苏科版数学七上2.2有理数与无理数

• 可数性：有理数集是可数的，而无理数集是不可数的。
有理数与无理数的区别与联系
实数范围
有理数与无理数统称为实数，它们共 同构成了实数集。
稠密性
有理数与无理数在实数轴上都具有稠 密性，即任意两个实数之间都存在其 他实数。
02
有理数的运算
有理数的加法运算
同号有理数加法
取相同的符号，并把绝对值相加。
时钟时间
时钟上的时间表示方式也是有理数和无理数的应用之一。 小时、分钟和秒都是整数或分数形式的有理数，而角度制 中的度、分、秒则涉及到了无理数。
数学中的有理数与无理数应用举例
代数运算
在代数学中，有理数和无理数经常出现在各种运算中，如方程的解、不等式的求解等。这些运算涉及到了有理数和无 理数的加减乘除、乘方和开方等。
苏科版数学七上2.2有理数与 无理数
目
CONTENCT
录
• 有理数与无理数的基本概念 • 有理数的运算 • 无理数的运算 • 有理数与无理数在数轴上的表示 • 有理数与无理数的应用举例
01
有理数与无理数的基本概念
有理数的定义及性质
定义：有理数是可以表示为两个整数之比 的数，即形如$frac{a}{b}$（$b neq 0$） 的数。
03
无理数的运算
无理数的加法运算
80%
同类项合并
无理数中，若两个数的无理部分 相同，则它们可以直接相加，有 理部分按常规方法相加。
100%
不同类项的处理
当两个无理数的无理部分不同时 ，它们不能被直接合并。此时， 需要保留各自的无理部分，并将 有理部分分别相加。
80%
结果的化简
在加法运算后，若结果可以化简 为更简单的形式，则进行化简。
04
有理数与无理数在数轴整数表示
有理数中的整数可以直接在数轴上找到对应的点。
分数表示
分数可以通过找到分子和分母对应的点，然后利用数轴上的等分点 来表示。
正有理数与负有理数的表示
正有理数位于0点的右侧，负有理数位于0点的左侧，距离0点的距 离表示其绝对值。
无理数在数轴上的表示方法
有理数集是一个可数集，即可以与自然 数集建立一一对应的关系。
有理数具有稠密性，即任意两个有理数 之间都存在其他有理数。
性质 有理数包括整数和分数。
无理数的定义及性质
95% 85% 75% 50% 45%
0 10 20 30 40 5
定义：无理数是不能表示为两个整数之比的数，即不 是有理数的实数。 性质
通过构造法表示
例如，利用勾股定理构造一个直角三角形的斜边，该斜边的长度即为无理数√2，可以在数轴 上标出这一点。
利用已知无理数和有理数的运算表示
如通过加减乘除已知的无理数和有理数，得到新的无理数在数轴上的位置。
近似值表示
对于难以精确表示的无理数，可以用其近似值在数轴上标出大致位置。
有理数与无理数在数轴上的比较
有理数的乘法运算
01
02
03
同号有理数乘法
取正号，并把绝对值相乘。
异号有理数乘法
取负号，并把绝对值相乘。
有理数与0相乘
任何有理数与0相乘，其 结果都是0。
有理数的除法运算
除以一个不等于0的有理数
01
等于乘以这个数的倒数。
有理数与0相除
02
任何非零有理数除以0，其结果无意义。
异号有理数相除
03
转化为乘法后，按异号有理数乘法法则进行计算。
几何图形
在几何学中，有理数和无理数可以用来表示图形的各种属性，如长度、面积、体积等。例如，勾股定理中的斜边长度 就是一个无理数。
数列与数学归纳法
在数列中，有理数和无理数可以作为数列的项出现。同时，在数学归纳法中，有理数和无理数的性质也 经常被用来证明一些数学命题。
物理中的有理数与无理数应用举例
物理量的测量
物理实验数据处理
在物理实验中，数据的处理和分 析经常涉及到有理数和无理数的 运算和比较。例如，通过测量多 组数据并求平均值来减小误差时， 就需要用到有理数的加减和除法 运算。
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无理数的减法运算
同类项相减
当两个无理数的无理部分相同 时，可以直接相减，有理部分 按常规方法相减。
不同类项的处理
对于无理部分不同的两个数， 减法运算类似于加法，需要保 留各自的无理部分，并将有理 部分分别相减。
结果的化简与符号处理
减法运算后，若结果可以化简 ，则进行化简。同时，注意处 理可能出现的负号。
异号有理数加法
取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值。
有理数与0相加
任何有理数与0相加，其结果仍是这个数本身。
有理数的减法运算
02
01
03
转化为加法运算
减去一个有理数等于加上这个数的相反数。
有理数与0相减
任何有理数减去0，其结果仍是这个数本身。
异号有理数相减
转化为加法后，按异号有理数加法法则进行计算。
除法运算可以通过求倒数的方法转化为乘法运算。即除以一个数等于乘
以这个数的倒数。
02
有理部分与无理部分的除法
在进行除法运算时，需将有理数分别与无理数的有理部分和无理部分相
除。
03
结果的化简与近似值
除法运算后，若结果可以化简为更简单的形式，则进行化简。对于无法
得到精确结果的情况，可以给出近似值或保留特定精度的结果。
生活中的有理数与无理数应用举例
购物折扣
在商场或网店购物时，经常会遇到各种折扣，如“满200 减50”或“打8.5折”等。这些折扣的计算就涉及到了有 理数的加减乘除运算。
温度计量
温度的计量单位摄氏度（°C）就是一个有理数，表示的是 相对于冰点和沸点的温度差。而华氏度（°F）则是一个无 理数，其转换公式涉及到了无理数π。
无理数是无限不循环小数。
无理数与有理数一样具有稠密性。
无理数集是不可数的，即不能与自然数集建立一一对 应的关系。
有理数与无理数的区别与联系
表示形式
有理数可以表示为两个整数之比 ，而无理数不能。
小数形式
有理数的小数部分是有限或循环 的，而无理数的小数部分是无限 不循环的。
有理数与无理数的区别与联系
无理数的乘法运算
乘法分配律的应用
无理数的乘法运算遵循乘法分配律，即可以将一个无理数与另一 个数的每一部分分别相乘。
有理部分与无理部分的相乘
有理数与无理数相乘时，将有理数分别与无理数的有理部分和无理 部分相乘。
结果的化简
乘法运算后，若结果可以化简为更简单的形式，则进行化简。
无理数的除法运算
01
转化为乘法运算
位置比较
根据数轴上点的位置关系，可以 直观地比较有理数与无理数的大
小。
数值比较
通过计算或估算无理数的近似值， 可以将其与有理数进行数值上的比 较。
性质比较
有理数可以表示为两个整数的比， 而无理数不能；有理数是稠密的， 而无理数是连续的；有理数和无理 数共同构成了实数系。
05
有理数与无理数的应用举例
物理公式与定律
在物理学中，各种物理量的测量 值经常是有理数或无理数。例如， 长度的测量值可以是整数或分数 形式的有理数，而时间的测量值 则经常涉及到无理数π。
物理公式和定律中经常涉及到有 理数和无理数的运算。例如，牛 顿第二定律F=ma中的加速度a就 可以是有理数或无理数。同时， 万有引力定律中的引力常量G也是 一个无理数。