第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt
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设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
第10讲 正规子群与群论的基本课题 第10讲 正规子群与群论的基本课题
1
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
2
第10讲 正规子群与群论的基本课题
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
aH ={ah: h∈H}
即 ahbl =abt b1hb(=tl1ah ∈aH的任意性等价于h∈H的任意性;
2、运算对象是所有的左陪集，要求运算与代表元的选择无关, 故(*)应对b∈G都对.
结论：运算aH bH＝(ab)H与代表元的选择无关当且仅当
h∈H, b∈G有 b1hb∈H.
例3 设n∈N, 在整数加群(Z,+)中,由 n 生成的子
3)
(b) b1 Hb=H
群是
nZ= {kn: k∈Z}.
4) (b) b1 Hb H
由例2, 则 nZ◁Z,商群 Z nZ {0+ nZ, 1+nZ ,…, (n1)+nZ}.
Z对nZ的陪集称为模 n 的同余类或剩余类.
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例4 交换群G是单群|G|是素数, 或者|G|=1.
证明 设交换群G是单群,且|G| ≠1, 则有a∈G, a≠e. 即a≠{e}. 由例2知a◁G. 而G是单群 a=G. 如果 a2 =e, 则|G|=2. 如果 a2≠e, 同理有a2=G. 于是有 a=(a2)k =a2k G是有限群.
(*)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 定义1.8.1 设H是群G的子群,如果
(*) b1 hb∈H. (h∈H, b∈G) 则称H是G的正规子群(也叫不变子群),记H◁G。
每个群都有两个正规子群:{e}和G,这两个称为G的平凡正规子群.
定理1.8.1 设H是群G的子群,则 (1) H◁G (2) (b∈G) bH=Hb (因此,对正规子群不区分左右陪集) (3) (b∈G) b1 Hb=H (4) (b∈G) b1 HbH
设m是|G|的任一正因数,由有限循环群的性质知,|G|有m
阶子群H. 由H◁G H={e}或G m =|H|=1或|G|.
所以, |G|是素数. ■
11
第10讲 正规子群与群论的基本课题 作业
P53 1, 3, 10, 11
12
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
7
第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
定理1.8.2 如果H是群G的正规子群,则陪集空间{G/H}关于运算 aH bH＝(ab)H
构成一个群,称为G对H的商群,记为 G/H. 证明: 结合律显然,有单位元 eH=H, 有逆元
(bH)1 = b1 H. ■ 如果H是群G的正规子群,则问题２的答案是肯定的：
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
(b∈G) HbHb1 (当b遍历G时, b1也遍历G )
(b∈G) Hb1 Hb
3) (b∈G) H=b1 Hb, (两边左乘b)
2) (b∈G) bH = Hb,
(b∈G,h∈H) 由 hb∈Hb = bH 有k ∈H 使 hb=bk
aH bH＝ a(Hb)H=a(bH)H= (ab)H. 例1 G/G是单位元群; G/{e} ≌G.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 如果H是群G的正规子群,就可以得到与G密切相关的两个
群:子群H和商群G/H. 如果H或G/H也有非平凡的正规子群,则将得到与G密切相
关的一些更小的群. 如此等等,就可将群G化简为相对很小的一些群来研究. 但是,如果G没有非平凡的正规子群, 则如此美好的研究
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
第10讲 正规子群与群论的基本课题 第10讲 正规子群与群论的基本课题
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
aH ={ah: h∈H}
即 ahbl =abt b1hb(=tl1ah ∈aH的任意性等价于h∈H的任意性;
2、运算对象是所有的左陪集，要求运算与代表元的选择无关, 故(*)应对b∈G都对.
结论：运算aH bH＝(ab)H与代表元的选择无关当且仅当
h∈H, b∈G有 b1hb∈H.
例3 设n∈N, 在整数加群(Z,+)中,由 n 生成的子
3)
(b) b1 Hb=H
群是
nZ= {kn: k∈Z}.
4) (b) b1 Hb H
由例2, 则 nZ◁Z,商群 Z nZ {0+ nZ, 1+nZ ,…, (n1)+nZ}.
Z对nZ的陪集称为模 n 的同余类或剩余类.
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例4 交换群G是单群|G|是素数, 或者|G|=1.
证明 设交换群G是单群,且|G| ≠1, 则有a∈G, a≠e. 即a≠{e}. 由例2知a◁G. 而G是单群 a=G. 如果 a2 =e, 则|G|=2. 如果 a2≠e, 同理有a2=G. 于是有 a=(a2)k =a2k G是有限群.
(*)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 定义1.8.1 设H是群G的子群,如果
(*) b1 hb∈H. (h∈H, b∈G) 则称H是G的正规子群(也叫不变子群),记H◁G。
每个群都有两个正规子群:{e}和G,这两个称为G的平凡正规子群.
定理1.8.1 设H是群G的子群,则 (1) H◁G (2) (b∈G) bH=Hb (因此,对正规子群不区分左右陪集) (3) (b∈G) b1 Hb=H (4) (b∈G) b1 HbH
设m是|G|的任一正因数,由有限循环群的性质知,|G|有m
阶子群H. 由H◁G H={e}或G m =|H|=1或|G|.
所以, |G|是素数. ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 作业
P53 1, 3, 10, 11
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思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
定理1.8.2 如果H是群G的正规子群,则陪集空间{G/H}关于运算 aH bH＝(ab)H
构成一个群,称为G对H的商群,记为 G/H. 证明: 结合律显然,有单位元 eH=H, 有逆元
(bH)1 = b1 H. ■ 如果H是群G的正规子群,则问题２的答案是肯定的：
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
(b∈G) HbHb1 (当b遍历G时, b1也遍历G )
(b∈G) Hb1 Hb
3) (b∈G) H=b1 Hb, (两边左乘b)
2) (b∈G) bH = Hb,
(b∈G,h∈H) 由 hb∈Hb = bH 有k ∈H 使 hb=bk
aH bH＝ a(Hb)H=a(bH)H= (ab)H. 例1 G/G是单位元群; G/{e} ≌G.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 如果H是群G的正规子群,就可以得到与G密切相关的两个
群:子群H和商群G/H. 如果H或G/H也有非平凡的正规子群,则将得到与G密切相
关的一些更小的群. 如此等等,就可将群G化简为相对很小的一些群来研究. 但是,如果G没有非平凡的正规子群, 则如此美好的研究