2013届海南省海南中学高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)

海南中学2010——2011学年第一学期期中考试高一数学试题（必修1）（考试时间：2010年11月；总分：100；总时量：120分钟）第一卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，总分 36 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置． ） 1．设集合 U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则 CU ( A I B) = A．{2,3} B．{1,5} C．{4,5} D．{1,4,5}2．下列几个图形中，可以表示函数关系 y = f ( x) 的那一个图是y O x y●y x O xy O xO●A．B．C．D．3．下列各组函数中，表示同一函数的是 A． y = 1 与 y = x 0 C． y = x , y = 3 x 3 4．已知函数 f ( x) = í A．1 9 ìlog 2 x( x > 0) î3 ( x £ 0)xB． y = x - 1 与 y = ( x - 1) 2 D． y =| x |, y = ( x ) 2 1 ，则 f [ f ( )] 的值为 4 C． - 9 D． 1 9B．95．设 a>0，a≠1，x∈R，下列结论错误的 是 ．．． A． log a 1 = 0 B． log a x 2 = 2 log a x C． log a a x = x D． log a a = 16．若函数 f(x)=x3+x2 - 2x - 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算， 参考数据如下表： 那么方程 x3+x2 - 2x - 2=0 的一个近似根（精确到 0.1）为 x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 1.5 f(x) -2 - 0.984 - 0.260 - 0.052 0.165 0.625 A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 7．设 a = log 0.5 0.8 ， b = log1.1 0.8 ， c = 1.10.8 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为 A． a < b < c B． b < a < c C． b < c < a D． a < c < b 8． 已知 f(x)的定义域为 (0,+¥ ) ， 若对任意 x1＞0， x2＞0， 均有 f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)，第 1 页 共 8 页且 f(8)=3，则 f(2)= A．1 B． 1 2 C． 3 4 D． 1 49．函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = - x + 1 ；则当 x < 0 时， f(x)的解析式为 A． - x + 1 B． - x - 1 C． x - 1 D． x + 110．在一次教学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x, y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中 a, b 为待定系数） b A． y = a + B． y = a + bx C． y = a + log b x D． y = a × b x x2 11 ． 设 函 数 f ( x) = log a x(a > 0, a ¹ 1) ， 若 f ( x1 x2 L x2010 ) = 8 ， 则 f ( x12 ) + f ( x2 ) +L 2 + f ( x2010 )的值等于 A．4 B．8 C．16 D． 2 log a 812．已知 y = log a (2 - ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ 0， 1） A．B． （ 1， 2）C． （ 0， 2）D．[2，+¥）第二卷（非选择题，共 64 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．函数 f ( x) = 4- x 的定义域为 x -1 ． ．14．若幂函数 f(x)的图像过点(2,8)，则 f(3)=15 ．函数 f(x)= ax+1 - a 在 区 间 [0,2] 上 的函数值 恒 大 于 0 ，则 a 的 取 值 范围 是 ． 16．老师给出一个函数 y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个 性质． 甲：对于 x Î R，都有 f(1+x)=f(1 - x)； 乙：f(x)在( - µ ,0]上是减函数； 丙：f(x)在(0,+ µ )上是增函数； 丁：f(0)不是函数的最小值． 现 已 知 其 中 恰 有 三 个 说 得 正 确 ， 则 这 个 函 数 可 能 是 （只需写出一个这样的函数即可） ．第 2 页 共 8 页三、解答题（本大题共 6 小题，共 48 分） 17． （本题满分 6 分）化简、求值． (Ⅰ) a 2 × a 2 × a ；1 1(Ⅱ) lne + 2-1+log2 3 ．ì x - a <1 的解集为 A ， 18． （本题满分 8 分） 已知关于 x 不等式组 í 集合 B = (1,3) ， î2 x - a > 2 若 A Í B ，求 a 的取值范围． 