2｜=｜t1+t2｜=．
23．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,
在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2)计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布与n次独立重复试验的模型．
【分析】(1)根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)由已知结合（1)的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率（含参数P2），由Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P2的取值范围．【解答】解:（1）∵，，
根据“先进和谐组”的定义可得
该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中,两人恰好各射中一次，
∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率
P=(C21•）（C21•）+（）（）=
(2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率
P=（C21•）[C21•P2•（1﹣P2)］+（）（P22)=
而ξ~B（12，P)，所以Eξ=12P
由Eξ≥5知，（）•12≥5
解得：
24．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，
AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点,N是BC的中点,点P 在直线A1B1上，且满足．
（1)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？
(2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．
【考点】用空间向量求平面间的夹角;用空间向量求直线与平面的夹角．
【分析】(1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得向量的坐标关于λ的表示式，而平面ABC 的法向量，可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角θ达到最大值；
（2)根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN的一个法向量为，而平面PMN与平面ABC 所成的二面角等于向量、所成的锐角,由此结合已知条件建立关于λ的方程并解之,即可得到λ的值，从而确定点P的位置．
【解答】解：（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则，易得平面ABC的一个法向量为
则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：
(*),于是问题转化为二次函数求
最值，
而，当θ最大时，sinθ最大,
所以当时，,同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
即可得到平面ABC的一个法向量为，
设平面PMN的一个法向量为，．
由得，解得．
令x=3，得，于是
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴
,
解之得:，故点P在B1A1的延长线上，且．
学必求其心得，业必贵于专精2016年6月14日。