(课件)概率论与数理统计：正态分布

(1) 0.6664
(2) 2 (1.8) 1
2 0.9641 1 0.9282 (3) 1 0.6664 0.3336
(4) 2 (1.8) 1=0.9282 (5) (0) 0.5
将上述结论推广到一般的正态分布,
X N ( , 2 ) 时，
Y
X
~N(0,1)
P (|Y | ) 0.6826
Φ (0) = 0 .5 , Φ (1) = 0.8413 , Φ(2) = 0.9772 ,
Φ (3) = 0.9987
(1) (0.43) ? (2) (1.8) (1.8) ?
(3) P{0.43 X 4.3} ? (4) P{1.8 X 1.8} ? (5) P{ X 0} ?
正态分布在十九世纪前叶由高斯 加以推广，所以通常称为高斯分布。
谢谢聆听！
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
(1) 曲线关于 x μ 对称;
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
0.1
0.5398
…
…
2.8
0.9974
2.9
0.9981
3.0
0.9987
标准正态分布 (分布函数的取值) 表
1
2
3
4
5
6
7
0.5040 0.5080 0.5120 … … … 0.5279
0.5438 0.5478 0.5517 … … … 0.5675
…
…
…
………
…
0.9975 0.9976 0.9977 … … … 0.9979
… 0.9981 0.9986
* 1.0000
*取值的含义 (2.9) (3.0) (3.1)
(3.7) (3.8) (3.9)
标准正态量取值概率的查表计算实例
X ~ N(0, 1) , 只要 x≥ 3.9 , 就有Φ ( x ) = 1
Φ(－∞) = 0 ,
Φ(3.8) = 0.9999 , Φ(3.9) ≈ 1.0000 ,
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
0.9982 0.9982 0.9983 … … … 0.9985
*
*
*
*
*
*
*
0.9990 0.9993 0.9995 … … … 0.9999
X ~ N(0,1) 若 x 3.9,
则 ( x) 1
8 0.5319 0.5714
… 0.9980 0.9986
* 0.9999
9 0.5359 0.5753
算外开支波动较大，设实际费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算
外开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，
(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为
合理？ 解 （1）工程资方掌握资金3亿元。
标准正态分布表
P (| Y | 2 ) 0.9544
3 2 2 3
P (| Y | 3 ) 0.9974
68.26%
95.44%
99.74%
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则” .
思考1 设某项竞赛成绩 X ~ N (65,100), 若按参赛人
(
x )2 2 2
2
x
那么就称该随机变量 X 服从正态分布，也称 X为正态分布变量（简称
正态量），并记为
X N (, 2)
显然，不同的正态分布是由两个分布参数 μ 和σ2 的不同
取值加以区别的。
b
P(a X b) a
yy 频率
组距
1
( x )2
e
2 2
dx ,
2
x
(2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
(3) 当 x 时, f ( x) 0，f (2xπ)的 σ 水平渐近线为x轴； (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点，
三大连续分布密度之正态分布
正态分布 N (μ，σ2 )
若连续随机变量 X 的密度函数具有形式
f (x)
1
e ,
若固定 ，改变 的值，
f ( ) , 反之亦然，
决定了图形中峰的陡峭程度
若固定 ，改变 的值， 则密度曲线左右整体平移.
决定了图形的中心位置
正态分布的分布函数：
F(x)
1
(t μ)2
e x 2σ 2 d t
2πσ
若 X ~ N（0，1），则称 X 为标准正态量。标准正态量的密
度函数通常被记为
X 1 ~ N 0,1
2
P(0
X
1.6)
P
0
2
1
X 1 2
1.6 1 2
1.6 2
1
0
2
1
(0.3) (0.5)
(0.3) 1 (0.5)
0.6179 1 0.6915 0.3094
(x)
P{X x}
1
x
t2
e 2 dt
2
x
0
0.0
0.5000
数的 10% 发奖, 问获奖分数线应定为多少?
解： 设获奖分数线为 x0 , 则求使 P{ X x0 } 0.1成
立的 x0 .
P{ X x0 } 0.1,
即
x0 65 10
0.9,
查表得
x0 65 10
1.29,
解得
x0
77.9,
定为78分.
故分数线可
4
应用拓展
思考2 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
2
Φ( x), 显然
不难证明(令 t = －u)
Φ( x) 1 Φ( x)
可以证明，若 X ~ N（μ，σ2），则
U X
~ N（0，1 ）
即前者的分布函数值可借后者的分布函数值表出
数的 10% 发奖， 问获奖分数线应定为多少?
解： 设获奖分数线为 x0 , 则求使 P{ X x0 } 0.1 成
立的 x0 . P{ X x0 } 1 P{ X x0 } 1 F ( x0 )
1
x0 65 10
0.1,
即
x0 65 10
0.9,
思考1 设某项竞赛成绩 X ~ N (65,100), 若按参赛人
球槽
o
编x号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
2
性质剖析
在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.
某城市2019年降雨量的数据的频率直方图. 某大学男学生的身高的数据的频率直方图.
正态分布 N( , 2)的密度函数图形的特点:
两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状
若委托甲公司承包
P( X
3)
F (3)
3
2.8 0.5
(0.4)=0.6554
若委托乙公司承包
P (Y
3)
F
(
3)
33 0.2
(0)
0.50
委托甲公司承包较为合理。
正态分布是应用最广泛的一种连 续型分布。德莫佛最早发现了二项概率 的一个近似公式,这一公式被认为是正 态分布的首次露面。