4 19． （本题满分 8 分）探究函数 f ( x) = x + , x Î (0, + µ) 的最小值，并确定相应的 x x 的值，列表如下： 1 1 3 8 x 1 2 4 8 16 … … 4 2 2 3 25 25 16.2 16.2 y 4 5 8.5 8.5 5 … … 5 5 6 6 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点，完成下列问题： (Ⅰ)若 x1 x2 = 4 ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) （请填写“>, =, <”号） ；若函数4 上递增； f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在 x (Ⅱ)当 x= 时， f ( x) = x + 4 ,(x>0)的最小值为 x 4 (Ⅲ)试用定义证明 f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减． x；20． （本题满分 8 分）已知函数 f ( x) = íx Î [1,4] ìlog 2 x ． 2 î( x - 5) + 1 x Î (4,7](Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的大致图象； (Ⅱ)求函数 g(x)=f(x) 3 的零点． 2第 3 页 共 8 页21． （本题满分 8 分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边 形为绿地， 使其四个顶点分别落在矩形的四条边上， 已知 AB＝a （a>2） ， BC＝2， 且 AE＝AH＝CF＝CG，设 AE＝x，绿地面积为 y． (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； D (Ⅱ)当 AE 为何值时，绿地面积最大？H A EGC FB22． （本题满分 10 分）已知函数 f ( x) = log 4 (4 x + 1) (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；x ． 2(Ⅱ)若方程 f ( x) - m = 0 有解，求 m 的取值范围； ( Ⅲ ) 若函数 g ( x) = log 4 [1 + 2 x + 3x + L + (n - 1) x - n x a ] ， n ³ 2, n Î N ， 对任意 x Î (- µ,1] 都有意义，求 a 的取值范围．第 4 页 共 8 页海南中学2010——2011学年第一学期期中考试高一数学（评分标准）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A B C B C D D C B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．函数 f ( x) = 4- x 的定义域为 x -1 (- µ,1) U (1, 4] 27 ． ．14．若幂函数 f(x)的图像过点(2,8)，则 f(3)=15．函数 f(x)= ax+1 - a 在区间[0,2]上的函数值恒大于 0，则 a 的取值范围是 -1<a<1 ． 16．老师给出一个函数 y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个 性质． 甲：对于 x Î R，都有 f(1+x)=f(1 - x)； 乙：f(x)在( - µ ,0]上是减函数； 丙：f(x)在(0,+ µ )上是增函数； 丁：f(0)不是函数的最小值． 现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是 y=|x-1| 或 2 （只需写出一个这样的函数即可） y=a(x-1) +b,a>0 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 48 分） 17． （本题满分 6 分）化简、求值． (Ⅰ) a 2 × a 2 × a ；1 1 1 1 1 1 1 1 1(Ⅱ) ln1e + 2-1+log2 3 ．17．解：(Ⅰ) a 2 × a 2 × a = (a 2 (a 2 × a 2 ) 2 ) 2 = a 2 = a ； （3 分） （6 分） (Ⅱ) ln e + 2-1+ log 3 = + ´ 2log 3 = + = 2 ．2 21 21 21 23 2ì x - a <1 18． （本题满分 8 分） 已知关于 x 不等式组 í 的解集为 A ， 集合 B = (1,3) ， î2 x - a > 2 若 A Í B ，求 a 的取值范围． a +1 ì ì x - a <1 ï x <a +2， 18．解： （１）由不等式组 í 得í （2 分） x> î2 x - a > 2 ï 2 î第 5 页 共 8 页当 a +1 £ 当 a +1 >a+2 ，即 a £ 0 时 A = f ，满足 A Í B ； （4 分） 2 ì a+2 ïa +1 £ 3 æa+2 ö ，即 a > 0 时 A = ç ，解得 , a + 1÷ ， A Í B ，所以 í a + 2 ³1 2 è 2 ø ï î 2（7 分） 0 £ a £ 2 ，所以 0 < a £ 2 ． 