考研数学一(高等数学)模拟试卷103(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷103(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=则x=0是间断点的函数是( )
A．max{f(x)，g(x)}．
B．min{f(x)，g(x)}．
C．f(x)-g(x)．
D．f(x)+g(x)．
正确答案：C
解析：写出A、B、C、D选项中的表达式，即可知道正确选项．因为当x ＞0时，故Amax{f(x)，g(x))=1，x∈(-∞，+∞)；Bmin{f(x)，g(x)}=由，则A、B、D都在x=0点连续，故应选
C．事实上知识模块：高等数学
2．设f(x)=，讨论f(x)的间断点，其结论为( )
A．不存在间断点．
B．x=±1为其第一类间断点．
C．x=±1为其第二类间断点．
D．x=0为其第一类间断点．
正确答案：B
解析：当｜x｜＜1时，f(x)=当｜x｜=1时，f(x)=0；当｜x｜＞1时，所以f(x)=由x=-1是跳跃间断点，即第一类间断点；由x=1是跳跃间断点，即第一类间断点．知识模块：高等数学
3．设y=，则y(n)等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：先将拆项分开，然后利用不完全归纳法求解．知识模块：高等数学
4．曲线的渐近线的条数为( )
A．1．
B．2．
C．3．
D．0．
正确答案：B
解析：水平渐近线：因为，所以曲线无水平渐近线．铅直(垂直)渐近线：因为是曲线的铅直(垂直)渐近线．斜渐近线：因为所以是曲线的斜渐近线．综上所述，曲线有2条渐近线．知识模块：高等数学
5．设f(x)的一个原函数是sinx，则｜f’(x)sinxdx等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：因为f(x)的一个原函数是sinx，所以f(x)=(sinx)’=cosx，∫f(x)dx=sinx+C1．利用分部积分公式，∫f’(x)sinxdx=∫sinxd[f(x)]=sinx.f(x)-∫f(x)cosxdx 知识模块：高等数学
6．xln2xdx是( )
A．定积分且值为
B．定积分且值为
C．反常积分且发散．
D．反常积分且收敛于
正确答案：B
解析：虽然被积函数f(x)=xln2x在点x=0处无定义，但若补充定义f(0)=0，则f(x)在[0，1]上连续，因而xln2xdx是定积分，且知识模块：高等数学
7．横截面积为S，深为h的长方体水池里装满了水．现要把水全部抽到高为H的水塔上，需要做的功为( )(其中g为重力加速度，ρ为水的密度．) A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：将坐标原点取在水池底，y轴竖直向上，建立坐标系，如图17(a)．取y为积分变量，则y∈[0，h]，考虑[0，h]上的微元[y，y+dy]，要将横截面积为S，高为dy的水抽到高为H的水塔上，需提升的高度为H+h-y，故做功微元为dW=ρSg(H+k-y)dy，所以需做的功为W=(H+h-y)dy．知识模块：高等数学
8．设由方程F(x，y，z)=0所确定的函数关系中，已知=( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：本题考查由三元方程F(x，y，z)=0所确定的二元隐函数z=z(x，y)，y=y(x，z)，x=x(y，z)的偏导数计算公式．由知识模块：高等数学
9．直角坐标下的二次积分可写成( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：这是一个将直角坐标下的二次积分转化为极坐标下的二次积分问题，应根据直角坐标下的二次积分画出积分区域图．由已知二次积分知，积分区域D由直线x=1，y=0及曲线y=x2围成，如图22所示．曲线y=x2的极坐标方程为rsinθ=(rcosθ)2，即r=tanθsecθ，直线x=1的极坐标方程为r=secθ．于是，在极坐标下，积分区域为D={(r，θ)｜0≤θ≤，tanθsecθ≤r≤secθ}，故应选A．知识模块：高等数学
10．设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，г为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是( )
A．∫гf(x，y)dx．
B．∫гf(x，y)dy.
C．∫гf(x,y)ds．
D．∫f’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy.