综述上面情况， a 的取值范围是 a £ 2 ． ………… 8 分（注：如果漏空集未考虑，扣 2 分）4 19． （本题满分 8 分）探究函数 f ( x) = x + , x Î (0, + µ) 的最小值，并确定相应的 x x 的值，列表如下： 1 1 3 8 x 1 2 4 8 16 … … 4 2 2 3 25 25 16.2 16.2 8.5 5 y 4 5 8.5 … … 5 5 6 6 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点，完成下列问题： f ( x2 ) （请填写“>, =, <”号） ；若函数 (Ⅰ)若 x1 x2 = 4 ，则 f ( x1 )4 上递增； f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在 x 时， f ( x) = x + 4 ,(x>0)的最小值为 (Ⅱ)当 x= x 4 (Ⅲ)试用定义证明 f ( x) = x + ,(x>0)在区间(0,2)上递减． x；19、解：(Ⅰ) =，(2,+∞) (左端点可以闭) (Ⅱ) x=2 时，ymin=4 4分4 x1 = ( x1 - x2 ) + 4x2 - 4x1 = ( x1 - x2 )( x1x2 - 4) x1x2 x1x22分4 x2 4 x1 4 x2(Ⅲ)设 0<x1<x2<2，则 f(x1)- f(x2)= ( x1 + ) - (x2 + ) = ( x1 - x2 ) + ( - ) 6分 ∴x1x2－4＜0∵0＜x1＜x2＜2 ∴x1-x2＜0,0＜x1x2＜4 ∴f(x1)－f(x2)>0 ∴f(x1)＞ f(x2) ∴f(x)在区间(0,2)上递减 8分20． （本题满分 8 分）已知函数 f ( x) = íx Î [1,4] ìlog 2 x ． 2 î( x - 5) + 1 x Î (4,7](Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象； (Ⅱ)求函数 g(x)=f(x) 3 的零点． 220．解：(Ⅰ)图像如右上图所示，此题需突出(1,0), (4,2), (5,1), (7,5)四个点，并保留作图痕迹； （4 分）第 6 页 共 8 页3 ，得 x = 2 2 （5 分） ； 2 3 2 （7 分） ； 当 4<x £ 7 时， ( x - 5) 2 + 1 = ，得 x = 5 ± 2 2 3 2 2 故函数 g(x)=f(x) - 的零点为 2 2,5 + ,5 （8 分） ． 2 2 2 (Ⅱ)当 1 £ x £ 4 时， log 2 x = 21． （本题满分 8 分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边 形为绿地， 使其四个顶点分别落在矩形的四条边上， 已知 AB＝a （a>2） ， BC＝2， 且 AE＝AH＝CF＝CG，设 AE＝x，绿地面积为 y． G D (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式， 并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)当 AE 为何值时，绿地面积最大？H A E BC F21．解： （1）SΔAEH＝SΔCFG＝ 3分 ìx > 0 ï ïa - x > 0 由í ï2 - x ³ 0 ï îa > 21 2 1 x ，SΔBEF＝SΔDGH＝ (a－x)(2－x)． ……1 分 2 2 ∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x． ……，得 0 < x £ 2∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为 { x | 0 < x £ 2} ． （2）当 分……4 分 ……6a+2 a+2 ( a + 2) 2 < 2 ，即 a<6 时，则 x＝ 时，y 取最大值 ． 4 4 8a+2 ≥2，即 a≥6 时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在 ( 0，2]上是增函数，则 x＝2 4 时，y 取最大值 2a－4 ． ……8 分 当 综上所述：当 a<6 时，AE＝ a+2 ( a + 2) 2 时，绿地面积取最大值 ；当 a≥6 4 8时，AE＝2 时，绿地面积取最大值 2a－4．22． （本题满分 10 分）已知函数 f ( x) = log 4 (4 x + 1) (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；x ． 2(Ⅱ)若方程 f ( x) - m = 0 有解，求 m 的取值范围；第 7 页 共 8 页( Ⅲ ) 若函数 g ( x) = log 4 [1 + 2 x + 3x + L + (n - 1) x - n x a ] ， n ³ 2, n Î N ， 对任意 x Î (- µ,1] 都有意义，求 a 的取值范围． 22．解：(Ⅰ)f(x)是偶函数， （1 分） ∵ f (- x) = log 4 (4- x + 1) + x x 1 + 4x x = log 4 x + = log 4 (4 x + 1) - = f ( x) ； （3 分） 2 4 2 2 x 1 = log 4 (4 x + 1) - log 4 2 x = log 4 (2 x + x ) ， （4 分） 2 2 ；(Ⅱ)∵ m = f ( x) = log 4 (4 x + 1) 又 2x +1 1 2 1 = ( 2x ) + 2 ³ 2， （5 分）∴ m ³ x x 2 2 21 ． （6 分） 2 1 2 n -1 x ) 恒成 立 （ 7 ( Ⅲ ) 由 1 + 2 x + 3x + L + (n - 1) x - n x a > 0 知 a < ( ) x + ( ) x + L + ( n n n 分） i 又∵ yi = ( ) x , i = 1, 2,L , n - 1 都是减函数 n 1 x 2 x n -1 x ∴ y = ( ) + ( ) +L + ( ) 也是减函数（8 分） n n n 1 2 3 n -1 1 n -1 ∴y 在 (- µ,1] 上的最小值为 ymin = ( )1 + ( )1 + ( )1 + L + ( ) = >a n n n n 2 n -1 ∴ a 的取值范围是 (- µ, )． （10 分） 2 故要使方程 f ( x) - m = 0 有解，m 的取值范围为 m ³第 8 页 共 8 页。