正确答案：B
解析：本题主要考查特殊形式的第一类曲线积分与第二类M(x1，y1)曲线积分的计算问题．设点M与N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，如图28所示，则∫гf(x，y)dx==x2-x1＞0；∫гf(x，y)dy==y2-y1＜0；∫г(x，y)ds=∫гds=s＞0(s是г的弧长)；∫гf’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy=0(因为f’x(x，y)dx+f’y(x，y)dy=0)．故应选
B．知识模块：高等数学
11．设(-1)nan条件收敛，则必有( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：(推理法) 级数(an-an+1)的部分和sn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=a1-an+1，因为(-1)nan条件收敛，所以，于是故级数(an-an+1)收敛．知识模块：高等数学
12．设f(x)=其中an=等于( )
A．
B．
C．-1．
D．1．
正确答案：D
解析：f(x)的图形如图32所示，因为s(x)=ancosnπx(-∞＜x＜+∞)是f(x)的傅里叶级数(余弦系数)，所以应先将f(x)延拓成[-1，1]上的偶函数，再将其延拓成周期为2的周期函数，由傅里叶级数收敛定理，有故应选
D．知识模块：高等数学
13．微分方程y’’’+y’’-y’-y=0的通解为( )
A．y=C1e-x+C2xe-x+C3ex．
B．y=C1cosx+C2sinx+C3ex．
C．y=ex(C1cosx+C2sinx)+C3e-x．
D．y=C1ex+C2xex+C3e-x．
正确答案：A
解析：这是一个求三阶线性常系数齐次微分方程的通解问题．其特征方程为r3+r2-r-1=0，即(r+1)2(r-1)=0，特征根为r1=r2=-1，r3=1，故微分方程的通解为y=C1e-x+C2xe-x+C3ex．知识模块：高等数学
填空题
14．=_____.
正确答案：2
解析：这是一个∞-∞型未定式的极限．由于存在，可将其分离出去．知识模块：高等数学
15．已知f(x)=在x=0处连续，则k=_____．
正确答案：2
解析：因为f(x)在x=0处连续，所以=f(0)．而故k=2．知识模块：高等数学
16．设f(x)=，则f’(1)=______．
正确答案：
解析：利用导数的定义求导数．知识模块：高等数学
17．=_______．
正确答案：1
解析：因为，所以知识模块：高等数学
18．=_____.
正确答案：
解析：一般地，求和式极限常见的方法有利用定积分的定义与夹逼定理，具体采用哪种方法，应根据和式极限表达式的特点去选择．本题采用定积分的定义计算．知识模块：高等数学
19．设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(x)=1+，则f(x)=_______，
正确答案：lnx+1
解析：这是一个已知函数方程求函数的问题，其方法是将函数方程转化为微分方程由已知方程，得f(1)=1．将已知方程两端乘以x，得方程两端对x求导，得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，即f’(x)=，f(x)=lnx+
C．由f(1)=1，得C=1，所以f(x)=lnx+1．知识模块：高等数学
20．设直线L1：与直线L2：x+1=y-1=x相交于一点，则λ=_______．
正确答案：
解析：直线L1的方向向量为s1=(1，2，λ)，直线L2的方向向量为s2=(1，1，1)．在L1上取一点M1(1，-1，1)，在L2上取一点M2(-1，1，0)，则以M1
为始点，M2为终点的向量s3=(-1-1，1-(-1)，0-1)=(-2，2，-1)．直线L1，L2相交于一点直线L1与L2共面向量s1，s2，s3共面(s1，s2，s3)=0 知识模块：高等数学
21．如果函数z=f(x，y)满足，且f(x，1)=x+2，f’y(x，1)=x+1，则f(x，y)=______．
正确答案：y2+xy-y+2
解析：将两边对y积分，得f’y(x，y)=2y+φ1(x)，将f’y(x，1)=x+1代入上式，得φ1(x)=x-1，于是f’y(x，y)=2y+x-1，将上式两边对y积分，得f(x，y)=y2+xy-y+φ2(x)，将f(x，1)=x+2代入上式，得φ2(x)=2，故f(x，y)=y2+xy-y+2．知识模块：高等数学
22．设平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，则(｜x｜+y)dxdy=______．
正确答案：
解析：利用积分区域的对称性与被积函数奇偶性简化二重积分的计算．因为积分区域D关于x轴、y轴对称，被积函数｜x｜关于x，y为偶函数，y关于y为奇函数，所以其中D11如图49所示，知识模块：高等数学
23．设曲面Σ为锥面被柱面x2+y2=2x所截得的有限部分，则曲面积分=________.
正确答案：
解析：本题考查第一类曲面积分的计算．∑在xOy面上的投影区域为x2+y2≤2x，利用“一代二换三投影”将其转化为二重积分，得知识模块：高等数学
24．幂级数的收敛域为________．
正确答案：[1，3)
解析：(1)求幂级数的收敛半径．对于幂级数所以其收敛半径R==1．从而其收敛区间为(2-1，2+1)=(1，3)．(2)讨论幂级数在收敛区间端点的敛散性．当x=1时，幂级数为，这是一个交错级数．因为由莱布尼茨定理，收敛．当x=3时，幂级数为，发散．故幂级数的收敛域为[1，3)．知识模块：高等数学
25．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)______．
正确答案：
解析：将等式两边除以△x，得令△x→0，因为所以分离变量，得等式两边积分，得ln｜y｜=arctanx+ln｜C｜，于是y=Cearctanx，由y(0)=π，得C=π，所以y=πearctanx，于是y(1)= 知识模块：高等数学。